上_下極限三種定義的等價(jià)證明

1、第25卷第6期山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版Vol.25.No. 62009年12月Journal of Shanxi Datong University(NaturalScience Dec .2009在數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)中，極限理論是重點(diǎn)也是難點(diǎn)正確地理解和認(rèn)識(shí)數(shù)列上、下極限，有利于更好地認(rèn)清數(shù)列尤其是非收斂數(shù)列的內(nèi)部結(jié)構(gòu)形態(tài)然而在實(shí)際的教學(xué)中，教材中給出了上、下極限的幾種定義，學(xué)生對(duì)理解這幾種常見(jiàn)定義之間的關(guān)系存在著一定的困難為此，本文從各種常見(jiàn)的教材中找出三種比較典型的定義，首先在有界的情形下給出了此三種定義的等價(jià)證明，然后說(shuō)明了將此三種定義推廣到無(wú)界情形也等價(jià)上、下極限的三種定義我們首

2、先列舉數(shù)學(xué)分析常見(jiàn)教材中關(guān)于數(shù)列上、下極限的定義對(duì)于定義中的各種概念，如聚點(diǎn)、確界等，在敘述定義之前，要求學(xué)生復(fù)習(xí)回顧定義如下：定義1有界數(shù)列x n 的最大聚點(diǎn)與最小聚點(diǎn)分別稱為有界數(shù)列x n 的上極限與下極限，記作：n x n n n 注：有界數(shù)列的最大聚點(diǎn)和最小聚點(diǎn)存在性可證，本文從略定義2對(duì)于有界數(shù)列x n ，它的所有子列的極限所組成的數(shù)集的最大值稱為此數(shù)列的上極限，最小值稱為此數(shù)列的下極限注：有界數(shù)列所有子列極限點(diǎn)集的最值存在性可證，本文從略定義3對(duì)于有界數(shù)列x n ，去掉它的最初k 項(xiàng)以后，剩下來(lái)的仍舊是一個(gè)有界數(shù)列，記這個(gè)數(shù)列的上確界為k ，下確界為k ，亦即k supnkx n

3、supx k1，x ki，k infnkx n infx k1，x ki，k 1，2，3，于是得到數(shù)列k 和數(shù)列k ，顯然數(shù)列k 是單調(diào)減少的，k 是單調(diào)增加的，所以這兩個(gè)數(shù)列極限都存在，稱k 的極限是x n 的上極限，記作H ，稱k 的極限是x n 的下極限，記作h 也就是H n x n limk sup nkx n ，h n n limk inf nkx n 三種定義的等價(jià)證明對(duì)于以上三種定義，通過(guò)講解，一般學(xué)生都能理解但是，對(duì)于三者之間的等價(jià)關(guān)系理解起來(lái)比較困難在實(shí)際的教學(xué)中，許多學(xué)生因此會(huì)產(chǎn)生疑惑，導(dǎo)致在運(yùn)用此概念時(shí)往往只強(qiáng)調(diào)某一種定義實(shí)際上，對(duì)于不同極限問(wèn)題，靈活運(yùn)用上述三種定義，對(duì)

4、問(wèn)題的理解會(huì)起到事半功倍的效果下面就上述三種定義給出其等價(jià)證明定理1定義1和定義2等價(jià)證明令H 1有界數(shù)列x n 聚點(diǎn)，H 2有界數(shù)列x n 子列的極限，則要證定義1圳定義2，只要證H 1H 2一方面：對(duì)坌a H 2，存在x n 的一個(gè)子列x n k，使lim k x n ka ，則對(duì)任給0，在a 的鄰域U （a ，）中，含有數(shù)列x n k的無(wú)限多個(gè)項(xiàng)，即a 為數(shù)列x n 聚點(diǎn)，收稿日期:2009-09-15），上、下極限三種定義的等價(jià)證明芮紹平，張杰（淮北煤炭師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北235000）摘要:列舉了數(shù)學(xué)分析中上、下極限的三種常見(jiàn)定義，利用兩邊夾等定理證明了它們的等價(jià)性對(duì)上、下

5、極限及相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)做了初步探討關(guān)鍵詞:上、下極限聚點(diǎn)上、下確界教學(xué)中圖分類號(hào):O172文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A文章編號(hào):16740874（2009）06000902參考文獻(xiàn)1華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析(上冊(cè)M.北京:高等教育出版社, 2001. 2陳紀(jì)修, 於崇華. 數(shù)學(xué)分析(下冊(cè)M.北京:高等教育出版社, 2000. 3. :(山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版 2009年于是a H 1，所以H 2哿H 1另一方面：對(duì)坌b H 1，任給0，存在x k U （b ，），令21，則存在x 1U （b ，1），令21，則存在x 2U （b ，2），令n 1，則存在x n U （b ，n ），無(wú)限重復(fù)以上步驟

6、，得到數(shù)列x n 的子數(shù)列x n k，且由b x n kn 1，易見(jiàn)lim k x n kb ，即b H 2，于是H 1哿H 2綜合以上兩方面，再由a 和b 的任意性知H 1H2故最大聚點(diǎn)即為子極限中之的最大者，最小聚點(diǎn)即為子極限中的最小者，即定義1和定義2等價(jià).定理2定義1圯定義3證明設(shè)為有界數(shù)列x n 的最大聚點(diǎn)，則對(duì)坌0，）中含有x n 的無(wú)限多項(xiàng)，而在，）中只含有x n 中有限多項(xiàng)于是對(duì)坌0，對(duì)每個(gè)n N ，由于有mn，使x m ），所以sup m nx m （n 1），（1）其次由于有，）中只有x n 的有限項(xiàng)，所以存在N ，使得當(dāng)nN時(shí)，x n ，因此當(dāng)nN時(shí)，sup m nx m

7、 （nN）（2）綜合（1）（2）得到，當(dāng)nN時(shí)，sup m nx m ，即lim n sup m nx mA 軍從而limn sup m nx m 同理可證，x n 的最小聚點(diǎn)lim k inf m nx m 即定義1圯定義3定理3定義3圯定義2證明只要證明H 是x n 的最大極限點(diǎn)，h 是x n 的最小極限點(diǎn)即可首先證明，x n 的任意一個(gè)極限點(diǎn)，滿足h H 設(shè)lim k x n k，則對(duì)一切k N ，成立inf nn k1x n x n ksup nn k1x n ，對(duì)k 取極限，得h H 其次證明，存在x n 的子列x n k與x m k，使得lim k x m kH ，lim k x

8、m kh 事實(shí)上，對(duì)11，堝n 11：sup i1x i 1x n 1sup i1x i ；對(duì)212，堝n 2n 1：sup in 1x i 2x n 2sup in 1x i ；對(duì)k 1k 1，堝n k 1n k ：sup in k x i k 1x n k1sup in kx i ，令k ，由數(shù)列極限兩邊夾定理，得到lim k x n klimk sup in k x i limk supnkx n H 同理可證，存在x n 的子列x m k，使lim k x m kh 故定義3圯定義2無(wú)界數(shù)列情形（1）數(shù)列x n 無(wú)上界而有下界按定義1，擴(kuò)充聚點(diǎn)也可為，顯然，數(shù)列x n 的最大聚點(diǎn)為，而

9、最小聚點(diǎn)可能為有限數(shù)，可能為按定義2，擴(kuò)充，可為極限點(diǎn)顯然，數(shù)列x n 所有收斂子列的極限組成的數(shù)集的上確界為，而其下確界可能為有限數(shù)，可能為按定義3，顯然n x n ，而inf nkx n 單調(diào)增加，但可能沒(méi)有上界，故n x n 可能為有限數(shù)，可能為（2）數(shù)列x n 有上界而無(wú)下界，同上（3）數(shù)列x n 既無(wú)上界又無(wú)下界此時(shí)按定義1，定義2，定義3，都有n x n n x n 據(jù)上，對(duì)于無(wú)界數(shù)列情形，以上三種定義也等價(jià)結(jié)束語(yǔ)極限思想是數(shù)學(xué)分析中的重要思想，在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)極限的思想方法，有利于培養(yǎng)他們從宏觀和微觀的不同角度分析問(wèn)題的能力對(duì)于極限概念的理解直接影響學(xué)生對(duì)極限思想的掌握運(yùn)用各

10、種手段和方法講好上、下極限概念及其等價(jià)關(guān)系是非常重要的10進(jìn)行5次平行測(cè)定. 5次實(shí)驗(yàn)平均相對(duì)誤差不大于采用文獻(xiàn)4中的方法操作結(jié)果. 所得燃燒熱經(jīng)扣除鎳絲和系統(tǒng)中所含氮?dú)獾臒嶂岛笈c文獻(xiàn)值4相比, 獲得了滿意的結(jié)果, 詳見(jiàn)表1. 結(jié)果由表可知, 本系統(tǒng)單次實(shí)驗(yàn)相對(duì)誤差0.05%,完全能夠滿足常規(guī)燃燒熱測(cè)量的要求, 同時(shí)也說(shuō)明本系統(tǒng)數(shù)據(jù)處理方法準(zhǔn)確可靠, 計(jì)算結(jié)果具有較高的精確度, 可作為計(jì)算機(jī)測(cè)定燃燒熱的一種方法進(jìn)行推廣. 表1燃燒熱測(cè)定結(jié)果(25序號(hào)萘的質(zhì)量/g燃燒熱/kJmol 1單次相對(duì)誤差平均相對(duì)誤差10.87615153.7-0.06420.88455165.10.1630.86335

11、164.60.140.04840.84245157.30.00650.83335156.8-0.004參考文獻(xiàn)1李將淵, 劉趙榮, 王玉春. 基于LabVIEW 7Express 的電化學(xué)虛擬儀器J.計(jì)算機(jī)與應(yīng)用化學(xué), 2005, 22(10:918-920.2李將淵, 王文彬, 李元文. 基于LabVIEWTM 7Express 繪制二元金屬相圖的虛擬儀器J.計(jì)算機(jī)與應(yīng)用化學(xué), 200522(8:623-626.3陸昌偉, 奚同庚. 熱分析質(zhì)譜法M.上海:上?？茖W(xué)技術(shù)文獻(xiàn)出版社, 2002:78-79. 4復(fù)旦大學(xué). 物理化學(xué)實(shí)驗(yàn)M.3版. 北京:高等教育出版社, 2004:34-39.Ch

12、emical V irtual I nstrument of C ombustion H eatD etermin ation based on LabVIEWLIU Zhao rong, WANG Yu chun ，XUE Haixia，XI Yanni(Departmentof Applied Chemistry, Yun c heng University, Yuncheng Shanxi, 044000Abstract:Working out virtual instrument of combustion heat with the serial interface of SWC t

13、ype temperature difference /temperature instrument and function of LabVIEWs data acquisition and processing, which has many advantages, such as friendly interface, simple operation and altitudinal automatization. Based on introducing how to resolve sixtyfourdollarquestion in system designing ，enteri

14、ng into feasibility of speil formulasidea applied to the combustion heat determining experimentThen through combined the function of diff in Matlab and Numeric Integration node in LabVIEW with rational improving on Speil formula ，it has come true that combustion heat calculated accurately by compute

15、rAnd the system was used to determine combustion heat with a satisfactory resultKey words ：LabVIEW ；virtual instrument ；combustion heat ；differential thermal analysis ；speil formula編輯楊德兵!（上接第10頁(yè)）4楊輝, 宛金龍. 數(shù)列上、下極限的注記J.安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào), 2004, 10(3:72-73.5霍東華數(shù)列的非正常上、下極限的一點(diǎn)應(yīng)用J 牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2006，5（2）：34Proof of Equivalence of Three Definitions of Upper and Lower LimitsRUI Shaoping，ZHANG Jie（School of Mathematical Science ，Huaibei Coal Industry Teachers College ，Huaibei Anhui ，235000）Abstract ：In this paper ，three kinds of definitions of upper and lower limits are enumeratedMoreover ，equivalent p