2020-2024年五年高考數(shù)學(xué)真題分類(lèi)匯編專(zhuān)題13 數(shù)列（真題10個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+模擬練）原卷版

2020-2024年五年高考真題分類(lèi)匯編PAGEPAGE1專(zhuān)題13數(shù)列（真題10個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考12、18題2024年春考7、12題數(shù)列的應(yīng)用、等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列與函數(shù)的綜合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式；數(shù)列、不等式的應(yīng)用2023秋考3、21題2023春考16題等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)2022秋考10、21題2022春考16、18題等差數(shù)列的n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式；數(shù)列中的遞推公式、推理問(wèn)題、數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)數(shù)列的應(yīng)用、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和、數(shù)列極限的求法、數(shù)列的函數(shù)特性及應(yīng)用。2021年秋考8、12題2021年春考1、9、21題等比數(shù)列通項(xiàng)公式和無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式；數(shù)列概念的理解和應(yīng)用、遞推公式的應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；無(wú)窮等比數(shù)列的概念及性質(zhì)、極限的運(yùn)算；數(shù)列的綜合應(yīng)用、等比數(shù)列的判定及求解。2020年秋考2、8、21題2020年春考13題數(shù)列極限的求法；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式；數(shù)列的綜合應(yīng)用、不等式以及不等關(guān)系、二次函數(shù)以及函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)綜合應(yīng)用。數(shù)列極限的求法一．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（共1小題）1．（2021?上海）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為3，公差為2，則．二．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共3小題）2．（2024?上海）數(shù)列，，，的取值范圍為．3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有個(gè)．4．（2020?上海）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則．三．等比數(shù)列的性質(zhì)（共1小題）5．（2021?上海）在無(wú)窮等比數(shù)列中，，則的取值范圍是．四．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（共1小題）6．（2023?上海）已知首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．五．?dāng)?shù)列的應(yīng)用（共5小題）7．（2022?上海）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)判斷正確的是A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則8．（2024?上海），，，，任意，，，，滿(mǎn)足，求有序數(shù)列，，，有對(duì)．9．（2024?上海）無(wú)窮等比數(shù)列滿(mǎn)足首項(xiàng)，，記，，，，若對(duì)任意正整數(shù)，集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是．10．（2021?上海）已知數(shù)列滿(mǎn)足，對(duì)任意，和中存在一項(xiàng)使其為另一項(xiàng)與的等差中項(xiàng)．（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、為正數(shù)，求證：、、成等比數(shù)列，并求出公比；（3）已知數(shù)列中恰有3項(xiàng)為0，即，，且，，求的最大值．11．（2020?上海）已知數(shù)列為有限數(shù)列，滿(mǎn)足，則稱(chēng)滿(mǎn)足性質(zhì)．（1）判斷數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，公比為的等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為10，具有性質(zhì)，求的取值范圍；（3）若是1，2，3，，的一個(gè)排列，符合，2，，，、都具有性質(zhì)，求所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列．六．?dāng)?shù)列的求和（共1小題）12．（2021?上海）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．七．?dāng)?shù)列遞推式（共2小題）13．（2021?上海）已知，2，，對(duì)任意的，或中有且僅有一個(gè)成立，，，則的最小值為．14．（2022?上海）數(shù)列對(duì)任意且，均存在正整數(shù)，，滿(mǎn)足，，．（1）求可能值；（2）命題：若，，，成等差數(shù)列，則，證明為真，同時(shí)寫(xiě)出逆命題，并判斷命題是真是假，說(shuō)明理由；（3）若，成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．八．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合（共2小題）15．（2024?上海）已知．（1）若過(guò)，求的解集；（2）存在使得、、成等差數(shù)列，求的取值范圍．16．（2023?上海）已知，在該函數(shù)圖像上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，作函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，若，則過(guò)點(diǎn)，作函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，以此類(lèi)推，，，直至停止，由這些項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列．（1）設(shè)屬于數(shù)列，證明：；（2）試比較與的大小關(guān)系；（3）若正整數(shù)，是否存在使得、、、、依次成等差數(shù)列？若存在，求出的所有取值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．九．?dāng)?shù)列的極限（共3小題）17．（2020?上海）計(jì)算：A．3 B． C． D．518．（2020?上海）計(jì)算：．19．（2022?上海）已知在數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為．（1）若是等比數(shù)列，，求；（2）若是等差數(shù)列，，求其公差的取值范圍．一十．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（共2小題）20．（2023?上海）已知無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，為其前項(xiàng)和，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則下列各項(xiàng)中可能成立的是A．，，，，，為等差數(shù)列，，，，，，為等比數(shù)列 B．，，，，，為等比數(shù)列，，，，，，為等差數(shù)列 C．，，，，為等差數(shù)列，，，，，為等比數(shù)列 D．，，，，為等比數(shù)列，，，，，為等差數(shù)列21．（2020?上海）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求滿(mǎn)足時(shí)的最小值．一．選擇題（共14小題）1．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由遞推到時(shí)不等式左邊A．增加了 B．增加了 C．增加了，但減少了 D．增加了，但減少了2．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在非零常數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有，則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì)①存在等差數(shù)列具有性質(zhì)；②不存在等比數(shù)列具有性質(zhì)；對(duì)于以上兩個(gè)命題，下列判斷正確的是A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假3．（2024?青浦區(qū)二模）設(shè)為是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則A． B． C． D．4．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）已知數(shù)列不是常數(shù)列，前項(xiàng)和為，且．若對(duì)任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得，則稱(chēng)是“可控?cái)?shù)列”．現(xiàn)給出兩個(gè)命題：①存在等差數(shù)列是“可控?cái)?shù)列”；②存在等比數(shù)列是“可控?cái)?shù)列”．則下列判斷正確的是A．①與②均為真命題 B．①與②均為假命題 C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題5．（2024?黃浦區(qū)二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”．對(duì)于命題：①存在“數(shù)列”，使得數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列；②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使得以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列為“數(shù)列”．下列判斷正確的是A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題 C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是真命題6．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）設(shè)為無(wú)窮數(shù)列．若存在正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，均成立，則稱(chēng)為“低調(diào)數(shù)列”．有以下兩個(gè)命題：①，是低調(diào)數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)；②若存在，使得，，，，為低調(diào)數(shù)列，則．那么A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題 C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題7．（2024?寶山區(qū)二模）數(shù)列中，是其前項(xiàng)的和，若對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱(chēng)數(shù)列為“某數(shù)列”．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①等比數(shù)列為“某數(shù)列”；②對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“某數(shù)列”和，使得．則下列選項(xiàng)中正確的是A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題 C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題8．（2024?普陀區(qū)模擬）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)任意的，存在大于1的整數(shù)，使得成立，則稱(chēng)數(shù)列是“數(shù)列”．現(xiàn)給出如下兩個(gè)結(jié)論：①存在等差數(shù)列是“數(shù)列”；②任意等比數(shù)列都不是“數(shù)列”．則A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立9．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列每一項(xiàng)都滿(mǎn)足；②數(shù)列的前項(xiàng)和；③數(shù)列每一項(xiàng)都滿(mǎn)足成立；④數(shù)列每一項(xiàng)都滿(mǎn)足．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④10．（2024?浦東新區(qū)二模）設(shè)，，，記，2，，，令有窮數(shù)列為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，2，，，則有以下兩個(gè)結(jié)論：①存在，使得為常數(shù)列；②存在，使得為公差不為零的等差數(shù)列．那么A．①正確，②錯(cuò)誤 B．①錯(cuò)誤，②正確 C．①②都正確 D．①②都錯(cuò)誤11．（2024?奉賢區(qū)三模）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，關(guān)于正整數(shù)的方程記為，命題：對(duì)于任意的，存在等差數(shù)列使得有解；命題：對(duì)于任意的，存在等比數(shù)列使得有解；則下列說(shuō)法中正確的是A．命題為真命題，命題為假命題 B．命題為假命題，命題為真命題 C．命題為假命題，命題為假命題 D．命題為真命題，命題為真命題12．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列與函數(shù)滿(mǎn)足：①的定義域?yàn)椋虎跀?shù)列與函數(shù)均單調(diào)增；③存在正整數(shù)，使成立，則稱(chēng)數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”．給出下列兩個(gè)命題：①與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有有限個(gè)；②與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)．A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題 C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題13．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列是1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是1位首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，，則當(dāng)時(shí)，的最大值為A．9 B．10 C．11 D．2414．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）已知數(shù)列滿(mǎn)足為正整數(shù)），，設(shè)集合．有以下兩個(gè)猜想：①不論取何值，總有；②若，且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則的可能取值有6個(gè)．其中A．①正確，②正確 B．①正確，②錯(cuò)誤 C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤二．填空題（共35小題）15．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）設(shè)某直角三角形的三個(gè)內(nèi)角的余弦值成等差數(shù)列，則最小內(nèi)角的正切值為．16．（2024?普陀區(qū)模擬）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則“，，成等差數(shù)列”的一個(gè)充分非必要條件是．17．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）數(shù)列滿(mǎn)足為正整數(shù)），且與的等差中項(xiàng)是5，則首項(xiàng)．18．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則．19．（2024?虹口區(qū)模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則．20．（2024?浦東新區(qū)二模）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，則．21．（2024?松江區(qū)二模）已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，若，則使得成立的的最大值為．22．（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）已知為等比數(shù)列，公比，，且，，成等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式．23．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，，則的公比為．24．（2024?楊浦區(qū)二模）各項(xiàng)為正的等比數(shù)列滿(mǎn)足：，，則通項(xiàng)公式為．25．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則．26．（2024?金山區(qū)二模）設(shè)公比為2的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則．27．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）無(wú)窮等比數(shù)列滿(mǎn)足：，，則的各項(xiàng)和為．28．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知首項(xiàng)為2的等比數(shù)列的公比為，則．29．（2024?奉賢區(qū)三模）若數(shù)列滿(mǎn)足對(duì)任意整數(shù)有成立，則在該數(shù)列中小于100的項(xiàng)一共有項(xiàng)．30．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）數(shù)列的最小項(xiàng)的值為．31．（2024?虹口區(qū)二模）已知等比數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，若，，成等差數(shù)列，則．32．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．33．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）數(shù)列滿(mǎn)足，若，，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為．34．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且．設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．35．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，滿(mǎn)足：，2，3，，，我們稱(chēng)其為項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，2，1為4項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”．設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，其中，，，是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最小項(xiàng)等于，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為．36．（2024?寶山區(qū)二模）在數(shù)列中，，且，則．37．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）已知有窮數(shù)列的首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為12，且任意相鄰兩項(xiàng)之間滿(mǎn)足，，則符合上述要求的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為．38．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列滿(mǎn)足，則．39．（2024?黃浦區(qū)二模）已知數(shù)列是給定的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，且當(dāng)與時(shí)，，，取得最大值，則的值為．40．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意不等于2的正整數(shù)恒成立，且，那么這樣的數(shù)列有個(gè)．41．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則此數(shù)列的通項(xiàng)．42．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列，是公差相等的等差數(shù)列，且，若為正整數(shù)，設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．43．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列滿(mǎn)足，點(diǎn)在雙曲線上，則．44．（2024?寶山區(qū)二模）某區(qū)域的地形大致如圖1，某部門(mén)負(fù)責(zé)該區(qū)域的安全警戒，在哨位的正上方安裝探照燈對(duì)警戒區(qū)域進(jìn)行探查掃描．假設(shè)1：警戒區(qū)域?yàn)榭諘绲纳拳h(huán)形平地；假設(shè)2：視探照燈為點(diǎn)，且距離地面20米；假設(shè)3：探照燈照射在地面上的光斑是橢圓．當(dāng)探照燈以某一俯角從側(cè)掃描到側(cè)時(shí)，記為一次掃描，此過(guò)程中照射在地面上的光斑形成一個(gè)扇環(huán)，2，3，．由此，通過(guò)調(diào)整的俯角，逐次掃描形成扇環(huán)、、．第一次掃描時(shí)，光斑的長(zhǎng)軸為，米，此時(shí)在探照燈處測(cè)得點(diǎn)的俯角為（如圖．記，經(jīng)測(cè)量知米，且是公差約為0.1米的等差數(shù)列，則至少需要經(jīng)過(guò)次掃描，才能將整個(gè)警戒區(qū)域掃描完畢．45．（2024?普陀區(qū)模擬）設(shè)，，是正整數(shù)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，若，且，，記，則．46．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)任意，都有，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為．47．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列共有5項(xiàng)，且滿(mǎn)足：①，；②；③，、2、3、4．則滿(mǎn)足條件的數(shù)列共有個(gè)．48．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）設(shè)關(guān)于的方程的從小到大的第個(gè)非負(fù)解為，2，3，，若數(shù)列是無(wú)窮等差數(shù)列，且在區(qū)間中的項(xiàng)恰好比在區(qū)間，中的項(xiàng)少2項(xiàng)，則的取值集合為．49．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）等差數(shù)列滿(mǎn)足，則的最大值為．三．解答題（共11小題）50．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知正方體頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)每次會(huì)隨機(jī)地沿一條棱向相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)，且向每個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)的概率相同，從一個(gè)頂點(diǎn)沿一條棱移動(dòng)到相鄰頂點(diǎn)稱(chēng)為移動(dòng)一次，若質(zhì)點(diǎn)的初始位置位于點(diǎn)處，記點(diǎn)移動(dòng)次后仍在底面上的概率為．（1）求；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；若，求的最大值．51．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）某集團(tuán)投資一工廠，第一年年初投入資金5000萬(wàn)元作為初始資金，工廠每年的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)能使資金在年初的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)．每年年底，工廠向集團(tuán)上繳萬(wàn)元，并將剩余資金全部作為下一年的初始資金，設(shè)第年的初始資金為萬(wàn)元．（1）判斷是否為等比數(shù)列？并說(shuō)明理由；（2）若工廠某年的資金不足以上繳集團(tuán)的費(fèi)用，則工廠在這一年轉(zhuǎn)型升級(jí)．設(shè)，則該工廠在第幾年轉(zhuǎn)型升級(jí)？52．（2024?青浦區(qū)二模）若無(wú)窮數(shù)列滿(mǎn)足：存在正整數(shù)，使得對(duì)一切正整數(shù)成立，則稱(chēng)是周期為的周期數(shù)列．（1）若（其中正整數(shù)為常數(shù)，，，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；（2）若，判斷數(shù)列是否為周期數(shù)列，并說(shuō)明理由；（3）設(shè)是無(wú)窮數(shù)列，已知．求證：“存在，使得是周期數(shù)列”的充要條件是“是周期數(shù)列”．53．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知，集合，，其中，，，．（1）求中最小的元素；（2）設(shè)，，且，求的值；（3）記，，若集合中的元素個(gè)數(shù)為，求．54．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）已知，數(shù)列的前項(xiàng)和為，點(diǎn)，均在函數(shù)的圖像上．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，令，求數(shù)列的前2024項(xiàng)和．55．（2024?徐匯區(qū)模擬）已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列滿(mǎn)足是正整數(shù)），，定義函數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記函數(shù)，其中；證明：對(duì)任意，；數(shù)列滿(mǎn)足，設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和．?dāng)?shù)列的極限的嚴(yán)格定義為：若存在一個(gè)常數(shù)，使得對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)（不論它多么小），總存在正整數(shù)滿(mǎn)足：當(dāng)時(shí)，恒有成立，則稱(chēng)為數(shù)列的極限．試根據(jù)以上定義求出數(shù)列的極限．56．（2024?閔行區(qū)二模）已知定義在上的函數(shù)的表達(dá)式為，其所有的零點(diǎn)按從小到大的順序組成數(shù)列．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的值域；（2）求證：函數(shù)在區(qū)間，，上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；（3）求證：．57．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）對(duì)給定的在定義域內(nèi)連續(xù)且存在導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)，若對(duì)在定義域內(nèi)的給定常數(shù)，存在數(shù)列滿(mǎn)足在的定義域內(nèi)且，且對(duì)，，在區(qū)間的圖象上有且僅有在一個(gè)點(diǎn)處的切線平行于，（a）和，的連線，則稱(chēng)數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”．（1）若函數(shù)，證明，都存在“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”；（2）若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“1關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，且，求的通項(xiàng)公式；（3）若函數(shù)，數(shù)列為函數(shù)的“關(guān)聯(lián)切線伴隨數(shù)列”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)，時(shí)，．58．（2024?寶山區(qū)二模）函數(shù)的表達(dá)式為．（1）若，直線與曲線相切于點(diǎn)，求直線的方程；（2）函數(shù)的最小正周期是，令，將函數(shù)的零點(diǎn)由小到大依次記為，，，，，證明：數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列；（3）已知定義在上的奇函數(shù)滿(mǎn)足，對(duì)任意，，當(dāng)時(shí)，都有（a）且（a）．記，．當(dāng)時(shí)，是否存在、，使得成立？若存在，求出符合題意的、；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．59．（2024?浦東新區(qū)三模）已知函數(shù)，其中，．若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的切線與函數(shù)圖像的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，則稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”．現(xiàn)有函數(shù)圖像上的點(diǎn)列，，，，，使得對(duì)任意正整數(shù)，點(diǎn)都是點(diǎn)的一個(gè)“上位點(diǎn)”．（1）若，請(qǐng)判斷原點(diǎn)是否存在“上位點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)分別求出點(diǎn)、的坐標(biāo)；（3）若的坐標(biāo)為，記點(diǎn)到直線的距離為．問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)和正整數(shù)，使得無(wú)窮數(shù)列、、、、嚴(yán)格減？若存在，求出實(shí)數(shù)的所有可能值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．60．（2024?浦東新區(qū)二模）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為．設(shè)，曲線在點(diǎn)，處的切線交軸于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線交軸于點(diǎn)，．依此類(lèi)推，稱(chēng)得到的數(shù)列為函數(shù)關(guān)于，的“數(shù)列”．（1）若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，求的值；（2）若，是函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列”，記，證明：是等比數(shù)列，并求出其公比；（3）若，則對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，是否存在，使得函數(shù)關(guān)于的“數(shù)列為周期數(shù)列？若存在，求出所有滿(mǎn)足條件的；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．專(zhuān)題13數(shù)列（真題10個(gè)考點(diǎn)精準(zhǔn)練+精選模擬練）5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年秋考12、18題2024年春考7、12題數(shù)列的應(yīng)用、等比數(shù)列的性質(zhì)；數(shù)列與函數(shù)的綜合等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式；數(shù)列、不等式的應(yīng)用2023秋考3、21題2023春考16題等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式；數(shù)列與函數(shù)的綜合應(yīng)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)2022秋考10、21題2022春考16、18題等差數(shù)列的n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式；數(shù)列中的遞推公式、推理問(wèn)題、數(shù)列的通項(xiàng)公式等知識(shí)數(shù)列的應(yīng)用、等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和、數(shù)列極限的求法、數(shù)列的函數(shù)特性及應(yīng)用。2021年秋考8、12題2021年春考1、9、21題等比數(shù)列通項(xiàng)公式和無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的求和公式；數(shù)列概念的理解和應(yīng)用、遞推公式的應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；無(wú)窮等比數(shù)列的概念及性質(zhì)、極限的運(yùn)算；數(shù)列的綜合應(yīng)用、等比數(shù)列的判定及求解。2020年秋考2、8、21題2020年春考13題數(shù)列極限的求法；等差數(shù)列的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)公式；數(shù)列的綜合應(yīng)用、不等式以及不等關(guān)系、二次函數(shù)以及函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)綜合應(yīng)用。數(shù)列極限的求法一．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式（共1小題）1．（2021?上海）已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為3，公差為2，則．二．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（共3小題）2．（2024?上海）數(shù)列，，，的取值范圍為．3．（2022?上海）已知等差數(shù)列的公差不為零，為其前項(xiàng)和，若，則，2，，中不同的數(shù)值有個(gè)．4．（2020?上海）已知數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，且，則．三．等比數(shù)列的性質(zhì)（共1小題）5．（2021?上海）在無(wú)窮等比數(shù)列中，，則的取值范圍是．四．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和（共1小題）6．（2023?上海）已知首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．五．?dāng)?shù)列的應(yīng)用（共5小題）7．（2022?上海）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，則下列選項(xiàng)判斷正確的是A．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 B．若，則數(shù)列是遞增數(shù)列 C．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則 D．若數(shù)列是遞增數(shù)列，則8．（2024?上海），，，，任意，，，，滿(mǎn)足，求有序數(shù)列，，，有對(duì)．9．（2024?上海）無(wú)窮等比數(shù)列滿(mǎn)足首項(xiàng)，，記，，，，若對(duì)任意正整數(shù)，集合是閉區(qū)間，則的取值范圍是．10．（2021?上海）已知數(shù)列滿(mǎn)足，對(duì)任意，和中存在一項(xiàng)使其為另一項(xiàng)與的等差中項(xiàng)．（1）已知，，，求的所有可能取值；（2）已知，、、為正數(shù)，求證：、、成等比數(shù)列，并求出公比；（3）已知數(shù)列中恰有3項(xiàng)為0，即，，且，，求的最大值．11．（2020?上海）已知數(shù)列為有限數(shù)列，滿(mǎn)足，則稱(chēng)滿(mǎn)足性質(zhì)．（1）判斷數(shù)列3、2、5、1和4、3、2、5、1是否具有性質(zhì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）若，公比為的等比數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為10，具有性質(zhì)，求的取值范圍；（3）若是1，2，3，，的一個(gè)排列，符合，2，，，、都具有性質(zhì)，求所有滿(mǎn)足條件的數(shù)列．六．?dāng)?shù)列的求和（共1小題）12．（2021?上海）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，的各項(xiàng)和為9，，則數(shù)列的各項(xiàng)和為．七．?dāng)?shù)列遞推式（共2小題）13．（2021?上海）已知，2，，對(duì)任意的，或中有且僅有一個(gè)成立，，，則的最小值為．14．（2022?上海）數(shù)列對(duì)任意且，均存在正整數(shù)，，滿(mǎn)足，，．（1）求可能值；（2）命題：若，，，成等差數(shù)列，則，證明為真，同時(shí)寫(xiě)出逆命題，并判斷命題是真是假，說(shuō)明理由；（3）若，成立，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．八．?dāng)?shù)列與函數(shù)的綜合（共2小題）15．（2024?上海）已知．（1）若過(guò)，求的解集；（2）存在使得、、成等差數(shù)列，求的取值范圍．16．（2023?上海）已知，在該函數(shù)圖像上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，作函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，若，則過(guò)點(diǎn)，作函數(shù)的切線，該切線與軸的交點(diǎn)記作，以此類(lèi)推，，，直至停止，由這些項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列．（1）設(shè)屬于數(shù)列，證明：；（2）試比較與的大小關(guān)系；（3）若正整數(shù)，是否存在使得、、、、依次成等差數(shù)列？若存在，求出的所有取值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．九．?dāng)?shù)列的極限（共3小題）17．（2020?上海）計(jì)算：A．3 B． C． D．518．（2020?上海）計(jì)算：．19．（2022?上海）已知在數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為．（1）若是等比數(shù)列，，求；（2）若是等差數(shù)列，，求其公差的取值范圍．一十．等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合（共2小題）20．（2023?上海）已知無(wú)窮數(shù)列的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，為其前項(xiàng)和，若對(duì)任意正整數(shù)都有，則下列各項(xiàng)中可能成立的是A．，，，，，為等差數(shù)列，，，，，，為等比數(shù)列 B．，，，，，為等比數(shù)列，，，，，，為等差數(shù)列 C．，，，，為等差數(shù)列，，，，，為等比數(shù)列 D．，，，，為等比數(shù)列，，，，，為等差數(shù)列21．（2020?上海）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列，其前項(xiàng)和為，．（1）若數(shù)列為等差數(shù)列，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列為等比數(shù)列，，求滿(mǎn)足時(shí)的最小值．一．選擇題（共14小題）1．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，由遞推到時(shí)不等式左邊A．增加了 B．增加了 C．增加了，但減少了 D．增加了，但減少了2．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若存在非零常數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有，則稱(chēng)數(shù)列具有性質(zhì)①存在等差數(shù)列具有性質(zhì)；②不存在等比數(shù)列具有性質(zhì)；對(duì)于以上兩個(gè)命題，下列判斷正確的是A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假3．（2024?青浦區(qū)二模）設(shè)為是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則A． B． C． D．4．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）已知數(shù)列不是常數(shù)列，前項(xiàng)和為，且．若對(duì)任意正整數(shù)，存在正整數(shù)，使得，則稱(chēng)是“可控?cái)?shù)列”．現(xiàn)給出兩個(gè)命題：①存在等差數(shù)列是“可控?cái)?shù)列”；②存在等比數(shù)列是“可控?cái)?shù)列”．則下列判斷正確的是A．①與②均為真命題 B．①與②均為假命題 C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題5．（2024?黃浦區(qū)二模）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，都是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱(chēng)數(shù)列為“數(shù)列”．對(duì)于命題：①存在“數(shù)列”，使得數(shù)列為公比不為1的等比數(shù)列；②對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都存在實(shí)數(shù)，使得以為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列為“數(shù)列”．下列判斷正確的是A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題 C．①是真命題，②是假命題 D．①是假命題，②是真命題6．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）設(shè)為無(wú)窮數(shù)列．若存在正整數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，均成立，則稱(chēng)為“低調(diào)數(shù)列”．有以下兩個(gè)命題：①，是低調(diào)數(shù)列當(dāng)且僅當(dāng)；②若存在，使得，，，，為低調(diào)數(shù)列，則．那么A．①是真命題，②是假命題 B．①是假命題，②是真命題 C．①、②都是真命題 D．①、②都是假命題7．（2024?寶山區(qū)二模）數(shù)列中，是其前項(xiàng)的和，若對(duì)任意正整數(shù)，總存在正整數(shù)，使得，則稱(chēng)數(shù)列為“某數(shù)列”．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①等比數(shù)列為“某數(shù)列”；②對(duì)任意的等差數(shù)列，總存在兩個(gè)“某數(shù)列”和，使得．則下列選項(xiàng)中正確的是A．①為真命題，②為真命題 B．①為真命題，②為假命題 C．①為假命題，②為真命題 D．①為假命題，②為假命題8．（2024?普陀區(qū)模擬）設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，若數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)任意的，存在大于1的整數(shù)，使得成立，則稱(chēng)數(shù)列是“數(shù)列”．現(xiàn)給出如下兩個(gè)結(jié)論：①存在等差數(shù)列是“數(shù)列”；②任意等比數(shù)列都不是“數(shù)列”．則A．①成立②成立 B．①成立②不成立 C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立9．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①數(shù)列每一項(xiàng)都滿(mǎn)足；②數(shù)列的前項(xiàng)和；③數(shù)列每一項(xiàng)都滿(mǎn)足成立；④數(shù)列每一項(xiàng)都滿(mǎn)足．其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是A．①④ B．②④ C．①③④ D．①②④10．（2024?浦東新區(qū)二模）設(shè)，，，記，2，，，令有窮數(shù)列為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，2，，，則有以下兩個(gè)結(jié)論：①存在，使得為常數(shù)列；②存在，使得為公差不為零的等差數(shù)列．那么A．①正確，②錯(cuò)誤 B．①錯(cuò)誤，②正確 C．①②都正確 D．①②都錯(cuò)誤11．（2024?奉賢區(qū)三模）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，關(guān)于正整數(shù)的方程記為，命題：對(duì)于任意的，存在等差數(shù)列使得有解；命題：對(duì)于任意的，存在等比數(shù)列使得有解；則下列說(shuō)法中正確的是A．命題為真命題，命題為假命題 B．命題為假命題，命題為真命題 C．命題為假命題，命題為假命題 D．命題為真命題，命題為真命題12．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列與函數(shù)滿(mǎn)足：①的定義域?yàn)?；②?shù)列與函數(shù)均單調(diào)增；③存在正整數(shù)，使成立，則稱(chēng)數(shù)列與函數(shù)具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”．給出下列兩個(gè)命題：①與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有有限個(gè)；②與數(shù)列具有“單調(diào)偶遇關(guān)系”的函數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)．A．①②都是真命題 B．①是真命題，②是假命題 C．①是假命題，②是真命題 D．①②都是假命題13．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列是1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，是1位首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，設(shè)，，，則當(dāng)時(shí)，的最大值為A．9 B．10 C．11 D．2414．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）已知數(shù)列滿(mǎn)足為正整數(shù)），，設(shè)集合．有以下兩個(gè)猜想：①不論取何值，總有；②若，且數(shù)列中恰好存在連續(xù)的7項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則的可能取值有6個(gè)．其中A．①正確，②正確 B．①正確，②錯(cuò)誤 C．①錯(cuò)誤，②正確 D．①錯(cuò)誤，②錯(cuò)誤二．填空題（共35小題）15．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）設(shè)某直角三角形的三個(gè)內(nèi)角的余弦值成等差數(shù)列，則最小內(nèi)角的正切值為．16．（2024?普陀區(qū)模擬）設(shè)等比數(shù)列的公比為，則“，，成等差數(shù)列”的一個(gè)充分非必要條件是．17．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)三模）數(shù)列滿(mǎn)足為正整數(shù)），且與的等差中項(xiàng)是5，則首項(xiàng)．18．（2024?松江區(qū)校級(jí)模擬）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則．19．（2024?虹口區(qū)模擬）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則．20．（2024?浦東新區(qū)二模）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，則．21．（2024?松江區(qū)二模）已知等差數(shù)列的公差為2，前項(xiàng)和為，若，則使得成立的的最大值為．22．（2024?普陀區(qū)校級(jí)模擬）已知為等比數(shù)列，公比，，且，，成等差數(shù)列，則通項(xiàng)公式．23．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知為無(wú)窮等比數(shù)列，，，則的公比為．24．（2024?楊浦區(qū)二模）各項(xiàng)為正的等比數(shù)列滿(mǎn)足：，，則通項(xiàng)公式為．25．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則．26．（2024?金山區(qū)二模）設(shè)公比為2的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則．27．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）無(wú)窮等比數(shù)列滿(mǎn)足：，，則的各項(xiàng)和為．28．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知首項(xiàng)為2的等比數(shù)列的公比為，則．29．（2024?奉賢區(qū)三模）若數(shù)列滿(mǎn)足對(duì)任意整數(shù)有成立，則在該數(shù)列中小于100的項(xiàng)一共有項(xiàng)．30．（2024?寶山區(qū)校級(jí)四模）數(shù)列的最小項(xiàng)的值為．31．（2024?虹口區(qū)二模）已知等比數(shù)列是嚴(yán)格減數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，若，，成等差數(shù)列，則．32．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)四模）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．33．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）數(shù)列滿(mǎn)足，若，，則數(shù)列的前20項(xiàng)的和為．34．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且．設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則．35．（2024?黃浦區(qū)校級(jí)模擬）若項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列，滿(mǎn)足：，2，3，，，我們稱(chēng)其為項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”．例如：數(shù)列1，2，2，1為4項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”；數(shù)列1，2，3，2，1為5項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”．設(shè)數(shù)列為項(xiàng)的“對(duì)稱(chēng)數(shù)列”，其中，，，是公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的最小項(xiàng)等于，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的值為．36．（2024?寶山區(qū)二模）在數(shù)列中，，且，則．37．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）已知有窮數(shù)列的首項(xiàng)為1，末項(xiàng)為12，且任意相鄰兩項(xiàng)之間滿(mǎn)足，，則符合上述要求的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為．38．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列滿(mǎn)足，則．39．（2024?黃浦區(qū)二模）已知數(shù)列是給定的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，且當(dāng)與時(shí)，，，取得最大值，則的值為．40．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)和為，不等式對(duì)任意不等于2的正整數(shù)恒成立，且，那么這樣的數(shù)列有個(gè)．41．（2024?嘉定區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，則此數(shù)列的通項(xiàng)．42．（2024?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列，是公差相等的等差數(shù)列，且，若為正整數(shù)，設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為．43．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列滿(mǎn)足，點(diǎn)在雙曲線上，則．44．（2024?寶山區(qū)二模）某區(qū)域的地形大致如圖1，某部門(mén)負(fù)責(zé)該區(qū)域的安全警戒，在哨位的正上方安裝探照燈對(duì)警戒區(qū)域進(jìn)行探查掃描．假設(shè)1：警戒區(qū)域?yàn)榭諘绲纳拳h(huán)形平地；假設(shè)2：視探照燈為點(diǎn)，且距離地面20米；假設(shè)3：探照燈照射在地面上的光斑是橢圓．當(dāng)探照燈以某一俯角從側(cè)掃描到側(cè)時(shí)，記為一次掃描，此過(guò)程中照射在地面上的光斑形成一個(gè)扇環(huán)，2，3，．由此，通過(guò)調(diào)整的俯角，逐次掃描形成扇環(huán)、、．第一次掃描時(shí)，光斑的長(zhǎng)軸為，米，此時(shí)在探照燈處測(cè)得點(diǎn)的俯角為（如圖．記，經(jīng)測(cè)量知米，且是公差約為0.1米的等差數(shù)列，則至少需要經(jīng)過(guò)次掃描，才能將整個(gè)警戒區(qū)域掃描完畢．45．（2024?普陀區(qū)模擬）設(shè)，，是正整數(shù)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，，若，且，，記，則．46．（2024?浦東新區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列滿(mǎn)足：對(duì)任意，都有，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為．47．（2024?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)三模）已知數(shù)列共有5項(xiàng)，且滿(mǎn)足：①，；②；③，、2、3、4．則滿(mǎn)足條件的數(shù)列共有個(gè)．48．（2024?楊浦區(qū)校級(jí)三模）設(shè)關(guān)于的方程的從小到大的第個(gè)非負(fù)解為，2，3，，若數(shù)列是無(wú)窮等差數(shù)列，且在區(qū)間中的項(xiàng)恰好比在區(qū)間，中的項(xiàng)少2項(xiàng)，則的取值集合為．49．（2024?普陀區(qū)校級(jí)三模）等差數(shù)列滿(mǎn)足，則的最大值為．三．解答題（共11小題）50．（2024?閔行區(qū)校級(jí)三模）如圖，已知正方體頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)每次會(huì)隨機(jī)地沿一條棱向相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)，且向每個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)的概率相同，從一個(gè)頂點(diǎn)沿一條棱移動(dòng)到相鄰頂點(diǎn)稱(chēng)為移動(dòng)一次，若質(zhì)點(diǎn)的初始位置位于點(diǎn)處，記點(diǎn)移動(dòng)次后仍在底面上的概率為．（1）求；（2）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；若，求的最大值．51．（2024?閔行區(qū)校級(jí)模擬）某集團(tuán)投資一工廠，第一年年初投入資金5000萬(wàn)元作為初始資金，工廠每年的生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)能使資金在年初的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)．每年年