專題01 集合與常用邏輯用語-2020-2024年五年高考1年模擬數(shù)學(xué)真題分類匯編（北京專用）（解析版）

2020-2024年五年高考真題分類匯編PAGEPAGE1專題01集合與常用邏輯用語考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢考點(diǎn)1集合（5年幾考）2020-2024一年一考：集合的交并補(bǔ)運(yùn)算1.集合作為高中數(shù)學(xué)的預(yù)備知識內(nèi)容,每年都是高考中的必考題，題型為選擇題,以集合的運(yùn)算為主,多與解不等式等內(nèi)容交匯,新定義運(yùn)算也有較小的可能出現(xiàn),屬于基礎(chǔ)性題目，主要考查考生的運(yùn)算求解能力,提升考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。2.常用邏輯用語是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維的工具，主要考查充分條件與必要條件,容易與函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何內(nèi)容交匯,基礎(chǔ)性和綜合性題目居多.本部分的出錯(cuò)原因主要是與其他知識交匯部分的信息在提取、加工上出現(xiàn)理解錯(cuò)誤,主要考查考生的邏輯思維能力。提升考生的邏輯推理素養(yǎng)?？键c(diǎn)2常用邏輯用語（5年幾考）2020-2024一年一考：充分必要條件的綜合判斷考點(diǎn)01集合1．（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗直接根據(jù)并集含義即可得到答案.【詳析】由題意得.故選：C.2．（2023·北京·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗先化簡集合，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.【詳析】由題意，，，根據(jù)交集的運(yùn)算可知，.故選：A3．（2022·北京·高考真題）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng)．【詳析】由補(bǔ)集定義可知：或，即，故選：D．4．（2021·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗結(jié)合題意利用并集的定義計(jì)算即可.【詳析】由題意可得：.故選：B.5．（2020·北京·高考真題）已知集合，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)交集定義直接得結(jié)果.【詳析】，故選：D.【『點(diǎn)石成金』】本題考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.考點(diǎn)02常用邏輯用語6．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B〖祥解〗根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價(jià)于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳析】因?yàn)椋傻?，即，可知等價(jià)于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.7．（2023·北京·高考真題）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C〖祥解〗解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【詳析】解法一：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成?所以“”是“”的充要條件.故選：C8．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C〖祥解〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.故選：C.9．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳析】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.10．（2020·北京·高考真題）已知，則“存在使得”是“”的（

）．A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C〖祥解〗根據(jù)充分條件，必要條件的定義，以及誘導(dǎo)公式分類討論即可判斷.【詳析】(1)當(dāng)存在使得時(shí)，若為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則；(2)當(dāng)時(shí)，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要條件.故選：C.【『點(diǎn)石成金』】本題主要考查充分條件，必要條件的定義的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，涉及分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.1．（2024·北京西城·三模）設(shè)集合，，則集合（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗先解不等式求集合，再求并集即可.【詳析】由得到，故，又，所以.故選：A.2．（2024·北京西城·三模）對于無窮數(shù)列，定義（），則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D〖祥解〗由遞增數(shù)列的性質(zhì)，分別判斷充分性和必要性即可.【詳析】為遞增數(shù)列時(shí)，有，不能得到為遞增數(shù)列，充分性不成立；為遞增數(shù)列時(shí)，不一定有，即不能得到為遞增數(shù)列，必要性不成立.所以“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D.3．（2024·北京順義·三模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗化簡集合，根據(jù)交集運(yùn)算法則求.【詳析】不等式的解集為，所以，又，所以，故選：B.4．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測）“角與的終邊關(guān)于直線對稱”是“”的（

）A．充分必要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗根據(jù)終邊關(guān)于對稱，得兩角的關(guān)系，再由，得兩角滿足的關(guān)系，根據(jù)充分必要條件的定義即可求解.【詳析】角與的終邊關(guān)于直線對稱,則,,則，“角與的終邊關(guān)于直線對稱”是“”的充分必要條件.故選:A5．（2024·北京通州·三模）已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B〖祥解〗舉出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立.【詳析】不妨設(shè)，此時(shí)滿足，但不滿足，充分性不成立，兩邊平方得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故，解得，必要性成立，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B6．（2024·北京通州·三模）已知為整數(shù)集，，則（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳析】因?yàn)?，所以，故選：A.7．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，則的最大值為（

）A．2 B．0 C． D．-2【答案】C〖祥解〗根據(jù)集合的包含關(guān)系可得求解.【詳析】由于，所以，故的最大值為，故選：C8．（2024·北京海淀·二模）設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，.則“”是“存在最小值”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗根據(jù)充分條件、必要條件的判定以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式判斷即可【詳析】若且公比，則，所以單調(diào)遞增，存在最小值，故充分條件成立.若且時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞減，故最大值為時(shí)，，而,當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞增，故最小值為，，所以的最小值為，即由，存在最小值得不到公比,故必要性不成立.故公比“”是“存在最小值”的充分不必要條件.故選：A9．（2024·北京朝陽·二模）已知集合則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗由題意可得，結(jié)合交集的定義與運(yùn)算即可求解.【詳析】由題意知，，又，所以.故選：B10．（2024·北京朝陽·二模）已知是兩個(gè)互相垂直的平面，是兩條直線，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B〖祥解〗根據(jù)面面垂直的性質(zhì)與線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.【詳析】由題意知，，若，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，與可能相交、平行、垂直.若，由，得.故“”是“”是必要不充分條件.故選：B11．（2024·北京通州·二模）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗先求，再求即可.【詳析】由題意知，，則.故選：B.12．（2024·北京通州·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C〖祥解〗利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可推導(dǎo)得到充分性成立；將代入，可得，進(jìn)而得到必要性成立，從而得到結(jié)論.【詳析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，，，，即，充分性成立；由得：，，即，，即，必要性成立；“”是“”的充分必要條件.故選：C.13．（2024·北京房山·一模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗先求出，再由充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳析】由可得：，解得：，所以“”能推出“”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.14．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)補(bǔ)集的定義即可得解.【詳析】因?yàn)槿?，集合，所?故選：B.15．（2024·北京海淀·一模）設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是兩條直線，且.則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗通過面面平行的性質(zhì)判斷充分性，通過列舉例子判斷必要性.【詳析】，且，所以，又，所以，充分性滿足，如圖：滿足，，但不成立，故必要性不滿足，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.

16．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集的定義求解即得.【詳析】全集，集合，所以.故選：D17．（2024·北京朝陽·一模）已知，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗分，，討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)充分性和必要性的概念確定答案.【詳析】對于函數(shù)當(dāng)時(shí)，，為常數(shù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分而不必要條件.故選：A.18．（2024·北京朝陽·一模）已知全集，，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗求出集合A，再利用補(bǔ)集的定義求解即得.【詳析】全集，則，所以.故選：D19．（2024·北京朝陽·一模）設(shè)A，B為兩個(gè)非空有限集合，定義其中表示集合S的元素個(gè)數(shù).某學(xué)校甲、乙、丙、丁四名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級性考試科目中自主選擇3門參加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為，，，.已知{物理，化學(xué)，生物}，{地理，物理，化學(xué)}，{思想政治，歷史，地理}，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則{思想政治，歷史，生物}；②若，則{地理，物理，化學(xué)}；③若{思想政治，物理，生物}，則；④若，則{思想政治，地理，化學(xué)}.其中所有正確結(jié)論的序號是.【答案】①③〖祥解〗對于①③：直接根據(jù)定義計(jì)算即可；對于②：通過定義計(jì)算得到必為偶數(shù)，討論和兩種情況下的求解即可；對于④：通過舉例{物理，地理，歷史}來說明.【詳析】對于①：，所以，所以，又{地理，物理，化學(xué)}，所以{思想政治，歷史，生物}，①正確；對于②：，即，所以，所以必為偶數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，不符合，所以，且，此時(shí)情況較多，比如{物理，地理，生物}，②錯(cuò)誤；對于③：若{思想政治，物理，生物}，則，所以，③正確；對于④：當(dāng){物理，地理，歷史}時(shí)，，滿足，但不是{思想政治，地理，化學(xué)}，④錯(cuò)誤.故選：①③【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：對于新定義題目，一定要深刻理解定義的意義，然后套用定義進(jìn)行計(jì)算即可，很多時(shí)候新定義題目難度并不很大，關(guān)鍵是要大膽做，用心做.20．（2024·北京西城·三模）記集合.對任意，，記，對于非空集合，定義集合.(1)當(dāng)時(shí)，寫出集合；對于，寫出；(2)當(dāng)時(shí)，如果，求的最小值；(3)求證：.（注：本題中，表示有限集合A中的元素的個(gè)數(shù).）【答案】(1)；(2)5(3)證明見解析〖祥解〗（1）根據(jù)定義直接寫出集合，再根據(jù)的定義寫出；（2）設(shè)，則，則由題意可得，從而可求得結(jié)果；（3）設(shè)A中的所有元素為，，…，，其中，記（），先利用反證法證明這些互不相等，再根據(jù)定義證明即可.【詳析】（1）；若，則.（2）的最小值為5.證明如下：設(shè).因?yàn)?，除外，其?個(gè)元素需由兩個(gè)不同的，計(jì)算得到，所以，解得.當(dāng)時(shí)，有，符合題意.（3）證明：設(shè)A中的所有元素為，，…，，其中.記（），則這些互不相等.證明如下：如果存在，，則，的每一位都相等，所以，的每一位都相等，從而，與集合A中元素的互異性矛盾.定義集合，則.又，所以.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：此題考查集合的新定義，考查集合間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是對集合新定義的正確理解，考查理解能力，屬于難題.21．（2024·北京海淀·二模）設(shè)正整數(shù)，，，這里.若，且，則稱具有性質(zhì).(1)當(dāng)時(shí)，若具有性質(zhì)，且，，，令，寫出的所有可能值；(2)若具有性質(zhì)：①求證：；②求的值.【答案】(1)27或32(2)①證明見解析②〖祥解〗（1）對題目中所給的，我們先通過分析集合中的元素，證明，，以及，然后通過分類討論的方法得到小問1的結(jié)果；（2）直接使用（1）中的這些結(jié)論解決小問2即可.【詳析】（1）對集合，記其元素個(gè)數(shù)為.先證明2個(gè)引理.引理1：若具有性質(zhì)，則.引理1的證明：假設(shè)結(jié)論不成立.不妨設(shè)，則正整數(shù)，但，故一定屬于某個(gè)，不妨設(shè)為.則由知存在正整數(shù)，使得.這意味著對正整數(shù)，有，，但，矛盾.所以假設(shè)不成立，從而一定有，從而引理1獲證.引理2：若具有性質(zhì)，則，且.證明：取集合.注意到關(guān)于正整數(shù)的不等式等價(jià)于，而由引理1有，即.結(jié)合是正整數(shù)，知對于正整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，這意味著數(shù)列恰有項(xiàng)落入集合，即.而兩兩之間沒有公共元素，且并集為全體正整數(shù)，故中的元素屬于且僅屬于某一個(gè)，故.所以，從而，這就證明了引理2的第一個(gè)結(jié)論；再考慮集合中全體元素的和.一方面，直接由知中全體元素的和為，即.另一方面，的全部個(gè)元素可以排成一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以的所有元素之和為.最后，再將這個(gè)集合的全部元素之和相加，得到中全體元素的和為.這就得到，所以有.即，從而，這就證明了引理2的第二個(gè)結(jié)論.綜上，引理2獲證.回到原題.將從小到大排列為，則，由引理2的第一個(gè)結(jié)論，有.若，則，所以每個(gè)不等號都取等，從而，故；情況1：若，則，矛盾；情況2：若，則，所以，得.此時(shí)如果，則，矛盾；如果，則，從而，故；如果，由于，設(shè)，，則，.故對于正整數(shù)對，有，從而，這與矛盾.綜上，的取值只可能是或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的所有可能取值是和.（2）①由引理1的結(jié)論，即知；②由引理2的第二個(gè)結(jié)論，即知.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于，我們通過兩個(gè)方面計(jì)算了一個(gè)集合的各個(gè)元素之和，從而得到了一個(gè)等式，這種方法俗稱“算二次”法或富比尼定理.22．（2024·北京朝陽·二模）設(shè)為正整數(shù)，集合對于，設(shè)集合.(1)若，寫出集合；(2)若，且滿足令，求證：；(3)若，且，求證：.【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.〖祥解〗（1）由題意，即可直接寫出；（2）由可得，結(jié)合可得，即可證明；（3）若且則，進(jìn)而，由（2）可知，分類討論、時(shí)與的大小關(guān)系，即可證明.【詳析】（1）；（2）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，即，，又因?yàn)?，所以，所以，所以；?）對任意，令，若且，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?對，因?yàn)?，由?）可知，令，則.若，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所?若，則，所以.綜上，即.【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：學(xué)生在理解相關(guān)新概念、新定義、新法則(公式)之后，運(yùn)用學(xué)過的知識，結(jié)合已掌握的技能，通過推理、運(yùn)算等解決問題.在新環(huán)境下研究“舊”性質(zhì).主要是將新性質(zhì)應(yīng)用在“舊”性質(zhì)上，創(chuàng)造性地證明更新的性質(zhì)，落腳點(diǎn)仍然是集合相關(guān)知識..23．（2024·北京房山·一模）已知無窮數(shù)列是首項(xiàng)為1，各項(xiàng)均為正整數(shù)的遞增數(shù)列，集合．若對于集合A中的元素k，數(shù)列中存在不相同的項(xiàng)，使得，則稱數(shù)列具有性質(zhì)，記集合數(shù)列具有性質(zhì)．(1)若數(shù)列的通項(xiàng)公式為寫出集合A與集合B；(2)若集合A與集合B都是非空集合，且集合A中的最小元素為t，集合B中的最小元素為s，當(dāng)時(shí)，證明：；(3)若滿足，證明：．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)證明見解析〖祥解〗（1）定義，可知，結(jié)合題中通項(xiàng)公式分析求解；（2）根據(jù)題意可知，可得，即可分析證明；（3）由題意可知：，可知集合在均不在元素，分類討論集合是否為空集，結(jié)合題意利用數(shù)學(xué)歸納法分析證明.【詳析】（1）定義，由題意可知，若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，可知，所以，因?yàn)?只能寫成，不合題意，即；，符合題意，即；，符合題意，即；，符合題意，即；，符合題意，即；，符合題意，即；所以.（2）因?yàn)?，由題意可知：，且，即，因?yàn)?，即存在不相同的?xiàng)，使得可知，所以.（3）因?yàn)?，令，可得，則，即，即集合在內(nèi)均不存在元素，此時(shí)我們認(rèn)為集合在內(nèi)的元素相同；（i）若集合A是空集，則B是空集，滿足；（ⅱ）若集合A不是空集，集合A中的最小元素為t，可知，由（2）可知：集合B存在的最小元素為s，且，設(shè)存在，使得，可知集合在內(nèi)的元素相同,可知，則，因?yàn)?，即，則，可知，且，即集合在內(nèi)的元素相同，可知集合在內(nèi)的元素相同，現(xiàn)證對任意，集合在內(nèi)的元素相同，當(dāng)，可知集合在內(nèi)的元素相同，成立；假設(shè)，集合在內(nèi)的元素相同，可知集合在內(nèi)的元素相同；對于，因?yàn)?，則，若，則，可知，可以認(rèn)為集合在內(nèi)的元素相同；若，則，若存在元素不屬于集合C，則元素屬于集合A，且，可知元素屬于集合B，即數(shù)列中存在不相同的項(xiàng)，使得，則，可知，可知，即集合在內(nèi)的元素相同；綜上所述：對任意，集合在內(nèi)的元素相同，所以集合在內(nèi)的元素相同，結(jié)合n的任意性，可知；綜上所述：.【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：對于新定義問題，要充分理解定義，并把新定義問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)學(xué)過的知識，常常利用數(shù)學(xué)歸納法分析證明.專題01集合與常用邏輯用語考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢考點(diǎn)1集合（5年幾考）2020-2024一年一考：集合的交并補(bǔ)運(yùn)算1.集合作為高中數(shù)學(xué)的預(yù)備知識內(nèi)容,每年都是高考中的必考題，題型為選擇題,以集合的運(yùn)算為主,多與解不等式等內(nèi)容交匯,新定義運(yùn)算也有較小的可能出現(xiàn),屬于基礎(chǔ)性題目，主要考查考生的運(yùn)算求解能力,提升考生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。2.常用邏輯用語是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和思維的工具，主要考查充分條件與必要條件,容易與函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何內(nèi)容交匯,基礎(chǔ)性和綜合性題目居多.本部分的出錯(cuò)原因主要是與其他知識交匯部分的信息在提取、加工上出現(xiàn)理解錯(cuò)誤,主要考查考生的邏輯思維能力。提升考生的邏輯推理素養(yǎng)?？键c(diǎn)2常用邏輯用語（5年幾考）2020-2024一年一考：充分必要條件的綜合判斷考點(diǎn)01集合1．（2024·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C〖祥解〗直接根據(jù)并集含義即可得到答案.【詳析】由題意得.故選：C.2．（2023·北京·高考真題）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】A〖祥解〗先化簡集合，然后根據(jù)交集的定義計(jì)算.【詳析】由題意，，，根據(jù)交集的運(yùn)算可知，.故選：A3．（2022·北京·高考真題）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng)．【詳析】由補(bǔ)集定義可知：或，即，故選：D．4．（2021·北京·高考真題）已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B〖祥解〗結(jié)合題意利用并集的定義計(jì)算即可.【詳析】由題意可得：.故選：B.5．（2020·北京·高考真題）已知集合，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)交集定義直接得結(jié)果.【詳析】，故選：D.【『點(diǎn)石成金』】本題考查集合交集概念，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.考點(diǎn)02常用邏輯用語6．（2024·北京·高考真題）設(shè)，是向量，則“”是“或”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B〖祥解〗根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價(jià)于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.【詳析】因?yàn)?，可得，即，可知等價(jià)于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，無法得出或，例如，滿足，但且，可知充分性不成立；綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.7．（2023·北京·高考真題）若，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C〖祥解〗解法一：由化簡得到即可判斷；解法二：證明充分性可由得到，代入化簡即可，證明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：證明充分性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入即可，證明必要性可由通分后用配湊法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可.【詳析】解法一：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以“”是“”的充要條件.解法二：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，即，即，所?所以必要性成立.所以“”是“”的充要條件.解法三：充分性：因?yàn)?，且，所以，所以充分性成立；必要性：因?yàn)?，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成?所以“”是“”的充要條件.故選：C8．（2022·北京·高考真題）設(shè)是公差不為0的無窮等差數(shù)列，則“為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C〖祥解〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷可得出結(jié)論.【詳析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，記為不超過的最大整數(shù).若為單調(diào)遞增數(shù)列，則，若，則當(dāng)時(shí)，；若，則，由可得，取，則當(dāng)時(shí)，，所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”；若存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，，取且，，假設(shè)，令可得，且，當(dāng)時(shí)，，與題設(shè)矛盾，假設(shè)不成立，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列.所以，“是遞增數(shù)列”“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”.所以，“是遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，”的充分必要條件.故選：C.9．（2021·北京·高考真題）已知是定義在上的函數(shù)，那么“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“函數(shù)在上的最大值為”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗利用兩者之間的推出關(guān)系可判斷兩者之間的條件關(guān)系.【詳析】若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上的最大值為，若在上的最大值為，比如，但在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在上的最大值為推不出在上單調(diào)遞增，故“函數(shù)在上單調(diào)遞增”是“在上的最大值為”的充分不必要條件，故選：A.10．（2020·北京·高考真題）已知，則“存在使得”是“”的（

）．A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C〖祥解〗根據(jù)充分條件，必要條件的定義，以及誘導(dǎo)公式分類討論即可判斷.【詳析】(1)當(dāng)存在使得時(shí)，若為偶數(shù)，則；若為奇數(shù)，則；(2)當(dāng)時(shí)，或，，即或，亦即存在使得．所以，“存在使得”是“”的充要條件.故選：C.【『點(diǎn)石成金』】本題主要考查充分條件，必要條件的定義的應(yīng)用，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，涉及分類討論思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.1．（2024·北京西城·三模）設(shè)集合，，則集合（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗先解不等式求集合，再求并集即可.【詳析】由得到，故，又，所以.故選：A.2．（2024·北京西城·三模）對于無窮數(shù)列，定義（），則“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D〖祥解〗由遞增數(shù)列的性質(zhì)，分別判斷充分性和必要性即可.【詳析】為遞增數(shù)列時(shí)，有，不能得到為遞增數(shù)列，充分性不成立；為遞增數(shù)列時(shí)，不一定有，即不能得到為遞增數(shù)列，必要性不成立.所以“為遞增數(shù)列”是“為遞增數(shù)列”的既不充分也不必要條件.故選：D.3．（2024·北京順義·三模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗化簡集合，根據(jù)交集運(yùn)算法則求.【詳析】不等式的解集為，所以，又，所以，故選：B.4．（2022·山東淄博·模擬預(yù)測）“角與的終邊關(guān)于直線對稱”是“”的（

）A．充分必要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗根據(jù)終邊關(guān)于對稱，得兩角的關(guān)系，再由，得兩角滿足的關(guān)系，根據(jù)充分必要條件的定義即可求解.【詳析】角與的終邊關(guān)于直線對稱,則,,則，“角與的終邊關(guān)于直線對稱”是“”的充分必要條件.故選:A5．（2024·北京通州·三模）已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B〖祥解〗舉出反例得到充分性不成立，再由基本不等式得到必要性成立.【詳析】不妨設(shè)，此時(shí)滿足，但不滿足，充分性不成立，兩邊平方得，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故，解得，必要性成立，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B6．（2024·北京通州·三模）已知為整數(shù)集，，則（

）A． B． C． D．【答案】A〖祥解〗根據(jù)條件，利用集合的運(yùn)算，即可求出結(jié)果.【詳析】因?yàn)?，所以，故選：A.7．（2024·北京海淀·二模）已知集合.若，則的最大值為（

）A．2 B．0 C． D．-2【答案】C〖祥解〗根據(jù)集合的包含關(guān)系可得求解.【詳析】由于，所以，故的最大值為，故選：C8．（2024·北京海淀·二模）設(shè)是公比為的無窮等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，.則“”是“存在最小值”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗根據(jù)充分條件、必要條件的判定以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式判斷即可【詳析】若且公比，則，所以單調(diào)遞增，存在最小值，故充分條件成立.若且時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞減，故最大值為時(shí)，，而,當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，單調(diào)遞增，故最小值為，，所以的最小值為，即由，存在最小值得不到公比,故必要性不成立.故公比“”是“存在最小值”的充分不必要條件.故選：A9．（2024·北京朝陽·二模）已知集合則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗由題意可得，結(jié)合交集的定義與運(yùn)算即可求解.【詳析】由題意知，，又，所以.故選：B10．（2024·北京朝陽·二模）已知是兩個(gè)互相垂直的平面，是兩條直線，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B〖祥解〗根據(jù)面面垂直的性質(zhì)與線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合充分、必要條件的定義即可求解.【詳析】由題意知，，若，當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，與可能相交、平行、垂直.若，由，得.故“”是“”是必要不充分條件.故選：B11．（2024·北京通州·二模）已知集合，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗先求，再求即可.【詳析】由題意知，，則.故選：B.12．（2024·北京通州·二模）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C〖祥解〗利用等差數(shù)列通項(xiàng)和求和公式可推導(dǎo)得到充分性成立；將代入，可得，進(jìn)而得到必要性成立，從而得到結(jié)論.【詳析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，，，，即，充分性成立；由得：，，即，，即，必要性成立；“”是“”的充分必要條件.故選：C.13．（2024·北京房山·一模）“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗先求出，再由充分條件和必要條件的定義求解即可.【詳析】由可得：，解得：，所以“”能推出“”，但“”推不出“”，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A.14．（2024·北京房山·一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B〖祥解〗根據(jù)補(bǔ)集的定義即可得解.【詳析】因?yàn)槿?，集合，所?故選：B.15．（2024·北京海淀·一模）設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是兩條直線，且.則“”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗通過面面平行的性質(zhì)判斷充分性，通過列舉例子判斷必要性.【詳析】，且，所以，又，所以，充分性滿足，如圖：滿足，，但不成立，故必要性不滿足，所以“”是“”的充分而不必要條件.故選：A.

16．（2024·北京海淀·一模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗根據(jù)給定條件，利用補(bǔ)集的定義求解即得.【詳析】全集，集合，所以.故選：D17．（2024·北京朝陽·一模）已知，則“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A〖祥解〗分，，討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)充分性和必要性的概念確定答案.【詳析】對于函數(shù)當(dāng)時(shí)，，為常數(shù)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以“”是“函數(shù)在上單調(diào)遞增”的充分而不必要條件.故選：A.18．（2024·北京朝陽·一模）已知全集，，則（

）A． B． C． D．【答案】D〖祥解〗求出集合A，再利用補(bǔ)集的定義求解即得.【詳析】全集，則，所以.故選：D19．（2024·北京朝陽·一模）設(shè)A，B為兩個(gè)非空有限集合，定義其中表示集合S的元素個(gè)數(shù).某學(xué)校甲、乙、丙、丁四名同學(xué)從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門高中學(xué)業(yè)水平等級性考試科目中自主選擇3門參加考試，設(shè)這四名同學(xué)的選考科目組成的集合分別為，，，.已知{物理，化學(xué)，生物}，{地理，物理，化學(xué)}，{思想政治，歷史，地理}，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則{思想政治，歷史，生物}；②若，則{地理，物理，化學(xué)}；③若{思想政治，物理，生物}，則；④若，則{思想政治，地理，化學(xué)}.其中所有正確結(jié)論的序號是.【答案】①③〖祥解〗對于①③：直接根據(jù)定義計(jì)算即可；對于②：通過定義計(jì)算得到必為偶數(shù)，討論和兩種情況下的求解即可；對于④：通過舉例{物理，地理，歷史}來說明.【詳析】對于①：，所以，所以，又{地理，物理，化學(xué)}，所以{思想政治，歷史，生物}，①正確；對于②：，即，所以，所以必為偶數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，，不符合，所以，且，此時(shí)情況較多，比如{物理，地理，生物}，②錯(cuò)誤；對于③：若{思想政治，物理，生物}，則，所以，③正確；對于④：當(dāng){物理，地理，歷史}時(shí)，，滿足，但不是{思想政治，地理，化學(xué)}，④錯(cuò)誤.故選：①③【『點(diǎn)石成金』】方法『點(diǎn)石成金』：對于新定義題目，一定要深刻理解定義的意義，然后套用定義進(jìn)行計(jì)算即可，很多時(shí)候新定義題目難度并不很大，關(guān)鍵是要大膽做，用心做.20．（2024·北京西城·三模）記集合.對任意，，記，對于非空集合，定義集合.(1)當(dāng)時(shí)，寫出集合；對于，寫出；(2)當(dāng)時(shí)，如果，求的最小值；(3)求證：.（注：本題中，表示有限集合A中的元素的個(gè)數(shù).）【答案】(1)；(2)5(3)證明見解析〖祥解〗（1）根據(jù)定義直接寫出集合，再根據(jù)的定義寫出；（2）設(shè)，則，則由題意可得，從而可求得結(jié)果；（3）設(shè)A中的所有元素為，，…，，其中，記（），先利用反證法證明這些互不相等，再根據(jù)定義證明即可.【詳析】（1）；若，則.（2）的最小值為5.證明如下：設(shè).因?yàn)?，除外，其?個(gè)元素需由兩個(gè)不同的，計(jì)算得到，所以，解得.當(dāng)時(shí)，有，符合題意.（3）證明：設(shè)A中的所有元素為，，…，，其中.記（），則這些互不相等.證明如下：如果存在，，則，的每一位都相等，所以，的每一位都相等，從而，與集合A中元素的互異性矛盾.定義集合，則.又，所以.【『點(diǎn)石成金』】關(guān)鍵點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：此題考查集合的新定義，考查集合間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是對集合新定義的正確理解，考查理解能力，屬于難題.21．（2024·北京海淀·二模）設(shè)正整數(shù)，，，這里.若，且，則稱具有性質(zhì).(1)當(dāng)時(shí)，若具有性質(zhì)，且，，，令，寫出的所有可能值；(2)若具有性質(zhì)：①求證：；②求的值.【答案】(1)27或32(2)①證明見解析②〖祥解〗（1）對題目中所給的，我們先通過分析集合中的元素，證明，，以及，然后通過分類討論的方法得到小問1的結(jié)果；（2）直接使用（1）中的這些結(jié)論解決小問2即可.【詳析】（1）對集合，記其元素個(gè)數(shù)為.先證明2個(gè)引理.引理1：若具有性質(zhì)，則.引理1的證明：假設(shè)結(jié)論不成立.不妨設(shè)，則正整數(shù)，但，故一定屬于某個(gè)，不妨設(shè)為.則由知存在正整數(shù)，使得.這意味著對正整數(shù)，有，，但，矛盾.所以假設(shè)不成立，從而一定有，從而引理1獲證.引理2：若具有性質(zhì)，則，且.證明：取集合.注意到關(guān)于正整數(shù)的不等式等價(jià)于，而由引理1有，即.結(jié)合是正整數(shù)，知對于正整數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，這意味著數(shù)列恰有項(xiàng)落入集合，即.而兩兩之間沒有公共元素，且并集為全體正整數(shù)，故中的元素屬于且僅屬于某一個(gè)，故.所以，從而，這就證明了引理2的第一個(gè)結(jié)論；再考慮集合中全體元素的和.一方面，直接由知中全體元素的和為，即.另一方面，的全部個(gè)元素可以排成一個(gè)首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.所以的所有