【山東卷】.山東省青島市四區(qū)縣（膠州、平度、黃島、城陽(yáng)）2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平檢測(cè)考試（11.6-11.8）數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁(yè)/共20頁(yè)2024－2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)1.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(cosα,sinα)B(cosβ,-sinβ)A.OC.ODB.OA.OCC.OA.A.OC.ODB.OA.OCC.OA.ODD.OB.OC【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算逐一求解，即可求解.【詳解】由題意可得αcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)，OA.OD=cosα,α+β)cosβ-sin(α+β)sinβ=cos(α+β)+β=cos(α+2β)，第2頁(yè)/共20頁(yè)故選：A2.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為a，取然后再取正方形EFGH各邊的中點(diǎn)I，J，K，L，作第3個(gè)正方形IJKL，依此方法一直繼續(xù)下去.則從正方形ABCD開(kāi)始，連續(xù)5個(gè)正方形面積之和為31，則a=()A.1B.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，分別求得前5個(gè)正方形的面積，再結(jié)合條件，即可求解.【詳解】由題意得，第一個(gè)正方形ABCD邊長(zhǎng)為a，面積為a2，第二個(gè)正方形EFGH邊長(zhǎng)為面積為，第三個(gè)正方形IJKL邊長(zhǎng)為面積為，第四個(gè)正方形MNOP邊長(zhǎng)為面積為，第五個(gè)正方形QRST邊長(zhǎng)為面積為，由題有第3頁(yè)/共20頁(yè)故選：D.A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量垂直及數(shù)量積運(yùn)算律、定義可得1-2cos即可求夾角.所以故選：B2-3x+2A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】解不等式得A，根據(jù)集合的基本關(guān)系確定a的范圍結(jié)合充分、必要條件的定義判定即可.所以a>0是A二B的必要不充分條件.故選：B.5.若正數(shù)x,y滿(mǎn)足x2-2xy+2=0，則x+y的最小值是()第4頁(yè)/共20頁(yè) 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得利用基本不等式求解.當(dāng)且僅當(dāng)=，即x=時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)y=>0符合題意. 所以x+y的最小值為6.故選：A.6.如圖，已知函數(shù)f(x)=cos(①x+φ)，點(diǎn)A，B是直線(xiàn)y=與函數(shù)y=fx的圖象的兩個(gè)交點(diǎn)，若ππ A.B.C.D.2222【分析】根據(jù)條件，利用y=cosx的圖象與性質(zhì)，可求得①,結(jié)合圖象，利用f可求得2第5頁(yè)/共20頁(yè)所以，得到w=2，所以，得到w=2，故選：C.7.2024年1月1日，第五次全國(guó)經(jīng)濟(jì)普查正式啟動(dòng).甲、乙、丙、丁、戊5名普查員分別去城東、城南、城西、城北四個(gè)小區(qū)進(jìn)行數(shù)據(jù)采集，每個(gè)小區(qū)至少去一名普查員，若甲不去城東，則不同的安排方法共有()A.36種B.60種C.96種D.180種【答案】D【解析】【分析】按城東去1人和2人分類(lèi)，再結(jié)合分組分配列式計(jì)算即得.【詳解】城東去1人，不同安排方法為CCA=144（種城東去2人，不同安排方法是CA=36（種所以不同的安排方法共有144+36=180（種）.故選：D第6頁(yè)/共20頁(yè)f(x1)≤f(x2)，則f(10)=()1A.2B.1C.D.02【答案】A【解析】【分析】根據(jù)f()=和f(|(),=，再由當(dāng)0≤x1<x2≤1時(shí)，f(x1)≤f(x2)，可得x∈[,]時(shí)，再利用條件f()=f(x)將10逐步轉(zhuǎn)化到[,]內(nèi)，代入求解即可.【詳解】由f(x)=5x)可得f()=f(x)中令x=1可得f()=，≤1時(shí)，f所以x∈[,]時(shí)，f(x)=，所以故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)f和f再由當(dāng)0≤x1<x2≤1時(shí)，f(x1)≤f(x2)，可得(1)6(y,(y,A.x4y一2的系數(shù)為15B.各項(xiàng)系數(shù)之和為1第7頁(yè)/共20頁(yè)C.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第3項(xiàng)D.系數(shù)最大項(xiàng)是第3項(xiàng)或第5項(xiàng)【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式計(jì)算后可判斷ACD的正誤，利用賦值法可求各項(xiàng)系數(shù)之和，故可判斷B的正誤.的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=Cx6-rx6-ry-r，對(duì)于A，取6-r=4，則r=2，故x4y-2的系數(shù)為(-1)2C=15，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)閤6-ry-r，對(duì)于CD，由展開(kāi)式的通項(xiàng)可得展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)依次為：1,-6,15,-20,15,-6,1，故二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是第3項(xiàng)或第5項(xiàng)，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：AD.nA.數(shù)列{an}為等差數(shù)列B.an=【答案】BCD【解析】【分析】選項(xiàng)A，根據(jù)條件，利用等差數(shù)列的定義，即可判斷選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)B，根據(jù)條件，利用累加法，即可判斷選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B可得再利用裂項(xiàng)相消法，即可判斷選項(xiàng)的正誤；選項(xiàng)D，構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(x+1)-x(x>0)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，得到ln(x+1)<x在x∈(0,+∞)上恒成立，從而有l(wèi)n(k+1)<k,k∈N*，再利用數(shù)學(xué)歸納法，即可判斷選項(xiàng)的正誤.不為等差數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，第8頁(yè)/共20頁(yè)n對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知an=得到所以故選項(xiàng)C正確，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明成立，當(dāng)n=1，不等式左邊等于0，不等式右邊等于0，所以n=1時(shí)，等式成立，故選：BCD.【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵在于選項(xiàng)D，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(x+1)一x(x>0)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系得ln(x+1)<x在x∈(0,+∞)上恒成立，從而有l(wèi)n(k+1)<k,k∈N*，再利用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明即可.11.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，a=2，c=平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q為AC中點(diǎn)則第9頁(yè)/共20頁(yè)C.若點(diǎn)P為BC中點(diǎn)，則2【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可判斷△ABC為等腰三角形，故可判斷AD的正誤，結(jié)合投影向量的性質(zhì)可判斷△ABC為直角三角形，故可判斷B的正誤，根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算可判斷C的正誤.22即AC=AB故A正確；故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，故?0頁(yè)/共20頁(yè)對(duì)于因?yàn)榫鶠閱挝幌蛄?，故上BAC的角平分線(xiàn)與BC垂直，故AB=AC，取BC的中點(diǎn)為S，連接AS，則AS丄BC，且AB+AC=2AS，故D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)≥0為R上增函數(shù)，寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足要求的g(x)的解析式【答案】g(x)=x1（答案不唯一）【解析】【分析】利用分段函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合條件，即可求解.因?yàn)閤≥0時(shí)，f(x)=ln(1+x)在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增，第11頁(yè)/共20頁(yè)所以g(x)=x1時(shí)，函數(shù)f(x≥0為R上的增函數(shù)，故答案為：g(x)=x1（答案不唯一）13.記Tn為正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)積，Tn=，則T2024=______.【答案】2025【解析】Tn【分析】由數(shù)列{an}的前Tn=，利用賦值法令n=1可求得a1=2，將表達(dá)式化簡(jiǎn)可得數(shù)列n}是等差數(shù)列，求出通項(xiàng)即可.故答案為：202514.某警察學(xué)院體育比賽包括“射擊”、“游泳”、“折返跑”、“百米接力”、“傷員搬運(yùn)”、“400米障礙”六個(gè)項(xiàng)目，規(guī)定：每個(gè)項(xiàng)目前三名得分依次為a，b，c，其中(a>b>c,a,b,c∈N*)，選手的最終得分為各場(chǎng)得分之和.最終甲、乙、丙三人包攬了每個(gè)項(xiàng)目的前三名，在六個(gè)項(xiàng)目中，已知甲最終得分為26分，乙最終得分為12分，丙最終得分為10分，且丙在“射擊”這個(gè)項(xiàng)目中獲得了第一名，那么a=，“游泳”這個(gè)項(xiàng)目的第二名是.【答案】①.5②.乙【解析】【分析】根據(jù)得分總和可得a+b+c=8，結(jié)合反證法可得a=5,b=2，再就甲在除射擊外的5個(gè)項(xiàng)目中的得分分類(lèi)討論后可得游泳中的第二名.【詳解】因?yàn)榧滓冶鼣埩嗣總€(gè)項(xiàng)目的前三名，故它們的得分總和為6(a+b+c)=26+12+10=48，故第12頁(yè)/共20頁(yè)若a=4,b=3，則丙在除射擊外的但其余5個(gè)項(xiàng)目丙拿5分或7分以上，矛盾；故a=5,b=2，所以丙在除射擊外的5個(gè)項(xiàng)目中每個(gè)項(xiàng)目均拿1分，共計(jì)5分；甲共計(jì)26分，則甲在除射擊外的5個(gè)項(xiàng)目中拿24分或25分，若甲在除“射擊”外的5個(gè)項(xiàng)目中拿25分，則甲在射擊項(xiàng)目中拿1分，其余5個(gè)項(xiàng)目中每個(gè)項(xiàng)目都拿5分，若甲在除“射擊”外的5個(gè)項(xiàng)目中拿24分，故甲在射擊中拿2分，乙拿1分，則其余5個(gè)項(xiàng)目中，甲在4個(gè)項(xiàng)目中每個(gè)項(xiàng)目拿5分，1個(gè)項(xiàng)目中拿2分，此時(shí)甲的總分達(dá)不到26分，故答案為：5，乙.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于邏輯推理題，我們需從題設(shè)條件中挖掘一些等量關(guān)系，而且要結(jié)合數(shù)據(jù)的特征作出合理的分類(lèi).15.已知函數(shù)sin2x+cos4x.（1）求f(x)的最大值及相應(yīng)x的取值集合；（2）設(shè)函數(shù)g(x)=f(①x)(①>0)，若g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求①的取值范圍.【解析】【分析】（1）利用二倍角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)，再利用正弦函數(shù)性質(zhì)求解即得.第13頁(yè)/共20頁(yè)（2）求出函數(shù)g(x)解析式，確定相位的范圍，再結(jié)正弦函數(shù)的單調(diào)性列式求解即得.【小問(wèn)1詳解】此時(shí)，x的取值集合為【小問(wèn)2詳解】(x)在區(qū)間(|(0,),上單調(diào)遞增，所以①的取值范圍是16.記數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，a1=2，且a2是a1和a4的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；10}為等比數(shù)列；【解析】【分析】（1）利用基本量法求得公差為4，從而可求{an}的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)（1）求出bn+1一bn=102n，判斷其符號(hào)后可得bn取最大值時(shí)n的值.【小問(wèn)1詳解】第14頁(yè)/共20頁(yè)【小問(wèn)2詳解】3而bn+2=3bn+1-2bn-10，故bn+2-bn+1-10=2(bn+1-bn-10)，所以{bn+1-bn-10}為等比數(shù)列且公比為2，首項(xiàng)為-2.n+1-bn-10=-2×2n-1，所以bn+1-bn=10-2n，≥4時(shí)，bn+1-bn<0，故b1n故bn取最大值時(shí)n=4.17.在△ABC中，記角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，acosC+·asinC-b-c=0.（1）求A；（2）12-6，θ=【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，利用正弦定理邊轉(zhuǎn)角，再利用三角形的性質(zhì)和正弦的和角公式，得到·sinA-cosA-1=0，結(jié)合輔助角公式求解；（2）由正弦定理可得出DF，OE，再利用三角形的面積公式和兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由acosC+asinC-b-c=0，得到sinAcosC+sinAsinC-sinB-sinC=0，第15頁(yè)/共20頁(yè) 又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，所以3sinAsinC-cosAsinC-sinC=0，又sinC≠0，得到3sinA-cosA【小問(wèn)2詳解】θ. 在△CDF中，因?yàn)樗訢F=，在△BDE中，因?yàn)樗訢E=，所以化簡(jiǎn)可得sin2θ18.已知函數(shù)f(x)=eax-x-1.（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；第16頁(yè)/共20頁(yè)（2）求證：當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)；.（3）若對(duì)任意的實(shí)數(shù)k，b，曲線(xiàn)y=f(x)+kx+b與直線(xiàn)y=kx+b總相切，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為“A函數(shù)”.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析（3）-1【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，分類(lèi)討論求f(x)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)條件，將f(x)的零點(diǎn)問(wèn)題化成g(x)=ax-ln(x+1)的零點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合條件，利用函數(shù)的單調(diào)性即可證明結(jié)果；（3）利用“A函數(shù)”的定義，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得m=x-1，然后結(jié)合x(chóng)0是方程ex0-x0-1=0的根，構(gòu)造函數(shù)h(x)=ex-x-1，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系得到x0=0，即可求解.【小問(wèn)1詳解】易知函數(shù)定義域?yàn)镽，因?yàn)閒(x)=eax-x-1，則f’(x)=aeax-1，ax-1≤-1，所以f(x)在區(qū)間(-∞,+∞)上單調(diào)遞減，ax-1為增函數(shù)，所以當(dāng)x>-時(shí)，f′x>0，即f(x)在區(qū)間(|(-,+∞),單調(diào)遞增，當(dāng)x<-時(shí)，f′x<0，即f(x)在區(qū)間(|(-∞,-),單調(diào)遞減，綜上得：當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的減區(qū)間為(-∞,+∞)，無(wú)增區(qū)間；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的增區(qū)間為，減區(qū)間為【小問(wèn)2詳解】第17頁(yè)/共20頁(yè)所以f(x)有零點(diǎn)，則零點(diǎn)只能在區(qū)間(-1,+∞)上，，則f(x)零點(diǎn)可以轉(zhuǎn)化為g(x)的零點(diǎn)，即g(x)在(-1,x0)上遞減，在(x0,+∞)上遞增，故g(x)在(-1,x0)內(nèi)存在唯一零點(diǎn)x=0，又x→+∞時(shí)，g(x)→+∞,故g(x(x)只有兩個(gè)零點(diǎn)，故當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)f(x)只有兩個(gè)零點(diǎn).【小問(wèn)3詳解】x(ex-2x)+m是“A函數(shù)”，且g’(x設(shè)函數(shù)y=g(x)+kx+b與直線(xiàn)y=kx+b切點(diǎn)(x0,y0)，{，0)所以m=-ex0(ex-2x0)=-(x0+1)(x0+1-2x0)=x02-1，因?yàn)閑x0=x0+1，所以x0是方程ex0-x0-1=0的根，當(dāng)x>0時(shí)，?′x>0，?x單調(diào)遞增