2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第1章集合常用邏輯用語不等式第1節(jié)集合教師用書教案理新人教版

PAGE第1章集合、常用邏輯用語、不等式全國卷五年考情圖解高考命題規(guī)律把握1.考查形式本章在高考中一般考查2～4個(gè)小題，選擇題、填空題均可能出現(xiàn).2.考查內(nèi)容從考查內(nèi)容看，集合主要考查兩個(gè)方面：一是集合的概念及表示；二是集合的基本運(yùn)算．常用邏輯用語主要從四個(gè)方面考查，分別為命題及其關(guān)系、充分必要條件的推斷、邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”以及全稱量詞與存在量詞．不等式主要考查一元二次不等式的解法和簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃問題.集合[考試要求]1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的詳細(xì)問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；在詳細(xì)情境中，了解全集與空集的含義.3.(1)理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)潔集合的并集與交集．(2)理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集．(3)能運(yùn)用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算．1．集合與元素(1)集合中元素的三個(gè)特性：確定性、互異性、無序性．(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于，用符號(hào)∈和?表示．(3)集合的表示方法：列舉法、描述法、Venn圖法．(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集符號(hào)NN*(或N＋)ZQR提示：依據(jù)元素的互異性可推斷所求參數(shù)的值是否符合要求．2．集合間的基本關(guān)系關(guān)系自然語言符號(hào)語言Venn圖子集集合A中全部元素都在集合B中(即若x∈A，則x∈B)A?B或B?A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一個(gè)元素不在集合A中AB或BA集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互為子集A＝B提示：?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本運(yùn)算運(yùn)算自然語言符號(hào)語言Venn圖交集由屬于集合A且屬于集合B的全部元素組成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由全部屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}補(bǔ)集由全集U中不屬于集合A的全部元素組成的集合?UA＝{x|x∈U且x?A}eq\o([常用結(jié)論])1．對(duì)于有限集合A，其元素個(gè)數(shù)為n，則集合A的子集個(gè)數(shù)為2n，真子集個(gè)數(shù)為2n－1，非空真子集個(gè)數(shù)為2n－2.2．A∪B＝A?B?A，A∩B＝A?A?B．一、易錯(cuò)易誤辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集． ()(2){x|y＝x2}＝{y|y＝x2}＝{(x，y)|y＝x2}． ()(3)若{x2，1}＝{0,1}，則x＝0,1. ()(4)直線y＝x＋3與y＝－2x＋6的交點(diǎn)組成的集合是{1,4}． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材習(xí)題衍生1．若集合A＝{x∈N|x≤eq\r(2021)}，a＝2eq\r(2)，則下列結(jié)論正確的是()A．{a}?AB．a(chǎn)?AC．{a}∈AD．a(chǎn)?AD[a＝2eq\r(2)?N，則a?A，故選D．]2．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，集合B＝{x|x－1＜0}，則A∩B＝________，A∪B＝________.(－2,1)(－∞，3)[∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|－2＜x＜1}，A∪B＝{x|x＜3}．]3．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是銳角}，B＝{x|x是鈍角}，則?U(A∪B)＝________.[答案]{x|x是直角}4．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，則集合M∪N的子集的個(gè)數(shù)為________．64[∵M(jìn)＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∪N＝{0,1,2,3,4,5}，∴M∪N的子集有26＝64個(gè)．]考點(diǎn)一集合的含義與表示解決與集合中的元素有關(guān)問題的一般思路1．(2024·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，則A中元素的個(gè)數(shù)為()A．9B．8C．5D．4A[由x2＋y2≤3知，－eq\r(3)≤x≤eq\r(3)，－eq\r(3)≤y≤eq\r(3).又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1,0,1}，y∈{－1,0,1}，所以A中元素的個(gè)數(shù)為Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＝9，故選A．]2．已知a，b∈R，若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，\f(b,a)，1))＝{a2，a＋b,0}，則a2021＋b2021＝________.－1[由已知得a≠0，則eq\f(b,a)＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1，又依據(jù)集合中元素的互異性可知a＝1應(yīng)舍去，因此a＝－1，故a2021＋b2021＝(－1)2021＋02021＝－1.]3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝________.0或eq\f(9,8)[當(dāng)a＝0時(shí)，明顯成立；當(dāng)a≠0時(shí)，Δ＝(－3)2－8a＝0，即a＝eq\f(9,8).]考點(diǎn)二集合間的基本關(guān)系推斷集合關(guān)系的三種方法[典例1](1)已知集合A＝{x|y＝eq\r(1－x2)，x∈R}，B＝{x|x＝m2，m∈A}，則()A．ABB．BAC．A?BD．B＝A(2)(2024·武漢模擬)集合{x|－1＜x＜3，x∈N*}的非空子集個(gè)數(shù)為()A．3B．4C．7D．8(3)已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．(1)B(2)A(3)(－∞，2][(1)由1－x2≥0得－1≤x≤1，則A＝{x|－1≤x≤1}，由－1≤m≤1得0≤m2≤1，則B＝{x|0≤x≤1}，所以BA，故選B．(2){x|－1＜x＜3，x∈N*}＝{1,2}，其非空子集個(gè)數(shù)為3，故選A．(3)A＝{x|－1＜x＜3}．①若B＝?，滿意B?A，此時(shí)2－a≥1＋a，即a≤eq\f(1,2).②若B≠?，由B?A得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a＜1＋a,2－a≥－1,1＋a≤3))，解得eq\f(1,2)＜a≤2.由①②知a的取值范圍為(－∞，2]．]點(diǎn)評(píng)：(1)已知兩個(gè)集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿意的關(guān)系，常用數(shù)軸、Venn圖等來直觀解決這類問題．(2)空集是任何集合的子集，當(dāng)題目條件中有B?A時(shí)，應(yīng)分B＝?和B≠?兩種狀況探討，確定參數(shù)所滿意的條件時(shí)，肯定要把端點(diǎn)值代入驗(yàn)證，否則易增解或漏解．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(2024·北京模擬)已知集合M＝{x∈R|x≥0}，N?M，則在下列集合中符合條件的集合N可能是()A．{0,1} B．{x|x2＝1}C．{x|x2＞0} D．RA[因?yàn)?∈M,1∈M，所以{0,1}?M，故選A．]2．若集合A＝{1，m}，B＝{m2，m＋1}，且A＝B，則m＝()A．0B．1C．±1D．0或1A[由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋1＝1,m2＝m，))解得m＝0，故選A．]考點(diǎn)三集合的基本運(yùn)算集合運(yùn)算三步驟集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算[典例2－1](1)(2024·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為()A．2B．3C．(2)設(shè)集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{x|x2－1＜0}，則A∪B等于()A．(－1,1) B．(0,1)C．(－1，＋∞) D．(0，＋∞)(1)C(2)C[(1)由題意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的個(gè)數(shù)為4，選C．(2)∵A＝{y|y＞0}，B＝{x|－1＜x＜1}，∴A∪B＝(－1，＋∞)，故選C．]點(diǎn)評(píng)：集合運(yùn)算的常用方法(1)若集合中的元素是離散的，常用Venn圖求解．(2)若集合中的元素是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要留意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心．依據(jù)集合的運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)[典例2－2](1)(2024·全國卷Ⅰ)設(shè)集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，則a＝()A．－4B．－2C．(2)(2024·秦皇島模擬)若集合A＝{x|x≥3－2a}，B＝{x|(x－a＋1)(x－a)≥0}，A∪B＝R，則實(shí)數(shù)aA．[2，＋∞) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4,3)))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞)) D．(－∞，2](1)B(2)C[(1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因?yàn)锳∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－eq\f(a,2)＝1，解得a＝－2.故選B．(2)B＝{x|x≥a或x≤a－1}，由A∪B＝R得3－2a≤a－1，解得a≥eq\f(4,3)，故選C．]eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(2024·天津高考)設(shè)集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x＜3}，則(A∩C)∪B＝()A．{2} B．{2,3}C．{－1,2,3} D．{1,2,3,4}D[由題意可知A∩C＝{1,2}，則(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}，故選D．]2．已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|3x＜1}，則()A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝?A[B＝{x|3x＜1}＝{x|x＜0}，又A＝{