2025年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破訓(xùn)練：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題【七大題型】（含答案及解析）

重難點(diǎn)04利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題【七大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1直接法解決不等式恒（能）成立問題】..................................................3

【題型2分離參數(shù)法求參數(shù)范圍】..............................................................3

【題型3分類討論法求參數(shù)范圍】..............................................................4

【題型4構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】..............................................5

【題型5與不等式恒（能）成立有關(guān)的證明問題】................................................5

【題型6洛必達(dá)法則】.........................................................................6

【題型7雙變量的恒（能）成立問題】..........................................................8

?命題規(guī)律

1、利用導(dǎo)數(shù)不等式恒（能）成立問題

恒（能）成立問題是高考的常考考點(diǎn)，是高考的熱點(diǎn)問題，其中不等式的恒（能）成立問題經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)及

其幾何意義、函數(shù)、方程等相交匯，綜合考查分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難

度較大，解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1不等式恒（能）成立問題的解題策略】

1.不等式恒（能）成立問題的求解方法

解決不等式恒（能）成立問題主要有兩種方法：

（1）分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題

①分離變量：根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等

式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，進(jìn)而解決問題.

②恒成立U>a，/（x）max；

。&/（X）恒成立。&/（x）min；

a2/（x）能成立a2fix）min；

。W/G）能成立a^f（x）max.

（2）分類討論法解決恒（能）成立問題

分類討論法解決恒（能）成立問題，首先要將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)

行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個(gè)值或一

段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.

【知識(shí)點(diǎn)2雙變量的恒(能)成立問題的解題策略】

1.雙變量的恒(能)成立問題的求解方法

“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實(shí)質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進(jìn)行等價(jià)變換，常見的等價(jià)

變換有：

對(duì)于某一區(qū)間/,

)

(l)VXj,X2e>g(》2/Wmin>g(x)max.

(2)VXlEll,BX2Gl2,/(%i)>g(&)/(%)min>g(x)min.

)，

(3)3XGe2,/(均>g(x2)/(x)max>gG)max.

【知識(shí)點(diǎn)3洛必達(dá)法則】

“洛必達(dá)法則”是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，用分離參數(shù)法(避免分類討論)解決成立或恒成立命題時(shí)，

000

經(jīng)常需要求在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)(最)值，若出現(xiàn)萬型或益型可以考慮使用洛必達(dá)法則.

1.洛必達(dá)法則

法則1若函數(shù)人X)和g(x)滿足下列條件:

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，外)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)W0;

f(x)

⑶吧國=心

那么lim*=lim筆=/.

ig{x)…g⑴

法則2若函數(shù)段)和8任)滿足下列條件:

⑴lim/(x)=8及l(fā)img(x)=oo；

x—>a

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，4)與g(x)可導(dǎo)且g(x)W0；

rf(x)

(3)im=A,

xTa7gw

那么配線r(x)

hrm、=A,

ig⑴

2.用洛必達(dá)法則處理抵型函數(shù)的步驟:

(1)分離變量;

(2)出現(xiàn)《型式子；

(3)運(yùn)用洛必達(dá)法則求值.

00

3.用洛必達(dá)法則處理省型函數(shù)的步驟:

(1)分離變量；

⑵出現(xiàn)楙型式子；

（3）運(yùn)用洛必達(dá)法則求值.

【注意】：

1.將上面公式中的x―a,x—oo換成x—>+oo,x—>-oo,x->a+,xTa一,洛必達(dá)法則也成立.

2.洛必達(dá)法則可處理/譚,0?co,產(chǎn),8。,0。,8—8型求極限問題.

3.在著手求極限前，首先要檢查是否滿足，號(hào),0-S,：T,?A0°,8—8型定式，否則濫用洛必達(dá)法則

會(huì)出錯(cuò)，當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極

限.

4.若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

==如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.

x—^agwxTagwx—ag（%）

?舉一反三

【題型1直接法解決不等式恒（能）成立問題】

【例1】（2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模）若=2e+lnax在比6（0,+8）上恒成立，貝ija的最大值為（）

A.?B.2e?eC.e-eD.e1+^-e

【變式1-1]（2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè)）已知不等式In久專+在W0有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍為（）

A.（—8,一田B.（—00,0）C.[―.+8）D.[0,+oo）

【變式1-2]（2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于％的不等式（e—l）（lna+x）2ae，—1在尤6[0,1]內(nèi)有解，則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是（）

A-[今副B-[|<e]C白副D.g,e]

【變式1-3]（2024?甘肅蘭州?三模）已知函數(shù)/（無）=磊—爐，對(duì)于任意的xe（1,2],不等式/（若）+/

，黑<、）<1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（）

\（x-l）2（x—6）/

A.（1,+8）B.[—1,1]C.（—8,—1]D.（-00,-1）

【題型2分離參數(shù)法求參數(shù)范圍】

【例2】（2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè)）已知QEN*,函數(shù)一廿>（）恒成立，貝ija的最大值為（）

A.2B.3C.6D.7

【變式2-1](2024?四川宜賓?二模)已知不等式l-ln%有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(

A.(-《1+8)B.(_1+8)C.(-8消)D.(-8,)

【變式2-2](2024?四川成都?三模)若％E[0,+8),%2+a%+i<e、恒成立，則實(shí)數(shù)Q的最大值為(

A.eB.2C.e-1D.e-2

-11

x2

【變式2-3](2024?四川南充?三模)已知函數(shù)/(x)=/3,g(x)=e--x-x,3x1；x2G[1,2]^

|9(巧)一9(>2)|>同〃>1)一/02)|色為常數(shù))成立，則常數(shù)k的取值范圍為()

A.(-oo,e-2]B.(-oo,e-2)C.(-8,^^]D.(-8,^^)

【題型3分類討論法求參數(shù)范圍】

、,,2

【例3】(2024?廣東汕頭?三模)已知函數(shù)/'(%)=Inx—ax,gQ)=嬴口力0.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)Wg(x)恒成立，求a的最小值.

【變式3-1](2024?四川瀘州?二模)已知函數(shù)f(x)=2%3-a%2+2(a>0).

(1)求曲線y=/(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線方程；

⑵若士e[-1,1],|/Q)|23,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

【變式3-2](2024?北京?三模)已知函數(shù)fQ)=ln(x+l)+k(x+l).

(1)求/'CO的單調(diào)區(qū)間；

(2)若f(x)W-1恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)求證：察〈辿尸.(九6N且2)

【變式3-3](2024?四川?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=axlnx-2x+6(a,bGR)在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程

為y=-x.

(1)求函數(shù)f(x)的極值；

(2)設(shè)g(x)=砂|%/(3+2]+mx(.meR),若g(x)>0恒成立，求TH的取值范圍.

【題型4構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒(能)成立問題】

【例4】(2024?四川樂山?二模)若存在與6[—1,2],使不等式Xo+(e2-l)lna2商+e2%o—2成立，則a的

取值范圍是()

A-[今翻B.[評(píng)]C.曲4]D.[”]

【變式4-1](2024?甘肅蘭州?二模)若關(guān)于x的不等式e*+久+21n：2nl/+1所恒成立，則實(shí)數(shù)力的最大

值為()

A.1B.fC.fD.e2

N4Z

/\x+a

【變式4-2](2023?河南開封?模擬預(yù)測(cè))若存在xe[l,+8),使得關(guān)于久的不等式(l+口12e成立，則

實(shí)數(shù)a的最小值為()

11

A.2B.—C,In2-1D.蔽-1

【變式4-3](2024?江西贛州?二模)已知函數(shù)/'(%)=e-+1,g(%)=(1+若Ng(%),則左的取

值范圍為()

A.(0,e]B.[e,+8)C.白，+8)D.(0,]

【題型5與不等式恒(能)成立有關(guān)的證明問題】

【例5】(2024?云南昆明?三模)已知函數(shù)/(%)=e%-sina%；

(1)當(dāng)a=-1時(shí)，證明：對(duì)任意xe(-,+8),/(x)>0；

(2)若x=。是函數(shù)y(X)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.

【變式5-1］(2024?青海?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/'(%)=6球+聶2一5(aeR).

(1)當(dāng)a=l時(shí),求/(久)的最值；

(2)當(dāng)時(shí),證明：對(duì)任意的久~x2G［-2,2］,都有|f(%i)-f(%2)lWe2-1.

【變式5-2］(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/'(x)=ae'(aK0)應(yīng)(久)=/0(久)為g(x)的導(dǎo)函數(shù).

(1)證明：當(dāng)a=l.時(shí)，Vxe(0,+oo),f(x)>

(2)若/(久)與gQ)有兩條公切線，求a的取值范圍.

【變式5-3］(2024?貴州六盤水?三模)若函數(shù)/(%)在［a,句上有定義，且對(duì)于任意不同的犯,小e口切，都有

\f(.x1)-f(x2)\<k\x1-x2\，則稱f(x)為［a,句上的*類函數(shù)”

(1)若/'(x)=X2,判斷/(%)是否為［1,2］上的“4類函數(shù)”；

o1_

(2)^/(%)=-Inx+(a+l)x+嚏為［l,e］上的“2類函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

⑶若f(久)為［1,2］上的“2類函數(shù)”且f(l)=f(2),證明：V%!，X2G［1,2］,|/(xi)-/(x2)l<1.

【題型6洛必達(dá)法則】

【例6】(23-24高二下?全國?期末)若不等式sin%>%-a%3對(duì)于%￡(0,)恒成立，求a的取值范圍.

1

【變式6-1](2023iWi三,全國,專題練習(xí))已知函數(shù)/(久)=。111萬+6%(￡1/67?)在久=5處取得極值，且曲線

y=/(x)在點(diǎn)(1/(1))處的切線與直線x—y+1=0垂直.

(1)求實(shí)數(shù)a,6的值；

(2)若Vxe[1,+8),不等式/(x)W(m-2)x-?'亙成立，求實(shí)數(shù)zn的取值范圍.

【變式6-2](2024?浙江?二模)①在微積分中，求極限有一種重要的數(shù)學(xué)工具一洛必達(dá)法則，法則中有

結(jié)論：若函數(shù)/'(%),g(x)的導(dǎo)函數(shù)分別為。(x),g'(x)，且limf(x)=limgO)=0,則

x->ax->a

%->a八G(x)JQ''M7

②設(shè)。>0,左是大于1的正整數(shù)，若函數(shù)/(%)滿足：對(duì)任意久e[0,a],均有/(%)之/停)成立，且理/(%)

=。，則稱函數(shù)/(x)為區(qū)間[。,a]上的k階無窮遞降函數(shù).

結(jié)合以上兩個(gè)信息，回答下列問題：

⑴試判斷/■⑶=久3-3久是否為區(qū)間[0,3]上的2階無窮遞降函數(shù);

1

(2)計(jì)算:lim(l+%)x；

3

(3)證明:<COSX,XG

【變式6-3](23-24高二下?廣東珠海?期末)在研究函數(shù)問題時(shí)，我們經(jīng)常遇到求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上值域的

問題，但函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)又恰好沒有意義的情況，此時(shí)我們就可以用函數(shù)在這點(diǎn)處的極限來刻畫該點(diǎn)附近

數(shù)的走勢(shì)，從而得到數(shù)在區(qū)間上的值域.求極限我們有多種方法，其中有一種十分簡(jiǎn)單且好用的方法——洛

必達(dá)法則

該法則表述為：“設(shè)函數(shù)/(*),g(x)滿足下列條件：

(r)lim/(x)=0,lim^(x)=0：

x->a%->a

②在點(diǎn)a處函數(shù)和g(x)的圖像是連續(xù)且光滑的，即函數(shù)/(X)和g(x)在點(diǎn)a處存在導(dǎo)數(shù)；

③即黑=4其中/是某固定實(shí)數(shù)；

則=嚕=4”

廠心出x—心(X)

那么，假設(shè)有函數(shù)/'(久)=ex,g(x)=tx+1.

⑴若f(久)>g(x)恒成立，求t的取值范圍；

(2)證明：ex-lnx>2.

【題型7雙變量的恒(能)成立問題】

[例7](2023?四川瀘州?一模)已知函數(shù)/'(X)=ax+1-xlnx的圖像在x=1處的切線與直線久-y=0平行.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若以1，刀26(0,+8),且％1>刀2時(shí)，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【變式7-1](2023?四川自貢?二模)已知函數(shù)/(x)=ae，—/有兩個(gè)極值點(diǎn)打、電

(1)求a的取值范圍；

(2)若冷23xi時(shí)，不等式工1+丘222*62恒成立，求2的最小值.

【變式7-2](2024?全國?二模)已知函數(shù)/(%)=%ln%-評(píng)一%+eR),廣(%)為/(%)的導(dǎo)函數(shù).

(1)當(dāng)a=!時(shí)，若g(x)=t(x)在[[切+1](1>0)上的最大值為/1(。，求h(t)；

(2)已知X1,%2是函數(shù)/(X)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且％1<%2，若不等式ei+m<XiX劈恒成立，求正數(shù)加的取值范圍.

、■-1-1

【變式7-3](2023?河南?二模)已知函數(shù)/'(X)+(7n-l)x-ln久(zneR),g(x)=/-姿+1.

⑴討論f(%)的單調(diào)性;

(2)當(dāng)爪>0時(shí)，若對(duì)于任意的/€(0,+8),總存在犯6[1,+8),使得/(久1)29(冷)，求小的取值范圍.

?過關(guān)測(cè)試

一、單選題

1.(2024?陜西?模擬預(yù)測(cè))當(dāng)久>0時(shí)，久2”軌_2111%之以+1恒成立，則實(shí)數(shù)a最大值為()

44

A/B.4C.了D.8

2.(2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))若存在xe(0,+8),使得不等式02/+久20加+1112式成立，則實(shí)數(shù)a的取

值范圍為()

A-2，+8)B,[|,+oo)C.(-oo,1]D.(—8,1

3.(2024?河南?模擬預(yù)測(cè))已知4>0,對(duì)任意的%>1,不等式62忒一。11^)111%20恒成立，則實(shí)數(shù)2的取值

范圍為()

A.2,+8)B.5,+8)

C.[2e,+oo)D.[e,+8)

4.(2024?廣東深圳?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(%)=ae=+ln扁-2,若f(%)>0恒成立，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.0<a<eB.a>e2C.a>eD.a>2e

5.(2024?全國?模擬預(yù)測(cè))若關(guān)于％的不等式(e-l)(ln%+a%)之丘。工一1在停,1]內(nèi)有解，則正實(shí)數(shù)a的取

值范圍是()

A.(0,2+21n2]B.[-^,e]C.(0,4]D.[^,e]

^elnx-3

6.(2024?全國?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(乃=，》『2bc，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取

(x-2)ex-—A<0x

值范圍為()

A.(—8,3)B.(6e-2,+oo)

C.(6e—2,3)D.(-oo,6e-2)

7.(2024?重慶?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=W，gQ)=axe-ax,若存在/C(0,1),到6(-8,0)使得=g

(久2)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(—8,—2)B.(—2,—1)C.(—1,+8)D.(0,+8)

8.(2023?上海崇明?一模)若存在實(shí)數(shù)a,b,對(duì)任意實(shí)數(shù)xe[0,1],使得不等式爐一爪wa久+6W療+小恒成

立，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是()

A?惕+00)B.陪+8)C.惕+8)D.惇,+8)

二、多選題

9.(2024?新疆?一模)設(shè)/⑶=(1+x)lnx?g(x)=(a-l)x,若/(%)<g(x)在久￡[1,2]上恒成立，則實(shí)數(shù)a

的值可以是()(附:M2=0.69)

10.(2024?河南鄭州?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(久)=xcosx-sinx,下列結(jié)論中正確的是()

A.函數(shù)久久)在％=與時(shí)，取得極小值一1

B.對(duì)于Vx€[0,n],/(久)W0恒成立

,，.l儼1sinxi

C.右°<久1<去<冗，則看<病

D.若對(duì)于"久€(04)，不等式a(手<b恒成立，則a的最大值為?，6的最小值為1

11.(2024?江蘇?模擬預(yù)測(cè))設(shè)久V%2)是直線y=。與曲線/(%)=%(1-In%)的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則

()

A.%i%2<eB.%21n%i>%ilnx2

C.maE(0,1),%2一%1>e。D.VaE+%2>a

三、填空題

12.(2024?四川成都?三模)若不等式即工⑺久-ln2)-xlnx2N0,對(duì)任意久eg,+8)恒成立，則正實(shí)數(shù)小的

取值范圍是.

13.(2024?廣西桂林?三模)若宅：22(用11%-；0(卜>0)對(duì)任意的萬€(0,+8)恒成立，則左的取值范圍是

14.(2024?浙江?三模)已知函數(shù)/'(X)=(x—2)ex+Inx,g(x)=ax+b,對(duì)任意ae(—8,1],存在x€(0,1)

使得不等式/(久)Ng(x)成立，則滿足條件的6的最大整數(shù)為.

四、解答題

15.(2024?山西呂梁?三模)已知函數(shù)/(%)=%2-2%+aln%,QeR).

(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)若對(duì)任意的比1,到G(0,+8)西豐x2,使X弋二J3)>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍.

16.(2024?全國?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(%)=%2-2aln%—2(aeR).

(1)討論f(%)的單調(diào)性;

(2)若不等式f(%)<2(lnx)2+/一2%在區(qū)間(1,+8)上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

17.(2024?廣東茂名,一■模)設(shè)函數(shù)/(X)=e*+asinx,xG[0,+oo).

(1)當(dāng)a=—1時(shí)，〃>)2汝+1在[0,+8)上恒成立，求實(shí)數(shù)6的取值范圍;

(2)若a>0/(%)在[0,+oo)上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.(2024?四川宜賓?模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)/(久)=[-xlnK,g(久)=a(x+Inx)+a?—方

(1)求/(%)過原點(diǎn)的切線方程；

(2)求證：存在ae(0,鄉(xiāng)，使得/(X)2g(x)在區(qū)間(1,+8)內(nèi)恒成立，且/(x)=g(x)在(1,+8)內(nèi)有解.

19.(2024?北京?三模)已知/(久)=(2久一l)eax-x在x=。處的切線方程為x+y+b=0.

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值；

(2)證明：/(%)僅有一個(gè)極值點(diǎn)%o，且fQo)<-“

(3)若g(x)=(依-1)底一乂，是否存在k使得g(x)2-1恒成立，存在請(qǐng)求出k的取值范圍，不存在請(qǐng)說明理由.

重難點(diǎn)04利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒（能）成立問題【七大題型】

【新高考專用】

?題型歸納

【題型1直接法解決不等式恒（能）成立問題】..................................................3

【題型2分離參數(shù)法求參數(shù)范圍】..............................................................6

【題型3分類討論法求參數(shù)范圍】..............................................................9

【題型4構(gòu)造函數(shù)法解決不等式恒（能）成立問題】.............................................12

【題型5與不等式恒（能）成立有關(guān)的證明問題】...............................................16

【題型6洛必達(dá)法則】........................................................................20

【題型7雙變量的恒（能）成立問題】.........................................................25

?命題規(guī)律

1、利用導(dǎo)數(shù)不等式恒（能）成立問題

恒（能）成立問題是高考的常考考點(diǎn)，是高考的熱點(diǎn)問題，其中不等式的恒（能）成立問題經(jīng)常與導(dǎo)數(shù)及

其幾何意義、函數(shù)、方程等相交匯，綜合考查分析問題、解決問題的能力，一般作為壓軸題出現(xiàn)，試題難

度較大，解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活求解.

?方法技巧總結(jié)

【知識(shí)點(diǎn)1不等式恒（能）成立問題的解題策略】

1.不等式恒（能）成立問題的求解方法

解決不等式恒（能）成立問題主要有兩種方法：

（1）分離參數(shù)法解決恒（能）成立問題

①分離變量：根據(jù)不等式的性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一個(gè)一端是參數(shù)，另一端是變量表達(dá)式的不等

式，構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，進(jìn)而解決問題.

②恒成立U>a，/（x）max；

。&/（X）恒成立。&/（x）min；

a2/（x）能成立a2fix）min；

。W/G）能成立a^f（x）max.

（2）分類討論法解決恒（能）成立問題

分類討論法解決恒（能）成立問題，首先要將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題，此類問題關(guān)鍵是對(duì)參數(shù)進(jìn)

行分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個(gè)值或一

段內(nèi)的函數(shù)值不滿足題意即可.

【知識(shí)點(diǎn)2雙變量的恒(能)成立問題的解題策略】

1.雙變量的恒(能)成立問題的求解方法

“雙變量”的恒(能)成立問題一定要正確理解其實(shí)質(zhì)，深刻挖掘內(nèi)含條件，進(jìn)行等價(jià)變換，常見的等價(jià)

變換有：

對(duì)于某一區(qū)間/,

)

(l)VXj,X2e>g(》2/Wmin>g(x)max.

(2)VXlEll,BX2Gl2,/(%i)>g(&)/(%)min>g(x)min.

)，

(3)3XGe2,/(均>g(x2)/(x)max>gG)max.

【知識(shí)點(diǎn)3洛必達(dá)法則】

“洛必達(dá)法則”是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要定理，用分離參數(shù)法(避免分類討論)解決成立或恒成立命題時(shí)，

000

經(jīng)常需要求在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)(最)值，若出現(xiàn)萬型或益型可以考慮使用洛必達(dá)法則.

1.洛必達(dá)法則

法則1若函數(shù)人X)和g(x)滿足下列條件:

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，外)與g(x)可導(dǎo)且g'(x)W0;

f(x)

⑶吧國=心

那么lim*=lim筆=/.

ig{x)…g⑴

法則2若函數(shù)段)和8任)滿足下列條件:

⑴lim/(x)=8及l(fā)img(x)=oo；

x—>a

(2)在點(diǎn)a的去心鄰域內(nèi)，4)與g(x)可導(dǎo)且g(x)W0；

rf(x)

(3)im=A,

xTa7gw

那么配線r(x)

hrm、=A,

ig⑴

2.用洛必達(dá)法則處理抵型函數(shù)的步驟:

(1)分離變量;

(2)出現(xiàn)《型式子；

(3)運(yùn)用洛必達(dá)法則求值.

00

3.用洛必達(dá)法則處理省型函數(shù)的步驟:

(1)分離變量；

⑵出現(xiàn)楙型式子；

(3)運(yùn)用洛必達(dá)法則求值.

【注意】：

1.將上面公式中的x―a,x—oo換成x—>+oo,x—>-oo,x->a+,xTa一,洛必達(dá)法則也成立.

2.洛必達(dá)法則可處理/譚,0?co,產(chǎn),8。,0。,8—8型求極限問題.

3.在著手求極限前，首先要檢查是否滿足，號(hào),0-S,：T,?A0°,8—8型定式，否則濫用洛必達(dá)法則

會(huì)出錯(cuò)，當(dāng)不滿足三個(gè)前提條件時(shí)，就不能用洛必達(dá)法則，這時(shí)稱洛必達(dá)法則不適用，應(yīng)從另外途徑求極

限.

4.若條件符合，洛必達(dá)法則可連續(xù)多次使用，直到求出極限為止.

==如滿足條件，可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則.

x—^agwxTagwx—ag(%)

?舉一反三

【題型1直接法解決不等式恒(能)成立問題】

【例1】(2024?內(nèi)蒙古呼和浩特?二模)若=2e+lnax在比6(0,+8)上恒成立，貝ija的最大值為()

A.?B.2e?eC.e-eD.e1+^-e

【解題思路】易知a>0,原式可變形為/(*)=e^-e-ae-alnaxN0,(x>0),結(jié)合隱零點(diǎn)的解題思路，求出

1

/Wmin?由/(%)min20可得=]-21ntT20,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解得0<七<1,即可求出。的取值范圍

即可.

【解答過程】由題意知，ax>0,由％>0,得。>0.

原式可化為?！?。。一。]!!。%>0,

設(shè)/(久)=ex-e—ae—alnax(x>0),則f'(%)=ex-e—p

又函數(shù)y=ex~e,y=一(在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)y=((%)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

則當(dāng)%70時(shí)，/<%)->—8,當(dāng)%一+8時(shí)，/<%)—+8,

故存在t>0使得/'(t)=0,即e~e—2=0,得。=出~6,gpina=Int+t—e,

且當(dāng)0V%Vt時(shí),f'(x)<0；當(dāng)％,t時(shí),//(x)>0,

所以函數(shù)f(%)在(OJ)上單調(diào)遞減，在Q+8)上單調(diào)遞增，

故/(%)min=f(t)=et-e—ae—alnat=et-e—teef-e-tet-e(21nt+t—e),

所以e*—e—tee~e—tet—e(21nt+t—e)=et-e(l—te—2tlnt—t24-te)>0,

即I—21nt—t20,設(shè)h(t)=~-21n力一t(t>0),

-1

由函數(shù)y=~,y=-2\nt,y=-t在(0,+8)在單調(diào)遞減，

知函數(shù)h(t)在(0,+8)在單調(diào)遞減,且九⑴=0,所以0VY1,

所以e~e<e~ewe—e,故0vte~e〈ei-e,即OCaWe—e,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)等號(hào)成立，

所以。的最大值為e-e.

故選：C.

【變式1-1](2024?陜西咸陽?模擬預(yù)測(cè))已知不等式也%-|-1_e9+五40有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)Q的取值

范圍為()

A.(—8,一月B.(—oo/O)C.[一卷,+8)D.[0,+8)

【解題思路】構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)％(%)=x2lnx/(x)=-Vex2+2x-^+a(x>0),先利用導(dǎo)數(shù)求出h(%)=/E%單

11

調(diào)區(qū)間，從而得到似乃在久=%處取到最小值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)知/⑺=-Vex2+2％+a(x>0)在

%=+處取到最大值，從而可求出結(jié)果.

【解答過程】mo,所以不等式111久-：-"e)++五WO有實(shí)數(shù)解，即不等式尤211枕4-正久2+2%_t+。

成立，

11

設(shè)/i(%)=/In%,/(%)=-Vex2+2%—&+a(x>0),?,?=2x\nx+%2x-=x(l+21nx),

當(dāng)OV久<已時(shí)，/i\x)<0,當(dāng)久,已時(shí)，h,(x)>0,

所以無(%)在區(qū)間(0*)上是減函數(shù)，在區(qū)間(京,+8)上是增函數(shù)，h(x)min=/l(±)=-i,

又因?yàn)?(無)=_迎(％_嘉)+a,當(dāng)％=+時(shí)，/(X)max=a，

因?yàn)椴坏仁絣nx—|—(a-—專+Ve<。有實(shí)數(shù)解,貝Uf(%)max=a2/i(x)min=一(

故選：C.

【變式1-2](2024?四川成都?模擬預(yù)測(cè))若關(guān)于「的不等式(6-1)(111(1+%)2。眇一1在工€[0,1]內(nèi)有解,則實(shí)

數(shù)a的取值范圍是()

A-[去罔B.[1,e]C,[|,e2]D.口]

【解題思路】題設(shè)中的不等式等價(jià)于(e—l)ln(ae，)2aex-l,令f(t)=(e—+1,結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得該函

數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合/⑴=0/(e)=0可得(e-l)lnt>—1的解，從而可求實(shí)數(shù)Q的取值范圍.

【解答過程】由Ina有意義可知，a>0.

由(e-l)Qna+%)>aex-l,得(e-l)ln(ae尤)>aex-l.

令t=aex,即有(e-l)lnt>t-1.

因?yàn)椋[0,1],所以t=ae*w[a,ae],令/(t)=(e-l)lnt-t+1,

問題轉(zhuǎn)化為存在tG[afae],使得/(t)>0.

a_1_7

因?yàn)閺V(t)=1—,令尸(t)<0,BPe-l-t<0,解得t>e—l；

令尸(t)>0,即e—1—t>0,解得0<t<e—1,

所以f(t)在(0,e-l)上單調(diào)遞增，在(e-1,+8)上單調(diào)遞減.

X/(l)=o,/(e)=(e-l)lne-e+1=0,所以當(dāng)lWtWe時(shí),f(t)>0.

因?yàn)榇嬖趖e[a,ae],使得/'(t)20成立，所以只需aWe且ae21,解得aeg,e].

故選：B.

【變式1-3](2024?甘肅蘭州?三模)已知函數(shù)/(久)=磊一久3,對(duì)于任意的xe(1,2],不等式/(若)+/

要<、)<1恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為()

\(x-l)2(x—6)/

A.(1,+°°)B.[—1,1]C.(-8,—1]D.(—oo,—1)

【解題思路】由題意可得f(x)=l-九-X),f(x)在R上單調(diào)遞減，所以不等式/(巖)+f<1恒

成立，等價(jià)于方>—在尤e(1，2]恒成立,即(％+1)(%-1)(久一6)<-?+1)恒成立，設(shè)

h(x)=(%+l)(x-l)(x-6),xe(l,2],利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)h(x)在xe(1,2]的最值即可得答案.

【解答過程】解：因?yàn)?(%)=白-%3,XER,易知/(乃在R上單調(diào)遞減，

1pX

所以/'(一嗎=Q互+爐=H+/，

所以人—乃+/(*)=1,所以/(%)=1-/(—X),

又因?yàn)閷?duì)于任意的久e(1,2],不等式九件+八01：：；_6))<1恒成立，

即對(duì)于任意的久6(1,2],不等式/((X_1；；；A6))<1—八言)=/(—言)恒成立，

所以(二工6)>一言在％e(1,2]上恒成立，

即言>-(I黑一6)在“e(1,2]上恒成立?

由％e(1,2],知x-l>0,x-6<0,

所以當(dāng)xe(1,2],上式等價(jià)于(x+1)0一等(“一6)<一(t+1)恒成立.

設(shè)h(x)=(x+l)(x—l)(x—6)=x3—6x2—x+6,xG(1,2],

h.'[x}=3x2-12x-l,開口向上，對(duì)稱軸為x=2,

當(dāng)xe(1,2]時(shí)，》(x)<〃(l)=—10<0,所以％(x)在xe(1,2]內(nèi)單調(diào)遞減，而八(1)=0,

所以h(x)<0,所以0W—(t+l),BPt<-l.

故選：C.

【題型2分離參數(shù)法求參數(shù)范圍】

【例2】(2024?寧夏銀川?模擬預(yù)測(cè))已知a6N*,；函數(shù)/(x)=e3，-x。>0恒成立，則a的最大值為()

A.2B.3C.6D.7

【解題思路】由題意函數(shù)/(x)=e3x-非>()恒成立，可得到a為正奇數(shù)，討論久的范圍，參變分離轉(zhuǎn)化成恒

成立問題，定義新函數(shù)求導(dǎo)求最小值，從而得到a的最大值.

【解答過程】當(dāng)a為正偶數(shù)時(shí)，當(dāng)％=-2時(shí)，f(-2)=e6-(-2)a<0,不合題意，所以a為正奇數(shù)，

則當(dāng)x<0時(shí)，xa<0<e3時(shí)亙成立，只需研究x>0時(shí)，e3x—xa>0恒成立即可，

當(dāng)x=l時(shí)，03-1>0成立，則當(dāng)X€(0,1)時(shí)，a>落，因?yàn)榇藭r(shí)書<0,所以恒成立.

當(dāng)久€(1,+8)時(shí)，a<記^恒成立，

設(shè)9(久)=G(L+8)，則g'CO=3器,)，

令g'(x)=。，得％=6，

當(dāng)％e(l,e)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)KC(e,+8)時(shí)，g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,

所以g(x)min=g(e)=3ea8.2,又因?yàn)閍為正奇數(shù)，

所以a的最大值為7.

故選：D.

【變式2-1](2024?四川宜賓?二模)已知不等式axe^+xAl-ln久有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()

A.(一5，+8)B.(-1,+oo)C.D.(_8,0

【解題思路】分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為。>上淖，構(gòu)造函數(shù)/0)=胃學(xué)，利用導(dǎo)數(shù)法求出f(x)min，a>f(%)min

即為所求.

【解答過程】不等式axe，+工>l-lnx有解，即。>上三絲，%>0,只需要a>(上一)

xex\xex/

1—%—Inx

令f(x)

xex

(x+l)(x-2+lnx)

X>0,

x2ex

令g(x)=x—2+Inx,%>0,

5'(x)=l+->0,所以函數(shù)g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又g⑴=T<0,g(2)=ln2>0,所以存在配e(1,2),使得。(刈))=0,即近-2+】nx()=0,

?1?xG(O,xo),g(x)<0,即尸(x)<0；x6(x0,+oo),g(x)>0,即((x)>。,

所以函數(shù)f(x)在(O,%o)上單調(diào)遞減，在(孫,+8)上單調(diào)遞增，

/(&)=I：］：?又由“0—24-lnx=0,可得尤oe'。=e2,

人()DU0

r,、l—XQ—\nXoI-XQ+XQ-21

?1-f(X。)=々聲。=一一=一萬

故選：A.

【變式2-2](2024?四川成都?三模)若％W[0,+8),%2+q%+i〈e久恒成立，則實(shí)數(shù)a的最大值為()

A.eB.2C.e-1D.e-2

【解題思路】先確定％=0時(shí)的情況，在x>0時(shí)，參變分離可得aw巴尸，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)/(%)=四羅,

求得/(x)的最小值即可.

【解答過程】當(dāng)x=0,l<e°,不等式成立，

當(dāng)x>0時(shí)，aW」-R-i恒成立,即a>可—J),

xxmin

令f(x)=與匚，則/(x)=(e*-2叫廣-=(A1)(；A1),

令g(x)=e'-x-l,則g(x)=eX-l,當(dāng)x>0時(shí),g'(x)=ez-l>0,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以g(x)>g(0)=0,所以eJv-1>0,

所以當(dāng)0<%<l時(shí),f(%)<0,所拶單調(diào)遞減,當(dāng)x>l時(shí)，f(x)>0,所x)單調(diào)遞增,

所以/(x)min=/⑴=eJ：T=e-2,所以aWe-2.

所以實(shí)數(shù)a的最大值為e-2.

故選：D.

x2

【變式2-3](2024?四川南充?三模)已知函數(shù)/(久)=夕3,=e-|%-%,3%1；久26[1,2]使

|9(打)—9(型)|>同/(右)—/(冷)|(憶為常數(shù))成立，則常數(shù)上的取值范圍為()

A.(-oo,e-2]B.(-oo,e-2)C.(一8,^^|D.(一8,^^)

【解題思路】存在性問題轉(zhuǎn)化為上<可匚在口，2]上能成立，利用導(dǎo)數(shù)求胃二的最大值即可得解?

【解答過程】了。)=暴3在[1,2]上為增函數(shù)，

由g(x)=d—/2_乂知，g，(x)-ex-x-l,

令h(x)=e，—x—1,則“(%)=ex-l,

當(dāng)x>0時(shí)，h'(x)=ex-1>0,

即h(x)=9-%-1在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以做x)>/i(0)=0,即g<x)>0,

所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，即g(無)在[1,2]上單調(diào)遞增，

不妨設(shè)1W%2<%iw2,則g(%[)>g(#2)，/(X1)>/(%2))

fc

lg(xi)-g(x2)i>k|f(%D-y(x2)l可化為g(xi)-g(%2)>/(xi)-fc/(x2)>

即g(xi)T/Oi)>g(K2)-kfQ：2),

令F(x)=g(x)—kf(x)=ex—^x2—x—^kx3,

則F(x)=ex—x—l—kx2,

?TXI,*2e[1,2],使IgOD—g(%2)l>網(wǎng)/(打)一『(*2)1能成立，

F(x)>0在口,2]上能成立,

即k<二二在[1,2]上能成立，

k<，xE[l,2],

令G(x)=寸二，xe[l,2],

則G，(x)=『7+2,令他(%)=(久—2)/+x+2,

則m<%)=(x-l)ex+1,當(dāng)%6［1,2］時(shí)，mf(x)>0,

故m(%)在［1,2］上單調(diào)遞增，所以m(%)>m(l)=3-e>0,

故G<%)>0,G(%)在［1,2］上單調(diào)遞增，

???G(X)max=G(2)=寧，

4

故選：D.

【題型3分類討論法求參數(shù)范圍】

2

【例3】(2024?廣東汕頭?三模)已知函數(shù)/'(X)=lnx-ax,g(久)=晟440.

(1)求函數(shù)/(“)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(%)<g(x)恒成立，求a的最小值.

【解題思路】(1)求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，對(duì)a>0與a<0分類討論即可得;

(2)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值，即可得解.

【解答過程】(1)((x)=§-a=—(a70),

當(dāng)a<0時(shí)，由于<>0,所以r(%)>0恒成立,從而f(尤)在(0,+8)上遞增;

當(dāng)a>0時(shí)，0<x<《，/'(%)>0；x>:,f'[x)<0,

從而在(o,￡)上遞增，在9,+8)遞減；

綜上，當(dāng)a<0時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8),沒有單調(diào)遞減區(qū)間；

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,；),單調(diào)遞減區(qū)間為@,+8).

2

(2)令八(久)=/(x)-g(x)=\nx-ax--,要使/'(%)<g(x)恒成立，

只要使"x)W0恒成立，也只要使h(x)maxW0.

人⑴一…白=9+1)產(chǎn)-2),

kJxax1axz

若。>0,x>0,所以a%+l>0恒成立，

當(dāng)0<%<(時(shí)，h'(x)>0,當(dāng):<x<+8時(shí)，h'(x)<0,

可知心)在(。,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(：,+8)內(nèi)單調(diào)遞減，

所以八(x)max=h(?=lnA3W0,解得：a>^,

可知a的最小值為9；

e-3

若a<0,x>0,所以a%—2Vo恒成立,

當(dāng)0<%<一：時(shí)，h'(x)<o,當(dāng)一N<久<+8時(shí)，"(x)>0,

可知h(x)在(0,-￡)內(nèi)單調(diào)遞減，在(-1+8)內(nèi)單調(diào)遞增，

所以九(久)在(0,+8)內(nèi)無最大值，且當(dāng)久趨近于+8時(shí)，九(%)趨近于+8,不合題意；

綜上所述：a的最小值為總

e°

【變式3-1］(2024?四川瀘州?二模)已知函數(shù)/'(無)=2比3-a%2+2(。>0).