湖南省岳陽(yáng)市云溪區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試試卷一、單選題（共8小題，每小題5分，總分40分）1．過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為（

）A． B．C． D．2．“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知點(diǎn)A，B，C為橢圓D的三個(gè)頂點(diǎn)，若是正三角形，則D的離心率是（

）A． B． C． D．4．在長(zhǎng)方體中，已知，，為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉在《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中提出：三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上.這條直線被稱為“歐拉線”.已知的頂點(diǎn)，，，則的歐拉線方程為（

）A． B．C． D．6．已知圓與圓，過(guò)動(dòng)點(diǎn)分別作圓、圓的切線，（，分別為切點(diǎn)），若，則的最小值是（

）A． B． C． D．7．芻甍是中國(guó)古代算數(shù)中的一種幾何體，是底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w.現(xiàn)有一個(gè)芻甍如圖所示，底面BCDE為矩形，平面BCDE，和是全等的正三角形，，，，則異面直線AE與BD所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知，分別為雙曲線C:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦點(diǎn)，為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，，線段與雙曲線交于點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為（

A． B． C． D．二、多選題（共4小題，每小題5分，總分20分）9．滿足下列條件的直線與，其中的是（

）A．的傾斜角為，的斜率為B．的斜率為，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，C．經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，D．的方向向量為，的方向向量為10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．點(diǎn)是圖象的一個(gè)對(duì)稱中心B．的單調(diào)遞增區(qū)間為，C．在上的值域?yàn)镈．將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，則11．曲線是平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的積等于的點(diǎn)的軌跡，則下列結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)到軸距離的最大值為 B．點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值為C．周長(zhǎng)的最大值為 D．最大值為12．在直三棱柱中，，，D是AC的中點(diǎn)，下列判斷正確的是（

）A．∥平面B．面⊥面C．直線到平面的距離是D．點(diǎn)到直線的距離是三、填空題（共4小題，每小題5分，總分20分）13．已知向量與的夾角為，，，則，14．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若，則AB1與C1B所成的角的大小為.15．已知為拋物線上的任意一點(diǎn)，為其焦點(diǎn)，為圓上的一點(diǎn)，則的最小值為、16．已知，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且斜率為2的直線與的一條漸近線在第四象限相交于點(diǎn)，四邊形為平行四邊形.若直線的斜率，則的離心率的取值范圍為.四、解答題（共4小題，總分70分）17．如圖，已知平面，為矩形，，分別為的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面.18．某公司的入職面試中有4道難度相當(dāng)?shù)念}目，王陽(yáng)答對(duì)每道題的概率都是0.7，若每位面試者共有4次機(jī)會(huì)，一旦某次答對(duì)抽到的題目、則面試通過(guò)，否則就一直抽題到第4次為止，假設(shè)對(duì)抽到的不同題目能否答對(duì)是獨(dú)立的.(1)求王陽(yáng)第三次答題通過(guò)面試的概率；(2)求王陽(yáng)最終通過(guò)面試的概率.19．已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，且過(guò)點(diǎn)(1)求雙曲線C的方程.(2)過(guò)雙曲線C的右焦點(diǎn)F作斜率為的直線l，l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求(3)若M，N是雙曲線C上不同的兩點(diǎn).且直線MN的斜率為，線段MN的中點(diǎn)為P，證明：點(diǎn)P在直線上.20．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓：的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，短軸長(zhǎng)為2，直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線與軸不平行，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知.(1)求橢圓C的方程(2)求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)；(3)斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記以，為直徑的圓的面積分別為，，的面積為，求的最大值.21．如圖，軸垂足為點(diǎn)，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程為.

(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡方程記為.（i）若動(dòng)點(diǎn)為軌跡外一點(diǎn)，且點(diǎn)到軌跡的兩條切線互相垂直，記點(diǎn)的軌跡方程記為，試判斷與圓是否存在交點(diǎn)？若存在，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（ii）軌跡的左右頂點(diǎn)分別記為，圓上有一動(dòng)點(diǎn)，在軸上方，，直線交軌跡于點(diǎn)，連接，，設(shè)直線，的斜率存在且分別為，，若，求的取值范圍.參考答案：題號(hào)12345678910答案DACCCBACBCDAC題號(hào)1112答案BDABD1．D2．A3．C4．C5．C6．B

7．A8．C9．BCD10．AC11．BD12．ABD13．214．90015．

16．

17．如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則有.（1）因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以.所以.所以.又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）由（1），知，所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為則，即.解得.令，則.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即.得.令，則，因?yàn)?，所?故平面平面18．(1)(2)（1）記“王陽(yáng)第三次答題通過(guò)面試”為事件，若王陽(yáng)第三次答題通過(guò)面試，則前次均不通過(guò)，所以王陽(yáng)第三次答題通過(guò)面試的概率為.（2）記“王陽(yáng)最終通過(guò)面試”為事件，王陽(yáng)未通過(guò)面試的概率為，所以王陽(yáng)最終通過(guò)面試的概率.19．（1）根據(jù)題意可得，則將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，故雙曲線C的方程為（2）由（1）得，則，則直線l的方程為設(shè)，由，得，，，，所以（3）設(shè)，，則，兩式相減得設(shè)，則，所以，即，所以，即，所以點(diǎn)P在直線上.20．（1）由已知兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A-2,0，，短軸長(zhǎng)為2，得，，

則橢圓方程：.（2）設(shè)直線方程為，Px1,y1由，消去x得，，，則，，，，又點(diǎn)Px1,y則，即，則，即，解得，此時(shí)，即直線的方程為，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).（3）設(shè)直線的方程為，，，

由，消去得，，即，則，，所以點(diǎn)到直線的距離，所以，又，，所以，所以則當(dāng)即時(shí)，取最大值為.21．(1)(2)（i）沒(méi)有交點(diǎn)，理由見(jiàn)詳解；（ii）（1）設(shè)Mx,y因?yàn)?，則，又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，則，所以點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）若，