重慶市名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試 數(shù)學(xué)（含答案）

重慶市名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度第一期第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷（高2026屆）本試卷共4頁(yè)，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.作答前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在試卷的規(guī)定位置上.2.作答時(shí)，務(wù)必將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在試卷及草稿紙上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，須將答題卡、試卷、草稿紙一并交回（本堂考試只將答題卡交回）.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)，若向量，則點(diǎn)B坐標(biāo)是（）.A. B. C. D.2.過(guò)點(diǎn)，且與直線平行直線方程是（）A. B.C. D.3.已知點(diǎn)，，若是直線l方向向量，則直線l的傾斜角為（）A. B. C. D.4.已知圓與軸相切，則（）A.1 B.0或 C.0或1 D.5.如圖，平行六面體的所有棱長(zhǎng)均為1，AB，AD，兩兩所成夾角均為，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱，上，且，，則（）A B. C.3 D.6.點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（

）A.； B.；C.； D.；7.已知直線過(guò)點(diǎn)，且與直線及軸圍成等腰三角形，則的方程為（）A.，或 B.，或C. D.8.點(diǎn)P為圓A：上的一動(dòng)點(diǎn)，Q為圓B：上一動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為（）A.8 B.9 C.10 D.11二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，是夾角的單位向量，且，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.在方向上的投影向量為 D.與的夾角為10.點(diǎn)P在圓M：上，點(diǎn)，點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線AB關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱直線為B.點(diǎn)P到直線AB距離的最大值為C.圓M關(guān)于直線AB對(duì)稱的圓的方程為D.當(dāng)最大時(shí)，11.在長(zhǎng)方體中，，，動(dòng)點(diǎn)P在體對(duì)角線上（含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)P為中點(diǎn)時(shí)，為銳角B.存在點(diǎn)P，使得平面APCC.的最小值D.頂點(diǎn)B到平面APC的最大距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12已知平面向量，若，則_______.13.方程表示圓，且坐標(biāo)原點(diǎn)在該圓外，則a的取值范圍是______．14.已知圓，點(diǎn)，M、N為圓O上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且若，則的最小值為_(kāi)_____.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知頂點(diǎn)、、．（1）求邊的垂直平分線的方程；（2）若直線過(guò)點(diǎn)，且的縱截距是橫截距的倍，求直線的方程．16.如圖，正方體中，E、F、G分別為，，的中點(diǎn).（1）證明：平面ACE；（2）求與平面ACE所成角的余弦值.17.直線的方程為（）.（1）證明：無(wú)論為何值，直線過(guò)定點(diǎn)；（2）已知是坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于、兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，求的周長(zhǎng)及此時(shí)直線的截距式方程.18.如圖所示，等腰梯形中，，，，E為中點(diǎn)，與交于點(diǎn)O，將沿折起，使點(diǎn)D到達(dá)點(diǎn)P的位置（平面）.（1）證明：平面；（2）若，試判斷線段上是否存在一點(diǎn)Q（不含端點(diǎn)），使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求三棱錐的體積，若不存在，說(shuō)明理由.19.人臉識(shí)別是基于人的臉部特征進(jìn)行身份識(shí)別的一種生物識(shí)別技術(shù)．主要應(yīng)用距離測(cè)試樣本之間的相似度，常用測(cè)量距離的方式有3種．設(shè)，，則歐幾里得距離；曼哈頓距離，余弦距離，其中（為坐標(biāo)原點(diǎn)）．（1）若，，求，之間的曼哈頓距離和余弦距離；（2）若點(diǎn)，，求的最大值；（3）已知點(diǎn)，是直線上的兩動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)是否存在直線使得，若存在，求出所有滿足條件的直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．重慶市名校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度第一期第一次聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷（高2026屆）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】BCD10.【答案】BD11.【答案】ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】13.【答案】14.【答案】##四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.【解析】【分析】（1）根據(jù)、，即可得中點(diǎn)及斜率，進(jìn)而可得其中垂線方程；（2）當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)可得直線方程；當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，根據(jù)直線的截距式可得解.【小問(wèn)1詳解】由、，可知中點(diǎn)為，且，所以其垂直平分線斜率滿足，即，所以邊的垂直平分線的方程為，即；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)直線，符合題意；當(dāng)直線不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，由題意設(shè)直線方程為，由過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以直線方程為，即，綜上所述，直線的方程為或.16.【解析】【分析】（1）先證得，再由線面平行判定定理證明即可；（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ACE的法向量，利用公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】證明：連接BD和，設(shè)，連接EO，則O為BD中點(diǎn)，在中，因?yàn)镕，G分別為和的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)樵谥?，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以，所以又平面ACE，平面ACE，所以平面ACE．【小問(wèn)2詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線分別為x，y，z軸，建系如圖：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則A2,0,0，，E0,0,1，，所以，，，設(shè)m=x,y,z為平面則，所以，取設(shè)直線與平面ACE所成角為，所以直線與平面ACE所成角的正弦值為：．所以與平面ACE所成角的余弦值為.17.【解析】【分析】（1）將直線的方程變形為，令，解得即可；（2）首先求出直線在、軸上的截距，即可求出的范圍，再由面積公式及基本不等式求出面積最小值及此時(shí)的值，從而求出直線的方程及三角形的周長(zhǎng).【小問(wèn)1詳解】直線的方程變形為，由，得到，又時(shí)，恒成立，故直線恒過(guò)定點(diǎn)2,1【小問(wèn)2詳解】由，依題意，即，令，得到，令，得到，由，得到，所以，令，得到，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，直線的方程為，又，，，所以當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，的周長(zhǎng)為.18.【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理可證得結(jié)果，先證明線線垂直，再證明線面垂直；（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)線面夾角正弦值得到點(diǎn)到平面的距離即三棱錐的高，即可求得體積.【小問(wèn)1詳解】在原圖中，連接，由于，，所以四邊形是平行四邊形，由于，所以四邊形是菱形，所以，由于，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以，在翻折過(guò)程中，，保持不變，即，保持不變，由于，，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】由上述分析可知，在原圖中，，所以，所以，折疊后，若，則，所以，由于，，，平面，所以平面，由于，平面，所以，，所以，，兩兩相互垂直，由此以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，，設(shè)，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，，，，，所以，即是的中點(diǎn)，由于軸與平面垂直，所以到平面的距離為，所以.19.【解析】【分析】（1）代入和的公式，即可求解；（2）首先設(shè)，代入，求得點(diǎn)的軌跡，再利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合公式，結(jié)合余弦值，即可求解；（3）首先求的最小值，分和兩種情況求的最小值，對(duì)比后，即可判斷直線方程.【小問(wèn)1詳解】，，；【小問(wèn)2詳解】設(shè)，由題意得：，即，而表示的圖形是正方形，其中、