湖南省岳陽市臨湘市2024-2025學年高二上學期11月期中考試數(shù)學試題 含解析

2024年高二數(shù)學期中考試試題一、單選題（共40分）1向量，若，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量平行列出關(guān)于的方程組，解之即可求得的值.【詳解】因為，所以，由題意可得，所以，則．故選：C.2.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜率可確定直線的傾斜角.【詳解】由得，所以該直線的斜率為：.設(shè)直線傾斜角為，則，且，所以.故選：C3.在所有棱長均為2的平行六面體中，，則的長為（）A. B. C. D.6【答案】C【解析】【分析】先將用表示，然后再結(jié)合數(shù)量積的運算律即可得解.【詳解】因為，所以，從而，即的長為．故選：C.4.已知向量，，且，那么等于（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零求坐標，再根據(jù)坐標求模長計算即可.【詳解】因為，，且，所以，即，所以，所以，故選：C．5.如圖，在平行六面體中，為與的交點，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量運算的三角形法則、平行四邊形法則表示出即可.【詳解】=故選：A.6.已知直線過點，且縱截距為橫截距的兩倍，則直線的方程為（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】分直線過原點與不過原點兩種情況求解可得直線的方程.【詳解】根據(jù)題意，分2種情況討論:①直線過原點，設(shè)直線方程為，又由直線經(jīng)過點，所以，解得，此時直線的方程為，即；②直線不過原點，設(shè)其方程為，又由直線經(jīng)過點，則有，解可得，此時直線的方程為，故直線的方程為或.故選：D.7.在棱長為2的正方體中，下列說法正確的是（）A.平面與平面的距離為 B.三棱錐外接球的表面積為C. D.直線BC與平面所成的角為【答案】A【解析】【分析】D選項，作出輔助線，由線面垂直得到⊥，故⊥平面，直線與平面所成的角為，且，故D錯誤；C選項，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，得到，所以⊥平面，⊥；B選項，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，從而求出外接球半徑，得到外接球表面積；A選項，先證明出平面平面，利用點到平面距離向量公式得到答案.【詳解】D選項，如圖1，連接，與相交于O點，因為⊥平面，且平面，所以⊥，又因為⊥，，平面，所以⊥平面，即直線與平面所成的角為，且，故D錯誤；C選項，如圖2，連接，以D為原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，則，則，所以⊥平面，又因為平面，則⊥，故C錯誤；B選項，三棱錐的外接球就是正方體的外接球，設(shè)其外接球的半徑為R，則，即，所以，故B錯誤；A選項，如圖3，因為，平面，平面，所以平面，同理平面，又，平面，所以平面平面，由B選項可知，平面的一個法向量為，且，則兩平面間的距離，故A正確.故選：A8.已知兩點的坐標分別為，兩條直線和的交點為，則的最大值為（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】由直線所過定點和兩直線垂直得到點的軌跡，再設(shè)，結(jié)合輔助角公式求出即可；【詳解】由題意可得直線恒過定點，恒過定點，且兩直線的斜率之積為，所以兩直線相互垂直，所以點在以線段為直徑的圓上運動，，設(shè)，則，所以，所以當時，即時，取得最大值，此時點的坐標為.故選：D.二、多選題（共20分）9.如圖，四棱柱中，為的中點，為上靠近點的五等分點，則（）A B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】運用空間向量的基底表示，結(jié)合平面向量的三角形法則和線性運算規(guī)則可解.【詳解】，即，故A錯誤、B正確；，即，故C錯誤，D正確.故選：BD.10.下列結(jié)論正確的是（）A.已知向量，則在上的投影向量為B.若對空間中任意一點，有則P，A，B，C四點共面C.已知是空間的一組基底，若，則也是空間的一組基底D.若直線的方向向量為平面的法向量，則直線【答案】ABC【解析】【分析】利用投影向量的定義判斷A，利用空間四點共面，滿足，其中判斷B，根據(jù)向量基底的概念判斷C，利用線面關(guān)系的向量表示判斷D.【詳解】因為，所以在上的投影向量為，故A對；因，且，則P，A，B，C四點共面，因為，所以P，A，B，C四點共面，故B對；是空間的一組基底，若，所以兩向量之間不共線，所以也是空間的一組基底，故C對；因為直線的方向向量為平面的法向量，且，則直線或，故D錯；故選：ABC11.由正四棱錐P-ABCD和正方體ABCD-A1B1C1D1組成的多面體的所有棱長均為2，則（）A.平面 B.平面平面C.與平面所成角的余弦值為 D.點P到平面的距離為【答案】BD【解析】【分析】建立空間直角坐標系，判斷與平面的一個法向量是否垂直即可判斷A；根據(jù)平面和平面的法向量是否垂直判斷出B；由線面夾角的正弦的公式及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可判斷C；由點到平面的距離公式即可判斷D．【詳解】以為原點，以所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，連接，與交點為，連接，則平面，因為正四棱錐和正方體的所有棱長均為，所以，，點坐標為，所以，則，又，，，，，對于A：，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取得，因為，所以與平面不平行，故A錯誤；對于B：由A得平面的一個法向量為，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，取得，因為，即，所以平面平面，故B正確；對于C：由A得平面的一個法向量為，，設(shè)與平面所成角為，則，所以，即與平面所成角的余弦值為，故C錯誤；對于D：由A得平面的一個法向量為，因為，所以點到平面的距離，故D正確；故選：BD．12.如圖所示，在棱長為2的正方體中，分別為的中點，則（）A.B.平面C.直線與平面所成的角為D.三棱錐外接球表面積為【答案】AD【解析】【分析】由線面垂直的判定及性質(zhì)即可判斷A；由線面關(guān)系即可判斷B；由線面角的定義即可判斷C；由球的表面積公式即可判斷D．【詳解】對于A，連接，則，因為，所以，因為平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故A正確；對于B，連接，由正方體得，，又，所以，因為平面，即與平面不平行，所以與平面不平行，故B錯誤；對于C，由題意知，是直線與平面所成的角，且，所以直線與平面所成的角不是，故C錯誤；對于D，由正方體得，平面，且，，所以三棱錐外接球的直徑，所以，外接球表面積為，故D正確；故選：AD．三、填空題（共20分）13.在正方體中，是棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值是__________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標系，利用向量的夾角即可求解.【詳解】因為是正方體，建立以為原點的坐標系，如圖，設(shè)正方體的棱長為2，則有，，，，，，設(shè)異面直線與所成角為，．故答案為：．14.設(shè)點，若直線關(guān)于對稱的直線與圓有公共點，則a的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】首先求出點關(guān)于對稱點的坐標，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；【詳解】解：關(guān)于對稱的點的坐標為，在直線上，所以所在直線即為直線，所以直線為，即；圓，圓心，半徑，依題意圓心到直線的距離，即，解得，即；故答案為：15.已知，，若點Px,y在線段上，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)的形式，可轉(zhuǎn)化為線段AB上點與連線的斜率，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】的幾何意義是點Px,y與點連線的斜率，又點Px,y在線段上，由圖知，因為，，所以，因為點P是線段AB上的動點，所以，故答案為：16.如圖，在正三棱柱中，、分別是、的中點.設(shè)D是線段上的（包括兩個端點）動點，當直線與所成角的余弦值為，則線段的長為_______.【答案】【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)，利用空間向量法計算異面直線所成角的余弦值，即可得到方程，解得，從而得解．【詳解】解：如圖以為坐標原點建立空間直角坐標系：則設(shè)，則，設(shè)直線與所成角為所以，即，解得或（舍去），所以，故答案為：．四、解答題（共70分）17.如圖，三棱錐中，，，，E為BC的中點．（1）證明：；（2）點F滿足，求二面角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意易證平面，從而證得；（2）由題可證平面，所以以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，再求出平面的一個法向量，根據(jù)二面角的向量公式以及同角三角函數(shù)關(guān)系即可解出．【小問1詳解】連接，因為E為BC中點，，所以①，因為，，所以與均為等邊三角形，，從而②，由①②，，平面，所以，平面，而平面，所以．【小問2詳解】不妨設(shè)，，．，，又，平面平面．以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：設(shè)，設(shè)平面與平面的一個法向量分別為，二面角平面角為,而，因為，所以，即有，，取，所以；，取，所以，所以，，從而．所以二面角的正弦值為．18.在三角形中，內(nèi)角所對邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，三角形的面積為，求三角形的周長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由正弦定理進行邊角互化可得，結(jié)合兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求出，即可求出.(2)由三角形的面積公式可得，結(jié)合及余弦定理即可求出，即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由正弦定理得，所以所以，整理得，因，所以，因此，所以，所以.【小問2詳解】由的面積為，得，解得，又,則，.由余弦定理得，解得，，所以的周長為.19.如圖，四面體中，，E為的中點．（1）證明：平面平面；（2）設(shè)，點F在上，當?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明過程見解析（2）與平面所成的角的正弦值為【解析】【分析】（1）根據(jù)已知關(guān)系證明，得到，結(jié)合等腰三角形三線合一得到垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直的判定定理即可證明；（2）根據(jù)勾股定理逆用得到，從而建立空間直角坐標系，結(jié)合線面角的運算法則進行計算即可.【小問1詳解】因為，E為的中點，所以；在和中，因為，所以，所以，又因為E為的中點，所以；又因為平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】連接，由（1）知，平面，因為平面，所以，所以，當時，最小，即的面積最小.因為，所以，又因為，所以是等邊三角形，因為E為的中點，所以，，因為，所以,在中，，所以.以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，則，取，則，又因為，所以，所以，設(shè)與平面所成的角為，所以，所以與平面所成的角的正弦值為.20.已知的頂點，頂點在軸上，邊上的高所在的直線方程為．（1）求直線的方程；（2）若邊上的中線所在的直線方程為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線的斜率，利用點斜式可得出直線的方程；（2）設(shè)點，求出線段的中點的坐標，將點的坐標代入直線的方程，求出的值，可得出點的坐標，再將點的坐標代入直線的方程，即可求出實數(shù)的值.【小問1詳解】解：由條件知邊上的高所在的直線的斜率為，所以直線的斜率為，又因為，所以直線的方程為，即.【小問2詳解】解：因為點在軸上．所以設(shè)，則線段的中點為，點在直線上，所以，得，即，又點在直線上，所以，解得．21.在四棱錐中，四邊形是直角梯形，且平面，，點在棱上．（1）當時，求證:平面;（2）若直線與平面所成的角為，二面角的余弦值為，求的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于點O，連接，利用幾何性質(zhì)證明，即可證明結(jié)論；（2）建立空間直角坐標系，求得相關(guān)點的坐標，設(shè)，求出平面的法向量,用表示出平面的法向量，利用向量的夾角公式計算，即可求得答案.小問1詳解】證明：連接交于點O，連接，由知，，∴，∵，∴，∴，又平面，平面，∴平面．【小問2詳解】∵平面，∴為與底面所成的角，即，∴，又四邊形是直角梯形，故以D為坐標原點，分別以為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，∴，，，設(shè)平面法向量為，則，即，令，則，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，因為二面角的余弦值為∴，解得，∴．22.在信道內(nèi)傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發(fā)送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發(fā)送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．現(xiàn)有兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發(fā)送1次，三次傳輸是指每個信號重復發(fā)送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規(guī)則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼（例如，若收到1，則譯碼為1，若收到0，則譯碼為0）；三次傳輸時，收到的信號中出現(xiàn)次數(shù)多的即為譯碼（例如，若依次收到，則譯碼為1，若依次收到，則譯碼為1）．（1）已知．①若采用單次傳輸方案，重復發(fā)送信號0兩次，求至少收到一次0的概率；②若采用單次傳輸方案，依次發(fā)送，證明：事件“第三次收到的信號為1”與事件“三次收到的數(shù)字之和為2”相互獨立．（2）若發(fā)送1，采用三次傳輸方案時譯碼為0的概率大于采用單次傳輸方案時譯碼為0的概率，求的取值范圍．【答案】（1）①；②證明見解析（2）【解析】【分析】（1）①記事件為“至少收到一次0”，利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算可得；②記事件為“第三次收到的信號為1”，事件為“三次收到的數(shù)