4.5.3 函數(shù)模型的應(yīng)用(教材完美復(fù)刻)課件 人教A版2019版必修一 原創(chuàng)

高中數(shù)學(xué)/人教A版/必修一教材內(nèi)容完美復(fù)刻第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.5.3函數(shù)模型的應(yīng)用二我們知道，函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來刻畫．面臨一個實(shí)際問題，該如何選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來刻畫它呢？例3

人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)心的問題．認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù)．早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：

y＝y(tǒng)0ert，其中t表示經(jīng)過的時間，y0表示t＝0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率．盡管對馬爾薩新人口理論存在一些爭議，但它對人口學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展都產(chǎn)生了一定的影響．上網(wǎng)了解，還有哪些人口模型，它們與我們所學(xué)的函數(shù)有怎樣的關(guān)系？表4.5-4是1950~1959年我國的人口數(shù)據(jù)資料：表4.5-4年份1950195119521953195419551956195719581959人口數(shù)/萬55196563005748258796602666145662828645636599467207

（1）如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率（精確到0.0001），用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型，并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符；（2）如果按表4.5-4的增長趨勢，那么大約在哪一年我國的人口數(shù)達(dá)到13億？

分析：用馬爾薩斯人口增長模型建立具體人口增長模型，就是要確定其中的初始量y0和年平均增長率r．解：由圖4.5-6可以看出，所得模型與1950~1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合．

（2）如果按表4.5-4的增長趨勢，那么大約在哪一年我國的人口數(shù)達(dá)到13億？所以，如果按表4.5-4的增長趨勢，那么大約在1950年后的第39年（即1989年）我國的人口就已達(dá)到13億．解：思考：事實(shí)上，我國1989年的人口數(shù)為11.27億，直到2005年才突破13億．對由函數(shù)模型所得的結(jié)果與實(shí)際情況不符，你有何看法？

因?yàn)槿丝诨鶖?shù)較大，人口增長過快，與我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平產(chǎn)生了較大矛盾，所以我國從20世紀(jì)70年代逐步實(shí)施了計劃生育政策．因此這一階段的人口增長條件并不符合馬爾薩斯人口增長模型的條件，自然就出現(xiàn)了依模型得到的結(jié)果與實(shí)際不符的情況．在用已知的函教模型刻畫實(shí)際問題時，應(yīng)注意模型的適用條件．下面來解決章引言中的問題．

例42010年，考古學(xué)家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14年代學(xué)檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的55.2%，能否以此推斷此水壩大概是什么年代建成的？因?yàn)?010年之前的4912年是公元前2902年，所以推斷此水壩大概是公元前2902年建成的．練習(xí)（第150頁）1．已知1650年世界人口為5億，當(dāng)時人口的年增長率為0.3%；1970年世界人口為36億，當(dāng)時人口的年增長率為2.1%．（1）用馬爾薩斯人口模型計算，什么時候世界人口是1650年的2倍？什么時候世界人口是1970年的2倍？解：（2）實(shí)際上，1850年以前世界人口就超過了10億；而2004年世界人口還沒有達(dá)到72億．你對同樣的模型得出的兩個結(jié)果有何看法？解析：（2）根據(jù)實(shí)際情況,對1650年得到的結(jié)論，公式中的增長速度要小于實(shí)際的增長速度，而對于1970年得到的結(jié)論，公式中的增長速度要大于實(shí)際的增長速度．可見近幾十年，各國為控制人口增長而采取了一定的措施，已經(jīng)有了一定成效，或者此模型不太適宜估計時間跨度非常大的人口增長情況．2．在一段時間內(nèi)，某地的野兔快速繁殖，野免總只數(shù)的倍增期為21個月，那么1萬只野免增長到1億只野兔大約需要多少年？解：3．1959年，考古學(xué)家在河南洛陽偃師市區(qū)二里頭村發(fā)掘出了一批古建筑群，從其中的某樣本中檢測出碳14的殘余量約為初始量的62.76%，能否以此推斷二里頭遺址大概是什么年代的？解：因?yàn)?959年之前的3851年是公元前1892年，所以推理二里頭遺址大概是公元前1892年建成的．

在實(shí)際問題中，有的能應(yīng)用已知的函數(shù)模型解決，有的需要根據(jù)問題的條件建立函數(shù)模型加以解決．例5

假設(shè)你有一筆資金用于投資，現(xiàn)有三種投資方案供你選擇，這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40元；方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回報10元；方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番．請問，你會選擇哪種投資方案？

分析：我們可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù)．

投資方案選擇原則：投入資金相同，回報量多，投資周期合理

比較三種方案每天回報量(2)比較三種方案一段時間內(nèi)的總回報量

哪個方案在某段時間內(nèi)的總回報量最多，我們就在那段時間選擇該方案。

我們可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型，再通過比較它們的增長情況，為選擇投資方案提供依據(jù)。解：設(shè)第x天所得回報為y元，則方案一：每天回報40元；y=40(x∈N*)方案二：第一天回報10元，以后每天比前一天多回 報10元； y=10x(x∈N*)方案三：第一天回報0.4元，以后每天的回報比前一天翻一番。

y=0.4×2x-1(x∈N*)x/天方案一方案二方案三y/元增長量/元y/元增長量/元y/元增長量/元1400100.4240020100.80.4340030101.60.8440040103.21.6540050106.43.26400601012.86.47400701025.612.88400801051.225.694009010102.451.21040010010204.8102.4…………………3040030010214748364.8107374182.4根據(jù)所列的表格中提供的數(shù)據(jù),你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報資金的增長差異有什么認(rèn)識?方案一每天的回報不變;方案二、三每天的回報都在增加,且方案三隨x的增加每天的回報越來越大,比方案二要大得多。作出三個方案的圖象看看?20406080100120246810Oyxy＝40y＝10xy＝0.4×2x－1

函數(shù)圖象是分析問題的好幫手.為了便于觀察，我們用虛線連接離散的點(diǎn).20406080100120246810Oyxy＝40y＝10x

根據(jù)以上的分析，是否應(yīng)作這樣的選擇:投資5天以下選方案一，投資5~8天選方案二，投資8天以上選方案三？y＝0.4×2x－1根據(jù)以上分析,你認(rèn)為該作出何種選擇?從問題1可知,考慮回報量,除了要考慮每天的回報量之外,還得考慮回報的累積值.你能把前11天回報的累積值算出來嗎?累計回報表

天數(shù)方案1234567891011一4080120160200240280320360400440二103060100150210280360450550660三0.41.22.8612.425.250.8102204.4409.2816.8

答：投資8天以下（不含8天）,應(yīng)選擇第一種投資方案；投資8~10天，應(yīng)選擇第二種投資方案；投資11天（含11天）以上，應(yīng)選擇第三種投資方案。常數(shù)函數(shù)一次函數(shù)指數(shù)型函數(shù)幾種常見函數(shù)的增長情況：保持不變

直線上升勻速增長急劇增長指數(shù)爆炸沒有增長解決實(shí)際問題的步驟：實(shí)際問題讀懂問題抽象概括數(shù)學(xué)問題演算推理數(shù)學(xué)問題的解還原說明實(shí)際問題的解例6某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：在銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金y(單位：萬元)隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金總數(shù)不超過5萬元，同時獎金不超過利潤的25%?，F(xiàn)有三個獎勵模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪個模型能符合公司的要求？①銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且部門銷售利潤一般不會超過公司總的利潤1000萬元，所以銷售利潤x可用不等式表示為____________.③依據(jù)這個模型進(jìn)行獎勵時，獎金不超過利潤的25%，所以獎金y可用不等式表示為______________.②依據(jù)這個模型進(jìn)行獎勵時，獎金總數(shù)不超過5萬元，所以獎金y可用不等式表示為__________.10≤x≤10000≤y≤50≤y≤25%解析：▲通過觀察圖象，你認(rèn)為哪個模型符合公司的獎勵方案？2004006008001000234567810①對于模型y=0.25x,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,

當(dāng)x>20時,y>5,因此該模型不符合要求;②對于模型y=1.002x,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,觀察圖象并結(jié)合計算可知,當(dāng)x>806時,y>5,因此該模型不符合要求;③對于模型y=log7x+1,它在區(qū)間[10,1000]上遞增,觀察圖象并結(jié)合計算可知,當(dāng)x=1000時,y=log71000+1≈4.55<5,所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求；★按模型y=log7x+1獎勵時，獎金是否不超過利潤的25%呢？解：當(dāng)x∈[10,1000]時,要使y≤0.25x成立,

令f(x)=log7x+1－0.25x,當(dāng)x∈[10,1000]時,是否有f(x)≤0恒成立?

即當(dāng)x∈[10,1000]時,f(x)=log7x+1－0.25x的圖象是否在x軸下方?只需log7x+1≤0.25x成立，即log7x+1－0.25x≤0。yx123456780f(x)=log7x+1－0.25x1-1作f(x)=log7x+1－0.25x的圖象如下：根據(jù)圖象觀察,f(x)=log7x+1－0.25x的圖象在區(qū)間[10,1000]內(nèi)的確在x軸的下方.f(x)=log7x+1－0.25x這說明,按模型y=log7x+1獎勵,獎金不會超過利潤的25%.1.請同學(xué)談?wù)勀銓最惒煌鲩L的函數(shù)模型（一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)）差異的認(rèn)識。2.幾類增長函數(shù)建模的步驟列解析式具體問題畫出圖像（形）列出表格（數(shù)）不同增長確定模型預(yù)報和決策控制和優(yōu)化3.你是否還有其他感悟。

隨堂小結(jié)常數(shù)函數(shù)一次函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)增長量為零增長量相同增長量迅速增加增長量減少沒有增長直線增長指數(shù)爆炸對數(shù)增長練習(xí)（第154頁）乙選擇的模型更符合實(shí)際解：2．由于提高了養(yǎng)殖技術(shù)并擴(kuò)大了養(yǎng)殖規(guī)模，某地的肉雞產(chǎn)量在不斷增加．2008~2018年的11年，上市的肉雞數(shù)量如下：時間/年20082009201020112012201320142015201620172018肉雞數(shù)量/噸76907850800081508310846086208770892090809230同期該地的人口數(shù)如下：時間/年20082009201020112012201320142015201620172018人口數(shù)/萬100.0101.2102.4103.6104.9106.1107.4108.7110.0111.3112.7（1）分別求出能近似地反映上述兩組數(shù)據(jù)變化規(guī)律的函數(shù)；（2）如果2017年該地上市的肉雞基本能滿足本地的需求，那么2018年是否能滿足市場的需求？（3）按上述兩表的變化趨勢，你對該地2018年后肉雞市場的發(fā)展有何建議？解：（2）如果2017年該地上市的肉雞基本能滿足本地的需求，那么2018年是否能滿足市場的需求？即2014年和2015年每萬人平均可有肉雞數(shù)量分別為81.45噸和81.90噸，而2014年該地上市的肉雞基本能滿足本地的需求，2015年每萬人平均可有肉雞數(shù)量又大于2014年的，所以2015年能滿足市場的需求．解：（3）按上述兩表的變化趨勢，你對該地2018年后肉雞市場的發(fā)展有何建議？所以如果按已知兩表的變化趨勢，該地每萬人平均可有肉雞數(shù)數(shù)量在逐漸緩慢增加，上市的肉雞能滿足本地的需求．考慮到隨著生活水平的提高，對肉雞的需求會有所增加，所以該地2015年后的肉雞市場只需基本按照目前的趨勢發(fā)展即可．解：習(xí)題4.5(第155-156頁）1．下列函數(shù)圖象與軸均有交點(diǎn)，其中不能用二分法求其零點(diǎn)的是

．（填寫上所有符合條件的圖號）①③x123456y136.13615.552-3.9210.88-52.488-232.064解：解：解：解：6．一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機(jī)病毒，開機(jī)時占據(jù)內(nèi)存2KB，然后每3分自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍．那么開機(jī)后多少分，該病毒會占據(jù)64MB內(nèi)存（1MB=1024KB）？

開機(jī)后45分，該病毒會占據(jù)64MB內(nèi)存．解：解：解：9．如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：m2）與時間t（單位：月）的關(guān)系為．關(guān)于下列說法：①浮萍每月的增長率為1；②第5個月時，浮萍面積就會超過30m2；③浮萍每月增加的面積都相等；④若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所經(jīng)過的時間分別是t1，t2，t3，則t1+t2=t3

．其中正確的說法是（）A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④解析：9．如圖，某池塘里浮萍的面積y（單位：m2）與時間t（單位：月）的關(guān)系為．關(guān)于下列說法：①浮萍每月的增長率為1；②第5個月時，浮萍面積就會超過30m2；③浮萍每月增加的面積都相等；④若浮萍蔓延到2m2，3m2，6m2所經(jīng)過的時間分別是t1，t2，t3，則t1+t2=t3

．其中正確的說法是（）A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④C10．一種藥在病人血液中的量保持在1500mg以上時才有療效，而低于500mg時病人就有危險．現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥2500mg，如果藥在血液中以每小時20%的比例衰減，那么應(yīng)在什么時間范圍再向病人的血液補(bǔ)充這種藥（精確到0.1h）？設(shè)應(yīng)在病人注射這種藥th后再向病人的血液補(bǔ)充這種藥．

應(yīng)在用藥后2.3h至7.2h再向病人的血液補(bǔ)充這種藥．解：11．人類已進(jìn)入大數(shù)據(jù)時代．目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從TB（1TB＝1024GB）級別躍升到PB（1PB＝1024TB），EB（1EB＝1024PB）乃至ZB（1ZB＝1024EB）級別．國際數(shù)據(jù)公司（IDC）的研究結(jié)果表面，2008年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量為0.49ZB，2009年的數(shù)據(jù)量為0.8ZB，2010年增長到1.2ZB，2011年的數(shù)量更是高達(dá)1.2ZB，而到了2020年，預(yù)計全世界所產(chǎn)生的數(shù)據(jù)規(guī)模將達(dá)到2011年的44倍．解析：從第二年起，計算每一年數(shù)據(jù)量與前一年數(shù)據(jù)量的比值，列表如下．時間/年2008200920102011…2020數(shù)據(jù)量/ZB0.4