數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)：三角函數(shù)的定義

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析一、任意角的三角函數(shù)的定義注意：（1)任意角的三角函數(shù)是在坐標(biāo)系中定義的,角的范圍(自變量取值）是全體實(shí)數(shù).（2)一個(gè)任意角α的三角函數(shù)值只依賴(lài)于α的大?。粗慌c這個(gè)角的終邊位置有關(guān)),而與P點(diǎn)在終邊上的位置無(wú)關(guān)。(3)正弦,余弦,正切,余切,正割，余割都是以角為自變量,以比值為函數(shù)值的函數(shù)。（4)sinα不是sin與α的乘積，而是一個(gè)比值；三角函數(shù)記號(hào)是一個(gè)整體,離開(kāi)自變量的“sin"“tan"等是沒(méi)有意義的。每個(gè)詞的第一個(gè)字母“s”或“c"或“t”都不能大寫(xiě)?！纠?】已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3a,—4a）(a≠0),求sinα，cosα,tanα,secα，cscα,cotα的值。思路分析：在由三角函數(shù)的定義求三角函數(shù)時(shí),應(yīng)先確定α終邊位置。由于含有參數(shù)a，而a的條件為a≠0,所以必須對(duì)a進(jìn)行討論，這一點(diǎn)不可忽視。解：∵x=3a,y=—4a，∴r==5｜a｜(a≠0）.(1）當(dāng)a>0時(shí),r=5a,α是第四象限角。sinα==,cosα==,tanα==,cotα=，secα==,cscα==.（2）當(dāng)a<0時(shí),r=-5a，α是第二象限角。于是sinα=,cosα=，tanα=,cotα=，secα=,cscα=.溫馨提示（1）當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際及解題的需要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論.（2）求任意角的三角函數(shù)，有時(shí)需要確定角所在的象限，相應(yīng)地以此來(lái)確定三角函數(shù)的符號(hào),這是容易出現(xiàn)錯(cuò)誤的地方。各個(gè)擊破類(lèi)題演練1已知角α的終邊經(jīng)過(guò)P（—2，—3),求角α的正弦，余弦，正切值。解:∵x=-2，y=—3，r=，∴sinα===,cosα===，tanα===.變式提升1已知角α的終邊在直線y=—3x上，則10sinα+3secα=________.思路分析:由角α的終邊落在直線y=—3x上，所以可設(shè)其終邊上一點(diǎn)為P(k，—3k)(k≠0）,再分k>0與k〈0求解。解:設(shè)角α終邊上任一點(diǎn)為P(k，-3k）（k≠0)，則x=k,y=-3k,r=|k｜.（1)當(dāng)k〉0時(shí)，r=k,α是第四象限角，sinα==，secα==,∴10sinα+3secα=10×（)+=+=0.(2）當(dāng)k<0時(shí),r=k，α為第二象限角，sinα==，secα==,∴10sinα+3secα=10×+3×(）==0.綜合以上兩種情況均有10sinα+3secα=0。答案:0溫馨提示要清楚當(dāng)k〉0時(shí),P（k,-3k）是第四象限內(nèi)的點(diǎn),角α的終邊在第四象限;當(dāng)k〈0時(shí),P(k，-3k)是第二象限內(nèi)的點(diǎn)，角α的終邊在第二象限，這與角α的終邊在y=-3x上是一致的.二、三角函數(shù)的定義域【例2】求下列函數(shù)的定義域:（1)y=sinx+cosx;(2）y=+tanx.解：（1)∵使sinx，cosx有意義的x∈R，∴y=sinx+cosx的定義域?yàn)镽。(2）當(dāng)sinx≥0且tanx有意義時(shí),函數(shù)有意義,∴有(k∈Z）∴函數(shù)y=+tanx的定義域?yàn)椋?kπ，2kπ+)∪（2kπ+，（2k+1）π］（k∈Z）。類(lèi)題演練2求函數(shù)y=tan（x-）的定義域.思路分析:∵y=tanx的定義域?yàn)椋鹸｜x≠kπ+,k∈Z},∴本題中將x-看作一個(gè)角即可解得x的取值范圍.解:設(shè)θ=x-,在y=tanx中,θ≠kπ+,k∈Z,∴x—≠kπ+,k∈Z.∴x≠kπ+,k∈Z?！喽x域?yàn)椋鹸|x≠kπ+，k∈Z｝。變式提升2x取什么值時(shí),有意義?解:由題意得解得所以當(dāng)｛x|x≠，k∈Z}時(shí)，有意義。三、三角函數(shù)值的符號(hào)【例3】確定下列式子的符號(hào):(1)tan125°·sin273°;（2）；(3)sin·cos·tan；(4）;（5）tan191°—cos191°；（6）sin3·cos4·tan5·cot6.解：(1）∵125°是第二象限角，∴tan125°<0;∵273°是第四象限角，∴sin273°〈0.從而tan125°sin273°>0.∴式子符號(hào)為正.(2）∵108°是第二象限角，∴tan108°<0.∵305°是第四象限角,∴cos305°〉0。從而〈0,∴式子符號(hào)為負(fù)。（3)∵是第三象限角，是第二象限角；是第四象限角。∴sin<0,cos<0，tan<0,從而sin·cos·tan<0?！嗍阶臃?hào)為負(fù)。(4）∵是第二象限角,是第四象限角,是第二象限角.∴cos〈0,tan<0，sin>0.從而>0?！嗍阶臃?hào)為正。（5)∵191°是第三象限角,∴tan191°>0,cos191°〈0?！鄑an191°—cos191°〉0?！嗍阶臃?hào)為正.(6)∵<3<π，π〈4〈，〈5〈6〈2π，∴sin3>0，cos4<0,tan5〈0，cot6〈0.∴sin3·cos4·tan5·cot6<0。∴式子符號(hào)為負(fù).類(lèi)題演練3判定下列各式的符號(hào)：（1）sin105°·cos230°;（2）sin·tan;(3)cos6·tan6;（4)sin4·tan（）.解：（1)∵105°,230°分別為第二、第三象限角，∴sin105°〉0，cos230°<0?！鄐in105°·cos230°<0.(2）∵〈〈π,∴是第二象限角.∴sin〉0，tan〈0?！鄐in·tan〈0。（3)∵〈6<2π，∴6弧度的角是第四象限角.∴cos6〉0,tan6〈0.∴cos6·tan6<0。(4）∵π〈4<，∴sin4〈0.又=-6π+,∴與終邊相同.∴tan（)>0?！鄐in4·tan（）<0.變式提升3若α同時(shí)滿足tanα<0,cosα〉0，（1）求α的集合；(2）判斷sin，cos,tan的符號(hào).解：（1）由cosα〉0知α的終邊在第一或第四象限,或在x軸的非負(fù)半軸上。由tanα〈0,得α終邊又在第二、四象限.因此，α的終邊在第四象限.∴角α的集合為{α|2kπ—〈α〈2kπ，k∈Z}.（2）∵2kπ—〈α〈2kπ,k∈Z，∴kπ-<<kπ，k∈Z.當(dāng)k=2n(n∈Z）時(shí)，2nπ-〈<2nπ?！鄐in〈0,cos>0,tan