數(shù)學課堂導學：三角函數(shù)的周期性

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析1。周期函數(shù)與周期的意義【例1】求下列三角函數(shù)的周期。（1）y=sin（x+）；（2）y=3sin(+).思路分析：運用周期函數(shù)的定義即可。解：（1)令z=x+,而sin（2π+z）=sinz,即f(2π+z)=f（z）,f［(2π+x）+］=f(x+).∴周期T=2π.（2)令z=+，則f(x）=3sinz=3sin(z+2π）=3sin(++2π)=3sin（)=f(x+4π).∴T=4π。溫馨提示理解好周期函數(shù)與周期的意義.對定義中的任意一個x滿足f（x+T)=f（x),而非某一個x值.也可用公式T=求周期。2.判斷函數(shù)是否具有周期性和求周期【例2】求證：（1）y=cos2x+sin2x的周期為π;(2)y=｜sinx｜+｜cosx|的周期為.思路分析：觀察特征，運用定義。證明：（1）f（x+π）=cos2(x+π)+sin2(x+π）=cos（2π+2x）+sin（2π+2x）=cos2x+sin2x=f(x）,∴y=cos2x+sin2x的周期是π.(2)f(x+）=|sin(x+）|+|cos（x+）|=|cosx｜+|-sinx|=｜sinx|+｜cosx｜=f（x）,∴y=|sinx|+｜cosx｜的周期是.溫馨提示“f(x+T)=f(x）"是定義域內(nèi)的恒等式，即對定義域內(nèi)的每一個值都成立。可以用上式驗證一個量是否是一個函數(shù)的周期.3.判斷函數(shù)是否具有周期性【例3】證明y=sin｜x|不是周期函數(shù).思路分析:運用定義進行證明。證明：假設y=sin|x｜是周期函數(shù)，且周期為T,則sin｜x+T|=sin|x|（x∈R）.(1)當T≥時，令x=,得sin｜+T|=sin|｜sin（+T)=sincosT=1；令x=—，得sin｜-+T|=sin|—｜sin(-+T)=sin-cosT=1cosT=—1.由此得1=-1,這一矛盾說明T≥不可能.（2)當T≤-時，令x=x′—T得，sin|x′—T+T|=sin|x′—T|sin｜x′-T｜=sin｜x′｜,即-T是函數(shù)的周期。但—T≥，由(1)知這是不可能的。（3)當—＜T＜時,令x=0得，sin｜T|=sin|0|sinT=0T=0（周期不為零)。由此可知原函數(shù)無周期，故y=sin|x｜不是周期函數(shù).溫馨提示進一步理解定義，①存在一個常數(shù)T≠0；②當x取定義域內(nèi)每一個值時(而不是某一個）,都有f（x+T）=f（x）恒成立。各個擊破類題演練1求下列函數(shù)的最小正周期.（1）f（x）=3sinx;(2)f(x)=sin2x;(3）f(x)=2sin（)。解:(1）f（x）=3sinx=3sin(x+2π）=f(x+2π)，函數(shù)的最小正周期為2π.（2）f（x)=sin2x=sin（2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π），函數(shù)的最小正周期為π.（3）f（x）=2sin（）=2sin(+2π）＝2sin[(x+）+］=f（x+4π)，函數(shù)的最小正周期為4π.變式提升1定義在R上的函數(shù)f（x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若f(x)的最小正周期是π,且當x∈［0,］時,f(x)=sinx,則f(π)的值為（)A.B。C.D。解析：由題意：f（π）=f(—π)=f（—π+2π)=f()=sin=.答案：D類題演練2設f(x）是定義在R上以2為周期的周期函數(shù),且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間［2,3］上，f(x)=—2(x-3)2+4，求x∈［1,2]時，f(x）的解析表達式.解：當x∈［-3，-2］時，—x∈［２，3］?！遞(x)是偶函數(shù)，∴f(x）=f(—x)=-2（-x-3)2+4=-2（x+3)2+4.又∵f（x）是以2為周期的周期函數(shù)，當x∈［1,2]時，—3≤x—4≤-2,∴f(x）=f(x—4）=—2[(x—4)+3］2+4=—2（x-1）2+4.∴f(x）=—2（x—1）2+4（1≤x≤2)。變式提升2定義在R上的偶函數(shù)f(x)，其圖象關于直線x=2對稱,當x∈（-2,2）時，f（x）=x2+1，則x∈（—6，-2)時,f(x)=__________________。解析:∵偶函數(shù)f（x）其圖象關于直線x=2對稱，∴f（x+4)=f(x)，f(x）是周期函數(shù),且4是它的一個周期。當x∈（—6，—2）,x+4∈（—2，2）?！鄁（x)=f(x+4）=（x+4）2+1=x2+8x+17.答案:x2+8x+17類題演練3證明下列函數(shù)不是周期函數(shù)。（1）y=x3；（2)y=sinx2.證明：（1)因為y=x3在x∈R上單調(diào)，設y取到值a，方程x3=a不可能有兩個不同的根，因此y=x3不是周期函數(shù).（2）設函數(shù)y=sinx2是周期函數(shù)，周期為T，那么對所有的x∈R,sin（x+T)2=sinx2。由x的任意性,T=0，所以函數(shù)y不可能是周期函數(shù).變式提升3(1)證明f（x）=1(x∈R)是周期函數(shù)，但沒有最小正周期。證明：因為對于任意實數(shù)T≠0，都有f（x+T）=f(x）=1，所以此函數(shù)是周期函數(shù)，其周期為任意非零實數(shù).但所有正實數(shù)中沒有最小值存在，故此函數(shù)沒有最小正周期.(2）偶函數(shù)f（x）的定義域為R,若f(x-1)=f(x+1)對一切x∈R恒成立，又當0≤x≤1時,f（x）=—x2+4.①求證f(x）是周期函數(shù)，并確定它的周期；②求當1≤x≤2時,f（x）的解析式。①證明：∵f（x）定義域為R且f（x—1）=f（x+1)，∴f（x+2)=f(x+1+1）=f（x+1-1)=f（x）。則f(x）的一個周期為2,且2n(n∈Z,n≠0）