數(shù)學課堂導學案：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析1.求y=Asin(ωx+φ）的振幅、周期、頻率、相位及初相【例1】用五點法作出函數(shù)y=2sin(x—)+3的圖象，并指出它的周期、頻率、相位、初相、最值及單調區(qū)間.思路分析：用“五點法”作函數(shù)圖象，關鍵是作出決定圖象形狀的五個點：三個平衡點,一個最高點和一個最低點.解:（1)列表。xx-0π2πy35313(2）描點.(3)作圖,如下圖所示.周期T=2π,頻率f=，相位x—,初相-,最大值5，最小值1，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為［2kπ+，2kπ+],單調遞增區(qū)間為[2kπ-,2kπ+］，k∈Z.將函數(shù)在一個周期內的圖象向左、向右兩邊擴展即得y=2sin（x—）+3的圖象。（圖略）溫馨提示用“五點法”作y=Asin(ωx+φ）的圖象用的是整體換元的思想，即令z=ωx+φ，z取五個關鍵值0、、π、、2π,相應地解得x的五個值，作為點的橫坐標，求得對應的縱坐標,然后描出五個點,即決定形狀的五個關鍵點——三個平衡點，一個最高點，一個最低點。2.由y=sinx到y(tǒng)=Asin(ωx+φ）的變化過程【例2】由y=sinx的圖象經(jīng)怎樣變換得到y(tǒng)=sin（2x+）的圖象.解法1:(1）將y=sinx的圖象向左平移得y=sin(x+)的圖象。(2)將y=sin(x+)的圖象上各點的縱坐標保持不變,橫坐標縮短為原來的得y=sin（2x+)的圖象.（3）將y=sin(2x+)的圖象上各點的橫坐標不變,縱坐標縮短為原來的，得到y(tǒng)=sin（2x+）的圖象如下圖所示.解法2：（1）將y=sinx的圖象上各點縱坐標保持不變，橫坐標縮短為原來的，得y=sin2x的圖象。（2)將y=sin2x的圖象上各點的橫坐標保持不變，縱坐標縮短為原來的，得y=sin2x的圖象.（3）將y=sin2x的圖象向左平移個單位，得y=sin[2（x+）］=sin（2x+）的圖象。溫馨提示（1)由y=sinx的圖象可以通過變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)的圖象。其中A只影響縱坐標的伸縮變換,ω只影響橫坐標的伸縮變換,φ只影響圖象的左右平移變換。（2）本題可以有很多種變換方式,不同的變換次序，直接影響變換的具體過程，特別是周期變換和相位變換的次序改變，直接影響到平行移動的單位.如由y=sin2x得到y(tǒng)=sin（2x+)，是向左平移了個單位，而不是個單位。(3）平行移動的單位是相對于一個x而言的，由y=Asinωx得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ）需向左（φ＞0）或向右（φ＜0）平行移動｜｜個單位.3。先周期變換，后相位變換時，平移量為｜φω｜個單位.【例3】要得到函數(shù)y=3cos（2x-)的圖象c,需要將函數(shù)y=3cos2x的圖象c0。經(jīng)過怎樣的路程最小的平移而得到？思路分析：y=3cos(2x—）=3cos（2x+)，要將c0變?yōu)閥=3cos(2x+）的圖象，只需看x變化了多少.解：因為y=3cos(2x—)=3cos(2x+）=3cos［2（x+）］，所以將c0向左平移得c，路程最小。溫馨提示圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。由y=sinωx的圖象得y=sin（ωx+φ）的圖象需向左（φ＞0)或向右（φ＜0）平移|｜個單位。各個擊破類題演練1指出下列函數(shù)的振幅、周期、初相。（1）y=2sin（+）,x∈R;(2)y=—6sin（2x—),x∈R.解：(1）A=2，T==4π；φ=.(2)將原解析式變形,y=—6sin(2x-)=6sin(2x+）則有A=6，T=2=π；φ=.變式提升1下圖表示電流I與時間t的函數(shù)關系式I=Asin(ωx+φ）在一個周期內的圖象.(1)根據(jù)圖象寫出I=Asin(ωx+φ）的解析式.（2）為了使I=Asin(ωx+φ）中t在任意一段的時間內電流I能同時取得最大值和最小值，那么正整數(shù)ω的最小值是多少？解：(1）由圖可知A=300,設t1=，t3=.∵T=2（t3—t1）=2（+）=，∴ω==100π.由ωt1+φ=0知φ=-ωt1=.∴I=300sin（100πt+)。(2）問題等價于，即,也即ω≥100π,故最小正整數(shù)為ω=315。類題演練2由y=sinx的圖象怎樣變換得到y(tǒng)=sinx（—）的圖象？解：y=sinx的圖象向右平移個單位長度，得到y(tǒng)=sin（x—）的圖象；然后使所得曲線各點的橫坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)y=sin（-）的圖象；最后把所得圖象上各點的縱坐標縮短到原來的倍，得到y(tǒng)=sin（-）的圖象。另解:先將y=sinx圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標伸長為原來的2倍,得y=sinx的圖象。再將y=sin圖象上各點的橫坐標不變,縱坐標縮短為原來的，得y=sin的圖象.最后將y=23sin的圖象向右平移個單位，得y=23sin［（x-）]=23sin（—)的圖象.變式提升2已知函數(shù)y=f(x)，f(x）圖象上每個點的縱坐標保持不變，將橫坐標伸長到原來的2倍，然后再將整個圖象沿x軸向左平移個單位,得到的曲線與y=sinx圖象相同，則y=f（x）的函數(shù)表達式為（）A。y=sin（-）B。y=sin2（x+）C。y=sin（+）D。y=sin（2x-）思路分析：這是一個由復雜函數(shù)y=sin（ωx+φ）的圖象經(jīng)過變換得出較簡單函數(shù)y=sinx圖象的問題,可逆過來從簡單函數(shù)圖象出發(fā)實施逆變換即可得到復雜函數(shù)的解析式。解：根據(jù)題意，y=sinx的圖象沿x軸向右平移個單位后得到y(tǒng)=sin(x-)，再將此函數(shù)圖象上點的縱坐標不變，橫坐標縮短原來的倍，得到y(tǒng)=sin(2x—)，此即y=f（x)的解析式.答案：D類題演練3要得到y(tǒng)=sin(2x-)的圖象，只要將y=sin2x的圖象()A。向右平移個單位B。向左平移個單位C。向右平移個單位D.向左平移個單位解析：y=sin(2x—）=sin2［（x-