高等數(shù)學(xué)（經(jīng)濟(jì)類-上冊(cè)第2版）課件：中值定理

1微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中值定理一、羅爾定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、小結(jié)2小球的豎直上拋運(yùn)動(dòng)小球的變速直線運(yùn)動(dòng)若兩次到達(dá)同一位置，則折返點(diǎn)處小球的變速直線運(yùn)動(dòng)若兩次到達(dá)同一位置，則折返點(diǎn)處一、羅爾定理滿足:(1)在閉區(qū)間上連續(xù)(2)在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)(3)使在內(nèi)至少存在一點(diǎn)幾何解釋連續(xù)曲線端點(diǎn)函數(shù)值相等處處有不垂直于軸的切線曲線弧內(nèi)至少有一條水平切線7為了證明羅爾定理，我們需要引入兩個(gè)概念——極大值和極小值，以及和這兩個(gè)概念相關(guān)的一個(gè)引理——費(fèi)馬引理.定義1設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義，若對(duì)一切有稱是的極小值點(diǎn)，則稱在取得極小值，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值，極小值點(diǎn)和極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)．(大)(大)8引理（費(fèi)馬引理）若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且在點(diǎn)取得極值，則證明：不妨設(shè)在取得極大值，則存在某鄰域，對(duì)任意有從而，當(dāng)時(shí)而當(dāng)時(shí)由在點(diǎn)可導(dǎo)及極限的保號(hào)性，可知且若曲線滿足的點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn).

9注1在取得極大值或極小值，費(fèi)馬引理的幾何意義：則此切線必平行于軸.且曲線在有不垂直于軸的切線，注2費(fèi)馬引理可以簡(jiǎn)述為：可導(dǎo)函數(shù)在取得極值的必要條件：可導(dǎo)的極值點(diǎn)必為函數(shù)駐點(diǎn)亦即，是的駐點(diǎn).下面用費(fèi)馬引理來(lái)證明羅爾定理.一、羅爾定理滿足:(1)在閉區(qū)間上連續(xù)(2)在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)(3)使在內(nèi)至少存在一點(diǎn)證明思路：尋找內(nèi)的駐點(diǎn)可導(dǎo)的極值點(diǎn)是駐點(diǎn)尋找內(nèi)可導(dǎo)的極值點(diǎn)條件(2)尋找內(nèi)的最值點(diǎn)條件(1)上有最大、小值點(diǎn)尋找內(nèi)的極值點(diǎn)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理至少一個(gè)至少一個(gè)至少一個(gè)條件(3)？！最大值、最小值是兩個(gè)不同數(shù)值因?yàn)樵谏线B續(xù)，12羅爾定理的證明:故在上取得最大值

小值.若,則因此若,不妨設(shè)則至少存在一點(diǎn)使則由費(fèi)馬引理得

和最則

和

中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,123關(guān)于羅爾定理?xiàng)l件的說(shuō)明123123(1)定理?xiàng)l件不全具備,結(jié)論不一定成立.注3(2)定理?xiàng)l件只是充分的。尋找內(nèi)可導(dǎo)的極值點(diǎn)至少一個(gè)123關(guān)于羅爾定理?xiàng)l件的說(shuō)明注3則是一元三次方程，15

不求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，說(shuō)明方程有幾個(gè)實(shí)根.解：例1顯然，因此，函數(shù)在區(qū)間上皆滿足羅爾定理的條件.于是，在區(qū)間內(nèi)分別至少存在的一個(gè)實(shí)根，即至少有3個(gè)實(shí)根.另一方面，是四次多項(xiàng)式，是三次多項(xiàng)式，至多有3個(gè)實(shí)根.綜上，方程有且只有3個(gè)實(shí)根.

若在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).

試證多項(xiàng)式函數(shù)分析:在上，滿足羅爾定理的條件內(nèi)連續(xù)，可導(dǎo)，例2零點(diǎn)定理失效.利用羅爾定理證明函數(shù)零點(diǎn)的存在性.17

若在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn).

試證多項(xiàng)式函數(shù)證明：例2令，則且由題設(shè)知.可見(jiàn)，在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件，從而，至少存在一點(diǎn)，使得即說(shuō)明是的一個(gè)零點(diǎn).結(jié)論表明曲線上某點(diǎn)切線水平，18羅爾定理中條件表明端點(diǎn)弦水平，曲線上某點(diǎn)處的切線平行于端點(diǎn)弦去掉羅爾定理中的條件結(jié)論不一定成立？滿足羅爾定理?xiàng)l件？?。?9二、拉格朗日中值定理滿足:(1)在閉區(qū)間上連續(xù)(2)在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)使在內(nèi)至少存在一點(diǎn)幾何解釋連續(xù)曲線處處有不垂直于軸的切線曲線弧內(nèi)至少有一條平行于端點(diǎn)弦的切線20拉格朗日中值定理的證明:令，記在上連續(xù)，在區(qū)間使得顯然，內(nèi)可導(dǎo)，且因此，根據(jù)羅爾定理可知，至少存在一點(diǎn)即21注4(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)至少存在一點(diǎn)使拉格朗日中值定理羅爾定理特殊形式(3)注5拉格朗日中值定理的物理意義沿直線運(yùn)動(dòng)的物體，位置函數(shù)時(shí)間段內(nèi)平均速度速度函數(shù)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，某時(shí)刻瞬時(shí)速度等于平均速度22注6拉格朗日中值定理的其他形式(1)結(jié)論也可寫作借用導(dǎo)函數(shù)性態(tài)估計(jì)函數(shù)性態(tài)函數(shù)滿足且，試估計(jì).23注6拉格朗日中值定理的其他形式(1)結(jié)論也可寫作借用導(dǎo)函數(shù)性態(tài)估計(jì)函數(shù)性態(tài)24注6拉格朗日中值定理的其他形式(1)結(jié)論也可寫作（2）拉格朗日中值定理的有限增量形式:推論若函數(shù)在區(qū)間I上滿足則在I上必為常數(shù).（3）借用導(dǎo)函數(shù)性態(tài)估計(jì)函數(shù)性態(tài)利用上述推論可以證明恒等式的成立.25例3故所證等式在定義域上恒成立.證明等式證明：設(shè)，顯然，時(shí)由拉格朗日中值定理的推論，可知而，又由于，故26思考函數(shù)的定義域?yàn)?，于，但在是否與推論矛盾呢？不是常數(shù)，答：拉格朗日中值定理及其推論給出的是函數(shù)在一個(gè)區(qū)間這里不是一個(gè)區(qū)間，上的性質(zhì)，而在內(nèi)確實(shí)都恒為常數(shù).27利用拉格朗日公式里中值的范圍，可以進(jìn)行不等式的證明.例4證明當(dāng)時(shí)在區(qū)間上滿足證明：即證變形為差商形式設(shè)，顯然，證畢.由，利用拉格朗日中值公式有又由，得于是成立.拉格朗日中值定理的條件.28例5證明：若在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且且，則在上嚴(yán)格單增．證明：任取，所以在上嚴(yán)格單增．對(duì)在區(qū)間上應(yīng)用拉格朗日中值定理，得到由假設(shè)知，且，故從上式推出，即．類似可證：若則在上嚴(yán)格單減．29三、柯西中值定理它的端點(diǎn)弦的斜率為對(duì)于由參數(shù)方程所表示的曲線，闡述這個(gè)結(jié)論的正是柯西中值定理．若拉格朗日中值定理也適合這種情形，則應(yīng)有30三、柯西中值定理滿足:(1)在閉區(qū)間上連續(xù)(2)在開(kāi)區(qū)間

內(nèi)可導(dǎo)(3)使在內(nèi)至少存在一點(diǎn)函數(shù)分析:要證31證:

作輔助函數(shù)且使即由羅爾定理知,至少存在一點(diǎn)思考:

柯西定理的下述證法對(duì)嗎?兩個(gè)

不一定相同則在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，證畢.上面兩式相比即得結(jié)論.32注7即，若令拉格朗日中值定理可看作柯西中值定理的特例.