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試卷第=page11頁,共=sectionpages33頁試卷第=page11頁,共=sectionpages33頁哈師大附中2024—2025學年度高三上學期期中考試數(shù)學試題考試說明:本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分,滿分150分.考試時間為120分鐘.1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚.2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂,非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡簽字筆書寫,字體工整,字跡清楚.3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效,在草稿紙、試題卷上答題無效.4.保持卡面清潔,不得折疊、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、刮紙刀.第Ⅰ卷(選擇題,共58分)一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,,則(

)A. B. C. D.2.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為(

)A. B. C. D.4.已知是單位向量,則“”是“”的(

)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.已知函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,則的取值范圍是(

)A. B. C. D.6.已知等比數(shù)列的前項和為,若,則(

)A. B. C. D.7.菱形邊長為,為平面內(nèi)一動點,則的最小值為(

)A. B. C. D.8.已知函數(shù)為偶函數(shù),且滿足,當x∈0,1,,則的值為(

).A. B. C. D.二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說法中正確的是(

)A.B.函數(shù)的圖象關于點對稱C.將向左平移個單位長度,得到函數(shù)D.若方程在上有個不相等的實數(shù)根,則的取值范圍是10.設正實數(shù)滿足,則(

)A.的最小值為 B.的最大值為C.的最小值為 D.的最小值為11.已知函數(shù),則下列說法中正確的是(

)A.方程有一個解B.若有兩個零點,則C.若存在極小值和極大值,則D.若有兩個不同零點,恒成立,則第Ⅱ卷(非選擇題,共92分)三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.將答案填在答題卡相應的位置上.12.中國冶煉塊鐵的起始年代雖然遲至公元前6世紀,約比西方晚900年,但是冶煉鑄鐵的技術卻比歐洲早2000年.現(xiàn)將一個軸截面為正方形且側面積為的實心圓柱鐵錠冶煉熔化后,澆鑄成一個底面積為的圓錐,則該圓錐的高度為.13.已知某種科技產(chǎn)品的利潤率為,預計5年內(nèi)與時間月滿足函數(shù)關系式其中為非零常數(shù).若經(jīng)過12個月,利潤率為,經(jīng)過24個月,利潤率為,那么當利潤率達到以上,至少需要經(jīng)過個月用整數(shù)作答,參考數(shù)據(jù):14.已知為單位向量,滿足,則的最小值為四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.在中,分別為角所對的邊,且(1)求角B.(2)若,求ABC周長的最大值.16.已知數(shù)列滿足(1)求的通項公式;(2)在和之間插入個數(shù),使得這個數(shù)依次構成公差為的等差數(shù)列,求數(shù)列的前項和.17.行列式在數(shù)學中是一個函數(shù),無論是在線性代數(shù)、多項式理論,還是在微積分學中(比如說換元積分法中),行列式作為基本的數(shù)學工具,都有著重要的應用.將形如的符號稱二階行列式,并規(guī)定二階的行列式計算如下:,設函數(shù).(1)求的對稱軸方程及在上的單調遞增區(qū)間;(2)在銳角△中,已知,,,求.18.已知數(shù)列滿足,().(1)記(),證明:數(shù)列為等比數(shù)列,并求的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和;(3)設(),且數(shù)列的前項和為,求證:().19.已知函數(shù).(1)當時,求在處的切線方程;(2)若恒成立,求的范圍;(3)若在內(nèi)有兩個不同零點,求證:.答案第=page11頁,共=sectionpages22頁答案第=page11頁,共=sectionpages22頁1.D【分析】求解一元二次不等式以及對數(shù)函數(shù)的定義域,從而解得集合,再求交集即可.【詳解】,,故.故選:D.2.D【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的乘方運算,可得其周期,結合復數(shù)的幾何意義,可得答案.【詳解】由,且,則,所以,可得其在復平面上對應的點為,即該點在第四象限.故選:D.3.A【分析】利用導數(shù)與三角函數(shù)的性質研究函數(shù)的單調性,可得答案.【詳解】由,則,當時,,可得f′x>0,則單調遞增;當時,,可得,則單調遞減;由,,,則的最小值為.故選:A.4.A【分析】利用向量三角不等式可得,進而可判斷充分性,若,,時可判斷必要性.【詳解】因為,當且僅當與共線時取等號,所以,所以“”是“”的充分條件,若,則存在,所以,當時,,所以“”是“”的不必要條件,所以“”是“”的充分不必要條件.故選:A.5.D【分析】根據(jù)復合函數(shù)的單調性,可得在的單調性,再根據(jù)其對稱軸和區(qū)間端點值關系,即可求得參數(shù)范圍.【詳解】因為為上的單調減函數(shù),根據(jù)復合函數(shù)單調性可知,在單調遞減,故,解得.故選:D.6.B【分析】根據(jù)給定條件,結合等比數(shù)列片斷和性質,列式計算即得.【詳解】設等比數(shù)列的公比為,由,得,則,又為的前項和,則成等比數(shù)列,公比為,于是,所以.故選:B7.D【分析】根據(jù)條件,建立平面直解坐標系,設,,則,利用數(shù)量積的坐標運算,可得,即可求解.【詳解】如圖,連接交于,因為為菱形,建立如圖所示的平面直角坐標系,

又菱形邊長為,設,,則,所以,則,得到,所以,故選:D.8.C【分析】由函數(shù)為偶函數(shù),且滿足,得出周期為2,根據(jù)性質計算即可.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù),且滿足,可得f?x=fxf1+x=f1?x可得的周期為2,當x∈0,1,,可得:.故選:C.9.AC【分析】對A:由,解得的范圍,即可求得;對B:根據(jù)A中所求解析式,求得的對稱中心橫坐標,檢驗即可;對C:由,結合誘導公式,即可判斷;對D:令,轉化題意為在上有個不相等的實數(shù)根,結合正弦函數(shù)單調性和值域,即可求解.【詳解】對A:由圖可知,,故,,,又,故當且僅當時,滿足題意,故A正確;對B:由A可知,,令,解得,令,解得,故B錯誤;對C:將向左平移個單位長度,得到,又,故C正確;對D:,即,令,故只需在上有個不相等的實數(shù)根,又在單調遞增,在單調遞減,又,故只需,即,故D錯誤.故選:AC.10.ABD【分析】利用基本不等式計算可判斷ACD,利用三角代換計算可判斷B.【詳解】對于A,,當且僅當,即取等號,故A正確;對于B,因為正實數(shù)滿足,所以令,所以,所以當時,,所以的最大值為的最大值為,故B正確;對于C,由,可得,所以,當且僅當取等號,所以的最大值為,故C錯誤;對于D,由,,當且僅當取等號,故D正確.故選:ABD.11.ACD【分析】對A:對兩邊取對數(shù),再進行代數(shù)運算,即可判斷;對B:將轉化為,再研究的單調性和最值,即可求得的范圍;對C:對求導,對參數(shù)的取值進行分類討論,結合二次求導,判斷的單調性,即可求得參數(shù)范圍;對D:根據(jù)B中所求,結合題意,將問題轉化為對數(shù)平均值不等式的證明,再利用導數(shù)證明即可.【詳解】對A:,即,因為x>0,故等式兩邊取對數(shù)可得:,也即,又因為,故,解得x=1,故方程只有一個解,A正確;對B:有兩個零點,即方程有兩個根,又x>0,,顯然m>0,故對方程兩邊取對數(shù)可得,令,則,令>0可得,令可得,故在單調遞增,在單調遞減;又,且當趨近于正無窮時,趨近于,故有兩根,只需,解得,故B錯誤;對C:,則,令,則①當時,,>0,在單調遞增,又,且當趨近于時,趨近于,故存在,使得,且當時,,>0,故此時單調遞增;當時,,,故此時單調遞減;則為的極大值點,沒有極小值點,不滿足題意;②當時,,令>0,解得,此時單調遞增;令,解得,此時單調遞減;故在時取得最大值,最大值為;若,即,也即時,在恒成立;則在恒成立,故在單調遞減,沒有極值點,不滿足題意;若,即,也即時,,又當趨近于時,趨近于;當趨近于時,趨近于,故存在,使得,且存在,使得,故當,,此時,單調遞減;當,,此時>0,單調遞增;當,,此時,單調遞減;故當時,取得極小值,當時,取得極大值,滿足題意;綜上所述,若有極大值和極小值,則,故C正確;對D:有兩個不同零點,即,因為x>0,顯然,兩邊取對數(shù)可得故方程有兩個根,不妨設為,且,為方便理解,根據(jù)B中對的單調性和最值分析作圖如下所示:易知,且當時,,也即,即,同理可得,當時,即,當時,;又恒成立,故可得也是方程的兩根,則;令,若,則,又,故,則,故,也即,也即,令,因為,故,故只需證,,①先證,因為,故,故只需證,令,則只需證,又,故在單調遞減,又,故,也即;②再證,,因為,故只需證,又,故在單調遞增,又,故,也即,;綜上所述:,,故D正確.故選:ACD.【點睛】關鍵點點睛:解決本題的關鍵,一是對方程兩邊取對數(shù),將問題轉化為,再利用導數(shù)研究的單調性和最值;二是,能熟練掌握含參函數(shù)單調性的討論,從而解決其極值問題;三是,能夠對D中的問題進行合理的轉化,同時,也要熟練掌握對數(shù)平均值不等式的證明;屬綜合困難題.12.【分析】根據(jù)澆鑄前后體積不變列方程,求得圓錐的高.【詳解】設圓柱的底面半徑為,母線長為,圓錐的底面半徑為,高為,則圓柱的側面積為,又,代入解得,故,又,又,解得.故答案為:.13.40【分析】由題意建立方程組,根據(jù)對數(shù)運算,可得答案.【詳解】由題意可得,兩式作比可得,解得,可得,令,解得.故答案為:.14.【分析】設,,分析可知點在直線上,點的軌跡為以為圓心,半徑為2的圓,結合圖形分析求解即可.【詳解】設,,為坐標原點,由可知:點在直線上,點在直線上,由,可知點的軌跡為以為圓心,半徑為2的圓,則,可知當且僅當點為2,0,且點為1,0時,取到最小值1.故答案為:1.【點睛】方法點睛:對于向量問題,常常轉化為幾何問題,進而分析求解.15.(1)(2)【分析】(1)由題目的等式,結合余弦定理,可得答案;(2)由正弦定理可得邊角的等量關系,利用三角周長公式整理函數(shù)關系式,可得答案.【詳解】(1)由,即,∵,∴,又,∴.(2)由可得,,,的周長,∵,∴∵,∴的最大值為.16.(1)(2)【分析】(1)根據(jù)條件,利用與間的關系,即可求解;(2)根據(jù)條件及(1)中結果,得到,再利用錯位相減法,即可求解.【詳解】(1)①,當時,②,由①②,得,即,又當時,,滿足,所以.(2)由(1)知,所以,則,所以③,④,由③④得:,所以.17.(1)對稱軸,單調遞增區(qū)間為;(2).【分析】(1)根據(jù)題意,求得并化簡至一般式,再根據(jù)正弦的函數(shù)的對稱性和單調性求解即可;(2)根據(jù)(1)中所求解析式,求得,在利用正弦定理求得;再在△和△中,兩次使用正弦定理,即可求得關于的三角函數(shù)關系,再求結果即可.【詳解】(1),由,得,所以的對稱軸為.由,解得,又,所以單調遞增區(qū)間為.(2)由(1)知,,則,由,得,則,解得,因為中,,則為銳角,所以,因為,,所以,所以;因為,故可得,即,也即,故;設,則,在△和△中,由正弦定理得,,上面兩個等式相除可得,得,即,所以.18.(1)證明見解析,(2)(3)證明見解析【分析】(1)按等比數(shù)列的定義證明,用的遞推關系尋找與的關系,即可證明,再利用等比數(shù)列的通項公式,即可求解;(2)使用分組求和法,偶數(shù)項為等比、等差數(shù)列求和,奇數(shù)項可轉化為偶數(shù)項求和;(3)先將放縮,再利用等比數(shù)列前項和,將問題轉化成求證,構造函數(shù),利用導數(shù)與函數(shù)單調性間的關系,得,即可求證.【詳解】(1),又,所以,數(shù)列為以為首項,為公比的等比數(shù)列.由等比數(shù)列的通項公式知.(2)由(1)可知,又,.設,則,設,,,,故.(3),,所以欲證,只需證,即證.設,,故在上單調遞減,,時,.,得證.【點睛】關鍵點點晴:本題的關鍵在于第(3)問,通過放縮,得到,從而將問題轉化成求證,再構造函數(shù),利用函數(shù)的單調性,得到,即可求證.19.(1)(2)(3)證明見解析【分析】(1)求導,即可求解斜率,根據(jù)點斜式求解切線方程,(2)構造函數(shù),求導,根據(jù)單調性可得,進而,構造函數(shù),求導判斷單調性,即可求解最值得解.(3)根據(jù)hx在單調遞減.證明,即可求證,構造函數(shù)以及,利用導數(shù)求解單調性,即可求證.【詳解】(1),則,,故切線方程為,即,(2),令,令,當在0,+∞單調遞增,且,當時,,解集為,故,進而即,令,,當單調遞增,當

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