數(shù)字電子技術(shù) 課件 第2章 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

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術(shù)第2章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)概述2.1邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本定理邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法應(yīng)用案例2.22.32.42.52.62.72.8具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)基本和復(fù)合邏輯運(yùn)算知識(shí)圖譜延遲符2.1

概述邏輯——指事物的因果關(guān)系，或者說條件和結(jié)果的關(guān)系，這些因果關(guān)系可以用邏輯代數(shù)來描述。

1.邏輯代數(shù)描述客觀事物間的邏輯關(guān)系，相應(yīng)的函數(shù)

稱邏輯函數(shù)，變量稱邏輯變量。2.邏輯變量和邏輯函數(shù)的取值都只有兩個(gè)，通常用1

和0表示，且無大小、正負(fù)之分。用字母A、B、C……表示變量，用代數(shù)式描述客觀事物間的關(guān)系。

相似處

相異處3.運(yùn)算規(guī)律有很多不同。在邏輯運(yùn)算中1+1=1(或運(yùn)算)。邏輯代數(shù)與普通代數(shù)比較邏輯代數(shù)又稱布爾代數(shù)，是英國(guó)數(shù)學(xué)家George.Boole在1849年提出的。它是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字邏輯電路的數(shù)學(xué)工具。2.1

概述注意例如：開關(guān)閉合為1晶體管導(dǎo)通為1電壓高為1斷開為0截止為0低為0

電機(jī)起動(dòng)為1電燈的亮為1信號(hào)有為1

停止為0

滅為0

無為0

負(fù)載通電為1二極管導(dǎo)通為1

斷電為0

截止為0邏輯代數(shù)中的1和0不表示數(shù)量大小，

僅表示兩種相反的狀態(tài)。1.邏輯代數(shù)的特點(diǎn)是什么？2.邏輯代數(shù)和普通代數(shù)有什么區(qū)別？3.邏輯變量能取哪些數(shù)值？它代表的是數(shù)量關(guān)系嗎?

4.為什么數(shù)字邏輯是二值的？？思考回答2.2基本和復(fù)合邏輯運(yùn)算當(dāng)所有的條件都滿足時(shí)，事件才會(huì)發(fā)生，即“缺一不可”與運(yùn)算基本邏輯運(yùn)算111YAB000001010若有0

出0；若全1出1

邏輯表達(dá)式Y(jié)=A·B

或Y=AB

與門

(ANDgate)開關(guān)A、B都閉合時(shí)，燈Y才亮。2.2基本和復(fù)合邏輯運(yùn)算000111YA

B101110

或門

(ORgate)

開關(guān)A或B閉合或兩者都閉合時(shí)，燈Y才亮。若有1出1若全0出0邏輯表達(dá)式

Y=A+B決定某一事件的諸條件中，只要有一個(gè)或一個(gè)以上具備時(shí)，該事件就發(fā)生?；蜻\(yùn)算延遲符2.2基本和復(fù)合邏輯運(yùn)算開關(guān)閉合時(shí)燈滅，開關(guān)斷開時(shí)燈亮。

非門(NOTgate)

又稱“反相器”邏輯表達(dá)式?jīng)Q定某一事件的條件滿足時(shí)，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生。非運(yùn)算2.2基本和復(fù)合邏輯運(yùn)算先或后非若有

1

出

0若全

0

出

1011100YA

B001010先與后或再非由基本邏輯運(yùn)算組合而成。復(fù)合邏輯運(yùn)算與非運(yùn)算(NAND)先與后非若有

0

出

1若全

1

出

0100011YA

B101110或非運(yùn)算(NOR)與或非運(yùn)算(AND–OR–INVERT)2.2基本和復(fù)合邏輯運(yùn)算若相異出1若相同出0若相同出1若相異出0000011YAB101110100111YAB001010注意：異或和同或互為反函數(shù)，即異或邏輯(Exclusive–OR)同或邏輯(Exclusive-NOR，即異或非)延遲符2.2基本和復(fù)合邏輯運(yùn)算國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)曾用標(biāo)準(zhǔn)美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)邏輯符號(hào)對(duì)照

延遲符2.2基本和復(fù)合邏輯運(yùn)算【例2-1】試對(duì)應(yīng)輸入信號(hào)波形分別畫出下圖各電路的輸出波形。解：Y1有0出0

全1出10110011000110011Y2Y3

相同出

0

相異出

11.與或非運(yùn)算的規(guī)律是什么？檢驗(yàn)學(xué)習(xí)結(jié)果3.試列出三變量與非、或非邏輯的真值表。4.兩個(gè)變量的異或運(yùn)算和同或運(yùn)算之間是什么關(guān)系？

2.繪圖表示用與非門實(shí)現(xiàn)與門、或門、非門的功能，并由此理解與非門的完備性。

2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯常量與常量的運(yùn)算公式邏輯變量與常量的運(yùn)算公式0–1律重疊律互補(bǔ)律還原律0+A=A1+A=11·A=A0·A=0A+A=AA·A=A

0

·

0

=

00

·

1

=

01

·

0

=

01

·

1

=

10

+

0

=

00

+

1

=

11

+

0

=

11

+

1

=

1非運(yùn)算

與運(yùn)算或運(yùn)算邏輯代數(shù)的基本公式延遲符2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本定律交換律A+B=B+AA·B=B·A結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)分配律A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)

普通代數(shù)沒有！與普通代數(shù)相似的定律利用真值表邏輯等式證明方法利用基本公式和基本定律如：證明等式A+BC=(A+B)(A+C)解：真值表法ABCA+BC(A+B)(A+C)0000000100010000111110011101111101111111公式法右式=(A+B)(A+C)

用分配律展開=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A·1+BC=A+BC2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)的特殊定律

吸收律A+AB=A

A+AB=A(1+B)=A

推廣公式：2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的基本定律邏輯代數(shù)的特殊定律摩根定律(又稱反演律)證明：【例2-2】用真值表證明反演律。和ABAB

A+BA

BA+B0001101111101110100010001110111010001000

推廣：2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式邏輯代數(shù)的常用公式序號(hào)公式2

(消因子法)3

(并項(xiàng)法)4

(吸收法)5

(消項(xiàng)法)

(包含律)

6

(吸收法)1

A+AB=A

(吸收法)延遲符思考回答1.求：(1)A+1；(2)A?0；(3)A?A；(4)A+A。3.若AB=AC，A+B=A+C，A+AB=A+AC，那么B=C，對(duì)嗎？4.在邏輯代數(shù)的基本公式中哪些公式的運(yùn)算規(guī)則和普通代數(shù)的運(yùn)算規(guī)則是相同的？哪些是不同的、需要特別記住的？2.寫出三變量摩根定律的表達(dá)式。延遲符2.4邏輯代數(shù)的基本定理

利用代入定理可以擴(kuò)大公式的應(yīng)用范圍。推廣公式：將邏輯等式兩邊的某一變量均用同一個(gè)邏輯函數(shù)替代，等式仍然成立。代入定理【例2-3】證明：，。延遲符2.4邏輯代數(shù)的基本定理

反演定理對(duì)任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)作反演變換，可得Y的反函數(shù)Y。這個(gè)定理叫做反演定理。

變換順序：

先括號(hào)，然后乘，最后加。

注意：

(1)不能改變?cè)瓉淼倪\(yùn)算順序。(2)反變量換成原變量只對(duì)單個(gè)變量有效，而長(zhǎng)非號(hào)

保持不變。原運(yùn)算次序?yàn)?/p>

可見，求邏輯函數(shù)的反函數(shù)有兩種方法：利用反演定理或摩根定律。延遲符2.4邏輯代數(shù)的基本定理解：解：應(yīng)用舉例的反函數(shù)?！纠?-4】求函數(shù)【例2-5】求函數(shù)的反函數(shù)。2.4邏輯代數(shù)的基本定理

運(yùn)用對(duì)偶定理時(shí)，同樣應(yīng)注意運(yùn)算的優(yōu)先順序，必要時(shí)可加或減擴(kuò)號(hào)。解：按對(duì)偶定理得【例2-6】求函數(shù)的對(duì)偶函數(shù)Yˊ。解：按對(duì)偶定理得【例2-7】求函數(shù)的對(duì)偶函數(shù)Yˊ。

對(duì)偶定理對(duì)任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)作對(duì)偶變換，可Y的對(duì)偶式Y(jié)ˊ。2.4邏輯代數(shù)的基本定理

可以使要證明和記憶的公式數(shù)目減少一半。

對(duì)偶定理：若等式Y(jié)=W成立，則等式Y(jié)ˊ=Wˊ也成立。0－1律重疊律互補(bǔ)律交換律結(jié)合律分配律反演律還原律1.代入定理中對(duì)代入邏輯函數(shù)式的形式和復(fù)雜程度有無限制？2.利用反演定理對(duì)給定邏輯函數(shù)式求反時(shí)，應(yīng)如何處理變換的優(yōu)先順序和式中所有的非運(yùn)算符號(hào)？3.反演定理和對(duì)偶定理的聯(lián)系和區(qū)別是什么?

4.運(yùn)用對(duì)偶定理的注意事項(xiàng)是什么？對(duì)偶定理有什么用處？想想練練將邏輯變量作為輸入，將運(yùn)算結(jié)果作為輸出，當(dāng)輸入變量的取值確定之后，輸出的值便被唯一的確定下來。這種輸出與輸入之間的邏輯關(guān)系，稱為邏輯函數(shù)。邏輯函數(shù)2.5邏輯函數(shù)及其表示方法記為：Y=f(A，B，C，…)或F=f(A，B，C，…)。這里的A、B、C…為邏輯自變量或邏輯變量，Y或F為邏輯因變量或邏輯函數(shù)，f為某種對(duì)應(yīng)的邏輯關(guān)系。突出特點(diǎn)01邏輯變量和邏輯函數(shù)只能取兩個(gè)值0和1。02函數(shù)和變量之間的關(guān)系是由“與”、“或”、“非”三種基本運(yùn)算決定的。03邏輯函數(shù)的相等：要求很嚴(yán)格，對(duì)應(yīng)于輸入變量的任何一組取值組合，兩個(gè)函數(shù)的值都應(yīng)該相同，這兩個(gè)邏輯函數(shù)才相等。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)常采用真值表、邏輯函數(shù)式、邏輯圖、波形圖和卡諾圖等表示。邏輯函數(shù)表示方法1.真值表解：設(shè)三人為A、B、C，同意為1，不同意為0；表決為F，有2人或2人以上同意，表決通過，通過為1，否決為0。因此A、B、C為輸入量，F(xiàn)為輸出量。將輸入邏輯變量的各種可能取值和相應(yīng)的函數(shù)值排列在一起而組成的表格。為避免遺漏，按n位二進(jìn)制數(shù)遞增的方式列出輸入變量的各種取值組合2n。000001010011100101110111ABC00010111F

真值表【例2-8】三個(gè)人表決一件事情，結(jié)果按“少數(shù)

服從多數(shù)”的原則決定，試建立該邏輯函數(shù)。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法2．邏輯函數(shù)式

規(guī)則：邏輯值為1的所有項(xiàng)相加(或)，變量

A、B、C的關(guān)系為“與”，變量值為1時(shí)取

原碼，變量值為0時(shí)取反碼。邏輯函數(shù)式是用各邏輯變量相互間與、或、非邏輯運(yùn)算組合表示的邏輯函數(shù)。三人多數(shù)表決的邏輯函數(shù)式為：000001010011100101110111ABC00010111F

真值表2.5邏輯函數(shù)及其表示方法3．邏輯圖邏輯圖是用規(guī)定的邏輯電路符號(hào)連接組成的電路圖。下圖為三人多數(shù)表決邏輯圖。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)輸入變量每一種可能出現(xiàn)的取值與對(duì)應(yīng)的輸出值按時(shí)間順序依次排列的圖形，也稱為時(shí)序圖。4．波形圖2.5邏輯函數(shù)及其表示方法將真值表中Y為1的輸入變量相與，取值為1的用原變量表示，為0的用反變量表示，將這些與項(xiàng)相加，就得到邏輯函數(shù)式。把真值表左邊每一種輸入變量的取值的所有狀態(tài)組合逐一列出，代入邏輯函數(shù)式中，求出函數(shù)值，填在對(duì)應(yīng)的位置上。列成表格即得到該函數(shù)的真值表。1．由真值表寫出邏輯函數(shù)式2．由邏輯函數(shù)式列真值表000011YAB101110各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換【例2-9】列出函數(shù)的真值表。應(yīng)用舉例

解：該函數(shù)有兩個(gè)變量，有4種取值的可能組合，將他們按順序排列起來即得真值表，如表2-5所示。100111LAB001010表2-52.5邏輯函數(shù)及其表示方法各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換3．由邏輯函數(shù)式畫邏輯圖把邏輯函數(shù)式中的每一種邏輯關(guān)系用相對(duì)應(yīng)的邏輯符號(hào)表示出來即可以得到該邏輯函數(shù)的邏輯圖。【例2-10】畫出邏輯函數(shù)的邏輯圖。從輸入端開始逐級(jí)寫出每個(gè)邏輯圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯運(yùn)算，直至輸出，就可以得到邏輯函數(shù)表達(dá)式。4．由邏輯圖寫邏輯函數(shù)式【例2-11】寫出下圖所示邏輯圖的邏輯函數(shù)表達(dá)式。2.5邏輯函數(shù)及其表示方法各種表示方法間的相互轉(zhuǎn)換解：該邏輯圖是由基本的“與”、“或”邏輯符號(hào)組成的，可由輸入至輸出逐步寫出邏輯表達(dá)式：L=AB+BC+AC&&≥1ABCL&【例2-12】已知函數(shù)Y的邏輯圖如下圖所示，寫出函數(shù)Y的邏輯

表達(dá)式。解：應(yīng)用舉例

應(yīng)用舉例

【例2-13】已知函數(shù)的連接表達(dá)式為：要求：列出相應(yīng)的真值表；輸入波形，畫出輸出波形；畫出邏輯圖。000001010011100101110111ABC01110011Y

真值表2.5邏輯函數(shù)及其表示方法邏輯函數(shù)的兩種標(biāo)準(zhǔn)形式最小項(xiàng)n個(gè)變量有2n個(gè)最小項(xiàng)，包括全部n個(gè)變量的乘積項(xiàng)(每個(gè)變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次)。記作mi。最小項(xiàng)之和最大項(xiàng)之積兩變量A,B的最小項(xiàng)三變量A,B,C的最小項(xiàng)

最小項(xiàng)編號(hào)i：各輸入變量取值看成二進(jìn)制數(shù)對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)。m0m100000101m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567最小項(xiàng)二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)編號(hào)延遲符2.5邏輯函數(shù)及其表示方法001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三變量最小項(xiàng)

最小項(xiàng)的性質(zhì)：

同一組變量取值：任意兩個(gè)不同最小項(xiàng)的乘積為0，即mi

mj=0(i≠j)。

全部最小項(xiàng)之和為1，即

任意一組變量取值：只有一個(gè)最小項(xiàng)的值為1，其他最小項(xiàng)的值均為0。延遲符2.5邏輯函數(shù)及其表示方法n個(gè)變量有2n個(gè)最大項(xiàng)，記作

i。包括全部n個(gè)變量的和項(xiàng)稱為最大項(xiàng)。其中每個(gè)變量在該乘積項(xiàng)中(以原變量或反變量)只出現(xiàn)一次。最大項(xiàng)：

01234567ABC十進(jìn)制數(shù)最小項(xiàng)最大項(xiàng)0000010100111001101111012.5邏輯函數(shù)及其表示方法任何一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式都可以轉(zhuǎn)換為一組最小項(xiàng)之和，稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。

【例2-14】將邏輯函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式。轉(zhuǎn)換成=m7+m6+m3+m1上式也可寫為：F(A,B,C)=∑m(1,3,6,7)解：延遲符2.5邏輯函數(shù)及其表示方法由于受到器件供貨的限制，在用電子器件組成實(shí)際的邏輯電路時(shí)，應(yīng)該根據(jù)器件的資源情況決定采用哪一種類型的器件，并將邏輯函數(shù)式變換成相應(yīng)的形式。

邏輯式有多種形式，采用何種形式視需要而定。各種形式間可以相互變換。與或型或與型與非與非型或非或非型與或非型邏輯函數(shù)形式的變換1.敘述邏輯函數(shù)的建立步驟，以及邏輯函數(shù)的幾種表示方法。3.真值表的含義是什么，歸納列出真值表的方法。4.什么是邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式？2.思考真值表、邏輯函數(shù)式、邏輯圖和波形圖四種形式邏輯轉(zhuǎn)換關(guān)系。檢驗(yàn)學(xué)習(xí)結(jié)果延遲符2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法化簡(jiǎn)意義使邏輯式最簡(jiǎn)，以便設(shè)計(jì)出最簡(jiǎn)的邏輯電路，從而節(jié)省元器件、優(yōu)化生產(chǎn)工藝、降低成本和提高系統(tǒng)可靠性。不同形式邏輯式有不同的最簡(jiǎn)式，一般先求取最簡(jiǎn)與-或式，然后通過變換得到所需最簡(jiǎn)式。最簡(jiǎn)與-或式標(biāo)準(zhǔn)(1)乘積項(xiàng)(即與項(xiàng))的個(gè)數(shù)最少(2)每個(gè)乘積項(xiàng)中的變量數(shù)最少用與門個(gè)數(shù)最少與門的輸入端數(shù)最少延遲符2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法1．并項(xiàng)法利用公式將兩項(xiàng)合并成一項(xiàng)，并消去互補(bǔ)因子。如：1運(yùn)用邏輯代數(shù)的基本定律和公式對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)。公式化簡(jiǎn)法延遲符2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法解【例2-15】化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)1延遲符2．吸收法運(yùn)用吸收律可將AB項(xiàng)消去，A和B可以是任何一個(gè)復(fù)雜的邏輯式。如：被吸收

3．消去法運(yùn)用消去多余的因子。如被吸收2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法【例2-16】化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)解被吸收被吸收被吸收延遲符2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法4．配項(xiàng)法或加上，或者利用先通過乘以

添加多余項(xiàng)，如【例2-17】化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。解法1

先配項(xiàng)增加項(xiàng)冗余項(xiàng)冗余項(xiàng)延遲符2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法解法2

增加項(xiàng)冗余項(xiàng)冗余項(xiàng)延遲符2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法卡諾圖化簡(jiǎn)法是一種比公式法更簡(jiǎn)便、直觀的化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的方法。它是一種圖形法，是由美國(guó)工程師卡諾發(fā)明的，它適合邏輯函數(shù)的變量數(shù)N≤5的邏輯化簡(jiǎn)?？ㄖZ圖化簡(jiǎn)法優(yōu)點(diǎn)：對(duì)變量個(gè)數(shù)沒有限制。缺點(diǎn)：需技巧，不易判斷是否最簡(jiǎn)式。

優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單、直觀，有一定的步驟和方法

易判斷結(jié)果是否最簡(jiǎn)。

缺點(diǎn)：適合變量個(gè)數(shù)較少的情況。

一般用于四變量及以下函數(shù)的化簡(jiǎn)。邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法公式化簡(jiǎn)法卡諾圖化簡(jiǎn)法延遲符2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法卡諾圖的構(gòu)成及特點(diǎn)變量取0的代以反變量取1的代以原變量AB二變量卡諾圖0101000110110001AB0101m0m1m2m30123ABAAB

BABABABAB四變量卡諾圖01

3

245

7

61213

15

14891110三變量卡諾圖ABC01000111

10

m6m7m4m2m3000m0m5001m16

7

5

4

2

310ABCD00011110000111

10

以循環(huán)碼排列以保證相鄰性延遲符2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法變量取0的代以反變量取1的代以原變量ABCD00011110000111

1001

3

245

7

61213

15

14891110ABCD相鄰項(xiàng)在幾何位置上也相鄰卡諾圖特點(diǎn)：循環(huán)相鄰性同一列最上與最下方格相鄰?fù)恍凶钭笈c最右方格相鄰利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)的依據(jù)

變量取0的代以反變量

取1的代以原變量2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法如何寫出卡諾圖方格對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)？已知最小項(xiàng)如何找相應(yīng)小方格？例如

原變量取1，反變量取0。1001

？ABCD0001111000011110

2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法卡諾圖化簡(jiǎn)的依據(jù)卡諾圖是把最小項(xiàng)按照一定規(guī)則排列而構(gòu)成的方格圖。構(gòu)成卡諾圖的原則是：n變量的卡諾圖有2n個(gè)小方格(最小項(xiàng))；)最小項(xiàng)排列規(guī)則：幾何相鄰的必須邏輯相鄰。幾何相鄰的含義一是相鄰——緊挨的；二是相對(duì)——任一行或一列的兩頭；三是相重——對(duì)折起來后位置相重。邏輯相鄰：是指兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)是互補(bǔ)的，而其余的變量都相同，邏輯相鄰的最小項(xiàng)可以合并。2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法卡諾圖上的最小項(xiàng)合并規(guī)律2個(gè)相鄰項(xiàng)的合并ABCD0001111000011110111111ABC010001111011112.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法4個(gè)相鄰項(xiàng)的合并ABC01000111101111ABCD000111100001111011111111ABCD000111100001111011111111ABCD0001111000011110111111112.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法8個(gè)相鄰項(xiàng)的合并ABCD000111100001111011111111ABCD000111100001111011111111★看坐標(biāo)化簡(jiǎn)，多項(xiàng)變一項(xiàng)，保留不變的，消去變化的。

★不存在包含非2n個(gè)最小項(xiàng)的卡諾圈?！?n個(gè)相鄰最小項(xiàng)組成的卡諾圈合并，可以消去n個(gè)變量。

2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法邏輯函數(shù)的卡諾圖表示1)若邏輯函數(shù)表達(dá)式是“最小項(xiàng)之和”的形式含有的最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的卡諾圖小方格填入“1”，不存在的填“0”。已知標(biāo)準(zhǔn)與或式畫函數(shù)卡諾圖。

【例2-18】試畫出函數(shù)Y=∑m(0,1,12,13,15)的卡諾圖。解：(1)畫出四變量卡諾圖(2)填圖

邏輯式中的最小項(xiàng)m0、m1、m12、m13、m15

對(duì)應(yīng)的方格填1，其余不填。ABCD0001111000011110

0

1324576

12

13

151489

11

10

11

111

2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法已知真值表畫函數(shù)卡諾圖【例2-19】已知邏輯函數(shù)Y的真值表如下，試畫出Y的卡諾圖。解：(1)畫3變量卡諾圖。ABCY00010010010101101001101011011110ABC0100011110

6

7

5

4

2

31

0m0m2m4m6

1

1

1

1(2)找出真值表中Y=1

對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)，在卡諾圖相應(yīng)方格中填1，其余不填。2)如果邏輯表達(dá)式是真值表，從真值表直接填卡諾圖2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法邏輯函數(shù)的卡諾圖表示3)如果邏輯表達(dá)式不是最小項(xiàng)表達(dá)式，直接填入的具體方法是：

分別找出每一個(gè)與項(xiàng)所包含的所有小方格，全部填入1。應(yīng)用舉例解：直接填入：【例2-20】用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：

C

D

A

B

Y1111110000000000

AB

CD00011110000111102.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法已知一般表達(dá)式畫函數(shù)卡諾圖解：(1)將邏輯式轉(zhuǎn)化為與或式(2)作變量卡諾圖找出各與項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)方格填1，其余不填。

【例2-21】用卡諾圖表示邏輯函數(shù)：

。AB+ABCD0001111000011110(3)根據(jù)與或式填圖

11111111

1

1AB對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足A=1，

B=1的方格。BCD對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足B=1，C=0，D=1的方格AD對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)為同時(shí)滿足A=0，D=1的方格。2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法化簡(jiǎn)規(guī)律

2個(gè)相鄰最小項(xiàng)有1個(gè)變量相異，相加可以消去這1個(gè)變量，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同變量的與；

4個(gè)相鄰最小項(xiàng)有2個(gè)變量相異，相加可以消去這2個(gè)變量，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同變量的與；

8個(gè)相鄰最小項(xiàng)有3個(gè)變量相異，相加可以消去這3個(gè)變量，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同變量的與；……

2n個(gè)相鄰最小項(xiàng)有n個(gè)變量相異，相加可以消去這n個(gè)變量，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同變量的與。消異存同2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法ABCD000111100001111011例如2個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去

1個(gè)變量，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD000111100001111011例如2個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去

1個(gè)變量，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同變量相與。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000011110例如1111ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD=AD4個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去2個(gè)變量，化簡(jiǎn)結(jié)果為相同變量相與。8個(gè)相鄰項(xiàng)合并消去3個(gè)變量A11111

1112.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法畫包圍圈規(guī)則

包圍圈必須包含2n個(gè)相鄰1方格，且必須成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；1方格可重復(fù)圈，但須每圈有新1；每個(gè)“1”格須圈到，孤立項(xiàng)也不能掉。同一列最上邊和最下邊循環(huán)相鄰，可畫圈；同一行最左邊和最右邊循環(huán)相鄰，可畫圈；四個(gè)角上的1方格也循環(huán)相鄰，可畫圈。注意ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

卡諾

圖化

簡(jiǎn)法

步驟畫函數(shù)卡諾圖將各圈分別化簡(jiǎn)

對(duì)填1的相鄰最小項(xiàng)方格畫包圍圈

將各圈化簡(jiǎn)結(jié)果邏輯加

2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)畫變量卡諾圖【例2-22】用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖，畫包圍圈11111111(3)將各圖分別化簡(jiǎn)圈2個(gè)可消去1個(gè)變量，化簡(jiǎn)為3個(gè)相同變量相與。BCD圈4個(gè)可消去2個(gè)變量，化簡(jiǎn)為2個(gè)相同變量相與。孤立項(xiàng)

ABCDAB循環(huán)相鄰AD(4)將各圖化簡(jiǎn)結(jié)果邏輯加，得最簡(jiǎn)與或式2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法解：(1)畫變量卡諾圖【例2-23】用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000011110(2)填卡諾圖11111111(4)求最簡(jiǎn)與或式

Y=1消1個(gè)剩3個(gè)(3)畫圈消2個(gè)剩2個(gè)

4個(gè)角上的最小項(xiàng)

循環(huán)相鄰2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法找

AB

=11,C

=

1

的公共區(qū)域找

A

=

1,

CD

=

01

的公共區(qū)域找

B

=

1,

D

=

1

的公共區(qū)域解：(1)畫變量卡諾圖ABCD0001111000011110(2)填圖11(4)化簡(jiǎn)(3)畫圈【例2-24】用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)0011m30100m411111111要畫嗎？Y=2.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法【例2-25】已知函數(shù)真值表如下，試用卡諾圖法求其最簡(jiǎn)與或式。ABCY00010011010001111001101011011111注意：該卡諾圖還有其他畫圈法可見，最簡(jiǎn)結(jié)果未必唯一。解：(1)畫函數(shù)卡諾圖ABC01000111

101

1

1

111(3)化簡(jiǎn)(2)畫圈Y=1

1

1

111ABC01000111102.6邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的步驟(1)畫出邏輯函數(shù)的卡諾圖(2)合并邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)，即圈出卡諾圈。注意：1)將取值為1的相鄰小方格圈成矩形或方形，相鄰方格包含上下底相鄰，

左右邊相鄰和四角相鄰。

2)所圈取值為1的相鄰小方格的個(gè)數(shù)應(yīng)為2n(n＝0，1，2，3，···)，

即1，2，4，8，···，不允許3，6，10，12等。23)圈的個(gè)數(shù)應(yīng)最少，圈內(nèi)小方格個(gè)數(shù)應(yīng)盡可能多。4)每圈一個(gè)新的圈時(shí)，必須包含至少一個(gè)在已圈過的圈中未出現(xiàn)過的最小項(xiàng)。)

(5)用最少的圈覆蓋函數(shù)的全部最小項(xiàng)，每一個(gè)取值為1的小方格可被圈多次，

使乘積項(xiàng)的個(gè)數(shù)最少又不漏項(xiàng)。6)相鄰的2項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子；相鄰的4項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，并消去2個(gè)因子；類推，相鄰的2n項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，并消去n個(gè)因子。若一個(gè)卡諾圖中所有的方格都是1方格，則合并后變量全部消去，這項(xiàng)為1。

(3)選擇乘積項(xiàng)寫出最簡(jiǎn)與或式。(4)有時(shí)需要比較、檢查才能寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。思考回答1.化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)的目的是什么？公式法和卡諾圖化簡(jiǎn)法各有何優(yōu)缺點(diǎn)？3.卡諾圖化簡(jiǎn)法所依據(jù)的基本原理是什么？4.卡諾圖兩側(cè)變量取值的標(biāo)注次序應(yīng)遵守什么規(guī)則？

2.最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的標(biāo)準(zhǔn)是什么？2.7具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)式中的無關(guān)項(xiàng)

約束項(xiàng)和任意項(xiàng)都不會(huì)在邏輯函數(shù)中出現(xiàn)，所對(duì)應(yīng)函數(shù)值視為1或0都可以，故稱無關(guān)項(xiàng)。

不允許出現(xiàn)的無關(guān)項(xiàng)又稱約束項(xiàng)；客觀上不會(huì)出現(xiàn)的無關(guān)項(xiàng)又稱任意項(xiàng)。合理利用無關(guān)項(xiàng)可使邏輯式更簡(jiǎn)單1.無關(guān)項(xiàng)的概念與表示無關(guān)項(xiàng)是特殊的最小項(xiàng)，這種最小項(xiàng)所對(duì)應(yīng)的變量取值組合或者不允許出現(xiàn)或者根本不會(huì)出現(xiàn)。無關(guān)項(xiàng)在卡諾圖和真值表中用“

”“

”來標(biāo)記，在邏輯式中則用字母d和相應(yīng)的編號(hào)表示。例如8421碼中，1010~1111這6種代碼是不允許出現(xiàn)的。例如A、B

為連動(dòng)互鎖開關(guān)，設(shè)開為

1

,

關(guān)為

0,

則

AB

只能取值

01

或

10

,

不會(huì)出現(xiàn)

00

或11。2.利用無關(guān)項(xiàng)化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)無關(guān)項(xiàng)的取值對(duì)邏輯函數(shù)值沒有影響?；?jiǎn)時(shí)應(yīng)視需要將無關(guān)項(xiàng)方格看作1或0，使包圍圈最少而且最大，從而使結(jié)果最簡(jiǎn)。2.7具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)應(yīng)用舉例【例2-26】某邏輯函數(shù)輸入是8421BCD碼(即不可能出現(xiàn)1010～1111這6種輸入組合)，其邏輯表達(dá)式Y(jié)(A,B,C,D)=∑m(1,4,5,6,7,9)+∑d(10,11,12,13,14,15)，用卡諾圖法化簡(jiǎn)該邏輯函數(shù)?？紤]無關(guān)項(xiàng)：不考慮無關(guān)項(xiàng)：檢驗(yàn)學(xué)習(xí)結(jié)果

1.什么是約束項(xiàng)、任意項(xiàng)和邏輯函數(shù)中的無關(guān)項(xiàng)？

2.將一個(gè)約束項(xiàng)或?qū)懭脒壿嫼瘮?shù)式或者不寫入邏輯函數(shù)式，對(duì)函數(shù)的輸出是否有影響？

3.怎樣利用無關(guān)項(xiàng)才能得到更簡(jiǎn)單的邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)結(jié)果？2.8應(yīng)用案例

簡(jiǎn)易四人搶答器電路本章小結(jié)分析數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具是邏輯代數(shù)，它的定律有的和普通代數(shù)類似，如交換律、結(jié)合律和第一種形式的分配律；但很多與普通代數(shù)不同，如吸收律和摩根定律。利用邏輯代數(shù)，可以把實(shí)際邏輯問