2024-2025學(xué)年上海交大附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海交大附中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.在“①難解的題目；②方程x2+1=0在實(shí)數(shù)集內(nèi)的解；③直角坐標(biāo)平面上第四象限內(nèi)的所有點(diǎn)；④很多多項(xiàng)式”中，能夠組成集合的是(

)A.②③ B.①③ C.②④ D.①②④2.已知冪函數(shù)y=(m3?m+1)x2+3m?2m2是奇函數(shù)，且在A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)3.已知互不相等的正數(shù)a、b、c滿足a2+c2A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b4.對(duì)任意x∈R，[x]表示不超過x的最大整數(shù)，下列性質(zhì)錯(cuò)誤的是(

)A.存在x∈R，使得[5x]=5[x]+2

B.任意x∈R，使得[x]+[x+12]=[2x]

C.任意x、y∈R，滿足[x]=[y]，則|x?y|<1

D.任意x、二、填空題：本題共12小題，共54分。5.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，1681的四次方根是______．6.已知{0,x}?{0,4,x}，則x7.比較下列兩數(shù)的大小關(guān)系，0.2400______0.3500的大小(填>、<或=符號(hào))．8.關(guān)于x的不等式ax?1x?a≤0的解集為A.若3∈A，4?A，則a的取值范圍是______．9.函數(shù)y=lg(ax2+ax+1)的定義域是R10.已知f(x)=x+3x?2，g(x)=f(x),x≥0f(?x),x<0，則方程11.在區(qū)間[?2,2]上恰有一個(gè)x滿足方程2mx2?x?1=0，則m12.已知a是常數(shù)，命題p：存在實(shí)數(shù)x，使得a?2x+21?x?2<0.13.函數(shù)y=k=13(k?|x+(?1)14.已知x>0，則x?x215.已知f(x)=x2+ax+b(a、b∈R)，記集合A={x|f(x)≤0}，B={x|f(f(x)+1)≤0}.若A=B≠?，則a16.已知f(x)=1x+1x?2+1x?4+1，g(x)=3?2x?102x?2+1.函數(shù)y=f(x)的圖像是一個(gè)中心對(duì)稱圖形.若函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=g(x)的圖像交點(diǎn)分別為(x三、解答題：本題共6小題，共90分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

解下列關(guān)于x的不等式：

(1)log57|3x+5|≤log18.(本小題14分)

已知函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx

(x∈R)是偶函數(shù)．

(1)求k的值；

(2)19.(本小題14分)

某群體的人均通勤時(shí)間，是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí)，某地上班族S中的成員僅以自駕或公交方式通勤，分析顯示：當(dāng)S中x%(0<x<100)的成員自駕時(shí)，自駕群體的人均通勤時(shí)間為f(x)=30,0<x≤302x+1800x?80,30<x<100(單位：分鐘)，而公交群體的人均通勤時(shí)間不受x影響，恒為50分鐘．

試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問題：

(1)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間？

(2)求該地上班族S20.(本小題18分)

問題：正實(shí)數(shù)a、b滿足a+b=1，求1a+2b的最小值.其中一種解法是：1a+2b=(1a+2b)(a+b)=1+ba+2ab+2≥3+22，當(dāng)且僅當(dāng)ba=2ab且a+b=1時(shí)，即a=2?1且b=2?2時(shí)取等號(hào)，故而1a+2b的最小值是3+22．

21.(本小題18分)

已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，現(xiàn)有下面兩種對(duì)y=f(x)變換的操作：

φ變換：y=f(x)→y=f(x)?f(x?t)，其中t>0．

ω變換：y=f(x)→y=|f(x+t)?f(x)|，其中t>0．

(1)若f(x)=3x，t=1，對(duì)y=f(x)進(jìn)行φ變換后得到函數(shù)y=g(x)，解方程g(x)=2．

(2)若f(x)=x2，對(duì)y=f(x)進(jìn)行ω變換后得到函數(shù)y=?(x)，解不等式f(x)≥?(x)．

(3)若函數(shù)y=f(x)在(?∞,0)上是嚴(yán)格增函數(shù)，對(duì)函數(shù)y=f(x)先作φ變換，再作ω變換，得到函數(shù)y=?1(x)，對(duì)函數(shù)y=f(x)先作ω變換，再作φ變換，得到函數(shù)y=?2(x).22.(本小題12分)

已知函數(shù)y=f(x)在R上連續(xù)，且f(x)?f(x+1)?f(x+2)=f(x)+f(x+1)+f(x+2)>0恒成立，則f(x)=3參考答案1.A

2.A

3.B

4.D

5.±23

6.1或4

7.<

8.(19.[0,4)

10.3

11.[?112.[113.{x|1≤x≤3}

14.615.[?2,2]

16.12

17.解：(1)因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log57x為(0,+∞)上的減函數(shù)，

由log57|3x+5|≤log57(6?x)可得|3x+5|≥6?x6?x>0，解得x≤?112或14≤x<6，

故原不等式的解集為(?∞,?112]∪[118.解：(1)由函數(shù)f(x)=log4(4x+1)+kx(x∈R)是偶函數(shù)．

可知f(x)=f(?x)

∴l(xiāng)og4(4x+1)+kx=log4(4?x+1)?kx

即log44x+14?x+1=?2kx

19.解：(1)當(dāng)0<x≤30時(shí)，f(x)=30<50恒成立，公交群體的人均通勤時(shí)間不可能少于自駕群體的人均通勤時(shí)間；

當(dāng)30<x<100時(shí)，若50<f(x)，即2x+1800x?80>50，解得x<20(舍)或x>45；

所以當(dāng)45<x<100時(shí)，公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間

(2)設(shè)該地上班族總?cè)藬?shù)為n，則自駕人數(shù)為n·x%，乘公交人數(shù)為n·(1?x%)．

因此人均通勤時(shí)間整理得：g(x)=50?x5,0<x≤30150(x?32.5)2+46.875,30<x<100，

因?yàn)間(x)在(0,30]和(30,32.5]為減函數(shù)，在(32.5,100]20.解：(1)因?yàn)閍+b=1，a>0，b>0，

所以a+1+b+2=4，

所以12a+b+4b+2=1a+a+b+4b+2=1a+1+4b+2，

所以12a+b+4b+2=14[(a+1)+(b+2)](1a+1+4b+2)，

=14[5+4(a+1)b+2+b+2a+1]≥14(5+4)=94，

當(dāng)且僅當(dāng)4(a+1)b+2=b+2a+1a+b=1，即a=13b=23時(shí)等號(hào)成立，

故12a+b+4b+2取得最小值94．

(2)①因?yàn)閤2a2?y2b2=1，

所以a2?b2=(a2?b221.解：(1)由f(x)=3x，t=1，對(duì)y=f(x)進(jìn)行φ變換后，

得y=g(x)=f(x)?f(x?1)=3x?3x?1=2×3x?1=2，

即3x?1=1，解得x=0；

(2)由f(x)=x2，對(duì)y=f(x)進(jìn)行ω變換后得到函數(shù)y=?(x)=|f(x+t)?f(x)|

=|(x+t)2?x2|=|2xt+t2|，

又f(x)≥?(x)，即x2≥|2xt+t2|，t>0，

則當(dāng)2xt+t2≥0，即x≥?t2時(shí)，x2≥2xt+t2，

解得x≤(1?2)t或x≥(1+2)t，即?t2≤x≤(1?2)t或x≥(1+2)t；

當(dāng)2xt+t2<0，即x<?t2時(shí)，x2≥?2xt?t2，即(x+t)2≥0，不等式恒成立，即x<?t2；

綜上所述，x的范圍為{x|x≤(1?2)t或x≥(2+1)t}；

(3)證明：由題意對(duì)函數(shù)y=f(x)先作φ變換可得u(x)=f(x)?f(x?t)，

再作ω變換，得到函數(shù)?1(x)=|u(x+t)?u(x)|=|[f(x+t)?f(x)]?[f(x)?f(x?t)]|，

對(duì)函數(shù)y=f(x)先作ω變換可得v(x)=|f(x+t)?f(x)|，

再作22.解：根據(jù)題意，函數(shù)y=f(x)在R上連續(xù)，且滿足f(x)?f(x+1)?f(x+2)=f(x)+f(x+1)+f(x+2)①，

則有f(x+1)?f(x+2)?f(x+3)=f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)②，

①?②可得：f(x+1)?f(x+2)?[f(x+3)?f(x)]=f(x+3)?f(x)，

變形可得：[f(x+1)?f(x+2)?1]?[f(x+3)?f(x)]=0，

則有f(x+1)?f(x+2)?1=0或者f(x+3)?f(x)=0，

當(dāng)f(x+1)?f(x+2)?1=0時(shí)，f(x)?f(x+1)?f(x+2)=f(x)+f(x+1)+f(x+2)=f(x+2)，

此時(shí)f(x)+f(x+1)=0，

與f(x+1)?f(x+2)?1=0不會(huì)同時(shí)成立，故f(x+1)?f(x+2)?1≠0，

所