24.1.2 垂直于弦的直徑 人教版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)教案

24.1圓的有關(guān)性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：1.進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，了解圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形.2.理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)算、證明和作圖問(wèn)題.3.靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問(wèn)題.教學(xué)重點(diǎn)：理解垂直于弦的直徑的性質(zhì)和推論，并能應(yīng)用它解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)算、證明和作圖問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)圓的問(wèn)題.教學(xué)導(dǎo)入一、知識(shí)鏈接1.說(shuō)一說(shuō)什么是軸對(duì)稱(chēng)圖形？2.你能通過(guò)折疊的方式找到圓形紙片的對(duì)稱(chēng)軸嗎？在折的過(guò)程中你有什么發(fā)現(xiàn)？教學(xué)過(guò)程二、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：垂徑定理及其推論說(shuō)一說(shuō)(1)圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是，它的對(duì)稱(chēng)軸是什么？你能找到多少條對(duì)稱(chēng)軸？(2)你是怎么得出結(jié)論的？問(wèn)題如圖，AB是⊙O的一條弦，直徑CD⊥AB，垂足為E.你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些相等的線段和劣弧?為什么?歸納總結(jié)：垂徑定理——垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.推導(dǎo)格式：∵CD是直徑，CD⊥AB，∴AE=BE，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.想一想下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請(qǐng)說(shuō)明為什么？歸納總結(jié)：垂徑定理的幾個(gè)基本圖形典例精析例1如圖，OE⊥AB于E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則AB=cm.例2如圖，⊙O的弦AB＝8cm，直徑CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半徑OC的長(zhǎng).思考探索如果把垂徑定理結(jié)論與題設(shè)交換一條，命題是真命題嗎？①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧.上述五個(gè)條件中的任何兩個(gè)條件都可以推出其他三個(gè)結(jié)論嗎？證明舉例如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使AE=BE.(1)CD⊥AB嗎？為什么？(2)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相等嗎？SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相等嗎？為什么?歸納總結(jié)：垂徑定理的推論——平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧.例3已知：⊙O中弦AB∥CD，求證：SKIPIF1<0.歸納總結(jié)：解決有關(guān)弦的問(wèn)題，經(jīng)常是過(guò)圓心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直徑，連接半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.探究點(diǎn)2：垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題(教材P82例2)趙州橋是我國(guó)隋代建造的石拱橋，距今約有1400年的歷史，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶.它的主橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37m，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.23m，你能求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？練一練：如圖a、b，一弓形弦長(zhǎng)為SKIPIF1<0cm，弓形所在的圓的半徑為7cm，則弓形的高為.歸納總結(jié)：在圓中有關(guān)弦長(zhǎng)a，半徑r，弦心距d(圓心到弦的距離)，弓形高h(yuǎn)的計(jì)算題時(shí)，常常通過(guò)連半徑或作弦心距構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.課堂小結(jié)垂徑定理內(nèi)容垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧推論一條直線滿足：①過(guò)圓心；②垂直于弦；③平分弦(不是直徑)；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.滿足其中兩個(gè)條件就可以推出其它三個(gè)結(jié)論(“知二推三”).輔助線兩條輔助線：連半徑，作弦心距基本圖形及變式圖形構(gòu)造Rt△利用勾股定理計(jì)算或建立方程.當(dāng)堂檢測(cè)1.已知⊙O中，弦AB=8cm，圓心到AB的距離為3cm，則此圓的半徑為.2.⊙O的直徑AB=20cm，∠BAC=30°則弦AC=.3.(分類(lèi)討論題)已知⊙O的半徑為10cm，弦MN∥EF，且MN=12cm，EF=16cm，則弦MN和EF之間的距離為.4.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證：四邊形ADOE是正方形．5.已知：如圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn)．你認(rèn)為AC和BD有什么關(guān)系？為什么？如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中弧CD，點(diǎn)O是弧CD的圓心)，其中CD=600m，E為弧CD上的一點(diǎn)，且OE⊥CD，垂足為F，EF=90m.求這段彎路的半徑.拓展提升如圖，⊙O的直徑為10，弦AB=8，P為AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么OP長(zhǎng)的取值范圍為.參考答案自主學(xué)習(xí)一、知識(shí)鏈接1.解：平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫軸對(duì)稱(chēng)圖形.2.解：能；圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸．課堂探究二、要點(diǎn)探究探究點(diǎn)1：說(shuō)一說(shuō)（1）圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸．（2）用折疊的方法.問(wèn)題解：線段:AE=BE，劣弧:SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.理由如下：把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，AE與BE重合，AC和BC，AD與BD重合．想一想解：（1）是.(2)不是，因?yàn)闆](méi)有垂直.(3)是.（4）不是，因?yàn)镃D沒(méi)有過(guò)圓心.例116解析：連接OA，∵OE⊥AB，∴SKIPIF1<0∴AB=2AE=16cm.例2解:連接OA，∵CE⊥AB于D，∴SKIPIF1<0設(shè)OC=x，則OD=x-2，根據(jù)勾股定理，得x2=42+(x-2)2，解得x=5.即半徑OC的長(zhǎng)為5cm.思考探索解：可以.證明舉例解：（1）CD⊥AB.連接AO，BO，則AO=BO，又AE=BE，∴△AOE≌△BOE(SSS)，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂徑定理可得SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.例3證明：作直徑MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.則SKIPIF1<0（垂直平分弦的直徑平分弦所對(duì)的?。㏒KIPIF1<0∴SKIPIF1<0.探究點(diǎn)2：?jiǎn)栴}解：如圖，用SKIPIF1<0表示主橋拱，設(shè)SKIPIF1<0所在圓的圓心為O，半徑為R.經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OC垂足為D，與弧AB交于點(diǎn)C，則D是AB的中點(diǎn)，C是弧AB的中點(diǎn)，CD就是拱高.∴AB=37m，CD=7.23m.∴AD=SKIPIF1<0AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.解得R≈27.3(m).即主橋拱半徑約為27.3m.練一練2cm或12cm當(dāng)堂檢測(cè)1.5cm2.SKIPIF1<03.14cm或2cm4.證明：∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC,∴∠OEA=∠ODA=∠EAD=90°.∴四邊形ADOE為矩形，AE=SKIPIF1<0AC,AD=SKIPIF1<0AB.又∵AC=AB,∴AE=AD.∴四邊形ADOE為正方形.5.解：AB=CD.過(guò)O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE即AC＝BD.6.解:連接OC.設(shè)這段彎路的半徑為R