2024北京五中高三（上）期中數(shù)學(xué)（教師版）

第1頁/共1頁2024北京五中高三（上）期中數(shù)學(xué)班級__________姓名__________學(xué)號__________成績__________一.選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）（1）已知集合，若，則集合可以是（A） （B） （C） （D）（2）若直線與直線平行，則實(shí)數(shù)的值為（A）0 （B） （C）1 （D）或1（3）曲線是雙曲線，則“的方程是”是“的漸近線方程為”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（4）已知函數(shù)，設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是（A） （B） （C） （D）（5）已知兩點(diǎn)，，點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最小值是（A）8 （B）6 （C） （D）4（6）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)在上，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于，若，則（A） （B） （C） （D）（7）中國古代數(shù)學(xué)的瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）.現(xiàn)有一個如下圖所示的“曲池”，其高為，底面，底面扇環(huán)所對的圓心角為，長度為長度的3倍，且線段，則該“曲池”的體積為（A） （B）5π （C） （D）（8）在直角三角形中，，，，點(diǎn)在斜邊的中線上，則的取值范圍（A） （B） （C） （D）（9）金針菇采摘后會很快失去新鮮度，甚至腐爛，所以超市銷售金針菇時需要采取保鮮膜封閉保存.已知金針菇失去的新鮮度與其采摘后時間（天）滿足的函數(shù)解析式為.若采摘后1天，金針菇失去的新鮮度為；若采摘后3天，金針菇失去的新鮮度為80%.現(xiàn)在金針菇失去的新鮮度為，則采摘后的天數(shù)為（結(jié)果保留一位小數(shù)，）（A）1.5 （B）1.8 （C）2.0 （D）2.1（10）已知定點(diǎn)，，若點(diǎn)在圓上運(yùn)動，則的最小值為（A） （B）6 （C） （D）二.填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)__________.（12）已知為正方形，若橢圓與雙曲線都以、為焦點(diǎn)，且圖像都過、點(diǎn)，則橢圓的離心率為__________，雙曲線的離心率為__________.（13）在中，，，點(diǎn)在邊上，，，則_______；的面積為__________.（14）已知函數(shù)，，，其中表示，中最大的數(shù).若，則__________；若對恒成立，則的取值范圍是__________.（15）已知函數(shù).給出下列四個結(jié)論：①過點(diǎn)存在1條直線與曲線相切；②過點(diǎn)存在2條直線與曲線相切；③過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切；④過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切時，的取值范圍是.其中，正確結(jié)論的序號是__________.三.解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題14分）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).（I）求證：；（II）試求二面角的余弦值；（III）求點(diǎn)到平面的距離.（17）（本小題13分）設(shè)過點(diǎn)，且一個周期的圖象（原點(diǎn)，最高點(diǎn)，最低點(diǎn)）如圖所示：（I）求，；（II）再從以下三個條件中任選其一，使函數(shù)唯一確定，并求的單調(diào)遞增區(qū)間.條件①：；條件②：；條件③：.（18）（本小題13分）自2022北京冬奧會以來，花樣滑冰項目引起了廣泛關(guān)注.選手們在冰上起舞，做出步法、旋轉(zhuǎn)、跳躍等技術(shù)動作.“技術(shù)動作分”由“基礎(chǔ)分”和“執(zhí)行分”相加得到.不同的技術(shù)動作，其“基礎(chǔ)分”也不同，其中四個跳躍動作，，，的“基礎(chǔ)分”如表1所示.跳躍動作4T4S4F4Lz基礎(chǔ)分9.59.711.011.5表1選手表演完，得到相應(yīng)動作的“執(zhí)行分”.把“執(zhí)行分”為非負(fù)值的跳躍動作記為“成功”，否則記為“失敗”.表2為某選手在上一賽季各跳躍動作的“技術(shù)動作分”.4T12.0411.224.759.069.9711.6310.984S10.9810.5711.324.859.5112.074F13.695.5014.0212.924Lz13.5414.2311.218.3811.87表2假設(shè)用頻率估計概率，且選手每個跳躍動作是否“成功”相互獨(dú)立.（I）從該選手上一賽季所有動作中任選一次，估計這次跳躍為“成功”的概率；（II）若該選手在本賽季中，計劃完成，，這三個動作，且每個動作只完成一次.將這三個動作中成功的跳躍個數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（III）在本賽季中，從四個跳躍動作，，，中選出三個，使得該選手這三個動作中“成功”的跳躍個數(shù)的期望最大，請直接寫出這三個動作的名稱.（19）（本小題15分）已知函數(shù)，其中.（I）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（II）求的單調(diào)區(qū)間；（III）當(dāng)且時，判斷與的大小，并說明理由.（20）（本小題15分）設(shè)橢圓，且離心率為，過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過橢圓中心時，.（I）求橢圓的方程；（II）已知點(diǎn)，直線和直線分別與軸交于，，與軸交于，，若，求直線的斜率.（21）（本小題15分）設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足.（1）若，請寫出所有可能的取值；（2）記集合，且不是5的倍數(shù)，求證：；（3）存在常數(shù)，對于都有，求所有可能的取值.

參考答案一.選擇題12345678910DBACDBDABA二.填空題11.12.，13.，14.，.15.①②③三.解答題16.【答案】解：（1）證明：在中，，，，，，平面，平面，，又，，平面，平面，又平面，. ……5分（2）由（1）可知，平面，，平面，所以，，又，以為原點(diǎn)，以，，為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，，，，，，平面，是平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則，即，解得，令可得，，，由圖形可知二面角為銳二面角，二面角的余弦值為. …11分（3）由（2）可知，，設(shè)與平面所成角為，則，到平面的距離為. …14分（17）解：（I）過結(jié)合圖象，有：則由，有所以， 【5分】（II）選擇條件①則故令，有，所以單調(diào)遞增區(qū)間為， 【13分】選擇條件②則由，有故以下同①選擇條件（3），由，有故以下同①（18）（1）（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為（3）4T，4S，4F【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合表格的數(shù)據(jù)，結(jié)合古典概型的概率公式代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得的所有可能取值為0，1，2，3，然后分別計算對應(yīng)的概率，即可得到分布列，再由期望的計算公式即可得到結(jié)果.（3）根據(jù)題意，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)即可得到結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，該選手上一賽季7個4T動作中，有5個跳躍為“成功”，所以從該選手上一賽季所有動作中任選一次，這次跳躍“成功”的概率可以估計為. …4分（2）同（1）從該選手上一賽季所有，動作中分別任選一次，這次跳躍“成功”的概率分別可以估計為，，的所有可能取值為0，1，2，3.，，，.所以隨機(jī)變量的分布列為：0123所以. …10分（3）由表格可知，動作成功的概率為，失敗的概率為，動作成功的概率為，失敗的概率為，動作成功的概率為，失敗的概率為，動作成功的概率為，失敗的概率為，由可知，選，，. …13分（19）解：（1）當(dāng)時，；；而，；故曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即. …4分（2）的定義域?yàn)?，且；令，?當(dāng)變化時，與的變化情況如下表：﹣﹣0+單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為和； …9分（3）當(dāng)且時，，證明如下：令，則.設(shè)，則.所以當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞減，在（上單調(diào)遞增.從而，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和（.當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即.綜上，當(dāng)且時，. …15分（20）解：（I），所以； …5分（II）①當(dāng)直線的方程為時，顯然，；直線的方程為，所以；直線的方程為，所以；此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，易知；②設(shè)直線，，，，即，也即或，；，；，；直線，直線令，，令，，則即也即則，，斜率為；綜上，直線的斜率為0或. …15分（21）（1），， …4分（2）設(shè)中最小數(shù)為，，①當(dāng)