數(shù)學(xué)課堂導(dǎo)學(xué)案：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性和奇偶性）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1.正余弦函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性與最值【例1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（1)y=sin(x—）；(2)y=cos2x。思路分析：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法.可依據(jù)y=sinx(x∈R)和y=cosx（x∈R）的單調(diào)區(qū)間及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性原則求單調(diào)區(qū)間.解:（1）令u=x-,函數(shù)y=sinu的遞增、遞減區(qū)間分別為［2kπ—,2kπ+］,k∈Z，［2kπ+,2kπ+］，k∈Z.∴y=sin(x-）的遞增、遞減區(qū)間分別由下面的不等式確定.2kπ—≤x—≤2kπ+,k∈Z,2kπ+≤x-≤2kπ+，k∈Z,得2kπ—≤x≤2kπ+,k∈Z，2kπ+≤x≤2kπ+116π,k∈Z.∴函數(shù)y=sin(x-）的遞增區(qū)間、遞減區(qū)間分別是［2kπ-，2kπ+］，k∈Z,［2kπ+，2kπ+116π］，k∈Z。(2)函數(shù)y=cos2x的單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間分別由下面的不等式確定2kπ—π≤2x≤2kπ(k∈Z）,2kπ≤2x≤2kπ+π,k∈Z?！鄈π—≤x≤kπ，k∈Z，kπ≤x≤kπ+,k∈Z。∴函數(shù)y=cos2x的單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間分別為［kπ-，kπ］，k∈Z,［kπ，kπ+］，k∈Z.【例2】求函數(shù)y=3-2sin(x+）的最大、最小值及相應(yīng)的x值.思路分析：使函數(shù)y=3—2sin(x+)取得最大、最小值的x就是使得函數(shù)y=sin（x+）取得最小、最大值的x。解：當(dāng)sin（x+）=1即x+=2kπ+，x=2kπ+時(shí),y取最小值,y的最小值為3-2=1。當(dāng)sin（x+）=—1即x+=2kπ-,x=2kπ-23π時(shí)，y取最大值，y的最大值為3+2=5。溫馨提示求形如y=Asin（ωx+φ）+B或y=Acos(ωx+φ)+B的單調(diào)區(qū)間或最值時(shí)，我們用整體換元思想。A、ω＞0時(shí)，則ωx+φ直接套正余弦函數(shù)的增減區(qū)間和取最大、最小值的x的集合，解得x的范圍即可.2。判斷函數(shù)的奇偶性【例3】判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）f(x）=｜sinx|+cosx；(2）f(x）=；（3)y=；（4)y=.思路分析：本題主要考查奇偶性的判定.判斷奇偶性的方法.①判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②判斷f(-x)與f（x)的關(guān)系。解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，f(—x）=｜sin(—x)｜+cos(—x)=|-sinx｜+cosx=|sinx｜+cosx=f(x).∴函數(shù)為偶函數(shù).（2)由1+sinx+cosx≠0得x≠π+2kπ，且x≠+2kπ,k∈Z?！嗪瘮?shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。∴函數(shù)f（x)=為非奇非偶函數(shù)。(3）∵sinx—1≥0,∴sinx=1，x=2kπ+（k∈Z)。函數(shù)定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間,故為非奇非偶函數(shù)。(4）∵1—cosx≥0且cosx≥1，∴cosx=1,x=2kπ(k∈Z).此時(shí)，y=0，故該函數(shù)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)。溫馨提示判斷函數(shù)的奇偶性,要特別注意函數(shù)的定義域.如果定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則為非奇非偶函數(shù)，若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.再通過(guò)化簡(jiǎn)判斷f（—x）與f(x)的關(guān)系，如f(x）=f(-x）且f(x）≠-f（x）,則該函數(shù)為只偶非奇函數(shù);如:f(-x)=-f（x）且f(-x)≠f（x)，則該函數(shù)為只奇非偶函數(shù)；如f(—x)=f（x)且f(-x）=—f（x），則該函數(shù)為既奇又偶函數(shù)；如f(-x)≠f（x)，且f(—x)≠—f（x)，則該函數(shù)為非奇非偶函數(shù).3.y=Asin（ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ）型函數(shù)中，A、ω的正負(fù)對(duì)求單調(diào)區(qū)間及最值的影響【例4】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：y=2sin(—x).思路分析：令-x=u,則u=-x在x∈R上是減函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)同增異減原則,要求原函數(shù)的遞增區(qū)間，-x必須套sinu的減區(qū)間。解：y=2sin（—x）化為y=—2sin（x-)?！遹=sinu（u∈R)的遞增、遞減區(qū)間分別為[2kπ—，2kπ+］,k∈Z.［2kπ+，2kπ+]，k∈Z。∴函數(shù)y=—2sin(x-）的遞增、遞減區(qū)間分別由下面的不等式確定.2kπ+≤x—≤2kπ+,k∈Z。2kπ—≤x—≤2kπ+,k∈Z.得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z。2kπ—≤x≤2kπ+,k∈Z.∴函數(shù)y=sin（—x)的單調(diào)遞增區(qū)間、單調(diào)遞減區(qū)間分別為［2kπ+,2kπ+］,k∈Z。［2kπ—，2kπ+］，k∈Z。各個(gè)擊破類題演練1求函數(shù)y=3sin（2x+）的單調(diào)遞增區(qū)間.解:令2x+=u,則y=3sinu的單調(diào)增區(qū)間為[2kπ-,2kπ+］，k∈Z,即2kπ—≤2x+≤2kπ+，∴kπ-≤x≤kπ+?！鄖=3sin(2x+)的單調(diào)遞增區(qū)間是［kπ—π,kπ+］,k∈Z。變式提升1比較下列各組數(shù)的大小.（1）sin16°與sin154°；(2)cos3,cos，sin4，cos。解：（1)因?yàn)閟in154°=sin(180°-26°）=sin26°.函數(shù)y=sinx在［0,］為增函數(shù)，而26°＞16°。所以sin26°＞sin16°，即sin154°＞sin16°。（2)因?yàn)閟in4=cos(-4)=cos(4—)，函數(shù)y=cosx在［0，π］為減函數(shù)，而＜4—＜＜3＜π。所以cos＞cos(4-）＞cos＞cos3.即cos＞sin4＞cos＞cos3。類題演練2函數(shù)f（x）=3sin（π5x+）的最大值為____________,相應(yīng)的x取值集合為____________。解析：最大值為3,此時(shí)π5x+=2kπ+，k∈Z,∴x=10k+，k∈Z.答案:3｛x|x=10k+,k∈Z｝變式提升2求下列函數(shù)的最大值與最小值及相應(yīng)的x。(1）y=acosx+b；(2）y=cos2x+sinx—2.解:（1）①若a＞0，當(dāng)cosx=1，即x=2kπ時(shí)，y取最大值,y的最大值為a+b；當(dāng)cosx=-1，即x=2kπ+π時(shí)，y取最小值，y的最小值為b—a.②若a＜0,當(dāng)cosx=1即x=2kπ時(shí)，y取最小值，y的最小值為a+b；當(dāng)cosx=-1即x=2kπ+π時(shí)，y取最大值，y的最大值為b—a?？偵现獃的最大值為｜a｜+b，最小值為—｜a｜+b.(2）y=1—sin2x+sinx-2=-sin2x+sinx—1=-(sinx—)2—,當(dāng)sinx=12，即x=2kπ+或x=2kπ+(k∈Z）時(shí)，y取得最大值，y的最大值為-;當(dāng)sinx=—1即x=2kπ-時(shí),y取得最小值,y的最小值為-3.類題演練3判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x）=xsin（π+x);（2）f(x）=cos(2π—x）—x3sinx；（3）f(x)=。解：(1）函數(shù)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。f（x）=xsin（π+x)=—xsinx,f（-x)=—(-x）sin（—x）=-xsinx=f（x）.∴f（x)是偶函數(shù).(2）函數(shù)f（x)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,又f（x）=cosx—x3sinx∴f（-x）=cos（-x)-(—x)3sin（—x)=cosx-x3sinx=f(x）?！鄁(x）為偶函數(shù).(3）函數(shù)應(yīng)滿足1+sinx≠0,∴函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸∈R|x≠2kπ+,k∈Z｝，∴函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱,∴函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。變式提升3(1）已知f（x)=ax+bsin3x+1(a、b為常數(shù)),且f(5）=7,求f（-5）.（2)如果函數(shù)y1=a-bcosx（b＞0)的最大值是32,最小值是,那么函數(shù)y2=—4asin3bx的最大值是(）A。-2B。2C。D.-解:（1）因?yàn)閒(-x）-1=a（-x)+bsin3(—x)=—(ax+bsin3x）=-［f(x）-1］，所以f（—5)=-6.（2）由題意a+b=∴∴y2=-2sin3x.∴y2的最大值為2。答案：（1）-6（2）B類題演練4函數(shù)y=2sin（-2x)（x∈[0,π］)為增函數(shù)的區(qū)間是（）A.［0，］B.[，］C.［，］D。［，π］解：2sin(—2x)=-2sin（2x-),當(dāng)2kπ+≤2x—≤2kπ+,即kπ+≤x≤kπ+（k∈Z