25.1 求概率的方法 同步練習(xí)

第二十五章概率的求法與應(yīng)用25.1求概率的方法基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1用直接列舉法求概率1.(2022湖南永州中考)李老師準(zhǔn)備在班內(nèi)開展“道德”“心理”“安全”三場(chǎng)專題講座，若三場(chǎng)講座隨機(jī)安排，則“心理”專題講座被安排在第一場(chǎng)的概率為（）A.16 B.14 C.132.一個(gè)機(jī)器人在一條直線上移動(dòng)，每次只能向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度，移動(dòng)2次后它回到出發(fā)位置的概率等于（）A.23 B.12 C.143.(2022四川雅安中考)從-1，0，2中任取兩個(gè)不同的數(shù)求和，則和為正數(shù)的概率為.

4.孫悟空、豬八戒、沙僧三人隨機(jī)站成一橫排照相.(1)孫悟空的位置在左一的概率為；

(2)求孫悟空與豬八戒相鄰的概率.知識(shí)點(diǎn)2用列表法求概率5.(2022北京中考)不透明的袋子中裝有紅、綠小球各一個(gè)，除顏色外兩個(gè)小球無其他差別.從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，放回并搖勻，再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)小球，那么第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率是（）A.14 B.13 C.126.如圖，現(xiàn)分別旋轉(zhuǎn)兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的轉(zhuǎn)盤(左邊的轉(zhuǎn)盤被二等分，右邊的轉(zhuǎn)盤被三等分)，則指針?biāo)傅膬蓚€(gè)數(shù)字之積為奇數(shù)的概率是（）A.35 B.13 C.127.(2022貴州畢節(jié)中考)甲乙兩人參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，隨機(jī)選擇“做環(huán)保志愿者”和“做交通引導(dǎo)員”這兩項(xiàng)中的一項(xiàng)，那么兩人同時(shí)選擇“做環(huán)保志愿者”的概率是.

8.同時(shí)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子(骰子六個(gè)面上的點(diǎn)數(shù)分別代表1，2，3，4，5，6).計(jì)算下列事件發(fā)生的概率：(1)兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同；(2)至少有一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為3.知識(shí)點(diǎn)3用畫樹狀圖法求概率9.(2021山東東營(yíng)中考)經(jīng)過某路口的汽車，可能直行，也可能左拐或右拐，假設(shè)這三種可能性相同，現(xiàn)有兩車經(jīng)過該路口，恰好有一車直行，另一車左拐的概率為（）A.29 B.13 C.4910.(2022北京平谷二模)甲、乙、丙、丁四名同學(xué)隨機(jī)組合，兩兩一組做游戲，則甲與乙恰好被分在同一組的概率是（）A.16 B.14 C.1311.小穎有兩件上衣，分別為紅色和黑色，有三條褲子，分別為藍(lán)色、黑色和白色，她隨機(jī)拿出一件上衣和一條褲子穿上，恰好為紅色上衣和白色褲子的概率是.

12.工廠從三名男工人和兩名女工人中，隨機(jī)選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為.

13.將一枚普通硬幣連擲三次，分別求硬幣落地后“三次正面朝上”“三次反面朝上”“兩次正面朝上，一次反面朝上”“兩次反面朝上，一次正面朝上”的概率.知識(shí)點(diǎn)4用頻率估計(jì)概率14.在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，小明、小亮、小穎、小靜四位同學(xué)用投擲圖釘?shù)姆椒ü烙?jì)針尖朝上的概率，他們的實(shí)驗(yàn)次數(shù)分別為20、50、150、200，其中實(shí)驗(yàn)相對(duì)科學(xué)的同學(xué)是（）A.小明 B.小亮 C.小穎 D.小靜15.(2022遼寧撫順中考)質(zhì)檢部門對(duì)某批產(chǎn)品的質(zhì)量進(jìn)行隨機(jī)抽檢，結(jié)果如表所示：抽檢產(chǎn)品數(shù)n合格產(chǎn)品數(shù)m合格率m100890.8901501340.8932001790.8952502260.9043002710.9035004510.90210009040.904在這批產(chǎn)品中任取一件，恰好是合格產(chǎn)品的概率約是(結(jié)果保留一位小數(shù))，恰好是不合格產(chǎn)品的概率約是(結(jié)果保留一位小數(shù)).

16.一個(gè)不透明的口袋中裝有2個(gè)紅球和若干個(gè)白球，它們除顏色外其他完全相同.通過多次摸球?qū)嶒?yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率在20%附近波動(dòng)，估計(jì)口袋中白球有個(gè).

17.(2022北京房山期末)苗木種植不僅綠了家園，助力脫貧攻堅(jiān)，也成為鄉(xiāng)村增收致富的“綠色銀行”.小王承包了一片荒山，他想把這片荒山改造成一個(gè)蘋果園，現(xiàn)在有一種蘋果樹苗，它的成活率如下表所示：移植棵數(shù)n成活棵數(shù)m成活率m50470.9402702350.8704003690.9237506620.883150013350.890350032030.91570006335902根據(jù)以上信息，回答問題：(1)當(dāng)移植的棵數(shù)是7000時(shí)，表格記錄成活的棵數(shù)是，那么成活率x=；

(2)隨著移植棵數(shù)的增加，樹苗成活的頻率總在0.9附近波動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)樹苗成活的概率是；

(3)若小王移植10000棵這種樹苗，則可能成活；

(4)若小王移植20000棵這種樹苗，則一定成活18000棵，此結(jié)論正確嗎?說明理由.能力提升全練18.(2022北京門頭溝一模)某數(shù)學(xué)興趣小組做“用頻率估計(jì)概率”的實(shí)驗(yàn)時(shí)，統(tǒng)計(jì)了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，那么符合這一結(jié)果的實(shí)驗(yàn)最有可能的是（）A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀”B.一副只有四種花色的52張普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃C.擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面的點(diǎn)數(shù)是4D.暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球19.(2022河南中考)為開展“喜迎二十大、永遠(yuǎn)跟黨走、奮進(jìn)新征程”主題教育宣講活動(dòng)，某單位從甲、乙、丙、丁四名宣講員中隨機(jī)選取兩名進(jìn)行宣講，則恰好選中甲和丙的概率為.

20.(2022北京豐臺(tái)期末)小紅利用計(jì)算機(jī)模擬“投針實(shí)驗(yàn)”：在一個(gè)平面上畫一組間距d=0.73cm的平行線，將一根長(zhǎng)l=0.59cm的針任意投擲在這個(gè)平面上，針可能與某一條直線相交，也可能與所有直線都不相交，如圖顯示了小紅某次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，那么可以估計(jì)出針與直線相交的概率是(結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位).

21.(2022四川成都中考)如圖，已知☉O是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓.現(xiàn)假設(shè)可以隨意在大正方形內(nèi)取點(diǎn)，則這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是.

22.(2022江蘇無錫中考)建國(guó)中學(xué)有7位學(xué)生的生日是10月1日，其中男生分別記為A1，A2，A3，A4，女生分別記為B1，B2，B3.學(xué)校準(zhǔn)備召開國(guó)慶聯(lián)歡會(huì)，計(jì)劃從這7位學(xué)生中抽取學(xué)生參與聯(lián)歡會(huì)的訪談活動(dòng).(1)若任意抽取1位學(xué)生，則抽取的學(xué)生為女生的概率是；

(2)若先從男生中任意抽取1位，再?gòu)呐腥我獬槿?位，求抽得的2位學(xué)生中至少有1位是A1或B1的概率.(請(qǐng)用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出解答過程)23.(2022北京第四十四中學(xué)期末)有甲、乙兩個(gè)不透明的口袋，甲口袋中裝有兩個(gè)除數(shù)字外其余都相同的球，它們分別寫有數(shù)字-2，2；乙口袋中裝有三個(gè)除數(shù)字外其余都相同的球，它們分別寫有數(shù)字-5，m，5.小明和小剛進(jìn)行摸球游戲，規(guī)則如下：先從甲口袋中隨機(jī)取出一個(gè)球，其上的數(shù)字記為a；再?gòu)囊铱诖须S機(jī)取出一個(gè)球，其上的數(shù)字記為b.若a<b，則小明勝；若a=b，則為平局；若a>b，則小剛勝.(1)若m=-2，用畫樹狀圖或列表的方法分別求出小明、小剛獲勝的概率；(2)當(dāng)m為何值時(shí)，小明和小剛獲勝的概率相同?寫出一個(gè)符合條件的整數(shù)m的值，并說明理由.素養(yǎng)探究全練24.“田忌賽馬”的故事閃爍著我國(guó)古代先賢的智慧光芒.該故事的大意：齊王有上、中、下三匹馬A1，B1，C1，田忌也有上、中、下三匹馬A2，B2，C2，且這六匹馬在比賽中的勝負(fù)可用不等式表示如下：A1>A2>B1>B2>C1>C2(注：A>B表示A馬與B馬比賽，A馬獲勝).一天，齊王找田忌賽馬，約定：每匹馬都出場(chǎng)比賽一局，共賽三局，勝兩局者獲得整場(chǎng)比賽的勝利.面對(duì)劣勢(shì)，田忌事先了解到齊王三局比賽的“出馬”順序?yàn)樯像R、中馬、下馬，比賽時(shí)，田忌采用孫臏的策略：分別用自己的下馬、上馬、中馬與齊王的上馬、中馬、下馬比賽，即借助對(duì)陣(C2A1，A2B1，B2C1)獲得了整場(chǎng)比賽的勝利.假設(shè)齊王事先不打探田忌的“出馬”情況，試回答以下問題：(1)如果田忌事先只打探到齊王首局將出“上馬”，那么他首局應(yīng)出哪種馬才可能獲得整場(chǎng)比賽的勝利?并求其獲勝的概率；(2)如果田忌事先無法打探到齊王各局的“出馬”情況，那么他是否必?cái)o疑?若是，請(qǐng)說明理由；若不是，請(qǐng)列出田忌獲得整場(chǎng)比賽勝利的所有對(duì)陣情況，并求其獲勝的概率.

第二十五章概率的求法與應(yīng)用25.1求概率的方法答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C一共有6種等可能的結(jié)果，其中第一場(chǎng)是“心理”專題講座的結(jié)果有2種，則“心理”專題講座被安排在第一場(chǎng)的概率為26=132.B移動(dòng)2次可能出現(xiàn)的情況：左左，左右，右右，右左，每種情況都是等可能的，其中移動(dòng)2次后它回到出發(fā)位置的情況有2種，則移動(dòng)2次后它回到出發(fā)位置的概率=24=123.2解析-1+0=-1，-1+2=1，0+2=2，所以任取兩個(gè)不同的數(shù)求和一共有3種等可能的情況，其中和為正數(shù)的情況有2種，所以從-1，0，2中任取兩個(gè)不同的數(shù)求和，和為正數(shù)的概率為234.解析(1)三人隨機(jī)站成一橫排照相，共有6種等可能的結(jié)果，分別是(孫悟空，豬八戒，沙僧)，(孫悟空，沙僧，豬八戒)，(豬八戒，孫悟空，沙僧)，(豬八戒，沙僧，孫悟空)，(沙僧，孫悟空，豬八戒)，(沙僧，豬八戒，孫悟空)，而孫悟空的位置在左一的結(jié)果有2種，∴孫悟空的位置在左一的概率為26=1(2)∵共有6種等可能的結(jié)果，其中孫悟空與豬八戒相鄰的結(jié)果有4種，分別是(孫悟空，豬八戒，沙僧)，(豬八戒，孫悟空，沙僧)，(沙僧，孫悟空，豬八戒)，(沙僧，豬八戒，孫悟空)，∴孫悟空與豬八戒相鄰的概率是46=25.A列表如下：紅綠紅(紅，紅)(綠，紅)綠(紅，綠)(綠，綠)共有4種等可能的情況，其中第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的情況有1種，所以第一次摸到紅球、第二次摸到綠球的概率為14，B由題意列表如下：左轉(zhuǎn)盤積右轉(zhuǎn)盤12112224336從表中數(shù)據(jù)可知，共有6種等可能的結(jié)果，其中積為奇數(shù)的結(jié)果有2種，所以積為奇數(shù)的概率是26=17.1解析甲乙兩人隨機(jī)選擇“做環(huán)保志愿者”和“做交通引導(dǎo)員”這兩項(xiàng)中的一項(xiàng)，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：甲乙

做環(huán)保志愿者做交通引導(dǎo)員做環(huán)保志愿者做環(huán)保志愿者做環(huán)保志愿者做交通引導(dǎo)員做環(huán)保志愿者做交通引導(dǎo)員做環(huán)保志愿者做交通引導(dǎo)員做交通引導(dǎo)員做交通引導(dǎo)員共有4種等可能的結(jié)果，其中兩人同時(shí)選擇“做環(huán)保志愿者”的結(jié)果有1種，所以兩人同時(shí)選擇“做環(huán)保志愿者”的概率為148.解析列表如下：第1枚第2枚

1234561(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)(5，1)(6，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)(5，2)(6，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)(5，3)(6，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)(5，4)(6，4)5(1，5)(2，5)(3，5)(4，5)(5，5)(6，5)6(1，6)(2，6)(3，6)(4，6)(5，6)(6，6)(1)由表可知，共有36種等可能的結(jié)果，其中兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同的結(jié)果有6種，∴P(兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同)=636=1(2)共有36種等可能的結(jié)果，其中至少有一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為3的結(jié)果有11種，∴P(至少有一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為3)=11369.A畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結(jié)果，其中恰好有一車直行，另一車左拐的結(jié)果有2種，∴恰好有一車直行，另一車左拐的概率為29，10.C畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中甲、乙恰好在同一組的結(jié)果有4種，∴甲、乙恰好在同一組的概率為412=1311.1解析畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中恰好為紅色上衣和白色褲子的結(jié)果有1種，∴恰好為紅色上衣和白色褲子的概率為1612.3解析畫樹狀圖如圖：共有20種等可能的結(jié)果，其中這兩名工人恰好都是男工人的結(jié)果有6種，∴這兩名工人恰好都是男工人的概率為620=313.解析畫樹狀圖如下：共有8種等可能的結(jié)果，“三次正面朝上”的結(jié)果有1種，所以P(三次正面朝上)=18“三次反面朝上”的結(jié)果有1種，所以P(三次反面朝上)=18“兩次正面朝上，一次反面朝上”的結(jié)果有3種，所以P(兩次正面朝上，一次反面朝上)=38“兩次反面朝上，一次正面朝上”的結(jié)果有3種，所以P(兩次反面朝上，一次正面朝上)=3814.D實(shí)驗(yàn)相對(duì)科學(xué)的是實(shí)驗(yàn)次數(shù)最多的小靜.15.0.9；0.1解析由表格中的數(shù)據(jù)得，產(chǎn)品的合格率在0.9附近波動(dòng)，故恰好是合格產(chǎn)品的概率約是0.9，恰好是不合格產(chǎn)品的概率約是1-0.9=0.1.16.8解析設(shè)口袋中白球有x個(gè)，根據(jù)題意，得22+x×100%=20%，解得x=8，經(jīng)檢驗(yàn)，x=8是原方程的根且符合題意，17.解析(1)6335；0.905.(2)0.9.(3)9000棵.(4)此結(jié)論錯(cuò)誤，理由：∵隨著移植棵數(shù)的增加，樹苗成活的頻率在0.9附近波動(dòng)，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)樹苗成活的概率是0.9，0.9×20000=18000(棵)，但概率0.9是由頻率估計(jì)的，實(shí)際情況可能不是0.9，故若小王移植20000棵這種樹苗，不一定成活18000棵.能力提升全練18.C由題圖可知，這個(gè)實(shí)驗(yàn)的頻率在0.15~0.20之間.A.在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機(jī)出的是“剪刀“的概率為13；B.一副只有4種花色的52張普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃的概率是1352=14；C.擲一個(gè)質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面的點(diǎn)數(shù)是4的概率為16；D.暗箱中有1個(gè)紅球和2個(gè)黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球的概率為23.∵只有16在0.15~0.19.1解析畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好選中甲和丙的結(jié)果有2種，∴恰好選中甲和丙的概率為212=120.0.51解析在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，根據(jù)用頻率估計(jì)概率的方法可估計(jì)出針與直線相交的概率是0.51.21.π?2解析如圖，作OD⊥CF于D，設(shè)☉O與AE切于點(diǎn)B，連接OB，OA，OC，設(shè)☉O的半徑為r，∵☉O是小正方形的外接圓，是大正方形的內(nèi)切圓，∴OB=OC=r，△AOB、△COD是等腰直角三角形，∴AB=OB=r，OD=CD=22r∴AE=2r，CF=2r，∴這個(gè)點(diǎn)取在陰影部分的概率是πr2?22.解析(1)37(2)解法一(畫樹狀圖法)：畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中抽得的2位學(xué)生中至少有1位是A1或B1的結(jié)果有6種，∴抽得的2位學(xué)生中至少有1位是A1或B1的概率為612=1解法二(列表法)：列表如下：A1A2A3A4B1A1，B1A2，B1A3，B1A4，B1B2A1，B2A2，B2A3，B2A4，B2B3A1，B3A2，B3A3，B3A4，B3共有12種等可能的結(jié)果，其中抽得的2位學(xué)生中至少有1位是A1或B1的結(jié)果有6種，∴抽得的2位學(xué)生中至少有1位是A1或B1的概率為612=123.解析(1)畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中a<b的結(jié)果有2種，a>b的結(jié)果有3種，∴小明獲勝的概率為26=13，小剛獲勝的概率為36(2)根據(jù)題意列表可得：Ab

-22-5(-2，-5)(2，-5)m(-2，m)(2，m)5(-2，5)(2，5)一共有6種等可能的情況，其中a>b的情況有2種，a<b的情況有2種，未知情況有2種：(-2，m)和(2，m).當(dāng)-2>m，且2<m時(shí)，小明與小剛獲勝的概率相同，此時(shí)m<-2，且m>2，無解，舍去；當(dāng)-2<m，且2>m時(shí)，小明與小剛獲勝的概率相同，此時(shí)-2<m<2；當(dāng)-2=m，且m=2時(shí)，小明與小剛獲勝的概率相同，此時(shí)m=-2，且m=2，無解，舍去.綜上，當(dāng)-2<m<2(m為整數(shù))時(shí)，小明與小剛獲勝的概率相同，故m可以取-1，0，1.當(dāng)m為0時(shí)，小明和小剛獲勝的概率相同.理由：畫樹狀圖如下：共有6種等可能的結(jié)果，其中a<b的結(jié)果有3種，a>b的結(jié)果有3種，∴小明獲勝的概率=小剛獲勝的概率=36=1素養(yǎng)探究全練24.解析(1)田忌首局應(yīng)出“下馬”才可能在整場(chǎng)比賽中獲勝.此時(shí)，比賽的所有可能的對(duì)陣為(C2