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廣東順德華僑中學(xué)2025屆高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知等差數(shù)列{an},則“a2>a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件2.已知是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為1的圓上的任意一點(diǎn),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到交圓于點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.2 C. D.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入,則輸出的的值為()A. B. C. D.4.已知集合,則元素個(gè)數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.45.已知,則,不可能滿足的關(guān)系是()A. B. C. D.6.已知x,y滿足不等式,且目標(biāo)函數(shù)z=9x+6y最大值的變化范圍[20,22],則t的取值范圍()A.[2,4] B.[4,6] C.[5,8] D.[6,7]7.港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車,它是中國(guó)境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程,橋隧全長(zhǎng)55千米.橋面為雙向六車道高速公路,大橋通行限速100km/h,現(xiàn)對(duì)大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查.畫出頻率分布直方圖(如圖),根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85,90)的車輛數(shù)和行駛速度超過90km/h的頻率分別為()A.300, B.300, C.60, D.60,8.若為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知平面向量滿足與的夾角為,且,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.10.若x,y滿足約束條件且的最大值為,則a的取值范圍是()A. B. C. D.11.三棱錐中,側(cè)棱底面,,,,,則該三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.12.已知函數(shù),則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件可以是()A. B. C.或 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在正奇數(shù)非減數(shù)列中,每個(gè)正奇數(shù)出現(xiàn)次.已知存在整數(shù)、、,對(duì)所有的整數(shù)滿足,其中表示不超過的最大整數(shù).則等于______.14.函數(shù)的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_____.15.過直線上一點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,,則的最小值是______.16.在的展開式中,的系數(shù)為______用數(shù)字作答三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,已知四棱錐,底面為邊長(zhǎng)為2的菱形,平面,,是的中點(diǎn),.(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)若為上的動(dòng)點(diǎn),求與平面所成最大角的正切值.18.(12分)某保險(xiǎn)公司給年齡在歲的民眾提供某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn),現(xiàn)從名參保人員中隨機(jī)抽取名作為樣本進(jìn)行分析,按年齡段分成了五組,其頻率分布直方圖如下圖所示;參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如下表所示.據(jù)統(tǒng)計(jì),該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬元.年齡(單位:歲)保費(fèi)(單位:元)(1)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,為使公司不虧本,求精確到整數(shù)時(shí)的最小值;(2)經(jīng)調(diào)查,年齡在之間的老人每人中有人患該項(xiàng)疾病(以此頻率作為概率).該病的治療費(fèi)為元,如果參保,保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)元.某老人年齡歲,若購買該項(xiàng)保險(xiǎn)(取中的).針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元;若沒有購買該項(xiàng)保險(xiǎn),針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為元.試比較和的期望值大小,并判斷該老人購買此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算?19.(12分)已知向量,.(1)求的最小正周期;(2)若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且,求的面積.20.(12分)金秋九月,丹桂飄香,某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學(xué)生.新生接待其實(shí)也是和社會(huì)溝通的一個(gè)平臺(tái).校團(tuán)委、學(xué)生會(huì)從在校學(xué)生中隨機(jī)抽取了160名學(xué)生,對(duì)是否愿意投入到新生接待工作進(jìn)行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根據(jù)上表說明,能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法,選取10人.若從這10人中隨機(jī)選取3人到火車站迎接新生,設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為,寫出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.82821.(12分)a,b,c分別為△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊.已知a=3,,且B=60°.(1)求△ABC的面積;(2)若D,E是BC邊上的三等分點(diǎn),求.22.(10分)改革開放年,我國(guó)經(jīng)濟(jì)取得飛速發(fā)展,城市汽車保有量在不斷增加,人們的交通安全意識(shí)也需要不斷加強(qiáng).為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識(shí),某小組利用假期進(jìn)行一次全市駕駛員交通安全意識(shí)調(diào)查.隨機(jī)抽取男女駕駛員各人,進(jìn)行問卷測(cè)評(píng),所得分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖如圖所示在分以上為交通安全意識(shí)強(qiáng).求的值,并估計(jì)該城市駕駛員交通安全意識(shí)強(qiáng)的概率;已知交通安全意識(shí)強(qiáng)的樣本中男女比例為,完成下列列聯(lián)表,并判斷有多大把握認(rèn)為交通安全意識(shí)與性別有關(guān);安全意識(shí)強(qiáng)安全意識(shí)不強(qiáng)合計(jì)男性女性合計(jì)用分層抽樣的方式從得分在分以下的樣本中抽取人,再從人中隨機(jī)選取人對(duì)未來一年內(nèi)的交通違章情況進(jìn)行跟蹤調(diào)查,求至少有人得分低于分的概率.附:其中
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】試題分析:根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.解:在等差數(shù)列{an}中,若a2>a1,則d>0,即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列,則a2>a1,成立,即“a2>a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件,故選C.考點(diǎn):必要條件、充分條件與充要條件的判斷.2、C【解析】
設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當(dāng)時(shí),取得等號(hào).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識(shí),是一道容易題.3、C【解析】
由程序語言依次計(jì)算,直到時(shí)輸出即可【詳解】程序的運(yùn)行過程為當(dāng)n=2時(shí),時(shí),,此時(shí)輸出.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查由程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】
作出兩集合所表示的點(diǎn)的圖象,可得選項(xiàng).【詳解】由題意得,集合A表示以原點(diǎn)為圓心,以2為半徑的圓,集合B表示函數(shù)的圖象上的點(diǎn),作出兩集合所表示的點(diǎn)的示意圖如下圖所示,得出兩個(gè)圖象有兩個(gè)交點(diǎn):點(diǎn)A和點(diǎn)B,所以兩個(gè)集合有兩個(gè)公共元素,所以元素個(gè)數(shù)為2,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,關(guān)鍵在于作出集合所表示的點(diǎn)的圖象,再運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】
根據(jù)即可得出,,根據(jù),,即可判斷出結(jié)果.【詳解】∵;∴,;∴,,故正確;,故C錯(cuò)誤;∵,故D正確故C.【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化,對(duì)數(shù)的運(yùn)算,以及基本不等式:和不等式的應(yīng)用,屬于中檔題6、B【解析】
作出可行域,對(duì)t進(jìn)行分類討論分析目標(biāo)函數(shù)的最大值,即可求解.【詳解】畫出不等式組所表示的可行域如圖△AOB當(dāng)t≤2時(shí),可行域即為如圖中的△OAM,此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=9x+6y在A(2,0)取得最大值Z=18不符合題意t>2時(shí)可知目標(biāo)函數(shù)Z=9x+6y在的交點(diǎn)()處取得最大值,此時(shí)Z=t+16由題意可得,20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查線性規(guī)劃,根據(jù)可行域結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的最大值的取值范圍求參數(shù)的取值范圍,涉及分類討論思想,關(guān)鍵在于熟練掌握截距型目標(biāo)函數(shù)的最大值最優(yōu)解的處理辦法.7、B【解析】
由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù),同時(shí)利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過的頻率.【詳解】由頻率分布直方圖得:在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為,∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為:,行駛速度超過的頻率為:.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法,考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題.8、D【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,化簡(jiǎn)得到,再結(jié)合復(fù)數(shù)的表示,即可求解,得到答案.【詳解】由題意,根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算,可得,所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為位于第四象限.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算,以及復(fù)數(shù)的幾何意義,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,準(zhǔn)確化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)為代數(shù)形式是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、D【解析】
由已知可得,結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算律,建立方程,求解即可.【詳解】依題意得由,得即,解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算,向量垂直的應(yīng)用,考查計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】
畫出約束條件的可行域,利用目標(biāo)函數(shù)的最值,判斷a的范圍即可.【詳解】作出約束條件表示的可行域,如圖所示.因?yàn)榈淖畲笾禐椋栽邳c(diǎn)處取得最大值,則,即.故選:A【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用z的幾何意義,通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.11、B【解析】由題,側(cè)棱底面,,,,則根據(jù)余弦定理可得,的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑,則該三棱錐的外接球的表面積為點(diǎn)睛:本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體,熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵.12、D【解析】
先求函數(shù)在上不單調(diào)的充要條件,即在上有解,即可得出結(jié)論.【詳解】,若在上不單調(diào),令,則函數(shù)對(duì)稱軸方程為在區(qū)間上有零點(diǎn)(可以用二分法求得).當(dāng)時(shí),顯然不成立;當(dāng)時(shí),只需或,解得或.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件,要注意二次函數(shù)零點(diǎn)的求法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
將已知數(shù)列分組為(1),,共個(gè)組.設(shè)在第組,,則有,即.注意到,解得.所以,.因此,.故.14、1.【解析】
求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直的直線斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,函數(shù)的圖象在的切線斜率本題正確結(jié)果:【點(diǎn)睛】本題主要考查直線垂直的應(yīng)用以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義,根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.15、【解析】
由切線的性質(zhì),可知,切由直角三角形PAO,PBO,即可設(shè),進(jìn)而表示,由圖像觀察可知進(jìn)而求出x的范圍,再用的式子表示,整理后利用換元法與雙勾函數(shù)求出最小值.【詳解】由題可知,,設(shè),由切線的性質(zhì)可知,則顯然,則或(舍去)因?yàn)榱?,則,由雙勾函數(shù)單調(diào)性可知其在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查在以直線與圓的位置關(guān)系為背景下求向量數(shù)量積的最值問題,應(yīng)用函數(shù)形式表示所求式子,進(jìn)而利用分析函數(shù)單調(diào)性或基本不等式求得最值,屬于較難題.16、1【解析】
利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求出展開式的通項(xiàng),令,求出展開式中的系數(shù).【詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為令得的系數(shù)為故答案為1.【點(diǎn)睛】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式是解決二項(xiàng)展開式的特定項(xiàng)問題的工具.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)由底面為邊長(zhǎng)為2的菱形,平面,,易證平面,可得;(Ⅱ)連結(jié),由(Ⅰ)易知為與平面所成的角,在中,可求得.試題解析:(Ⅰ)∵四邊形為菱形,且,∴為正三角形,又為中點(diǎn),∴;又,∴,∵平面,又平面,∴,∴平面,又平面,∴;(Ⅱ)連結(jié),由(Ⅰ)知平面,∴為與平面所成的角,在中,,最大當(dāng)且僅當(dāng)最短,即時(shí)最大,依題意,此時(shí),在中,,∴,,∴與平面所成最大角的正切值為.考點(diǎn):1.線線垂直證明;2.求線面角.18、(1)30;(2),比較劃算.【解析】
(1)由頻率和為1求出,根據(jù)的值求出保費(fèi)的平均值,然后解一元一次不等式即可求出結(jié)果,最后取近似值即可;(2)分別計(jì)算參保與不參保時(shí)的期望,,比較大小即可.【詳解】解:(1)由,解得.保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為:∴要使公司不虧本,則,即解得∴.(2)①若該老人購買了此項(xiàng)保險(xiǎn),則的取值為∴(元).②若該老人沒有購買此項(xiàng)保險(xiǎn),則的取值為.∴(元).∴年齡為的該老人購買此項(xiàng)保險(xiǎn)比較劃算.【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生利用相關(guān)統(tǒng)計(jì)圖表知識(shí)處理實(shí)際問題的能力,掌握頻率分布直方圖的基本性質(zhì),知道數(shù)學(xué)期望是平均數(shù)的另一種數(shù)學(xué)語言,為容易題.19、(1);(2)或【解析】
(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得,利用正弦函數(shù)的周期性即可求解;(2)由(1)可求,結(jié)合范圍,可求的值,由余弦定理可求的值,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)∴最小正周期.(2)由(1)知,∴∴,又∴或.解得或當(dāng)時(shí),由余弦定理得即,解得.此時(shí).當(dāng)時(shí),由余弦定理得.即,解得.此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦函數(shù)的周期性,考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.20、(1)有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)詳見解析.【解析】
(1)計(jì)算得到,由此可得結(jié)論;(2)根據(jù)分層抽樣原則可得男生和女生人數(shù),由超幾何分布概率公式可求得的所有可能取值所對(duì)應(yīng)的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式計(jì)算可得期望.【詳解】(1)∵的觀測(cè)值,有的把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣方法得:男生有人,女生有人,選取的人中,男生有人,女生有人.則的可能取值有,,,,,的分布列為:.【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)、分層抽樣、超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解;關(guān)鍵是能夠明確隨機(jī)變量服從于超幾何分布,進(jìn)而利用超幾何分布概率公式求得隨機(jī)變量每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的概率.21、(1)
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