高等數(shù)學(xué)課件：全微分

全微分

8.3.1全微分的定義

復(fù)習(xí)：一元函數(shù)微分的定義設(shè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)有定義,在這區(qū)間內(nèi),若可表示為:記作則稱函數(shù)在可微,叫做函數(shù)在點(diǎn)的微分，即且其中與無(wú)關(guān),8.3.1全微分的定義1定義:可表示成其中A,B不依賴于

x,

y,稱為函數(shù)在點(diǎn)(x,y)的全微分,若函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)各點(diǎn)都可微,則稱函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,處的全增量則稱此函數(shù)在D內(nèi)可微.如果函數(shù)z=f(x,y)在定義域D的內(nèi)點(diǎn)(x,y)僅與x,y有關(guān),記作(2)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)下面兩個(gè)定理給出了可微與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系:(1)函數(shù)可微函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微當(dāng)函數(shù)可微時(shí):得函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微即逆命題不真！2定理1(必要條件)若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x,y)可微,則函數(shù)在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)同樣可證證明:必存在,且有得因此有由函數(shù)在點(diǎn)(x,y)可微,

得

如函數(shù)同理但∴函數(shù)在點(diǎn)(0,0)不可微,注意:

定理1的逆命題不成立.偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)不一定可微!即:且連續(xù)不可微.定義又如函數(shù)因?yàn)樵邳c(diǎn)(0,0)不連續(xù),但在點(diǎn)(0,0)的偏導(dǎo)數(shù)存在！3定理2(充分條件)若函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)則函數(shù)在該點(diǎn)可微.注:即可微函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)!(證明略)所以必不可微.定理2的逆命題不成立.推廣:

類似可討論三元及三元以上函數(shù)的可微性問(wèn)題.例如,三元函數(shù)習(xí)慣上把自變量的增量用微分表示,記作故有下述疊加原理稱為偏微分.的全微分為于是例1計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)(2,1)處的全微分.解:例2的全微分.解:

計(jì)算函數(shù)1微分定義:2重要關(guān)系:偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)定義內(nèi)容小結(jié)思考與練習(xí)函數(shù)在可微的充分條件是()的某鄰域內(nèi)存在;時(shí)是無(wú)窮小量;時(shí)是無(wú)窮小量.1選擇題2設(shè)解:同理,可得在點(diǎn)(0,0)可微.在點(diǎn)(0,0)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證明:因故函數(shù)在點(diǎn)(0,0)連續(xù);但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(0,0)不連3

證明函數(shù)所以同理極限不存在,在點(diǎn)(0,