專項(xiàng)02 三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

專項(xiàng)02三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用類型一單直角三角形1.(2023吉林乾安二模)臺(tái)燈是生活中常見物品，圖1是一個(gè)臺(tái)燈的實(shí)物圖，圖2是其側(cè)面示意圖.臺(tái)燈的雙軸燈臂AB=9cm，AC=37cm，通過調(diào)節(jié)燈臂AC的傾斜角度∠CAC'可以改變臺(tái)燈的照明位置，已知AB垂直于底座，∠CAC'=23°，求燈臂頂端C到底座的距離(結(jié)果精確到1cm).(參考數(shù)據(jù)：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42) 圖1 圖2類型二“背靠式”2.(2023內(nèi)蒙古通遼中考)如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東72°方向，距離燈塔100nmile的A處，它沿正南方向航行一段時(shí)間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東40°方向上的B處.這時(shí)，B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)(結(jié)果取整數(shù))？(參考數(shù)據(jù)：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)3.(2023天津河?xùn)|二模)某數(shù)學(xué)興趣小組利用所學(xué)的“銳角三角函數(shù)”知識(shí)測量一段兩岸平行的河流寬度.他們先在河岸設(shè)立A，B兩個(gè)觀測點(diǎn)，然后選定對(duì)岸河邊的一棵樹記為點(diǎn)C.測得AB=260m，∠CAB=35°，∠CBA=75°.請(qǐng)你根據(jù)測得的數(shù)據(jù)，求出這段河流的寬度(結(jié)果取整數(shù)).參考數(shù)據(jù)：tan35°≈0.70，tan75°≈3.73.類型三“母抱子”型4.(2023重慶渝中二模)超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因，如圖所示，MN是一條直線路段，限速60千米/時(shí)，交警在該路段附近設(shè)立了觀測點(diǎn)P，這時(shí)，一輛小轎車由西向東勻速行駛，測得此車從A處行駛到B處所用的時(shí)間為5秒，已知∠PAB=30°，∠PBN=53°，AP=180米.(1)求A、B之間的路程；(參考數(shù)據(jù)：3≈1.7，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈43(2)此車是否超速了？請(qǐng)說明理由.類型四“互擁抱”型5.(2023河南許昌二模)如圖所示，一梯子AC斜靠著墻OD，梯子與地面夾角為45°.若梯子底端A向右水平移動(dòng)1m至點(diǎn)B，梯子頂端隨之向上移動(dòng)至點(diǎn)D，此時(shí)∠DBO=α，OB=2m，求CD的長度.(用含α的式子表示)類型五“斜截”型6.(2023山西陽泉二模)隨著時(shí)代的發(fā)展和人們生活水平的提高，私家車越來越多，停車越來越難，停車場的建造就成為解決問題的途徑之一.如圖所示的是一個(gè)新建的地下停車場的設(shè)計(jì)示意圖，已知坡道AB的坡比i=1∶2.4，AC⊥CD，DH⊥AB，AC的長為7.2米，CD的長為0.4米.按規(guī)定，停車場坡道口上方需張貼限高標(biāo)志，以便告知停車人其車輛能否安全駛?cè)?，?qǐng)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，確定該停車場入口的限高，即DH的長為多少.類型六“其他”型7.某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度CD，如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在A處測得正前方河流的左岸C處的俯角為α，無人機(jī)沿水平線AF方向繼續(xù)飛行50米至B處，測得正前方河流右岸D處的俯角為30°.線段AM的長為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)M、C、D在同一條直線上.其中tanα=2，MC=503米.則河流的寬度CD=米(結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：2≈1.41，3≈1.73).

8.(2023湖南常德中考)今年“五一”小長假期間，小陳、小余同學(xué)和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖1的椅子上休息時(shí)，小陳感覺很舒服，激發(fā)了她對(duì)這把椅子的好奇心，就想出個(gè)問題考考同學(xué)小余.小陳同學(xué)先測量，根據(jù)測量結(jié)果畫出了圖1的示意圖(圖2).在圖2中，已知四邊形ABCD是平行四邊形，座板CD與地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC=CE，∠FBA=114.2°，靠背FC=57cm，支架AN=43cm，扶手的一部分BE=16.4cm.這時(shí)她問小余同學(xué)，你能算出靠背頂端F點(diǎn)距地面(MN)的高度是多少嗎？請(qǐng)你幫小余同學(xué)算出結(jié)果(最后結(jié)果保留一位小數(shù)).(參考數(shù)據(jù)：sin65.8°≈0.91，cos65.8°≈0.41，tan65.8°≈2.23)

專項(xiàng)02三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用答案全解全析1.解析過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥BC'于點(diǎn)F，∵AB垂直于底座，CE⊥BE，CF⊥BC'，∴四邊形FBEC是矩形，∴CE=FB，在Rt△ACF中，∵AC=37cm，∠CAF=23°，cos∠CAF=AFAC∴AF=AC·cos∠CAF=37×cos23°≈37×0.92=34.04(cm)，∴CE=BF=AB+AF=9+34.04≈43(cm).答：燈臂頂端C到底座的距離約為46cm.2.解析如圖：由題意得PC⊥AB，EF∥AB，∴∠A=∠EPA=72°，∠B=∠BPF=40°，在Rt△APC中，AP=100海里，∴PC=AP·sin72°≈100×0.95=95(海里)，在Rt△BCP中，BP=PCsin40°≈∴B處距離燈塔P約有148海里.3.解析過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，在Rt△ACD、Rt△BCD中，∵tan∠CAB=CDAD，tan∠CBA=CD∴CD≈153(m).答：這段河流的寬度約為153m.4.解析(1)如圖，過點(diǎn)P作PC⊥MN于C，在Rt△APC中，AP=180米，∠PAC=30°，∴PC=12AP=90(米)，AC=32在Rt△BPC中，PC=90米，∠PBC=53°，∴BC=PCtan53°≈67.5(米)∴AB=AC-BC=153-67.5=85.5(米).答：A、B之間的路程約為85.5米.(2)超速了.理由：∵A、B之間的路程為85.5米，汽車所用的時(shí)間為5秒，∴汽車經(jīng)過AB的速度為85.5÷5=17.1(米/秒)=61.56(千米/時(shí))，由于61.56>60，因此超速了.5.解析由題意得DO⊥AO，AB=1m，∵OB=2m，∴AO=AB+OB=3m，在Rt△ACO中，∠CAO=45°，∴OC=AO·tan45°=3(m)，在Rt△OBD中，∠DBO=α，∴OD=OB·tanα=2tanα(米)，∴CD=OD-OC=(2tanα-3)m，∴CD的長度為(2tanα-3)m.6.解析延長CD交AB于E，如圖：∵坡道AB的坡比i=1∶2.4，∴tan∠CAB=CEAC∵AC=7.2米，∴CE=3米，∵CD=0.4米，∴DE=2.6米，∵DH⊥AB，AC⊥CD，∴∠EDH+∠DEH=∠DEH+∠CAB=90°，∴∠EDH=∠CAB，∴tan∠EDH=EHDH∴DH=2.4EH.在Rt△DEH中，DH2+EH2=DE2，∴(2.4EH)2+EH2=2.62，∴EH=1米(舍負(fù))，∴DH=2.4米.答：DH的長為2.4米.7.264解析如圖，過點(diǎn)B作BN⊥MD，垂足為N，由題意可知∠BDM=30°，AB=MN=50米，∠ACM=α，在Rt△ACM中，tan∠ACM=2=AMMC,MC=50∴AM=2MC=1003米.∴BN=AM=1003米.在Rt△BND中，∵tan∠BDN=BNDN∴DN=BNtan∠∴CD=DN+MN-MC=300+50-503≈264(米).8.解析過點(diǎn)F作FQ⊥CD，垂足為點(diǎn)Q，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠FBA=114.2°，∴∠ABC=∠FCQ=180°-∠BCD=180°-114.2°=65.8°，∴FQ=FC·sin∠FCQ=57sin65.8°(cm)，過點(diǎn)A作AP⊥MN于點(diǎn)P，由題意知AB∥CD∥MN，F(xiàn)C∥AN，則∠ANP=∠ADC=∠FCQ=65.8°，∴AP=AN·sin∠ANP=43sin65.8°