上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

上海實(shí)驗(yàn)2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)月考2024.10一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.已知,則.

2.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.

3.在中,,則.

4.若關(guān)于的不等式的解集為,則.

5.已知為第一象限角，為第三象限角，，則.

6.已知函數(shù)為在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

7.設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.

8.已知,則.

9.設(shè)為平面上一定點(diǎn),為動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)由0變化到時(shí),線段掃過的面積是.

10.已知,函數(shù)在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)最大值為.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?且對任意,滿足,且,則.12.已知方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,滿足,且在區(qū)間和上各存在唯一整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.

二、選擇題(本大題共有4題,滿分20分,每題5分)

13.已知集合，則（）.

A.B.C.D.

14.生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評價(jià)指標(biāo)，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15，則（）.

A.B.C.D.

15.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，若在上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則的最大值為（）.

A.2B.3C.4D.5

16.若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的的個(gè)數(shù)是（）.

A.4B.5C.6D.7

三、解答題(共5道大題,共計(jì)76分)17.（本題滿分14分.本題共2小題,第（1）小題7分,第（2）小題7分.)已知在中,角所對的邊分別為,且滿足,;

（1）求角的值;

（2）若的面積為,求的周長.

18.(本題滿分14分.本題共2小題，第（1）小題8分,第（2）小題6分.)如圖,已知三棱柱的所有棱長均為1,且.

（1）求直線與平面所成角的正弦值;

（2）求點(diǎn)到平面的距離.

19.(本題滿分14分.本題共2小題,第（1）小題6分,第（2）小題8分.)已知函數(shù).

（1）將化成的形式,并寫出的最小正周期及對稱軸方程；

（2）若在上的值域?yàn)?求的取值范圍.

20.（本題滿分16分.本題共3小題,第(1)小題4分,第（2）小題6分.第(3)小題6分)對于四個(gè)正數(shù)，如果，那么稱是的"下位序列"

（1）對于,試求的"下位序列";

（2）設(shè)均為正數(shù)，且是的"下位序列"，試判斷：之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)正整數(shù)滿足條件：對集合內(nèi)的每個(gè)，總存在正整數(shù)，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整數(shù)的最小值.21.（本題滿分18分.本題共3個(gè)小題,第（1）小題4分,第（2）小題6分,第(3)小題8分)函數(shù)滿足：對任意恒成立（或恒成立），則稱直線是函數(shù)在上的支撐線.

（1）指出下列哪些函數(shù)在定義域上存在支撐線：

①②③④

（2）動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，直線是在定義域上的支撐線，求點(diǎn)到直線的距離最小值;

（3）直線是函數(shù)在上的支撐線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

上實(shí)驗(yàn)2024學(xué)年第一學(xué)期高三年級數(shù)學(xué)月考2024.10一、填空題（本大題共有12題,滿分54分,第1-6題每題4分,第7-12題每題5分）

1.已知,則.

【答案】【解析】由誘導(dǎo)公式可得:,故答案為:.

2.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.

【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則。故答案為:.

3.在中,,則.

【答案】【解析】.故答案為:

4.若關(guān)于的不等式的解集為,則.

【答案】【解析】依題意可得,即,而,即,所以.

5.已知為第一象限角，為第三象限角，，則.

【答案】【解析】因?yàn)闉榈谝幌笙藿?，為第三象限角，所以，因?yàn)?所以，

所以,所以則.故答案為:.

6.已知函數(shù)為在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.

【答案】【解析】函數(shù)為在上單調(diào)遞增,可知:，可得.

7.設(shè)函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為.

【答案】【解析】,則,故,所以曲線在點(diǎn)處的切線為,令，解得，令，解得，故所求三角形的面積為.

8.已知,則.

【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，而，故，?故答案為:.

9.設(shè)為平面上一定點(diǎn),為動(dòng)點(diǎn),則當(dāng)由0變化到時(shí),線段掃過的面積是.

【答案】【解析】由可知，點(diǎn)在半徑為1，圓心在原點(diǎn)的單位圓上，如圖,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到,則,

扇形面積為，而，,故線段掃過的面積為.

10.已知,函數(shù)在零點(diǎn)的個(gè)數(shù)最大值為.

【答案】【解析】令可得,則有,設(shè)是相鄰的兩個(gè)零點(diǎn),則有或,函數(shù)在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，在上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，所以在可能沒有零點(diǎn)，可能有1個(gè)零點(diǎn)，可能有2個(gè)零點(diǎn)，不可能有3個(gè)零點(diǎn)，所以零點(diǎn)的個(gè)數(shù)最大值為個(gè)，故答案為:.11.已知函數(shù)的定義域?yàn)?且對任意,滿足,且,則.【答案】【解析】由，所以，即，

所以

12.已知方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,滿足,且在區(qū)間和上各存在唯一整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.

【答案】【解析】方法一:.令，則.所以為偶函數(shù).所以只需考慮時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù)即可.當(dāng)時(shí),令,得.令,則.當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),，所以在上單調(diào)遞減.因?yàn)樵趨^(qū)間上存在唯一的整數(shù),所以,即.所以的取值范圍為.

方法二:.令,則，所以為奇函數(shù).因?yàn)橐彩瞧婧瘮?shù)，所以只需考慮時(shí),與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù).易知，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減.當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),；當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí),.因?yàn)榕c的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),且在區(qū)間上存在唯一的整數(shù),所以,所以的取值范圍為.

方法三:由,得，令，兩函數(shù)均為偶函數(shù)，所以只需考慮時(shí)，與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且在區(qū)間上存在唯一整數(shù).如圖,作的部分圖象,根據(jù)圖象易得,所以解得,所以的取值范圍為.二、選擇題(本大題共有4題,滿分20分,每題5分)

13.已知集合，則（）.

A.B.C.D.

【答案】C【解析】集合，則。

14.生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評價(jià)指標(biāo)，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)越大，水質(zhì)越好.如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由2.1提高到3.15，則（）.

A.B.C.D.

【答案】D【解析】根據(jù)個(gè)體總數(shù)由變?yōu)榭闪惺剑?，所以，約分可得，故，所以.

15.將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，若在上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則的最大值為（）.

A.2B.3C.4D.5

【答案】B【解析】由題，當(dāng)時(shí)，,若在上只有一個(gè)極大值點(diǎn)，則,得,因?yàn)?所以的最大值為3.

16.若函數(shù)在上恰有3個(gè)零點(diǎn)，則符合條件的的個(gè)數(shù)是（）.

A.4B.5C.6D.7

【答案】B【解析】令,則或,由得，當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)，則在上應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn),所以,即,與聯(lián)立得,因?yàn)?所以的值依次為9,10；當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)在上有3個(gè)零點(diǎn),不滿足題意;當(dāng)時(shí),在上有2個(gè)零點(diǎn),在上應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)（因?yàn)?，所以該零點(diǎn)與的零點(diǎn)不相同），所以,即,與聯(lián)立得,因?yàn)?所以的取值依次為，綜上得符合條件的的個(gè)數(shù)是5.

三、解答題(共5道大題,共計(jì)76分)17.（本題滿分14分.本題共2小題,第（1）小題7分,第（2）小題7分.)已知在中,角所對的邊分別為,且滿足,;

（1）求角的值;

（2）若的面積為,求的周長.

【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意得:,

即:,,又,因此,

因?yàn)?因此,故為銳角,因此;

（2）由,則由余弦定理:,得:,因此可得:,因此,為等腰直角三角形,

又得:，因此的周長為.18.(本題滿分14分.本題共2小題，第（1）小題8分,第（2）小題6分.)如圖,已知三棱柱的所有棱長均為1,且.

（1）求直線與平面所成角的正弦值;

（2）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）（2）【解析】（1）由題意,得四面體是正四面體.如圖,過點(diǎn)作平面的垂線,交平面于點(diǎn),連接.由對稱性知，點(diǎn)為正三角形的中心.

易得,所以.

因?yàn)槠矫嫫矫?所以.

所以直線與平面所成的角為.

因?yàn)?又平面平面,所以直線與平面所成角的正弦值為.

(2)因?yàn)槠矫嫫矫?所以.又,且,所以平面.

又平面,所以.又,所以.

所以四邊形為矩形.所以.

因?yàn)?

所以點(diǎn)到平面的距離為

19.(本題滿分14分.本題共2小題,第（1）小題6分,第（2）小題8分.)已知函數(shù).

（1）將化成的形式,并寫出的最小正周期及對稱軸方程；

（2）若在上的值域?yàn)?求的取值范圍.

【答案】（1）對稱軸為直線.（2）【解析】(1)，由題意得的最小正周期.

由圖象可知，對稱軸為直線.

（2）若在上單調(diào),則,得,則

由,得,則,所以.

若在上不單調(diào)，則在上的圖象上必定有一個(gè)最高點(diǎn)或最低點(diǎn),且在上的圖象無論經(jīng)過任何一個(gè)最高點(diǎn)或任何一個(gè)最低點(diǎn),的取值范圍均相同.

假設(shè)在上的圖象的最高點(diǎn)為,則,

當(dāng),即時(shí),,此時(shí)取得最小值,且最小值是.易得,則,所以.

綜上,的取值范圍為.

20.（本題滿分16分.本題共3小題,第(1)小題4分,第（2）小題6分.第(3)小題6分)對于四個(gè)正數(shù)，如果，那么稱是的"下位序列"

（1）對于,試求的"下位序列";

（2）設(shè)均為正數(shù)，且是的"下位序列"，試判斷：之間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)正整數(shù)滿足條件：對集合內(nèi)的每個(gè)，總存在正整數(shù)，使得是的"下位序列"，且是的"下位序列"，求正整數(shù)的最小值.【答案】（1）（2），證明見解析（3）【解析】（1）由題意可知此時(shí)則的“下位序列”為（2）由題意可知此時(shí)取,則猜想

先證左邊則再證右邊則綜上（3）由題意可知①，又則此時(shí)于是解得

又對集合內(nèi)的每個(gè),上式都成立,則

下證滿足題意,由①可知

再由（2）可知

即對集合內(nèi)的每個(gè)，總存在是滿足題意的綜上所述：正整數(shù)的最小值為.21.（本題滿分18分.本題共3個(gè)小題,第（1）小題4分,第（2）小題6分,第(3)小題8分)函數(shù)滿足：對任意恒成立（或恒成立），則稱直線是函數(shù)在上的支撐線.

（1）指出下列哪些函數(shù)在定義域上存在支撐線：

①②③④

（2）動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)圖象上，直線是在定義域上的支撐線，求點(diǎn)到直線的距離最小值;

（3）直線是函數(shù)在上的支撐線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】（1）③④（2）