新高考數(shù)學一輪復習講練測第2章第08講 函數(shù)模型及其應用（講義）（原卷版）

第08講函數(shù)模型及其應用1、幾種常見的函數(shù)模型：函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)且SKIPIF1<0反比例函數(shù)模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)且SKIPIF1<0二次函數(shù)模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)且SKIPIF1<0指數(shù)函數(shù)模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對數(shù)函數(shù)模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0冪函數(shù)模型SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<02、解函數(shù)應用問題的步驟：（1）審題：弄清題意，識別條件與結論，弄清數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型；（2）建模：將自然語言轉化為數(shù)學語言，將文字語言轉化為符號語言，利用已有知識建立相應的數(shù)學模型；（3）解模：求解數(shù)學模型，得出結論；（4）還原：將數(shù)學問題還原為實際問題．題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型【例1】汽車在行駛中，由于慣性，剎車后還要繼續(xù)向前滑行一段距離才能停止，一般稱這段距離為“剎車距離”.剎車距離是分析交通事故的一個重要依據(jù).在一個限速為SKIPIF1<0的彎道上，甲、乙兩輛汽車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相碰了.事后現(xiàn)場勘查，測得甲車的剎車距離略超過SKIPIF1<0，乙車的剎車距離略超過SKIPIF1<0.已知甲車的剎車距離SKIPIF1<0與車速SKIPIF1<0之間的關系為SKIPIF1<0，乙車的剎車距離SKIPIF1<0與車速SKIPIF1<0之間的關系為SKIPIF1<0.請判斷甲、乙兩車哪輛車有超速現(xiàn)象（

）A．甲、乙兩車均超速 B．甲車超速但乙車未超速C．乙車超速但甲車未超速 D．甲、乙兩車均未超速【對點訓練1】如圖為某小區(qū)七人足球場的平面示意圖，SKIPIF1<0為球門，在某次小區(qū)居民友誼比賽中，隊員甲在中線上距離邊線SKIPIF1<0米的SKIPIF1<0點處接球，此時SKIPIF1<0，假設甲沿著平行邊線的方向向前帶球，并準備在點SKIPIF1<0處射門，為獲得最佳的射門角度（即SKIPIF1<0最大），則射門時甲離上方端線的距離為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【對點訓練2】下表是某批發(fā)市場的一種益智玩具的銷售價格：一次購買件數(shù)5-10件11-50件51-100件101-300件300件以上每件價格37元32元30元27元25元張師傅準備用2900元到該批發(fā)市場購買這種玩具，贈送給一所幼兒園，張師傅最多可買這種玩具（

）A．116件 B．110件 C．107件 D．106件【對點訓練3】某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元，每生產(chǎn)SKIPIF1<0萬件該產(chǎn)品，需另投入成本SKIPIF1<0萬元.其中SKIPIF1<0，若該公司一年內生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價為70元，則該企業(yè)每年利潤的最大值為（

）A．720萬元 B．800萬元C．875萬元 D．900萬元【解題方法總結】1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當做幾個問題，將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值．2、構造分段函數(shù)時，要準確、簡潔，不重不漏．題型二：對勾函數(shù)模型【例2】某企業(yè)投入SKIPIF1<0萬元購入一套設備，該設備每年的運轉費用是SKIPIF1<0萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為SKIPIF1<0萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加SKIPIF1<0萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【對點訓練4】網(wǎng)店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2018年1月起開展網(wǎng)絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據(jù)幾個月運營發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數(shù)關系式SKIPIF1<0已知網(wǎng)店每月固定的各種費用支出為3萬元，產(chǎn)品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產(chǎn)品的售價定為“進貨價的SKIPIF1<0”與“平均每件產(chǎn)品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是___________萬元.【對點訓練5】迷你KTV是一類新型的娛樂設施，外形通常是由玻璃墻分隔成的類似電話亭的小房間，近幾年投放在各大城市商場中，受到年輕人的歡迎．如圖是某間迷你KTV的橫截面示意圖，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，曲線段SKIPIF1<0是圓心角為SKIPIF1<0的圓弧，設該迷你KTV橫截面的面積為SKIPIF1<0，周長為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為___________．（本題中取SKIPIF1<0進行計算）【對點訓練6】磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術形式，傳統(tǒng)磚雕精致細膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形SKIPIF1<0截去同心扇形SKIPIF1<0所得部分．已知扇環(huán)周長SKIPIF1<0，大扇形半徑SKIPIF1<0，設小扇形半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0弧度，則①SKIPIF1<0關于x的函數(shù)關系式SKIPIF1<0_________．②若雕刻費用關于x的解析式為SKIPIF1<0，則磚雕面積與雕刻費用之比的最大值為________．【解題方法總結】1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；2、利用模型SKIPIF1<0求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件．題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型【例3】2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽，脫貧攻堅取得重大勝利！為進一步鞏固脫貧攻堅成果，持續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金150萬元，資金的年平均增長率固定，每三年政府將補貼10萬元．若要實現(xiàn)2024年初的資金達到270萬元的目標，資金的年平均增長率應為（參考值：SKIPIF1<0）（

）A．10% B．20% C．22% D．32%【對點訓練7】近年來，天然氣表觀消費量從2006年的不到SKIPIF1<0m3激增到2021年的SKIPIF1<0m3.從2000年開始統(tǒng)計，記k表示從2000年開始的第幾年，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.經(jīng)計算機擬合后發(fā)現(xiàn)，天然氣表觀消費量隨時間的變化情況符合SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是從2000年后第k年天然氣消費量，SKIPIF1<0是2000年的天然氣消費量，SKIPIF1<0是過去20年的年復合增長率.已知2009年的天然氣消費量為SKIPIF1<0m3，2018年的天然氣消費量為SKIPIF1<0m3，根據(jù)擬合的模型，可以預測2024年的天然氣消費量約為（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0m3 B．SKIPIF1<0m3C．SKIPIF1<0m3 D．SKIPIF1<0m3【對點訓練8】血氧飽和度是血液中被氧結合的氧合血紅蛋白的容量占全部可結合的血紅蛋白容量的百分比，即血液中血氧的濃度，它是呼吸循環(huán)的重要生理參數(shù).正常人體的血氧飽和度一般情況下不低于SKIPIF1<0，否則為供養(yǎng)不足.在環(huán)境模擬實驗室的某段時間內，可以用指數(shù)模型:SKIPIF1<0描述血氧飽和度SKIPIF1<0（單位SKIPIF1<0）隨機給氧時間SKIPIF1<0（單位:時）的變化規(guī)律，其中SKIPIF1<0為初始血氧飽和度，SKIPIF1<0為參數(shù).已知SKIPIF1<0，給氧1小時后，血氧飽和度為SKIPIF1<0，若使血氧飽和度達到正常值，則給氧時間至少還需要（

）小時.（參考數(shù)據(jù):SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【對點訓練9】昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學物質，是昆蟲之間起化學通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學分子語言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應用，尤其在農業(yè)生產(chǎn)中的病蟲害的預報和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足SKIPIF1<0，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為SKIPIF1<0，則b＝（

）A．3 B．4 C．5 D．6【對點訓練10】異速生長規(guī)律描述生物的體重與其它生理屬性之間的非線性數(shù)量關系通常以冪函數(shù)形式表示．比如，某類動物的新陳代謝率SKIPIF1<0與其體重SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為正常數(shù)，該類動物某一個體在生長發(fā)育過程中，其體重增長到初始狀態(tài)的16倍時，其新陳代謝率僅提高到初始狀態(tài)的8倍，則SKIPIF1<0為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解題方法總結】1、在解題時，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關的問題都屬于指數(shù)模型．2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、冪函數(shù)模型問題時，一般先需通過待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問題．題型四：已知函數(shù)模型的實際問題【例4】牛頓曾經(jīng)提出了常溫環(huán)境下的溫度冷卻模型：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為時間（單位：SKIPIF1<0），SKIPIF1<0為環(huán)境溫度，SKIPIF1<0為物體初始溫度，SKIPIF1<0為冷卻后溫度），假設在室內溫度為SKIPIF1<0的情況下，一桶咖啡由SKIPIF1<0降低到SKIPIF1<0需要SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0的值為_________．【對點訓練11】當生物死亡后，它機體內碳14會按照確定的規(guī)律衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，照此規(guī)律，人們獲得了生物體內碳14含量與死亡時間之間的函數(shù)關系式SKIPIF1<0，（其中SKIPIF1<0為生物死亡之初體內的碳14含量，SKIPIF1<0為死亡時間（單位：年），通過測定發(fā)現(xiàn)某古生物遺體中碳14含量為SKIPIF1<0，則該生物的死亡時間大約是______年前．【對點訓練12】某駕駛員喝酒后血液中的酒精含量SKIPIF1<0（毫克/毫升）隨時間SKIPIF1<0（小時）變化的規(guī)律近似滿足表達式SKIPIF1<0《酒后駕車與醉酒駕車的標準及相應處罰》規(guī)定：駕駛員血液中酒精含量不得超過SKIPIF1<0毫克/毫升此駕駛員至少要過小時后才能開車___________.（精確到SKIPIF1<0小時）【對點訓練13】能源是國家的命脈，降低能源消耗費用是重要抓手之一，為此，某市對新建住宅的屋頂和外墻都要求建造隔熱層.某建筑物準備建造可以使用30年的隔熱層，據(jù)當年的物價，每厘米厚的隔熱層造價成本是9萬元人民幣.又根據(jù)建筑公司的前期研究得到，該建筑物30年間的每年的能源消耗費用SKIPIF1<0（單位：萬元）與隔熱層厚度SKIPIF1<0（單位：厘米）滿足關系：SKIPIF1<0，經(jīng)測算知道，如果不建隔熱層，那么30年間的每年的能源消耗費用為10萬元人民幣.設SKIPIF1<0為隔熱層的建造費用與共30年的能源消耗費用總和，那么使SKIPIF1<0達到最小值時，隔熱層厚度SKIPIF1<0__________厘米.【對點訓練14】某地在20年間經(jīng)濟高質量增長，GDP的值SKIPIF1<0（單位，億元）與時間SKIPIF1<0（單位：年）之間的關系為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0時的SKIPIF1<0值.假定SKIPIF1<0，那么在SKIPIF1<0時，GDP增長的速度大約是___________.（單位：億元/年，精確到0.01億元/年）注：SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0取很小的正數(shù)時，SKIPIF1<0【解題方法總結】求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關鍵（1）認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．（2）根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．（3）利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質、導數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗．題型五：構造函數(shù)模型的實際問題【例5】）紹興某鄉(xiāng)村要修建一條100米長的水渠，水渠的過水橫斷面為底角為120°的等腰梯形（如圖）水渠底面與側面的修建造價均為每平方米100元，為了提高水渠的過水率，要使過水橫斷面的面積盡可能大，現(xiàn)有資金3萬元，當過水橫斷面面積最大時，水果的深度（即梯形的高）約為（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）A．0.58米 B．0.87米 C．1.17米 D．1.73米【對點訓練15】）某純凈水制造廠在凈化水的過程中，每增加一次過濾可使水中雜質減少50%，若要使水中雜質減少到原來的5%以下，則至少需要過濾（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0）A．2次 B．3次 C．4次 D．5次【對點訓練16】2019年1月3日嫦娥四號探測器成功實現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個關鍵技術問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個問題，發(fā)射了嫦娥四號中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日SKIPIF1<0點的軌道運行．SKIPIF1<0點是平衡點，位于地月連線的延長線上．設地球質量為M１，月球質量為M２，地月距離為R，SKIPIF1<0點到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運動定律和萬有引力定律，r滿足方程：SKIPIF1<0.設SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0的值很小，因此在近似計算中SKIPIF1<0，則r的近似值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIP