第二十八章 銳角三角函數(shù) 學情評估

第二十八章銳角三角函數(shù)學情評估一、選擇題(本題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的)1．4cos45°的值為()A．2 B．2eq\r(2) C．2eq\r(3) D．42．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，則sinB的值為()A.eq\f(5,13) B.eq\f(12,13) C.eq\f(5,12) D.eq\f(12,5)3．如圖，A，B，C三點在正方形網(wǎng)格的格點上，若將△ACB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到△AC′B′，則tanB′的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,4) D.eq\f(\r(2),4)4．西周時期，丞相周公旦設置過一種通過測定日影長度來確定時間的儀器，稱為圭表．如圖是一個根據(jù)北京的地理位置設計的圭表，其中，立柱AC高為a.已知冬至時北京的正午日光入射角∠ABC約為26.5°，則立柱底部與圭表的冬至線的距離(即BC的長)約為()A．a(chǎn)sin26.5° B.eq\f(a,tan26.5°) C.eq\f(a,cos26.5°) D．a(chǎn)cos26.5°5．在Rt△ABC中，各邊都擴大5倍，則∠A的三角函數(shù)值()A．不變 B．擴大5倍 C．縮小5倍 D．不能確定6．在△ABC中，AD⊥BC，垂足為點D，若AC＝6eq\r(2)，∠C＝45°，tan∠ABC＝3，則BD等于()A．2 B．3 C．3eq\r(2) D．2eq\r(3)7．某斜坡的坡度i＝eq\r(3)∶1，則該斜坡的坡角為()A．75° B．60° C．45° D．30°8．如圖，現(xiàn)有一把直尺和一塊三角尺，其中∠ABC＝90°，∠CAB＝60°，AB＝8，點A對應直尺的刻度為12.將該三角尺沿著直尺邊緣平移，使得△ABC移動到△A′B′C′，若點A′對應直尺的刻度為0，則四邊形ACC′A′的面積是()A．96 B．96eq\r(3) C．192 D．160eq\r(3)9．如圖，在距離鐵軌200m的B處，觀察由南寧開往百色的“和諧號”動車，當動車車頭在A處時，恰好位于B處的北偏東60°方向上；10s后，動車車頭到達C處，恰好位于B處的西北方向上，則這一時段動車的平均速度是()A．20(eq\r(3)＋1)m/s B．20(eq\r(3)－1)m/s C．200m/s D．300m/s10．如圖，半徑為3的⊙A經(jīng)過原點O和點C(0，2)，B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上的一點，則cos∠OBC的值為()A.eq\f(1,3) B．2eq\r(2) C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(2\r(2),3)二、填空題(本題共6小題，每小題3分，共18分)11．如圖，若點A的坐標為(1，eq\r(3))，則∠1＝________．12．如圖，點P(12，a)在反比例函數(shù)y＝eq\f(60,x)的圖象上，PH⊥x軸于H，則sin∠POH的值為________．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，以點C為圓心，任意長為半徑作弧，分別交CA，CB于點D，E，再分別以D，E為圓心，大于eq\f(1,2)DE長為半徑作弧，兩弧相交于點F，連接CF并延長，交AB于點P，若PB＝eq\r(2)，則AP＝________．14．如圖，等腰三角形ABC的周長是36cm，底邊長為10cm，則底角的余弦值是________．15．如圖，航拍無人機從A處測得一幢建筑物頂部B的仰角為30°，測得底部C的俯角為60°，此時航拍無人機與該建筑物的水平距離AD為90m，那么該建筑物的高度BC約為________m(精確到1m，參考數(shù)據(jù)：eq\r(3)≈1.73)．16．如圖，在△ABD中，點C為BD的中點，連接AC，點E在AC上，連接BE，若AB＝AC，tan∠BAC＝eq\f(3,4)，∠BAC＝2∠EBC，BC＝eq\r(10)，則AD的長為________．三、解答題(本題共6小題，共52分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(8分)計算：(1)－23＋eq\r(16)－2sin30°＋(2023－π)0；(2)sin245°－cos60°－eq\f(cos30°,tan45°)＋2sin260°·tan60°.18.(8分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝75°，點D在AC上，DC＝6，∠DBC＝60°，求AD的長．19．(8分)蓮花山觀景臺是大連著名的景點之一，游客可以從山底乘坐索道車到達山頂，索道車運行的速度是1米/秒．如圖，小明要測量蓮花山山頂白塔BC的高度，他在索道A處測得白塔底部B的仰角約為30°，測得白塔頂部C的仰角約為37°，索道車從A處運行到B處所用時間約為5分鐘．(1)索道車從A處運行到B處的距離約為________米；(2)請你利用小明測量的數(shù)據(jù)，求白塔BC的高度．(結(jié)果取整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，eq\r(3)≈1.73)20．(8分)小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：sin27°＋sin283°≈0.122＋0.992＝0.9945，sin222°＋sin268°≈0.372＋0.932＝1.0018，sin229°＋sin261°≈0.482＋0.872＝0.9873，sin237°＋sin253°≈0.602＋0.802＝1.0000，sin245°＋sin245°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＝1.據(jù)此，小明猜想：對于任意銳角α，均有sin2α＋sin2(90°－α)＝1.(1)當α＝30°時，驗證sin2α＋sin2(90°－α)＝1是否成立．(2)小明的猜想是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請舉出一個反例．21．(10分)如圖，某山山腳下西端A處與東端B處相距800(1＋eq\r(3))m，小軍和小明同時分別從A處和B處出發(fā)向山頂C勻速行走．已知山的西端的坡角是45°，東端的坡角是30°，小軍的行走速度為eq\f(\r(2),2)m/s.若小明與小軍同時到達點C處，則小明的行走速度是多少？22．(10分)如圖，△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，點P從點B出發(fā)，沿線段BC以每秒2個單位長度的速度向終點C運動，點Q從點C出發(fā)，沿著C→A→B的方向以每秒3個單位長度的速度向終點B運動，P，Q同時出發(fā)，設點P運動的時間為t(s)，△CPQ的面積為S.(1)求sinB；(2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍．

第二十八章銳角三角函數(shù)學情評估答案一、1.B2.A3.B4.B5.A6．A7.B8.B9.A10.D二、11.60°12.eq\f(5,13)13.114.eq\f(5,13)15.20816．3eq\r(5)點撥：作AF⊥BC于點F，∵AB＝AC，∴AF平分∠BAC，BF＝CF，∴∠CAF＝eq\f(1,2)∠BAC，即2∠CAF＝∠BAC，∵∠BAC＝2∠EBC，∴∠CAF＝∠EBC，∵∠CAF＋∠ACF＝90°，∴∠EBC＋∠ACF＝90°，∴∠BEC＝90°，∴∠AEB＝90°，∴tan∠BAC＝eq\f(3,4)＝eq\f(BE,AE)，設BE＝3x，則AE＝4x，∴AB＝eq\r(（3x）2＋（4x）2)＝5x，∴AC＝5x，∴CE＝x，在Rt△BEC中，BC2＝BE2＋CE2，∴10＝(3x)2＋x2，解得x1＝1，x2＝－1(舍去)，∴AB＝5x＝5，∵∠AFB＝90°，BF＝FC＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(\r(10),2)，∴AF＝eq\r(AB2－BF2)＝eq\r(52－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(10),2)，∵點C為BD的中點，∴FD＝FC＋CD＝eq\f(\r(10),2)＋eq\r(10)＝eq\f(3\r(10),2)，∵∠AFD＝90°，∴AD＝eq\r(AF2＋FD2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),2)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(10),2)))\s\up12(2))＝3eq\r(5).三、17.解：(1)原式＝－8＋4－2×eq\f(1,2)＋1＝－8＋4－1＋1＝－4.(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)×eq\r(3)＝eq\r(3).18．解：在Rt△DBC中，BD＝eq\f(DC,sin∠DBC)＝eq\f(6,sin60°)＝eq\f(6,\f(\r(3),2))＝4eq\r(3).∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝30°.∵∠ABD＝∠ABC－∠DBC＝75°－60°＝15°，∴∠A＝∠BDC－∠ABD＝30°－15°＝15°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD＝4eq\r(3).19．解：(1)300(2)在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴BD＝eq\f(1,2)AB＝150米，AD＝AB·cos30°＝150eq\r(3)米，在Rt△ACD中，∠CAD＝37°，∴CD＝AD·tan37°≈150eq\r(3)×0.75≈194.6(米)，∴BC＝CD－BD≈194.6－150＝44.6≈45(米)，∴白塔BC的高度約為45米．20．解：(1)當α＝30°時， sin2α＋sin2(90°－α)＝sin230°＋sin260°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)＋eq\f(3,4)＝1.(2)小明的猜想成立．證明如下：如圖，在△ABC中，∠C＝90°，設∠A＝α，則∠B＝90°－α，∴sin2α＋sin2(90°－α)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,AB)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AC,AB)))eq\s\up12(2)＝eq\f(BC2＋AC2,AB2)＝eq\f(AB2,AB2)＝1.21．解：如圖，過C作CD⊥AB于點D，則∠ADC＝∠CDB＝90°.設AD＝xm，小明的行走速度是am/s.∵∠A＝45°，∴CD＝AD＝xm，∴AC＝eq\r(2)xm.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝eq\f(CD,sin30°)＝2xm.∵小軍的行走速度為eq\f(\r(2),2)m/s，小明與小軍同時到達點C處，∴eq\f(\r(2)x,\f(\r(2),2))＝eq\f(2x,a)，解得a＝1.答：小明的行走速度是1m/s.22．解：(1)過點A作AD⊥BC，垂足為D，∵AB＝AC＝3，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝2，在Rt△ABD中，AD＝eq\r(AB2－BD2)＝eq\r(32－22)＝eq\r(5)，∴sinB＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(5),3).(2)由題易得sinC＝sinB＝eq\f(\r(5),3)，分兩種情況：當點Q在AC上，即0＜t≤1時，如圖①，過點Q作QE⊥BC于E.由題意得CQ＝3t，BP＝2t，∴CP＝BC－BP＝4－2t，在Rt△CQE中，QE＝CQ·sinC＝3t·eq\f(\r(5),3)＝eq\r(5)t，∴S＝eq\f(1,2)CP·QE＝eq\f(1,2)(4－2t)·eq\r(5)t＝2eq\r(5)t－eq\r(5)t2＝－eq\r(5)t2＋2eq\r(5)t；當點Q在AB上，即1＜t＜2時，如圖②，過點Q作QF⊥BC于F.由題意得CA＋AQ＝3t，BP＝2t