2024-2025學(xué)年上海市普陀區(qū)高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（0.5模）（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年上海市普陀區(qū)高三（上）調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（0.5模）一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列不等式中，解集為{x|?1<x<1}的是(

)A.x2?1≤0 B.|x|?1≤0

C.1(x+1)(x?1)2.已知直線l與平面α相交，則下列命題中，正確的個(gè)數(shù)為(

)

①平面α內(nèi)的所有直線均與直線l異面；

②平面α內(nèi)存在與直線l垂直的直線；

③平面α內(nèi)不存在直線與直線l平行；

④平面α內(nèi)所有直線均與直線l相交．A.1 B.2 C.3 D.43.擲兩顆骰子，觀察擲得的點(diǎn)數(shù)．設(shè)事件A為：至少一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)；事件B為：點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)，事件A的概率為P(A)，事件B的概率為P(B).則1?P(A∩B)是下列哪個(gè)事件的概率(

)A.兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是偶數(shù) B.至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)

C.兩個(gè)點(diǎn)數(shù)都是奇數(shù) D.至多有一個(gè)點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)4.已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)對任意x1<x2，都有f(x1)?f(x2)x1?xA.存在常數(shù)a，使得該方程無實(shí)數(shù)解 B.對任意常數(shù)a，方程均有且僅有1解

C.存在常數(shù)a，使得該方程有無數(shù)解 D.對任意常數(shù)a，方程解的個(gè)數(shù)大于2二、填空題：本題共12小題，共54分。5.函數(shù)y=log6.已知圓的方程為x2+y2?4x?m=0，其周長為2π，則7.已知圓柱的底面積為9π，側(cè)面積為12π，則該圓柱的體積為______．8.已知z1+i=i(i為虛數(shù)單位)，則Imz?9.若(x+1)n的二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為64，則展開式中x210.下列說法正確的序號是______．

①用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有50個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為5的樣本，則某個(gè)個(gè)體被抽到的概率是0.1；

②已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是5；

③數(shù)據(jù)27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23；

④若樣本數(shù)據(jù)x1，x2…，x10的方差為4，則數(shù)據(jù)2x1?1，2x211.已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin5π6,cos12.已知函數(shù)y=loga(x+2)?1(a>0且a≠1)的圖像恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+2=0(m>0、n>0)上，則113.數(shù)列{an}滿足an=n+t，Sn為數(shù)列{an}14.在△ABC中，AB=1，∠ABC=60°，AC?AB=?1.若O是△ABC的重心，則BO15.如圖，已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M，N為橢圓上兩點(diǎn)，滿足F1M//F216.對于正整數(shù)n，設(shè)xn是關(guān)于x的方程nx3+2x?n=0的實(shí)數(shù)解，并記an=[(n+1)xn]，其中三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題14分)

已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，數(shù)列{an}的公差為2．

(1)若b1=a1，b2=a2，b3=a18.(本小題14分)

如圖，在四面體ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD．

(1)求證：平面ACD⊥平面ABC；

(2)若AB=1，CD=BC=2，求直線AD與平面ABC所成角的正弦值．19.(本小題14分)

近年來，為“加大城市公園綠地建設(shè)力度，形成布局合理的公園體系”，許多城市陸續(xù)建起眾多“口袋公園”.現(xiàn)計(jì)劃在一塊邊長為200米的正方形的空地上按以下要求建造“口袋公園”.如圖所示，以EF中點(diǎn)A為圓心，F(xiàn)G為半徑的扇形草坪區(qū)ABC，點(diǎn)P在弧BC上(不與端點(diǎn)重合)，AB、弧BC、CA、PQ、PR、RQ為步行道，其中PQ與AB垂直，PR與AC垂直．設(shè)∠PAB=θ．

(1)如果點(diǎn)P位于弧BC的中點(diǎn)，求三條步行道PQ、PR、RQ的總長度；

(2)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”對于“拉動(dòng)靈活就業(yè)、增加多源收入、便利居民生活”等都有積極作用．為此街道允許在步行道PQ、PR、RQ開辟臨時(shí)攤點(diǎn)，積極推進(jìn)“地?cái)偨?jīng)濟(jì)”發(fā)展，預(yù)計(jì)每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)效益分別為每米5萬元、5萬元及5.9萬元．則這三條步行道每年能產(chǎn)生的經(jīng)濟(jì)總效益最高為多少？(精確到1萬元)20.(本小題18分)

已知拋物線Γ：y2=4x．

(1)求拋物線Γ的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線l的方程；

(2)過焦點(diǎn)F且斜率為12的直線與拋物線Γ交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，求線段AB的長；

(3)已知點(diǎn)P(1,2)，是否存在定點(diǎn)Q，使得過點(diǎn)Q的直線與拋物線Γ交于兩個(gè)不同的點(diǎn)M、N(均不與點(diǎn)P重合)，且以線段MN為直徑的圓恒過點(diǎn)P？若存在，求出點(diǎn)Q21.(本小題18分)

設(shè)P是坐標(biāo)平面xOy上的一點(diǎn)，曲線Γ是函數(shù)y=f(x)的圖像.若過點(diǎn)P恰能作曲線Γ的k條切線(k∈N)，則稱P是函數(shù)y=f(x)的“k度點(diǎn)”．

(1)判斷點(diǎn)O(0,0)與點(diǎn)A(2,0)是否為函數(shù)y=lnx的1度點(diǎn)，不需要說明理由；

(2)已知0<m<π，g(x)=sinx.證明：點(diǎn)B(0,π)是y=g(x)(0<x<m)的0度點(diǎn)；

(3)求函數(shù)y=x3?x的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合．參考答案1.C

2.B

3.D

4.B

5.(0,1]

6.?3

7.18π

8.?1

9.15

10.①③④

11.5π312.2

13.(?∞,?1013)

14.5

15.1016.2025

17.解：(1)設(shè)an=a1+2(n?1)，bn=b1qn?1，

則b1=a1b1q=a1+2b1q2=a1+8?b1(q?1)=218.(1)證明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，∴AB⊥CD，

又∵BC⊥CD，且AB∩BC=B，AB，BC?平面ABC，

∴CD⊥平面ABC，∵CD?平面ACD，

∴平面ACD⊥平面ABC．

(2)解：∵CD⊥平面ABC，AC?平面ABC，則DC⊥AC，

∴∠CAD即為直線AD與平面ABC所成的角，

∵CD=BC=2，BC⊥CD，∴∠BCD=90°，∴BD=22，

又AB⊥平面BCD，BD?平面BCD，∴AB⊥BD，

而AB=1，∴AD=1+8=3，

∴在Rt△ACD中，sin∠CAD=CDAD=23，

又19.解：(1)由題意得∠BAC=π3，

∵點(diǎn)P位于弧BC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)P位于∠BAC的角平分線上，

∴|PQ|=|PR|=|PA|?sin∠PAB=200×sinπ6=100，

|AQ|=|AP|cos∠PAB=200×32=1003，

∵∠BAC=π3，|AQ|=|AR|=1003，∴△ARQ為等邊三角形，

∴|RQ|=|AQ|=1003，∴三條步行道PQ、PR、RQ的總長度為：

l=|PQ|+|PR|+|RQ|=100+100+1003=200+1003(米)．

(2)|PQ|=|AP|sinθ=200sinθ，

|PR|=|AP|sin(π3?θ)=200sin(π3?θ)=1003cosθ?100sinθ，

|AQ|=|AP|cosθ=200cosθ20.解：(1)拋物線Γ：y2=4x，

則p=2，且焦點(diǎn)在x軸正半軸，

故拋物線Γ的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線l：x=?1；

(2)由(1)可得，F(xiàn)(1,0)，

則直線AB方程為y=12(x?1)，

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

聯(lián)立方程y=12(x?1)y2=4x，化簡整理可得，x2?18x+1=0，

Δ=(?18)2?4×1×1=320>0，x1+x2=18，

故|AB|=x1+x2+p=20；

(3)存在，理由如下：

設(shè)直線MN：x=my+n，M(x3,y3)，N(x4,y4)，

聯(lián)立方程x=my+ny2=4x，消去x可得，y2?4my?4n=0，

則Δ=16(m2+n)>0，y3+y4=4m，y3y4=?4n，

21.解：(1)由題意，設(shè)t>0，則曲線y=lnx在點(diǎn)(t,lnt)處的切線方程為y?lnt=1t(x?t)，

該切線過原點(diǎn)O時(shí)，?lnt=?1，解得t=e，故原點(diǎn)O是函數(shù)y=lnx的一個(gè)1度點(diǎn)；

又因?yàn)樵撉芯€過點(diǎn)A(2,0)，所以?lnt=1t(2?t)，

設(shè)s(t)=tlnt?t+2，則s′(t)=1+lnt?1=lnt，令s′(t)=0，得t=1，

所以t∈(0,1)時(shí)，s′(t)<0，s(t)單調(diào)遞減；t∈(1,+∞)時(shí)，s′(t)>0，s(t)單調(diào)遞增，

所以s(t)=tlnt?t+2在x=1處取得極小值，也是最小值，且s(1)=0?1+2=1>0，

所以?lnt=1t(2?t)無解，點(diǎn)A(2,0)不是函數(shù)y=lnx的1度點(diǎn)；

(2)證明：設(shè)t>0，y′=cost，則曲線y=sinx在點(diǎn)(t,sint)處的切線方程為y?sint=cost(x?t)，

則該切線過點(diǎn)(0,π)，當(dāng)且僅當(dāng)π?sint=?tcost(?)，

設(shè)G(t)=sint?tcost?π，G′(t)=tsint，∴0<t<π時(shí)，G′(t)>0，

故y=G(t)在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞增，

∴當(dāng)0<t<m<π時(shí)，G(t)<G(π)=0，(?)恒不成立，即點(diǎn)B(0,π)是y=g(x)的一個(gè)0度點(diǎn)；

(3)y′=3x2?1，

對任意t∈R，曲線y=x3?x在點(diǎn)(t,t3?t)處的切線方程為y?(t3?t)=(3t2?1)(x?t)，

故點(diǎn)(a,b)為函數(shù)y=x3?x的一個(gè)2度點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)關(guān)于t的方程b?(t3?t)=(3t2?1)(a?t)恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，

設(shè)?(t)=2t3?3at2+(a+b)，則點(diǎn)(a,b)為函數(shù)y=x3?x的一個(gè)2度點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)y=?(t)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，

若