重慶市南開(kāi)中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含答案）

1PAGE第1頁(yè)重慶南開(kāi)中學(xué)高2027屆高一（上）期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.4.函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.5.設(shè)，，若，則最小值為（）A.8 B.4 C. D.6.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.7.已知函數(shù)滿足，則（）A B. C. D.8.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.下列命題正確的有（）A.與是同一個(gè)函數(shù)B.是偶函數(shù)C.是單調(diào)遞減函數(shù)D.的單調(diào)遞增區(qū)間為10.已知實(shí)數(shù)，，且滿足，則（）A.的最小值為9 B.的最小值為7C.的最大值為18 D.的最小值為111.已知函數(shù)的定義域?yàn)?且滿足，當(dāng)時(shí)，，，則下列結(jié)論正確的有（）A.是奇函數(shù) B.在上單調(diào)遞增C. D.不等式的解集為第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題3個(gè)小題，每小題5分，共15分.各題答案必須填寫在答題卡上相應(yīng)位置（只填結(jié)果，不寫過(guò)程）.12.已知數(shù)集，，若，則________.13.已知“函數(shù)y=fx的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)”，根據(jù)這個(gè)結(jié)論，若函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是，則______.14.已知關(guān)于的不等式在區(qū)間有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15已知集合，集合，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16.近日，重慶市第七屆運(yùn)動(dòng)會(huì)田徑比賽在合川體育中心落下帷幕，重慶南開(kāi)中學(xué)田徑隊(duì)奮勇?tīng)?zhēng)先、頑強(qiáng)拼搏，經(jīng)過(guò)個(gè)單元的激烈比拼，創(chuàng)造了金銀銅的佳績(jī)，累計(jì)打破項(xiàng)賽會(huì)紀(jì)錄.好成績(jī)離不開(kāi)平時(shí)的刻苦訓(xùn)練.根據(jù)相關(guān)研究，某一體能訓(xùn)練項(xiàng)目有助于運(yùn)動(dòng)員的肌力改善，其肌力增長(zhǎng)速度值（值越大，表示肌力增長(zhǎng)速度越快、效果越好）與訓(xùn)練時(shí)間（分鐘）的函數(shù)關(guān)系如下：vt=-240t+2+120,0<t≤10（1）訓(xùn)練開(kāi)始多長(zhǎng)時(shí)間，訓(xùn)練的效果可以達(dá)到最好？最多維持多少分鐘？（2）若在集訓(xùn)中，要求運(yùn)動(dòng)員的肌力增長(zhǎng)速度值不低于，并且至少保持分鐘才能達(dá)標(biāo)，請(qǐng)判斷進(jìn)行該項(xiàng)體能訓(xùn)練能否達(dá)標(biāo)？并說(shuō)明理由.17.已知函數(shù)為一次函數(shù)，且對(duì)均滿足.（1）求函數(shù)解析式；（2）已知，，且，求的最小值.18.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷并用定義證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）記函數(shù)的最大值為，最小值為，當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的值.19.給定函數(shù)，若實(shí)數(shù)使得，則稱為函數(shù)不動(dòng)點(diǎn)，若實(shí)數(shù)使得，則稱為函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)，函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)一定是該函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn).（1）求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)：（2）設(shè)，，且恰好有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)和.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍，（ii），，求實(shí)數(shù)的取值范圍.重慶南開(kāi)中學(xué)高2027屆高一（上）期中考試數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】C二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分.9.【答案】ABD10.【答案】AD11.【答案】BCD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本大題3個(gè)小題，每小題5分，共15分.各題答案必須填寫在答題卡上相應(yīng)位置（只填結(jié)果，不寫過(guò)程）.12.【答案】113.【答案】14.【答案】四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.【解析】【分析】（1）解不等式得集合，根據(jù)集合的并集運(yùn)算即可；（2）根據(jù)交集的定義即可列不等式求解.【小問(wèn)1詳解】對(duì)于集合，由可得，所以；當(dāng)時(shí)，，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以或，解得或，故?shí)數(shù)的取值范圍為16.【解析】【分析】（1）分段求出函數(shù)的最值，再比較大小即可；（2）分段列出不等式，解出即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以訓(xùn)練開(kāi)始后10分鐘效果最好，且能維持分鐘.【小問(wèn)2詳解】進(jìn)行該項(xiàng)體能訓(xùn)練能達(dá)標(biāo).理由如下：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，vt=100>80當(dāng)時(shí)，，解得；故分鐘分鐘，所以進(jìn)行該項(xiàng)體能訓(xùn)練能達(dá)標(biāo).17.【解析】【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列式求即可；（2）根據(jù)題意可得，法一：利用基本不等式可得，化簡(jiǎn)整理即可得結(jié)果；法二：利用乘“1”法結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則，可得，解得，，所以.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，即；法一：所以，化?jiǎn)得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，所以，故的最小值為9；法二：，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，故的最小值為9.18.【解析】【分析】（1）根據(jù)求出的值，再代入檢驗(yàn)即可；（2）由（1）可得，再根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（3）結(jié)合（2）得在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，顯然，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的最值，從而得到方程，解得即可.【小問(wèn)1詳解】因是上的奇函數(shù)，故，當(dāng)時(shí)，，，滿足題意.綜上知，.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，則在上單調(diào)遞減，下面用定義證明：任取且，則，因?yàn)?，故，，所以，即，所以在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)3詳解】由于是上的奇函數(shù)，結(jié)合（2）得在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，顯然，當(dāng)時(shí)，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，，于是有，解得，舍去；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，，，于是有，整理得，即，解得或或（舍去）.綜上，實(shí)數(shù)的值為或.19.【解析】【分析】（1）令，求出或，得到答案；（2）（i），變形得到，此方程恰好有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，分和兩種情況，結(jié)合根的判別式得到不等式，求出的取值范圍；（ii）法一：在（i）知，的兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)為和1，分和兩種情況，換元，再根據(jù)對(duì)稱軸分為，，和四種情況，求出每種情況下的值域，得到不等式，求出答案；法二：由（i）知，的兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)為和1，取，得，解得，所以，，結(jié)合（i）知，，故，有，換元，根據(jù)對(duì)稱軸得到函數(shù)單調(diào)性，求出值域，得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍為.【小問(wèn)1詳解】令，得，整理得，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)知均滿足要求，故函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為－2和3.【小問(wèn)2詳解】（i）令，得，即，得，所以有，此方程恰好有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.①當(dāng)，即時(shí)，方程化為，僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解，不滿足題意；②當(dāng)時(shí)，要么方程無(wú)實(shí)數(shù)解，要么方程僅有一個(gè)實(shí)數(shù)解為1或者.故或或，解得或.綜上，當(dāng)恰好有兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.（ii）法一：由（i）知，的兩個(gè)穩(wěn)定點(diǎn)為和1，當(dāng)時(shí)，，故，，于是，.此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸，令.①當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，故，而，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意到，故，所以當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?，即的值域?yàn)?于是由題意得，無(wú)解.②當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即值域?yàn)?，不滿足題意，舍去.當(dāng)時(shí)，，故，，于是，，此時(shí)函數(shù)的對(duì)稱軸，令.③當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即的值域?yàn)?，于是有，解得；④?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，故，而，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，注意