福建省廈門(mén)市英才學(xué)校2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第1頁(yè)/共1頁(yè)廈門(mén)英才學(xué)校中學(xué)部2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高一數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘；滿(mǎn)分150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知全集，集合，，則（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合的交集和補(bǔ)集運(yùn)算求解.【詳解】由題意得，，所以.故選：A.2.下列函數(shù)中哪個(gè)與函數(shù)相等（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是否一致判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?；?duì)于A：函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域不相同，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域不相同，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，定義域相同且對(duì)應(yīng)關(guān)系一致，故兩函數(shù)是相等函數(shù)，故C正確；對(duì)于D：函數(shù)的定義域?yàn)?，但是，兩函?shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不相同，故不是相等函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：C3.已知函數(shù)，則值為（）A. B.0 C.1 D.0或1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所?

故選：B4.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性判斷即可.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：函數(shù)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：函數(shù)的定義域?yàn)?，令，則，即為奇函數(shù)，又，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且為連續(xù)函數(shù)，所以在定義域上單調(diào)遞增，故D正確.故選：D5.若“”是“”的充分條件，則的一個(gè)值可以是（）A.0 B.2 C.4 D.16【答案】B【解析】【分析】首先解方程，再根據(jù)充分條件的定義判斷即可.【詳解】由，解得，，又“”是“”的充分條件，所以或，結(jié)合選項(xiàng)可知只有B符合題意.故選：B6.已知命題，，則命題的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為特稱(chēng)量詞命題判斷即可.【詳解】命題，為全稱(chēng)量詞命題，其否定為：，.故選：C7.若，，且，恒成立，則實(shí)數(shù)m取值范圍是（）A. B.或C.或 D.【答案】A【解析】【分析】先由基本不等式求出的最小值，進(jìn)而列出關(guān)于的一元二次不等式，可求解.【詳解】因?yàn)?，由基本不等得?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為8由題可知，即，解得，故選：A8.已知函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，且，所以在上單調(diào)遞減，不等式，即，等價(jià)于，即，解得，所以不等式的解集為.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列各式中正確的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】對(duì)于A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：，故D正確.故選：CD10.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷A、B、D，利用特殊值判斷C.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)?，所以，則，又，所以，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)?，所以，所以，故D正確.故選：BD11.某同學(xué)在研究函數(shù)時(shí)，得出下面四個(gè)結(jié)論，基中正確的結(jié)論是（）A.等式在時(shí)恒成立B.方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根C.若，則一定有D.函數(shù)的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域，計(jì)算出，即可判斷A，令，求出方程的解，即可判斷B，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷C，D.【詳解】對(duì)于A：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以等式在時(shí)恒成立，故A正確；對(duì)于B：令，即，解得，所以方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，又為奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又為連續(xù)函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，所以，則一定有，故C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，；，；由A知：為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤；故選：AC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)具體函數(shù)的定義域可得，解之即可求解.【詳解】由題意可得，得或，即函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：13.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則___________．【答案】【解析】【分析】將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，求出的值，即可求出函數(shù)解析式，最后代入求值即可.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，解得，所以，則.

故答案為：14.在實(shí)數(shù)運(yùn)算中，定義新運(yùn)算“”，如下：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.則函數(shù)(其中)的最大值是_________.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)新定義，分別求出和兩種情況下，的表達(dá)式，進(jìn)而可求出的最大值.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則.所以時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)的最大值為.又因?yàn)?，，所以時(shí)，的最大值為2.故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題考查新定義，考查分段函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔題.四．解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步嗓．15.已知函數(shù)，．（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義給與證明；（2）求函數(shù)，的最大值和最小值．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，證明見(jiàn)解析（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值.【小問(wèn)1詳解】在上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)任意的且，則，因?yàn)榍遥?，，，所以，所以，即，所以在上單調(diào)遞增；【小問(wèn)2詳解】由（1）可知在上單調(diào)遞增，所以，.16.已知全集，，．求：（1）和；（2）和．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可求出集合，再根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；（2）根據(jù)補(bǔ)集、并集定義計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】由，即，解得，所以，又，所以；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槿?，所以?17.已知函數(shù)．（1）證明函數(shù)是偶函數(shù)；（2）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)圖象求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（直接寫(xiě)出答案即可）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）圖象見(jiàn)解析（3）單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，【解析】【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義證明即可；（2）首先將函數(shù)寫(xiě)成分段函數(shù)，再根據(jù)二次函數(shù)的圖象畫(huà)出的圖象；（3）結(jié)合圖象得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，所以為偶函?shù)；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，又，?duì)稱(chēng)軸為，開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；所以的圖象如下所示：【小問(wèn)3詳解】由（2）中函數(shù)圖象可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，1,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為，0,1.18.某小型機(jī)械廠有工人共名，工人年薪4萬(wàn)元/人，據(jù)悉該廠每年生產(chǎn)臺(tái)機(jī)器，除工人工資外，還需投入成本為(萬(wàn)元)，且每臺(tái)機(jī)器售價(jià)為萬(wàn)元.通過(guò)市場(chǎng)分析，該廠生產(chǎn)的機(jī)器能全部售完．（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)解析式；（2）問(wèn)：年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該廠所獲利潤(rùn)最大？【答案】（1）；（2）100臺(tái)時(shí)，850萬(wàn)元【解析】【分析】（1）利用利潤(rùn)等于銷(xiāo)售額減去成本可得利潤(rùn)函數(shù).（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)和基本不等式可求利潤(rùn)的最大值.【詳解】（1）依題意有.（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)時(shí)，取得最大值萬(wàn)元；當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值萬(wàn)元．綜上可知當(dāng)年產(chǎn)量為100臺(tái)時(shí)，該廠在生產(chǎn)中獲利最大，最大利潤(rùn)為850萬(wàn)元．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，一般地，函數(shù)應(yīng)用題應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件合理構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并利用常見(jiàn)函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)或基本不等式去求數(shù)學(xué)模型的最值.19.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).（1）求的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）在上是減函數(shù)，理由見(jiàn)解析；（3）.【解析】