初中數(shù)學(xué)必會幾何模型精講精練之動點與函數(shù)圖象

初中數(shù)學(xué)必會幾何模型精講精練動點與函數(shù)圖象類型一動點與函數(shù)圖象判斷的解題策略方法一：趨勢判斷法根據(jù)幾何圖形的構(gòu)造特點，對動點運動進行分段，并判斷每段對應(yīng)函數(shù)圖象的增減變化趨勢；例1.11.如圖，正方形的邊長為2，動點從點出發(fā)，在正方形的邊上沿的方向運動到點停止，設(shè)點的運動路程為，在下列圖象中，能表示的面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分、兩種情況，分別求出函數(shù)表達式，即可求解．【詳解】解：當(dāng)時，如圖，則，為常數(shù)；當(dāng)時，如下圖，則，為一次函數(shù)；故選：D．【點睛】本題考查了動點函數(shù)圖象問題，在圖象中應(yīng)注意自變量的取值范圍，注意分類討論．變式1.1－12.如圖，把一個小球垂直向上拋出，則下列描述該小球的運動速度（單位：）與運動時間（單位）關(guān)系的函數(shù)圖像中，正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】一個小球垂直向上拋出，小球的運動速度v越來越小，到達最高點是為0，小球下落時速度逐漸增加，據(jù)此選擇即可．【詳解】根據(jù)分析知，運動速度v先減小后增大．

故選：C．【點晴】考查了動點問題的函數(shù)圖象．解題關(guān)鍵分析小球的運動過程：一個小球垂直向上拋出，小球的運動速度v越來越小，到達最高點是為0，小球下落時速度逐漸增大．變式1.1－23.如圖，正方形的邊長為4，點從點出發(fā)，沿正方形的邊，，移動，運動路線為．設(shè)點經(jīng)過的路程為，的面積為．則下列圖象能大致反映與的函數(shù)關(guān)系的是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)動點從點A出發(fā)，首先向點B運動，此時y不隨x的增加而增大，當(dāng)點P在DC上運動時，y隨著x的增大而增大，當(dāng)點P在CB上運動時，y不變，據(jù)此作出選擇即可．【詳解】解：當(dāng)點P由點A向點B運動時，y隨著x的增大而增大，最大值為8；當(dāng)點P在BC上運動時，y=AB?AD，y不變，y=8；當(dāng)點P在CD上運動時，y隨x的增大而減小，最小值為0．故選：B．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，解決動點問題的函數(shù)圖象關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)y隨x的變化而變化的趨勢．變式1.1－34.如圖，在矩形中，，，動點沿折線從點開始運動到點．設(shè)運動的路程為，的面積為，那么與之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題中點P的運動軌跡和三角形面積的表示方法即可求得．【詳解】解：點從運動到的過程中，的底邊長不變，高逐漸增加，面積逐漸增加，當(dāng)點P和點C重合時，由勾股定理得，此時的面積達到最大值，∴．從運動到的過程中，的底邊長不變，高逐漸減小，面積逐漸減小，綜上所述，與之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為，故選：B．【點睛】此題考查了矩形中動點三角形面積圖像問題，解題的關(guān)鍵是由題意分析出三角形面積的變化情況．變式1.1－45.如圖，點是菱形邊上的動點，它從點出發(fā)沿路徑勻速運動到點，設(shè)的面積為，點的運動時間為，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)菱形的高為h，即是一個定值，再分點P在BC上，在CD上和在DA上三種情況，利用三角形的面積公式列式求出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，然后選擇答案即可．【詳解】解：設(shè)菱形的高為h，分三種情況：①當(dāng)P在BC邊上時，y＝BP?h，∵BP隨x的增大而增大，h不變，∴y隨x的增大而增大，且為一次函數(shù)關(guān)系，故選項A和D不正確；②當(dāng)P在邊DC上時，y＝AB?h，AB和h都不變，∴在這個過程中，y不變，故選項B不正確；③當(dāng)P在邊AD上時，y＝AP?h，∵PA隨x的增大而減小，h不變，∴y隨x的增大而減小，且為一次函數(shù)，故選：C；【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，根據(jù)點P的位置的不同，分三段求出△PAB的面積的表達式是解題的關(guān)鍵．方法二：解析式計算法根據(jù)題意求出每段的函數(shù)解析式，結(jié)合解析式對應(yīng)的函數(shù)圖象進行判斷；例1.26.如圖，正方形ABCD的邊長為3cm，動點P從B點出發(fā)以3cm/s的速度沿著邊BC﹣CD﹣DA運動，到達A點停止運動；另一動點Q同時從B點出發(fā)，以1cm/s的速度沿著邊BA向A點運動，到達A點停止運動．設(shè)P點運動時間為x（s），△BPQ的面積為y（cm2），則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由題意可得BQ=x．①0≤x≤1時，P點在BC邊上，BP=3x，則△BPQ的面積=BP?BQ，解y=?3x?x=；故A選項錯誤；②1＜x≤2時，P點在CD邊上，則△BPQ的面積=BQ?BC，解y=?x?3=；故B選項錯誤；③2＜x≤3時，P點在AD邊上，AP=9﹣3x，則△BPQ的面積=AP?BQ，解y=?（9﹣3x）?x=；故D選項錯誤．故選C．考點：動點問題的函數(shù)圖象．變式1.2－17.如圖，在正方形ABCD中，邊長CD為3cm．動點P從點A出B發(fā)，以cm/s的速度沿AC方向運動到點C停止．動點Q同時從點A出發(fā)，以1cm/s的速度沿折線AB→BC方向運動到點C停止．設(shè)△APQ的面積為y(cm2)，運動時間為x(s)，則下列圖象能反映y與x之間關(guān)系的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分點Q在AB、BC上運動這兩種情況，利用三角形面積公式得出函數(shù)解析式即可判斷．【詳解】解：當(dāng)點P在AC上，點Q在AB上時，y=AQ·AP=·x··x=x2，此時圖像為一段開口朝上的拋物線；由題意知，AC=，當(dāng)點Q運動至B點，P點運動至C點停止，當(dāng)Q在BC上，P點在C點時，y=CQ·AB=×（6-x）×3=，此時圖像為一段下降的線段，故選：D．【點睛】本題主要考查動點問題的函數(shù)圖象以及二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖像性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意弄清兩點的運動路線，據(jù)此分類討論并得出函數(shù)解析式．變式1.2－28.如圖，在矩形ABCD中，AD＝8cm，AB＝6cm．動點E從點C開始沿邊CB向終點B以2cm/s的速度運動，同時動點F從點C出發(fā)沿邊CD向點D以1cm/s的速度運動至點D停止．如圖可得到矩形CFHE，設(shè)運動時間為x（單位：s），此時矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面積為y（單位：cm2），則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意寫出函數(shù)解析式，分情況討論即可．【詳解】解：此題在讀懂題意的基礎(chǔ)上，分兩種情況討論：

當(dāng)x≤4時，y＝6×8?（x?2x）＝?2x2＋48，此時函數(shù)的圖象為拋物線的一部分，它的最上點拋物線的頂點（0，48），最下點為（4，16）；

當(dāng)4＜x≤6時，點E停留在B點處，故y＝48?8x＝?8x＋48，此時函數(shù)的圖象為直線y＝?8x＋48的一部分，它的最上點可以為（4，16），它的最下點為（6，0）．

結(jié)合四個選項的圖象知選A項．

故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)及其圖象，一次函數(shù)及其圖象的知識，根據(jù)題意寫出其解析式是解題的關(guān)鍵．變式12－39.如圖，菱形的邊長是，，動點P從點A出發(fā)，以的速度沿運動至點C，動點Q從點A出發(fā)，以的速度沿運動至點C．若P，Q同時出發(fā)，設(shè)運動時間為，的面積為（當(dāng)B，P，Q三點共線時，不妨設(shè)），則下面圖象中能表示S與t之間的函數(shù)關(guān)系的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出分段的函數(shù)的解析式，即可求解．【詳解】解：當(dāng)0≤t≤2時，BQ=4﹣2t，AP=t,點P到AB的距離為t，S＝（4﹣2t）×t＝﹣（t﹣1）2+，∴該函數(shù)圖象開口向下，當(dāng)2＜t≤4時，BQ=4﹣2t，點P在AD上，到BC的距離為×4，S＝×（2t﹣4）××4＝2t﹣4，∴該函數(shù)圖象是線段，且y隨x的增大而增大，當(dāng)4＜t≤8時，S＝×4××（8﹣t）＝8﹣t，∴該函數(shù)圖象是線段，且y隨x的增大而減?。蔬x：B．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖象，菱形的性質(zhì)，求出分段函數(shù)解析式是本題的關(guān)鍵．方法三：定點求值法結(jié)合幾何圖形特點，在點運動的拐點、垂直點、特殊點處求出函數(shù)值，對選項進行排除；例1.310.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A點坐標(biāo)為，點在直線上運動，設(shè)的值為，則下面能夠大致反映w與m的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像的性質(zhì)和勾股定理以及三角形兩邊之差小于第三邊采用排除法作答．【詳解】解：∵點P（m，n）在直線上運動，∴當(dāng)m=0時，n=5，則P（0，5），A此時PO=5，PA=∴，故選項B不符合題意；當(dāng)m=1時，n=2，則P（1，2），A此時PO=，PA=∴，故選項C不符合題意；由三角形兩邊之差小于第三邊可知，而OA=w恒小于5，故選項D不符合題意故選：A【點睛】此題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，準(zhǔn)確識圖，根據(jù)題意得出臨界點時的函數(shù)值是解題關(guān)鍵．變式1.1－111.如圖，，點B在射線上，．點P在射線上運動（點P不與點A重合），連接，以點B為圓心，為半徑作弧交射線于點Q，連接．若，則下列圖象中，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)題意推測出而BP長度變化過程為由大變小，再變大，得到A、B選項錯誤，當(dāng)AB⊥BP時，求出PQ≈4.47，進而推測D選項不合題意，問題得解．【詳解】解：∵點P從A向M運動，且不與A重合，∴AP不斷變大，而BP長度為由大變小，再變大，即：隨x的增大，y的值先減小再增大，故選項A、B錯誤；如圖，當(dāng)AB⊥BP時，∵∠A=60°，∴∠APB=30°，∴AP=2AB=4，BP=，∴，即，觀察C、D兩個選項，可得D選項不合題意，故C選項符合題意．故選：C【點睛】本題為幾何與函數(shù)綜合題，考查了根據(jù)題意確定函數(shù)圖象，勾股定理，含30°角的直角三角形性質(zhì)等知識，解決此類題目一般求出函數(shù)解析式求解，如果解析式不易求出可以結(jié)合特殊情況進行排除求解．方法四：范圍排除法根據(jù)動點的運動過程，求出兩個變量的變化范圍，對選項進行排除．例1－412.汽車開始行駛時，油箱內(nèi)有油40升，如果每小時耗油5升，則油箱內(nèi)的余油量（升）與行駛時間（小時）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)油箱內(nèi)余油量=原有的油量-t小時消耗的油量，可列出函數(shù)關(guān)系式，得出圖象．【詳解】解：由題意得，油箱內(nèi)余油量Q（升）與行駛時間t（小時）的關(guān)系式為：Q=40-5t（0≤t≤8），

結(jié)合解析式可得出圖象：

故選B．【點睛】此題主要考查了函數(shù)圖象中由解析式畫函數(shù)圖象，特別注意自變量的取值范圍決定圖象的畫法．變式1.4－113.若等腰三角形的周長是100cm，則能反映這個等腰三角形的腰長y（cm）與底邊長x（cm）之間的函數(shù)關(guān)系式的圖象是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：根據(jù)題意，x+2y=100，∴y=﹣x+50．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，①x＞y﹣y=0；②x＜y+y=2y，即x+x＜100，解得x＜50．∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x+50（0＜x＜50）．觀察各選項，只有C選項符合．故選C．類型二動點與函數(shù)圖象計算的解題策略一般步驟：一看圖：注意函數(shù)圖象橫縱坐標(biāo)分別表示的量與取值范圍，以及圖象的拐點、最值點等；二看形：觀察題目所給幾何圖形的特點，運用幾何性質(zhì)分析動點整體運動情況；三結(jié)合：幾何動點與函數(shù)圖象相結(jié)合，求出圖形中相關(guān)線段長度或圖形面積的值；四計算：結(jié)合已知，列出等式，計算未知量，常用勾股定理、面積相等和相似等方法進行計算求解．例214.如圖1，在矩形ABCD的邊AD上取一點E，連接BE．點M，N同時以1cm/s的速度從點B出發(fā)，分別沿折線B-E-D-C和線段BC向點C勻速運動．連接MN，DN，設(shè)點M運動的時間為ts，△BMN的面積為Scm2，兩點運動過程中，S與t的函數(shù)關(guān)系如圖2所示，則當(dāng)點M在線段ED上，且ND平分∠MNC時，t的值等于（）A.2+2 B.4+2 C.14﹣2 D.12﹣2【答案】D【解析】【分析】分析圖像得出BE和BC，求出AB，作EH⊥BC于H，作EF∥MN，M1N2∥EF，作DG⊥M1N2于點G，求出EF和M1N2，在△DM1N2中，利用面積法列出方程，求出t值即可．【詳解】解：由題意可得：點M與點E重合時，t=5，則BE=5，當(dāng)t=10時，點N與點C重合，則BC=10，∵當(dāng)t=5時，S=10，∴，解得：AB=4，作EH⊥BC于H，作EF∥MN，M1N2∥EF，作DG⊥M1N2于點G，則EH=AB=4，BE=BF=5，∵∠EHB=90°，∴BH==3，∴HF=2，∴EF=，∴M1N2=，設(shè)當(dāng)點M運動到M1時，N2D平分∠M1N2C，則DG=DC=4，M1D=10-AE-EM1=10-3-（t-5）=12-t，在△DM1N2中，，即，解得：，故選D．【點睛】本題考查了動點問題的函數(shù)圖像，矩形的性質(zhì)，勾股定理，面積法，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象，了解圖象中每個點的實際含義．變式2.1－115.如圖①，在矩形中，H為邊上的一點，點M從點A出發(fā)沿折線運動到點B停止，點N從點A出發(fā)沿運動到點B停止，它們的運動速度都是，若點M、N同時開始運動，設(shè)運動時間為，的面積為，已知S與t之間函數(shù)圖象如圖②所示，則下列結(jié)論正確的是（）①當(dāng)時，是等邊三角形．②在運動過程中，使得為等腰三角形的點M一共有3個．③當(dāng)時，．④當(dāng)時，．⑤當(dāng)時，．A.①③④ B.①③⑤ C.①②④ D.③④⑤【答案】A【解析】【分析】由圖②可知：當(dāng)0＜t≤6時，點M、N兩點經(jīng)過6秒時，S最大，此時點M在點H處，點N在點B處并停止不動；由點M、N兩點的運動速度為1cm/s，所以可得AH=AB=6cm，利用四邊形ABCD是矩形可知CD=AB=6cm；當(dāng)6≤t≤9時，S=且保持不變，說明點N在B處不動，點M在線段HC上運動，運動時間為（9-6）秒，可得HC=3cm，即點H為CD的中點；利用以上的信息對每個結(jié)論進行分析判斷后得出結(jié)論．【詳解】解：由圖②可知：點M、N兩點經(jīng)過6秒時，S最大，此時點M在點H處，點N在點B處并停止不動，如圖，①∵點M、N兩點的運動速度為1cm/s，∴AH=AB=6cm，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD=AB=6cm．∵當(dāng)t=6s時，S=cm2，∴×AB×BC=．∴BC=．∵當(dāng)6≤t≤9時，S=且保持不變，∴點N在B處不動，點M在線段HC上運動，運動時間為（9-6）秒，∴HC=3cm，即點H為CD的中點．∴BH=．∴AB=AH=BH=6，∴△ABM為等邊三角形．∴∠HAB=60°．∵點M、N同時開始運動，速度均為1cm/s，∴AM=AN，∴當(dāng)0＜t≤6時，△AMN為等邊三角形．故①正確；②如圖，當(dāng)點M在AD的垂直平分線上時，△ADM為等腰三角形：

此時有兩個符合條件的點；當(dāng)AD=AM時，△ADM為等腰三角形，如圖：當(dāng)DA=DM時，△ADM為等腰三角形，如圖：綜上所述，在運動過程中，使得△ADM為等腰三角形的點M一共有4個．∴②不正確；③過點M作ME⊥AB于點E，如圖，由題意：AM=AN=t，由①知：∠HAB=60°．在Rt△AME中，∵sin∠MAE=，∴ME=AM?sin60°=t，∴S=AN×ME=．∴③正確；④當(dāng)t=9+時，CM=，如圖，由①知：BC=，∴MB=BC-CM=．∵AB=6，∴tan∠MAB=，∴∠MAB=30°．∵∠HAB=60°，∴∠DAH=90°-60°=30°．∴∠DAH=∠BAM．∵∠D=∠B=90°，∴△ADH∽△ABM．∴④正確；⑤當(dāng)9＜t＜9+時，此時點M在邊BC上，如圖，此時MB=9+-t，∴S=．∴⑤不正確；綜上，結(jié)論正確的有：①③④．故選：A．【點睛】本題主要考查了動點問題的函數(shù)圖象，主要涉及函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的實際意義，三角形的面積，等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，相似三角形的判定，特殊角的三角函數(shù)值．對于動點問題，依據(jù)已知條件畫出符合題意的圖形并求得相應(yīng)線段的長度是解題的關(guān)鍵．變式2.2－216.如圖①，在矩形ABCD中，AB<AD，對角線AC、BD相交于點O，動點P從點A出發(fā)，沿A→B→C→D向點D運動．設(shè)點P的運動路程為x，ΔAOP的面積為y，y與x的函數(shù)關(guān)系圖象如圖②所示，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.四邊形ABCD的面積為12 B.AD邊的長為4C.當(dāng)x=2.5時，△AOP是等邊三角形 D.ΔAOP的面積為3時，x的值為3或10【答案】C【解析】【分析】過點P作PE⊥AC