數(shù)學(xué)學(xué)案：預(yù)習(xí)導(dǎo)航第一講四直角三角形的射影定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精預(yù)習(xí)導(dǎo)航課程目標(biāo)學(xué)習(xí)脈絡(luò)1．能知道正射影（射影)的概念,會(huì)畫出點(diǎn)和線段的射影．2．能學(xué)會(huì)射影定理,并能解決有關(guān)問題.1．射影從一點(diǎn)向一直線所引垂線的垂足，叫做這個(gè)點(diǎn)在這條直線上的正射影．一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在一條直線上的正射影之間的線段，叫做這條線段在這條直線上的正射影．點(diǎn)和線段的正射影簡(jiǎn)稱為射影．2．射影定理文字語(yǔ)言直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩條直角邊分別是它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)符號(hào)語(yǔ)言在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，則CD2＝BD·AD;AC2＝AD·AB;BC2＝BD·BA圖形語(yǔ)言作用確定成比例的線段名師點(diǎn)撥（1）勾股定理：AC2＋BC2＝AB2，AD2＋CD2＝AC2，BD2＋CD2＝BC2。(2）面積關(guān)系：AC·BC＝AB·CD＝2S△ABC，eq\f（S△ACD,S△CBD)＝eq\f（AD,BD）＝eq\f（AC2,BC2）.思考1在直角三角形中,我們已經(jīng)學(xué)過三邊之間的一個(gè)重要關(guān)系式，在Rt△ABC中，∠C＝90°，那么AC2＋BC2＝AB2，這一結(jié)論被稱為勾股定理，同樣是在直角三角形中,勾股定理和射影定理有什么聯(lián)系？如何說(shuō)明這種聯(lián)系？提示:在Rt△ABC中,∠C＝90°,CD是AB上的高，應(yīng)用射影定理,可以得到AC2＋BC2＝AD·AB＋BD·AB＝（AD＋BD）·AB＝AB2.由此可見，利用射影定理可以證明勾股定理．過去我們是用面積割補(bǔ)的方法證明勾股定理的，現(xiàn)在我們又用射影定理證明勾股定理，而且這種方法簡(jiǎn)潔明快，比面積法要方便得多．將兩者結(jié)合起來(lái)，在直角三角形的六條線段中,應(yīng)用射影定理、勾股定理，就可從任意給出的兩條線段中，求出其余四條線段的長(zhǎng)度．思考2射影定理的證明．提示：①利用三角函數(shù)證明直角三角形的射影定理在Rt△ACD和Rt△ABC中，cosA＝eq\f（AD，AC)＝eq\f（AC,AB），∴AC2＝AD·AB。在Rt△CBD和Rt△ABC中，cosB＝eq\f（BD,BC)＝eq\f（BC,AB)，∴BC2＝BD·AB。在Rt△ACD和Rt△CBD中，∠A＝∠BCD，∴tanA＝tan∠BCD,即eq\f（CD，AD）＝eq\f(BD，CD）,∴CD2＝AD·BD。②利用勾股定理證明直角三角形的射影定理在Rt△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2，AB＝AD＋BD，∴(AD＋BD）2＝AC2＋BC2，∴AD2＋2AD·BD＋BD2＝AC2＋BC2,即2AD·BD＝(AC2－AD2)＋(BC2－BD2）．∵AC2－AD2＝CD2,BC2－BD2＝CD2，∴2AD·BD＝2CD2，∴CD2＝AD·BD.在Rt△ACD中，AC2