數(shù)學(xué)學(xué)案：預(yù)習(xí)導(dǎo)航應(yīng)用舉例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精預(yù)習(xí)導(dǎo)航1．了解實(shí)際問(wèn)題中所涉及的名詞和一些術(shù)語(yǔ)．2．會(huì)建立實(shí)際應(yīng)用題的三角形模型,并能運(yùn)用正弦定理或余弦定理解有關(guān)距離、高度及角度等實(shí)際問(wèn)題．1．實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的有關(guān)術(shù)語(yǔ)(1）鉛直平面：指與水平面垂直的平面．(2）仰角和俯角：指在同一鉛直平面內(nèi)，目標(biāo)視線與水平視線的夾角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖（1)所示．(3）方位角：以指北方向線作為0°,順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角叫做方位角．如圖（2）所示．(4）方向角:相對(duì)于某一正方向的水平角，如北偏東60°．（5)坡角與坡度：坡面與水平面的夾角叫坡角，坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比叫做坡度(或坡比）．設(shè)坡角為α，坡度為i，則i＝eq\f（h，l）＝tan_α，如圖（3)所示．【做一做1】已知兩座燈塔A和B與海洋觀測(cè)站C的距離相等，燈塔A在觀測(cè)站C的北偏東40°，燈塔B在觀測(cè)站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的(）A．北偏東40°B．北偏西10°C．南偏東10°D．南偏西10°解析:如圖所示，∠ECA=40°,∠FCB=60°，∴∠ACB=180°—40°-60°=80°．∵AC=BC，∴∠A=∠ABC==50°．∴∠ABG=180°—∠CBH—∠CBA=180°-120°-50°=10°．故選B．答案：B2．三角形中的有關(guān)公式和結(jié)論（1)在直角三角形中各元素間的關(guān)系．在△ABC中,若∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a,則有：①銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°；②三邊之間的關(guān)系：a2＋b2＝c2；③邊角之間的關(guān)系:（銳角三角函數(shù)的定義）sinA＝cosB＝eq\f(a，c），cosA＝sinB＝eq\f(b,c），tanA＝eq\f(a，b)．（2)斜三角形中各元素間的關(guān)系．在△ABC中，若角A，B,C為其內(nèi)角，a，b，c分別表示角A，B，C的對(duì)邊，則有：①角與角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＋∠C＝π；sinA＜sinB?∠A〈∠B，特別地，在銳角三角形中，sinA>cosB,sinB〉cosC,sinC〉cosA；②邊與邊之間的關(guān)系：a＋b〉c，b＋c>a，c＋a>b，a－b<c，b－c〈a,c－a〈b;③邊角之間的關(guān)系：正弦定理：＝2R（R為外接圓半徑）；余弦定理:c2＝a2＋b2－2abcos_C，b2＝a2＋c2－2accos_B,a2＝b2＋c2－2bccos_A；它們的變形形式有：a＝2Rsin_A,eq\f(sinA,sinB）＝，cosA＝．（3）三角形中的角的變換及面積公式．①角的變換．因?yàn)樵凇鰽BC中，∠A＋∠B＋∠C＝π，所以sin(∠A＋∠B)＝sin_C；cos(∠A＋∠B）＝－cos_C；tan（∠A＋∠B）＝－tan__C．sineq\f(∠A＋∠B，2)＝，coseq\f（∠A＋∠B，2）＝．②面積公式的有關(guān)變換．S＝absinC＝＝＝eq\f（abc,4R）（R為△ABC外接圓的半徑）；S＝r(a＋b＋c)（r為三角形內(nèi)切圓的半徑）．【做一做2－1】一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷，折斷部分與殘存樹(shù)干成30°角，樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距10m,則樹(shù)干原來(lái)的高度是（)A．（20＋10）mB．(10＋20)mC．（20＋20）mD．（10＋10)m解析：如圖所示,BC=10m，∴AB==10m，AC==20m．∴AB+AC=(20+10)m．答案：A【做一做2－2】在△ABC中,ab＝60,S△ABC＝15，△ABC的外接圓的半徑為，則邊c的長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案:3【做一做2－3】在△ABC中，∠A＝120°,AB＝5，BC＝7，則eq\f（sinC，sinB）的值為_(kāi)_______．解析：由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA，即72＝52＋AC2－2×5×AC·cos120°，∴AC2＋5AC－24＝0．解得AC＝3，AC＝－8（舍去)．由正弦定理，得eq\f（sinC,sinB)＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(5,3)．答案：eq\f（5,3)3．解應(yīng)用題的一般思路(1）讀懂題意，理解問(wèn)題的實(shí)際背景，明確已知和所求,理清量與量之間的關(guān)系．（2)根據(jù)題意畫(huà)出示意圖，把已知和要求的量盡量集中到有關(guān)三角形中，將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形模型．（3)選擇正弦定理或余弦定理求解．(4）將三角形的解還原為實(shí)際問(wèn)題的解,注意實(shí)際問(wèn)題中單位、近似計(jì)算的要求．這一思路描述如下:【做一做3－1】如圖,為了測(cè)量隧道口AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)應(yīng)當(dāng)用第組數(shù)據(jù)．①α，a，b；②α，β，a；③a,b，γ;④α,β，b．解析：根據(jù)實(shí)際情況α，β都是不易測(cè)量的數(shù)據(jù)，而③中的a，b，γ很容易測(cè)量到,并且根據(jù)余弦定理能直接求出AB的長(zhǎng)，故選③．答案：③【做一做3－2】在200m的山頂上，測(cè)得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別為30°，60°,則塔高為_(kāi)_____m．解析：如圖，設(shè)塔高AB為h，在Rt△CDB中，CD=200m，∠BCD=90°－60°＝30°，∴BC＝eq\f（200,cos30°）＝eq\f(400\r(3)，3)（m）．在△ABC中，∠ABC＝∠BCD＝30°，∠ACB＝60°－30°＝30°，∴∠B