貴州省貴陽市2024屆高三下學期適應性考試數(shù)學試卷（一）解析

貴陽市2024年高三年級適應性考試（一）數(shù)學本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分150分.考試時間為120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將姓名?準考證號用鋼筆填寫在答題卡相應位置上.2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.寫在本試卷上無效.3.回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.4.請保持答題卡平整，不能折疊考試結束后，監(jiān)考老師將試題卷?答題卡一并收回.第I卷（選擇題共58分）一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義，即可求解.【詳解】由集合，得.故選：B2.已知是復數(shù)，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算公式，即可化解求值.【詳解】由可知，.故選：A3.設等差數(shù)列的前項和為，已知，則（）A.150 B.140 C.130 D.120【答案】D【解析】【分析】由條件求出等差數(shù)列的首項和公差，再代入前項和公式，即可求解.【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為，則，解得：，所以.故選：D4.向量在向量上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】代入投影向量公式，即可求解.【詳解】向量在向量上的投影向量為.故選：C5.已知圓，直線，則下列說法正確的是（）A.直線過定點B.直線與圓一定相交C.若直線平分圓的周長，則D.直線被圓截得的最短弦的長度為【答案】B【解析】【分析】根據(jù)方程的形式，聯(lián)立方程，即可求定點，判斷A，再根據(jù)定點與圓的關系，判斷直線與圓的位置關系，判斷B，根據(jù)直線平分圓的周長，可得直線與圓的關系，判斷C，當定點為弦的中點時，此時弦長最短，結合弦長公式，即可求解.【詳解】A.聯(lián)立，得，不管為何值，直線恒過點，故A錯誤；B.，所以點在圓內(nèi)，即直線與圓一定相交，故B正確；C.若直線平分圓的周長，在直線過圓心，，得，故C錯誤；D.當定點為弦的中點時，此時弦長最短，此時圓心到弦所在直線的距離，則弦長，故D錯誤.故選：B6.2023年8月至10月貴州榕江舉辦了“超級星期六”全國美食足球友誼賽.已知第一賽季的第一個周六（8月26日）共報名了貴州貴陽烤肉隊等3支省內(nèi)和遼寧東港草莓隊等3支省外美食足球代表隊.根據(jù)賽程安排，在8月26日舉行三場比賽，每支球隊都要參賽，且省內(nèi)代表隊不能安排在同一場，則比賽的安排方式有（）A.6種 B.9種 C.18種 D.36種【答案】D【解析】【分析】首先理解題意，再結合組合數(shù)公式，即可求解.【詳解】由題意可知，每支省內(nèi)的足球隊都要和省外一支球隊比賽一場，則有種方法.故選：D7.將函數(shù)的圖像先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖像上的每個點的縱坐標不變，橫坐標都變?yōu)樵瓉淼谋叮玫胶瘮?shù)的圖像.若函數(shù)在上單調遞增，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先求函數(shù)的解析式，再根據(jù)，代入函數(shù)的解析式，結合正弦導函數(shù)的圖像和性質，即可求解.【詳解】由三角函數(shù)的圖像變換規(guī)律可知，，，，因為函數(shù)在上單調遞增，所以，且，得.故選：B8.已知是定義在上的偶函數(shù)，且也是偶函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，再由函數(shù)也是偶函數(shù)，變形求得函數(shù)的解析式，并求得函數(shù)的單調區(qū)間，即可求解不等式.【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，，所以，則，又因為函數(shù)也是偶函數(shù)，所以，得，因為為減函數(shù)，為增函數(shù)，所以為減函數(shù)，令，得，所以時，，在上單調遞減，根據(jù)偶函數(shù)的性質可知，函數(shù)在上單調遞增，所以，即，即，得或，所以不等式的解集為.故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是根據(jù)，得到，從而求得函數(shù)的解析式.二?多項選擇題：本題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.設樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，方差為，則（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為11【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)樣本平均數(shù)，中位數(shù)，方差和百分位數(shù)公式，即可求解.【詳解】A.，，故A正確；B.，根據(jù)中位數(shù)的定義可知，，故B正確；C.時，，則，故C錯誤；D.，數(shù)據(jù)，，樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為第6個數(shù)據(jù)，即為11，故D正確.故選：ABD10.已知，且，則（）A. B.C. D.【答案】ABCD【解析】【分析】首先結合選項變形，再根據(jù)基本不等式，即可判斷選項.【詳解】A.，當時，等號成立，故A正確；B.，當時，等號成立，故B正確；C.，故C正確；D.，當時等號成立，故D正確.故選：ABCD11.在三棱錐中，平面，平面內(nèi)動點的軌跡是集合.已知且在棱所在直線上，，則（）A.動點的軌跡是圓B.平面平面C.三棱錐體積的最大值為3D.三棱錐外接球的半徑不是定值【答案】ABC【解析】【分析】首先底面建坐標系，利用軌跡法求得點的軌跡，點也在軌跡圓上，再根據(jù)幾何關系，以及體積公式，外接球的半徑問題，利用數(shù)形結合，即可求解.【詳解】A.因為，所以在平面內(nèi)，以所在直線為軸，以線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標系，如圖，設，，，由知，，化簡為，即點的軌跡為圓，故A正確；B.根據(jù)以上證明可知，點和在圓與軸的兩個交點，如上圖，由條件可知，點在圓上，則，而平面，平面,所以，所以是二面角平面角，則平面平面，故B正確；C.當點到的距離為2時，此時的面積最大，此時最大面積是,則三棱錐體積的最大值為，故C正確；D.由以上證明可知，，且，如圖，取的中點，作平面，且，所以，所以三棱錐外接球的半徑是定值，故D錯誤.故選：ABC【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是理解題意，并在底面建立坐標系，求點的軌跡，后面的選項就會迎刃而解.第II卷（非選擇題共92分）三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則__________．【答案】##【解析】【分析】先利用二倍角公式和同角三角函數(shù)基本關系的平方關系構造齊次分式，再分子分母同時除以轉化為正切的運算.【詳解】因為，所以.故答案為：.13.已知一個圓臺的上?下底面半徑分別為1和3，高為.若圓臺內(nèi)有一個球，則該球體積的最大值為__________.（球的厚度可忽略不計）【答案】【解析】【分析】首先假設球與下底面和側面相切，根據(jù)幾何關系和計算，能證明求與上底面也相切，由此可以求得球的半徑，即可求得球的體積的最大值.【詳解】當球與下底面和側面相切，如圖，圓臺及其內(nèi)切球的軸截面如圖所示，由題意可知，設分別梯形的上下底的中點，連結，如圖，作，交于點，點為側面的切點，則，則，，則，因為，所以，且,所以球與上底面也相切，故內(nèi)切球的半徑為，此時為圓臺內(nèi)的最大的球，內(nèi)切球的體積.故答案為：14.設分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓的上頂點，直線與橢圓的另一個交點為.若，則橢圓的離心率為__________.【答案】##【解析】【分析】依據(jù)題意求出點坐標，利用所給條件構造齊次方程求解離心率即可.【詳解】由題意得，，，則，直線的斜率為，即，聯(lián)立方程組，，可得，而，故，代入直線中得，故,可得，由題意得，可得，化簡得，即，化簡得，同除得，且，解得.故答案為：四?解答題：共5個小題，滿分77分.解答應寫出相應的文字說明，證明過程或演算步驟.15.記內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理，將邊化為角，根據(jù)三角函數(shù)值，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結果，寫出余弦定理，再結合基本不等式和三角形的面積公式，即可求解.【小問1詳解】由正弦定理，得，又，所以，即.又，所以.【小問2詳解】由余弦定理，得，所以.由基本不等式知，于是.當且僅當時等號成立.所以的面積，當且僅當時，面積取得最大值.16.如圖，在四棱錐中，底面，底面是矩形，.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判斷定理，轉化為證明平面，即可證明；（2）以點為原點建立空間直角坐標系，分別求平面與平面的法向量，代入二面角的向量公式，即可求解.【小問1詳解】證明：因為底面底面，所以.因為底面是矩形，所以.又，且平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】以為原點，所在直線為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.所以.設平面的法向量為，則，則取，得.設平面的法向量為，則，則取，得.設平面與平面的夾角為，則所以平面與平面的夾角的余弦值為.17.猜燈謎，是我國獨有的民俗文娛活動，是從古代就開始流傳的元宵節(jié)特色活動.每逢農(nóng)歷正月十五傳統(tǒng)民間都要把謎語寫在紙條上并貼在彩燈上供人猜.在一次猜燈謎活動中，若甲?乙兩名同學分別獨立競猜，甲同學猜對每個燈謎的概率為，乙同學猜對每個燈謎的概率為.假設甲?乙猜對每個燈謎都是等可能的，試求：（1）甲?乙任選1個獨立競猜，求甲?乙恰有一人猜對的概率；（2）活動規(guī)定：若某人任選2個進行有獎競猜，都猜對則可以在箱中參加抽取新春大禮包的活動，中獎概率是；沒有都猜對則在箱中參加抽取新春大禮包的活動，中獎概率是，求甲同學抽中新春大禮包的概率；（3）甲?乙各任選2個獨立競猜，設甲?乙猜對燈謎的個數(shù)之和為，求的分布列與數(shù)學期望.【答案】（1）（2）（3）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件及互斥事件的概率公式計算可得；（2）根據(jù)全概率概率公式計算可得；（3）依題意可得可能取值為，，，，，求出所對應的概率，即可得到分布列與數(shù)學期望.【小問1詳解】設“甲猜對一個燈謎”，“乙猜對一個燈謎”，則因為甲?乙恰有一人猜對的事件為，所以，所以，甲?乙恰有一人猜對的概率為.【小問2詳解】設“甲猜對兩道題”，“甲中獎”，則，所以，甲同學抽中新春大禮包的概率.【小問3詳解】由（1）知，.易知甲?乙猜對燈謎的個數(shù)之和的可能取值為，，，，.則，，，，，所以的分布列為01234因此，的數(shù)學期望18.已知雙曲線的方程為，虛軸長為2，點在上.（1）求雙曲線的方程；（2）過原點的直線與交于兩點，已知直線和直線的斜率存在，證明：直線和直線的斜率之積為定值；（3）過點的直線交雙曲線于兩點，直線與軸的交點分別為，求證：的中點為定點.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)虛軸長和點坐標聯(lián)立方程組可得，，可求得雙曲線的方程為；（2）設出兩點坐標，寫出斜率表達式，聯(lián)立雙曲線方程化簡計算可得證明；（3）設直線的方程為，求出直線與軸的交點分別為的坐標，聯(lián)立直線和雙曲線方程利用韋達定理化簡即可得出證明.【小問1詳解】因為虛軸長，所以.又因為點在雙曲線上，所以，解得.故雙曲線的方程為.【小問2詳解】證明：如下圖所示：設，則所以因為在雙曲線上，所以，可得；于是，所以直線和直線的斜率之積為定值，定值是.【小問3詳解】證明：設，直線的方程為，如下圖所示：聯(lián)立，消去整理可得①則所以②③直線的方程為，令，得點的橫坐標為；同理可得點的橫坐標為；所以將①②③式代入上式，并化簡得到所以的中點的橫坐標為，故的中點是定點.19.英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：其中為自然對數(shù)的底數(shù)，.以上公式稱為泰勒公式.設，根據(jù)以上信息，并結合高中所學的數(shù)學知識，解決如下問題.（1）證明：；（2）設，證明：；（3）設，若是的極小值點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）首先設，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，轉化為求函數(shù)的最值問題；（2）首先由泰勒公式，由和，再求得和的解析式，即可證明；（3）分和兩種情況討論，求出在附近的單調區(qū)間，即可求解.【小問1詳解】設，則.當時，：當時，，所以上單調遞減，在上單調遞增.因此，，即.【小問2詳解】由泰勒公式知，