專項(xiàng)02 圓與相似的綜合

專項(xiàng)02圓與相似的綜合類型一相似與切線的綜合1.(2022山東棗莊中考)如圖,在半徑為10cm的☉O中,AB是☉O的直徑,CD是過☉O上點(diǎn)C的直線,且AD⊥DC于點(diǎn)D,AC平分∠BAD,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),OE=6cm.(1)求證:CD是☉O的切線;(2)求AD的長.類型二K型相似與圓的綜合2.(2020湖南懷化中考)如圖,在☉O中,AB為直徑,點(diǎn)C為圓上一點(diǎn),延長AB到點(diǎn)D,使CD=CA,且∠D=30°.(1)求證:CD是☉O的切線;(2)分別過A、B兩點(diǎn)作直線CD的垂線,垂足分別為E、F,過C點(diǎn)作AB的垂線,垂足為G.求證:CG2=AE·BF.類型三相交型相似與圓的綜合3.(2022山東聊城中考)如圖,點(diǎn)O是△ABC的邊AC上一點(diǎn),以點(diǎn)O為圓心,OA為半徑作☉O,與BC相切于點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)D,連接OE,連接OD并延長交CB的延長線于點(diǎn)F,連接AF,∠AOD=∠EOD.(1)求證:AF是☉O的切線;(2)若FC=10,AC=6,求FD的長.類型四黃金分割與圓的綜合4.如圖,△ABC是☉O的內(nèi)接三角形,∠ACF=∠B,CF交BA的延長線于點(diǎn)F.(1)求證:CF為☉O的切線;(2)若FC=AB,求證:點(diǎn)A是BF的黃金分割點(diǎn);(3)若AF=1,CF=22,AC=5,求☉O的直徑.

專項(xiàng)02圓與相似的綜合答案全解全析1.解析(1)證明:連接OC,如圖,∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠CAO,∵OA=OC,∴∠CAO=∠OCA,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC,∵AD⊥DC,∴CO⊥DC,∵OC是☉O的半徑,∴CD是☉O的切線.(2)∵E是BC的中點(diǎn),且OA=OB,∴OE是△ABC的中位線,∴AC=2OE,∵OE=6cm,∴AC=12cm,∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°=∠ADC,又∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB,∴ADAC=ACAB,即AD12=122.證明(1)連接OC,如圖所示,∵CA=CD,且∠D=30°,∴∠CAD=∠D=30°,∵OA=OC,∴∠ACO=∠CAD=30°,∴∠COD=∠CAD+∠ACO=30°+30°=60°,∴∠OCD=180°-∠D-∠COD=180°-30°-60°=90°,∴OC⊥CD,又∵OC為☉O的半徑,∴CD是☉O的切線.(2)∵∠COB=60°,且OC=OB,∴△OCB為等邊三角形,∴∠CBG=60°,又∵CG⊥AD,∴∠CGB=90°,∴∠GCB=90°-∠CBG=30°,在Rt△CDG中,∠D=30°,∴∠GCD=60°,∴∠BCD=30°=∠GCB,∴CB平分∠GCD,∵BF⊥CD,BG⊥CG,∴BF=BG,又∵BC=BC,∴Rt△BCG≌Rt△BCF(HL),∴CF=CG.∵∠D=30°,AE⊥ED,∴∠EAD=60°,又∵∠CAD=30°,∴AC平分∠EAG,∵CE⊥AE,CG⊥AB,∴CE=CG,∵∠AEC=∠BFC=90°,∠EAC=30°=∠BCF,∴△AEC∽△CFB,∴AECF=CEBF,即CF·CE=AE·BF,又CE=CG,CF=CG,∴CG23.解析(1)證明:在△AOF和△EOF中,OA=OE,∠AOF=∠EOF,OF=OF,∴△AOF≌△EOF(SAS),∴∠OAF=∠OEF,∵BC與☉O相切,∴OE⊥FC,∴∠OAF=∠OEF=90°,即OA⊥AF,∵(2)在Rt△CAF中,∠CAF=90°,FC=10,AC=6,∴AF=FC2?AC2=8,∵∠OCE=∠FCA,∠OEC=90°=∠FAC,∴△OEC∽△FAC,∴EOAF=COCF,設(shè)☉O的半徑為r,則r8=6?r10,解得r=83,在Rt△FAO中,∠FAO=90°,AF=8,AO=4.解析(1)證明:如圖①,連接CO并延長,與☉O交于點(diǎn)D,連接AD,∵AC=AC,∴∠D=∠B,∵DC是☉O的直徑,∴∠DAC=90°,∴∠D+∠ACD=90°,∵∠ACF=∠B,∴∠ACF+∠ACD=90°,即CD⊥CF,∴CF為☉O(2)證明:∵∠ACF=∠B,∠F=∠F,∴△ACF∽△CBF,∴AFCF=CFBF,∵FC=AB,∴AFAB=ABBF,∴AB2=AF·BF(3)如圖②,連接CO并延長,與☉O交于點(diǎn)D,連接BD,由(2)可知△ACF∽△CBF,∴AFCF=CFBF=ACBC,∵AF=1,CF=22,AC=5,∴122=22BF=5BC,∴BF=8,BC=210,∴AB=8-1=7,過點(diǎn)C作CE⊥AB于E,設(shè)AE=x,則EB=7-x,在Rt△AEC和Rt△BEC中,CE2=AC2-AE2,CE2=BC2-BE2,∴AC2-AE2=BC2-BE2,