29.4 切線長定理 同步練習

第二十九章直線與圓的位置關系29.4切線長定理基礎過關全練知識點1切線長定理1.如圖，四邊形ABCD的四邊AB，BC，CD，DA分別與☉O相切于點E，F(xiàn)，G，H，且AB=10，CD=15，則四邊形ABCD的周長為.2.下面是小蕓設計的“過圓外一點作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過程.已知：☉O及☉O外一點P.求作：☉O的一條切線，且這條切線經(jīng)過點P.(1)根據(jù)小蕓尺規(guī)作圖的痕跡補全作法.作法：①連接OP，作OP的l，交OP于點A；

②以點為圓心，為半徑作圓，交☉O于點M(兩個)；

③作直線PM，則直線PM即為☉O的切線.(2)①結合作法證明PM1為☉O的切線；②由作圖知過圓外一點作已知圓的切線可作兩條，且PM1PM2.

知識點2三角形的內(nèi)切圓3.(2023河北石家莊四十二中模擬)小雨同學要找到三角形的內(nèi)心，根據(jù)下列各圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到此點的是() A B C D4.(2022湖南婁底中考)如圖，等邊△ABC內(nèi)切的圖形來自我國古代的太極圖，等邊三角形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關于等邊△ABC的內(nèi)心成中心對稱，則圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比是()A.318π B.318 C.39π5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，☉O是△ABC的內(nèi)切圓，三個切點分別為D，E，F(xiàn)，若BF=2，AF=3，則△ABC的面積是.

6.如圖，在△ABC中，點O是△ABC的內(nèi)心，連接OB，OC.過點O作EF∥BC分別交AB，AC于點E，F(xiàn).若AB=5，AC=6，求△AEF的周長.7.如圖，AB=AC，☉O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D、E、F，連接DE、CD，CD交☉O于點G，連接EG并延長交BC于H.(1)求證：DE∥BC；(2)連接AG，若EH⊥BC，求sin∠DAG的值.能力提升全練8.(2023河北石家莊長安質檢)如圖，將△ABC折疊，使AC邊落在AB邊上，展開后得到折痕AD.將△ABC再次折疊，使BC邊落在BA邊上，展開后得到折痕BE，BE，AD交于點O，則以下結論一定成立的是()A.AO=2OD B.S△ABO=S四邊形ODCEC.點O到△ABC三邊的距離相等 D.點O到△ABC三個頂點的距離相等9.(2023江蘇南通海門一模)如圖，PA，PB是☉O的切線，A，B為切點，AC是☉O的直徑，∠BAC=30°.(1)求∠P的度數(shù)；(2)若AC=6，計算圖中陰影部分的面積.素養(yǎng)探究全練10.(2023遼寧撫順東洲三模)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，☉O與BC，AC分別相切于點E，F(xiàn)，BO平分∠ABC，連接OA.(1)求證：AB是☉O的切線；(2)若BE=AC=3，☉O的半徑是1，求圖中陰影部分的面積.

第二十九章直線與圓的位置關系29.4切線長定理答案全解全析基礎過關全練1.50解析∵四邊形ABCD的四邊分別與☉O相切，∴AE=AH，BE=BF，CF=CG，DH=DG，∴AD+BC=AB+CD=25，∴四邊形ABCD的周長=AD+BC+AB+CD=25+25=50，故答案為50.2.解析(1)答案為垂直平分線；A；OA(或AP)的長.(2)①證明：連接OM1，根據(jù)作圖過程可知OP為☉A的直徑，∴∠OM1P=90°，∴OM1⊥PM1，又∵OM1為☉O的半徑，∴PM1為☉O的切線.②=.3.B三角形內(nèi)心為三角形內(nèi)角平分線的交點，選項B中作了三角形兩個內(nèi)角的平分線.故選B.4.A設內(nèi)切圓與BC相切于點D，內(nèi)切圓的圓心為O，連接AD，OB，如圖，易知圓中黑色部分的面積是圓面積的一半，令BC=2a，則BD=a，在等邊三角形ABC中，AD⊥BC，BO平分∠ABC，∴∠OBD=12∠ABC=30°由勾股定理，得AD=AB2-BD在Rt△BOD中，OD=BD×tan30°=33a∴圓中的黑色部分的面積與△ABC的面積之比為π33a5.6解析連接DO，EO，∵☉O是△ABC的內(nèi)切圓，切點分別為D，E，F(xiàn)，∴OE⊥AC，OD⊥BC，OD=OE，BD=BF=2，AF=AE=3，又∵∠C=90°，∴四邊形OECD是矩形，又∵EO=DO，∴矩形OECD是正方形，設EO=x，則EC=CD=x，在Rt△ABC中，BC2+AC2=AB2，即(x+2)2+(x+3)2=52，解得x=1(舍負)，∴BC=3，AC=4，∴S△ABC=12×3×4=6，6.解析∵點O是△ABC的內(nèi)心，∴∠ABO=∠CBO，∠ACO=∠BCO.∵EF∥BC，∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO，∴∠ABO=∠EOB，∠ACO=∠FOC，∴BE=OE，CF=OF，∴△AEF的周長為AE+EF+AF=AE+OE+OF+AF=AE+BE+CF+AF=AB+AC=11.7.解析(1)證明：如圖，O為內(nèi)切圓的圓心.∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AB、AC切☉O于點D、E，∴AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∵2∠ADE+∠DAE=180°，2∠B+∠BAC=180°，∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC.(2)如圖，連接DF.∵EH⊥BC，DE∥BC，∴EH⊥DE，∴DG是☉O的直徑，∵FC、CE是☉O的切線，∴∠DCF=∠DCE，∵DE∥BC，∴∠EDC=∠DCF，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=EC=CF，同法可證BD=BF=CE=DE=CF，∵DE∥BC，DE=12BC，∴DE是△ABC的中位線∴AD=BD=BF=CF，∴AB=AC=BC，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECG=∠EDC=30°，∠CEG=90°-∠ACB=30°，∴∠CEG=∠ECG，∴GE=GC.設GE=GC=m，則DG=2EG=2m，∴CD=DG+CG=3m，∴AD=CD·tan∠ECD=3m，∴AG=AD2+DG2=∴sin∠DAG=DGAG=2能力提升全練8.C結合角平分線的探究過程求三角形的內(nèi)心.由題意知AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，點O為△ABC的內(nèi)切圓的圓心，即點O到△ABC三邊的距離相等，故C選項符合題意.其他選項的結論通過現(xiàn)有條件均無法推出.故選C.9.解析(1)如圖，連接OB，∵PA，PB是☉O的切線，A，B為切點，∴∠OAP=∠OBP=90°，PA=PB，∵∠BAO=30°，∴∠PAB=90°-30°=60°，∴△PAB是等邊三角形，∴∠APB=60°.(2)如圖，連接OP，∵OP=OP，OA=OB，∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)，∴S△AOP=S△BOP，∠OPA=∠OPB=30°，∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∵AC=6，∴OA=12AC=3，∴AP=3OA=33，∴S△AOP=12AO·AP=12×3×33=932.∵S∴S陰影=2×S△AOP-S扇形AOB=93-3π.素養(yǎng)探究全練10.解析(1)證明：如圖，連接OE，OF，過點O作OD⊥AB于點D，∵BC與☉O相切于點E，∴OE⊥BC，∵BO是∠ABC的平分線，∴OD=OE，∴OD是☉O的半徑，∴AB是☉O的切線.(2)解法一：∵∠OEC=∠OFC=∠C=90°，OE=OF，∴四邊形OECF是正方形，∴EC=OE=1，∴BC=4，∴AB=AC2+BC2=32∴∠AOB=180°-12(∠ABC+∠BAC)=180°-12(180°-∠ACB)=180°-1設AO，BO與☉O交于點G，H，則S陰影=S△AOB-S扇形GOH=12×5×1-135π×12360=解法二：同解法一可