天津市西青區(qū)張家窩中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年度第一學(xué)期高三期中考試數(shù)學(xué)學(xué)科考試時間：120分鐘；滿分150分一、單選題（每個4分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.若（，且）函數(shù)的圖像大致是（）A. B. C. D.4.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.5.若實數(shù)，則的最大值為（）A. B. C.4 D.66.若，，則的值是（）A.3 B. C.8 D.7.已知角是第四象限的角，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.下列命題中是假命題的是（）A.存在，使B.對任意，有C.中，的充要條件是D.對任意，函數(shù)都不是偶函數(shù)9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.為偶函數(shù)C.的圖象關(guān)于對稱 D.為奇函數(shù)10.已知，則函數(shù)的值域是（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.12.已知直線是函數(shù)的一條對稱軸，則的一個單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.13.設(shè)函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題（每個4分）14.函數(shù)的定義域為_______.15.設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)的一個零點，則實數(shù)_______.16.冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則的值為_______.17.在中三個內(nèi)角分別A，B，C且，，則角_______.18.已知函數(shù)，滿足對任意的實數(shù)，且，都有，則實數(shù)的取值范圍是_______.19.已知是定義在上的增函數(shù)，且，則的取值范圍是_______.20.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，寫出的解析式_______.21.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_______.22.設(shè)，，，若，，則的最大值為_______.23.已知，若a，b，c互不相等，且，則的范圍是_______.三、解答題24.（14分）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.（1）求A；（2）若的面積為，周長為8，求a.25.（14分）設(shè)函數(shù)在處取得極值.（1）求的解析式；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最值.26.（1.5分）如圖，平面，，，，，點E，F(xiàn)，M分別為AP，CD，BQ的中點.（1）求證：平面CPM；（2）求平面QPM與直線PC所成角的余弦值；（3）若N為線段CQ上的點，直線DN與平面QPM所成的角為，求N到平面CPM的距離.27.（15分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若，不等式在上存在實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.參考答案題號12345678910答案ABAAAAADCC題號111213答案ABA1.A【分析】先解對數(shù)不等式及函數(shù)值域分別求出集合A，B，再應(yīng)用并集定義計算即可.【詳解】因為，所以，所以，因為，所以，所以.故選：A.2.B【分析】根據(jù)余弦的二倍角公式即可求解.【詳解】.故選：B3.A【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，再根據(jù)函數(shù)圖像平移判斷即可.【詳解】因為（，且），故，故為減函數(shù)，且過，又的圖像為的圖像向右平移1個單位，則A滿足.故選：A4.A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項.【詳解】，，，所以.故選：A.5.A【分析】用配湊法結(jié)合基本不等式求解即可；【詳解】實數(shù)，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，函數(shù)的最大值為，故選：A.6.A【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)式與對數(shù)式互化關(guān)系及對數(shù)換底公式及運(yùn)算法則計算即得.【詳解】由，得，而，所以.故選：A7.A【分析】根據(jù)余弦函數(shù)定義及充分不必要定義判斷即可.【詳解】因為，所以.即“”是“”的充分條件；若取，，它們都是第四象限的角，且滿足，但，即“”不是“”的必要條件.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A.8.D【分析】對于A，時成立；對于B，由于判別式小于0，故正確；對于C，利用正弦定理可知正確；對于D，當(dāng)時，函數(shù)即為偶函數(shù)，故可得結(jié)論.【詳解】對于A，當(dāng)時成立；對于B，令，，對于函數(shù)，判別式，即恒成立，故正確；對于C，由大邊對大角定理可得，由正弦定理可知正確，中，的充要條件是，故正確；對于D，當(dāng)時，函數(shù)即為偶函數(shù)，故錯誤；故選D.【點睛】本題主要考查命題真假的判斷，真命題需要有充分的利用，而假命題列舉反例即可，屬于中檔題.9.C【詳解】對于函數(shù)，它的最小正周期為，故A選項錯誤；函數(shù)不滿足，故不是偶函數(shù)，故B選項錯誤；令，可得，故的圖象關(guān)于對稱，C正確；由于為偶函數(shù)，故D選項錯誤，故選C.10.C【分析】根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性確定，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求出的值域，即得答案.【詳解】令，則，因為在上單調(diào)遞增，且，所以，又在上單調(diào)遞減，且，所以，即的值域是.故選：C.11.A【分析】由冪函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在上單調(diào)遞增且，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值可得，解一元二次不等式即可.【詳解】，又函數(shù)，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以有最小值，且，所以，解得.故選：A12.B【分析】利用周期公式計算出周期，根據(jù)對稱軸對應(yīng)的是最值，然后分析單調(diào)減區(qū)間.【詳解】因為，若取到最大值，則，，即，，此時處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，故B符合；若取到最小值，則，，即，，此時處最接近的單調(diào)減區(qū)間是：即，此時無符合答案；故選B.【點睛】對于正弦型函數(shù)，對稱軸對應(yīng)的是函數(shù)的最值，這一點值得注意．13.A【分析】由奇偶函數(shù)的定義判斷函數(shù)為偶函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性的判定得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由對稱函數(shù)的函數(shù)大致圖像得出自變量的不等關(guān)系，從而解出取值范圍.【詳解】的定義域為R，，為偶函數(shù)，當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，.故選：A.14.【分析】根據(jù)對數(shù)的真數(shù)為正和二次根號下非負(fù)可求定義域.【詳解】由題設(shè)有，故，故函數(shù)的定義域為，故答案為：.15.3【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，因為是函數(shù)的一個零點，所以，解得.故答案為：3.16.1【分析】由冪函數(shù)及其單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意可得，解得：，所以，.故答案為：117.【分析】根據(jù)正切和角公式得到，由誘導(dǎo)公式得到，故，求出答案.【詳解】，又，故，所以，又，所以.故答案為：18.【分析】利用已知條件判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性可得關(guān)于的不等式組，解之即可.【詳解】對任意的實數(shù)，都有，即，異號，故是上的減函數(shù)；可得：，解得.故答案為：19.【分析】根據(jù)單調(diào)性的概念和函數(shù)的定義域得到滿足的條件，從而得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，，解得.所以的取值范圍是.故答案為：.20.【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與三角函數(shù)的奇偶性求解即可.【詳解】因為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，則，所以，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以.故答案為：.21.【分析】根據(jù)題意，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，以及對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，函數(shù)為減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，即可求解.【詳解】令，由，解得，又的圖象的對稱軸為，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，則函數(shù)為減函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：.22.3【分析】由已知可解得，.根據(jù)換底公式可得，根據(jù)基本不等式得出，然后根據(jù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可得出答案.【詳解】因為，所以，.又，，所以，.因為，，根據(jù)基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以.則，所以的最大值為3.故答案為：3.23.【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出a，b，c的關(guān)系及范圍，然后利用對勾函數(shù)的性質(zhì)得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，畫出的圖象，如圖，令，由，得，，，由，得，即，由，得，于是，由對勾函數(shù)性質(zhì)知，在上遞增，則，所以的范圍是.故答案為：24.（1）（2）【分析】（1）由正弦定理角化邊可得，由余弦定理即可求出角A；（2）根據(jù)三角形面積公式可得，利用余弦定理結(jié)合完全平方公式可得，即可求.【詳解】（1）因為，由正弦定理可得：所以，整理得，所以，因為，所以.（2）因為的面積為，所以由（1）可知，，解得，所以，又因為，所以，解得.25.（1），（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.【分析】（1）根據(jù)極值和極值點列出方程組，求出，；（2）結(jié)合第一問得到單調(diào)區(qū)間.【詳解】（1），由題意得：，，解得：，，此時，當(dāng)時，，當(dāng)或時，，故為極值點，滿足題意，所以，.（2）由（1）可知：當(dāng)時，，當(dāng)或時，，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為26.（1）證明見解析（2）（3）【分析】（1）連接EM，可證明四邊形MEFC為平行四邊形，再由線面平行的判定定理即可證得；（2）運(yùn)用空間向量法求解即可；（3）設(shè)點N坐標(biāo)，應(yīng)用空間向量法表示出直線DN與平面QPM所成的角為，再解方程可得點N坐標(biāo)，再應(yīng)用空間向量法求出點面距即可.【詳解】（1）連接EM，因為，，所以.又因為，所以四邊形PQBA，又因為點E，M分別為AP，BQ的中點，所以且，因為，，所以且，又因為點F分別為CD的中點，所以且，所以四邊形MEFC為平行四邊形，所以，又因為平面CPM，平面CPM，所以平面CPM.（2）因為平面，平面，所以，，又，故以點為原點，分別以DA，DC，DP為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）.因為，所以，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以.設(shè)平面與直線所成角，則，所以與直線所成角的正弦值為.（3）設(shè)，則，因為直線與平面所成的角為，所以，所以.解之得（舍去），所以點，所以，因為，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，，所以