四川省成都市邛崍市第二片區(qū)2024-2025學(xué)年九年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷

2024-2025學(xué)年四川省成都市邛崍市第二片區(qū)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.《九章算術(shù)》中注有“今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之”，意思是：今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)與負(fù)數(shù)，若氣溫為零上記作，則表示氣溫為

A.零上 B.零下 C.零上 D.零下2.如圖，是由4個相同小正方體組合而成的幾何體，它的主視圖是(

)A.

B.

C.

D.3.下列計算正確的是(

)A. B. C. D.4.八年級班與班各選出20名學(xué)生進(jìn)行英文打字比賽，通過對參賽學(xué)生每分鐘輸入的單詞個數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，兩班成績的平均數(shù)相同，班成績的方差為，班成績的方差為15，由此可知(

)A.班比班的成績穩(wěn)定 B.班比班的成績穩(wěn)定

C.兩個班的成績一樣穩(wěn)定 D.無法確定哪班的成績更穩(wěn)定5.已知，則的值是(

)A. B. C.1 D.6.若關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是(

)A. B. C. D.7.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的重要著作，“勾股”章有一題：“今有戶高多于廣六尺八寸，兩隅相去適一丈，問戶高、廣各幾何.”大意是說：已知矩形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？丈尺，尺、寸、丈不是法定計量單位若設(shè)高是x尺，則可列方程為(

)A. B.

C. D.8.如圖，，，，，在邊AB上取點P，使得與相似，則這樣的P點共有(

)

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二、填空題：本題共10小題，每小題4分，共40分。9.因式分解：

.10.方程的根為______.11.已知是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，則實數(shù)k的值是______.12.在一個不透明的盒子中，裝有除顏色外完全相同的乒乓球共16個，從中隨機摸出一個乒乓球，若摸到黃色乒乓球的概率為，則該盒子中裝有黃色乒乓球的個數(shù)是______.13.兩千多年前，我國的學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了小孔成像的實驗．他的做法是，在一間黑暗的屋子里，一面墻上開一個小孔，小孔對面的墻上就會出現(xiàn)外面景物的倒像．小華在學(xué)習(xí)了小孔成像的原理后，利用如圖裝置來驗證小孔成像的現(xiàn)象．已知一根點燃的蠟燭距小孔20cm，光屏在距小孔30cm處，小華測量了蠟燭的火焰高度為2cm，則光屏上火焰所成像的高度為______

14.若是關(guān)于x的一元二次方程的解，則的值是______.15.如圖，樂器上的一根弦，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則支撐點C，D之間的距離為______結(jié)果保留根號

16.如圖，在矩形ABCD中，按以下步驟作圖：①分別以點A和C為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；②作直線MN交CD于點若，，則矩形的對角線AC的長為______.

17.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，，垂足為E，，，則AB的值為______.

18.如圖，在中，，，D和M分別是BC、AC邊上的動點，則的最小值是______.

三、計算題：本大題共1小題，共8分。19.某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進(jìn)取”主題班會活動，活動后，就活動的5個主題進(jìn)行了抽樣調(diào)查每位同學(xué)只選最關(guān)注的一個，根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：

這次調(diào)查的學(xué)生共有多少名？

請將條形統(tǒng)計圖補充完整，并在扇形統(tǒng)計圖中計算出“進(jìn)取”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)．

如果要在這5個主題中任選兩個進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)中調(diào)查結(jié)果，用樹狀圖或列表法，求恰好選到學(xué)生關(guān)注最多的兩個主題的概率將互助、平等、感恩、和諧、進(jìn)取依次記為A、B、C、D、四、解答題：本題共7小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。20.本小題12分

計算：；

解不等式組21.本小題8分

若關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根.

求k的取值范圍；

設(shè)方程的兩根分別是、，且滿足，求k的值.22.本小題10分

如圖，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，小正方形網(wǎng)格的邊長為1個單位長度，的三個頂點的坐標(biāo)分別為，，

畫出將向上平移1個單位長度，再向右平移5個單位長度后得到的；

畫出將繞原點O順時針方向旋轉(zhuǎn)得到；

在x軸上存在一點P，滿足點P到與點距離之和最小，請直接寫出P點的坐標(biāo)．

23.本小題10分

如圖，在中，，，動點M從點B出發(fā)，在BA邊上以每秒3cm的速度向定點A運動，同時動點N從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒2cm的速度向點B運動，運動時間為t秒，連接

若與相似，求t的值；

連接AN，CM，若，求t的值．24.本小題8分

某水果批發(fā)商場經(jīng)銷一種高檔水果，商場為了在中秋節(jié)和國慶節(jié)期間擴大銷量，將售價從原來的每千克40元經(jīng)兩次調(diào)價后調(diào)至每千克元.

若該商場兩次調(diào)次的降價率相同，求這個降價率；

現(xiàn)在假期結(jié)束了，商場準(zhǔn)備適當(dāng)漲價，如果現(xiàn)在每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)貨不變的情況下，若每千克漲價1元，日銷量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天盈利6000元，同時又要使顧客得到實惠，那么每千克應(yīng)漲價多少元？25.本小題10分

如圖1，直線：與坐標(biāo)軸分別交于點A，B，與直線：交于點

求的面積；

如圖2，若有一條垂直于x軸的直線l以每秒1個單位的速度從點A出發(fā)沿射線AO方向做勻速滑動，分別交直線，及x軸于點M，N和設(shè)運動時間為，連接

①當(dāng)時，求t的值；

②試探究在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點P，使得以O(shè)、Q、C、P為頂點的四邊形構(gòu)成菱形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由.26.本小題12分

已知線段BD是正方形ABCD的一條對角線，點E在射線BD上運動，連接CE，將線段CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到線段CF，連接

如圖1，若點E在線段BD上，請直接寫出線段BE與線段DF的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；

【模型應(yīng)用】

如圖2，若點E在線段BD的延長線上運動，請寫出線段CD，DE，DF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

【模型遷移】

如圖3，已知線段BD是矩形ABCD的一條對角線，，，點E在射線BD上運動，連接CE，將CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，得到CM，在CM上截取線段，連接EF，若，直接寫出線段EF的長.

答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】

此題主要考查正負(fù)數(shù)的意義，正數(shù)與負(fù)數(shù)表示意義相反的兩種量，看清規(guī)定哪一個為正，則和它意義相反的就為負(fù)．

此題主要用正負(fù)數(shù)來表示具有意義相反的兩種量：若零上記為正，則零下就記為負(fù)，由此直接得出結(jié)論即可．

【解答】

解：若氣溫為零上記作，則表示氣溫為零下

故選：2.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了簡單幾何體的三視圖的知識，主視圖是從物體的正面看得到的視圖．找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應(yīng)表現(xiàn)在主視圖中．

【解答】

解：從正面看，易得上面一層最右邊有1個正方形，下面一層有3個正方形，

故A、B、D錯誤，C正確.

故選3.【答案】A

【解析】解：A：，正確；

B：因為，x與不是同類項，不能合并，所以B選項錯誤；

C：，所以C選項錯誤；

D：，所以D選項錯誤；

故：選A

合并同類項只是將同類項的系數(shù)相加，字母及其指數(shù)都不變，而的錯誤之處是把合并同類項與同底數(shù)冪的乘法混為一談了

本題容易出錯的選項是B選項，有些學(xué)生把合并同類項與同底數(shù)冪的乘法運算混為一談，需要注意．4.【答案】B

【解析】解：班成績的方差為，班成績的方差為15，

班成績的方差班成績的方差，

班比班的成績穩(wěn)定．

故選：

根據(jù)方差的意義可作出判斷．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．

本題考查方差的意義．方差是用來衡量一組數(shù)據(jù)波動大小的量，方差越大，表明這組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越大，即波動越大，數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；反之，方差越小，表明這組數(shù)據(jù)分布比較集中，各數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)越小，即波動越小，數(shù)據(jù)越穩(wěn)定．5.【答案】D

【解析】解：令，

得：、、，

故選：

令，得到：、、，然后代入即可求解．

本題考查了比例的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是用一個字母表示出a、b、c，然后求值．6.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當(dāng)時，方程無實數(shù)根．

根據(jù)判別式的意義得到，然后解一元一次不等式即可．

【解答】

解：根據(jù)題意得，

解得

故選：7.【答案】C

【解析】解：高是x尺，則寬為尺，根據(jù)勾股定理，得

，

故選：

高是x尺，則寬為尺，根據(jù)矩形門的高、寬、對角線構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理即可列出方程．

本題考查勾股定理，正確理解題意，找到各個量的關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．8.【答案】C

【解析】【分析】

此題考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解本題的關(guān)鍵．

設(shè)，則有，分兩種情況考慮：三角形PDA與三角形CPB相似；三角形PDA與三角形PCB相似，分別求出x的值，即可確定出P的個數(shù)．

【解答】

解：設(shè)，則有，

由，

當(dāng)，∽時，即，

解得：或，

當(dāng)，∽時，即，

解得：，

綜上，這樣的點P共有3個，

故選：9.【答案】

【解析】【分析】

直接利用平方差公式分解因式得出答案．

此題主要考查了公式法分解因式，正確運用平方差公式是解題關(guān)鍵．

【解答】

解：

故答案為：10.【答案】，

【解析】解：，

，

，

，或，

，，

故答案為：，

移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．

本題考查了解一元二次方程-因式分解法．11.【答案】

【解析】解：把代入方程得：，

解方程得

故答案為：

已知是關(guān)于x的一元二次方程的一個根，把代入方程，即可得到一個關(guān)于k的方程，解方程即可求出k值．

本題主要考查了方程的解的定義，把求未知系數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為方程求解的問題．12.【答案】6

【解析】解：裝有除顏色外完全相同的乒乓球共16個，從中隨機摸出一個乒乓球，若摸到黃色乒乓球的概率為，

該盒子中裝有黃色乒乓球的個數(shù)是：

故答案為：

直接利用摸到黃色乒乓球的概率為，利用總數(shù)乘以概率即可得出該盒子中裝有黃色乒乓球的個數(shù)．

此題主要考查了概率公式，正確利用摸到黃色乒乓球的概率求出黃球個數(shù)是解題關(guān)鍵．13.【答案】3

【解析】【分析】

本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用影長測量物體的高度；利用相似測量河的寬度測量距離；借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度．如圖，，，，通過證明∽得到，然后利用比例性質(zhì)求CD即可．

【解答】

解：如圖，，，，

，

∽，

，即，

，

即光屏上火焰所成像的高度為

故答案為14.【答案】2025

【解析】解：將代入原方程得：，

，

故答案為：

將代入原方程，可得出，再將其代入中，即可求出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的解，將方程的解代入原方程，求出是解題的關(guān)鍵．15.【答案】

【解析】解：點C是靠近點B的黃金分割點，，

，

點D是靠近點A的黃金分割點，，

，

，

支撐點C，D之間的距離為，

故答案為：

根據(jù)黃金分割的定義，進(jìn)行計算即可解答．

本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．16.【答案】

【解析】解：連接AE，如圖，

由作法得MN垂直平分AC，

，

在中，，

在中，

故答案為

連接AE，如圖，利用基本作圖得到MN垂直平分AC，則，然后利用勾股定理先計算出AD，再計算出

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握基本作圖作一條線段等于已知線段；作一個角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點作已知直線的垂線17.【答案】

【解析】解：四邊形ABCD是矩形，

，

，

，

，

，

，

，

為等邊三角形，

，

，

，

，

故答案為：

根據(jù)矩形的對角線相等且平分，以及到線段兩端點的距離相等的點在線段的中垂線上，得到為等邊三角形，利用30度角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行求解即可．

本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是首先推導(dǎo)出為等邊三角形．18.【答案】

【解析】解：如圖作點A關(guān)于BC的對稱點E，連接BE、AE交BC于點O，

作垂足為M，EM交BC于D，此時最小垂線段最短

，，

，，

，，

∽，

，

，

，

最小值為，

故答案為

如圖作點A關(guān)于BC的對稱點E，連接BE、AE交BC于點O，作垂足為M，EM交BC于D，此時最小，由∽，得即可解決問題．

本題考查軸對稱-最短問題、等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是利用對稱，垂線段最短找到點D、M的位置，屬于中考?？碱}型．19.【答案】解：名，

答：這次調(diào)查的學(xué)生共有280名；

名，名，

補全條形統(tǒng)計圖，如圖所示，

根據(jù)題意得：，，

答：“進(jìn)取”所對應(yīng)的圓心角是；

由中調(diào)查結(jié)果知：學(xué)生關(guān)注最多的兩個主題為“進(jìn)取”和“感恩”用列表法為：ABCDEABCDE用樹狀圖為：

共20種情況，恰好選到“C”和“E”有2種，

恰好選到“進(jìn)取”和“感恩”兩個主題的概率是

【解析】根據(jù)“平等”的人數(shù)除以占的百分比得到調(diào)查的學(xué)生總數(shù)即可；

求出“互助”與“進(jìn)取”的學(xué)生數(shù)，補全條形統(tǒng)計圖，求出“進(jìn)取”占的圓心角度數(shù)即可；

列表或畫樹狀圖得出所有等可能的情況數(shù)，找出恰好選到“C”與“E”的情況數(shù)，即可求出所求的概率．

此題考查了列表法與樹狀圖法，扇形統(tǒng)計圖，以及條形統(tǒng)計圖，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．20.【答案】解：

；

解不等式得，，

解不等式得，，

不等式組的解集為：

【解析】根據(jù)實數(shù)的運算法則計算即可求解；

先求出兩個不等式的解集，再求其公共解．

本題考查了實數(shù)的運算，求不等式組的解集，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計算是解題的關(guān)鍵．21.【答案】解：關(guān)于x的方程有兩個不相等的實數(shù)根，

，

即，

解得：；

設(shè)方程的兩根分別是、，

，，

又，

，即，

，

，

解得：，符合題意．

【解析】根據(jù)一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根得到，求出k的取值范圍即可；

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出方程解答即可．

本題主要考查了根的判別式以及根與系數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用．22.【答案】解：如圖，即為所求；

如圖，即為所求；

如圖，點P即為所求，P點的坐標(biāo)，

【解析】【分析】

本題考查作圖-平移變換，旋轉(zhuǎn)變換，軸對稱最短問題等知識，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱變換的性質(zhì)．

利用平移變換的性質(zhì)分別作出A，B，C的對應(yīng)點，，即可；

利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)分別作出A，B的對應(yīng)點，即可；

作點關(guān)于x軸的對應(yīng)點，連接交x軸于點P，點P即為所求．

【解答】

解：

見答案；

作關(guān)于x軸的對稱點，連接，與x軸的交點即為點P，

點，

，

設(shè)，

，解得：，

，

令，則，解得，

點

故答案為：點23.【答案】解：，，，

，

由題意得，，

當(dāng)∽時，，即，

解得：；

當(dāng)∽時，，即，

解得：，

綜上所述，與相似時，t的值為或；

如圖，過點M作于點D，

，

，

∽，

，

，，，，

，，

，

，，

，，

，

，

∽，

，即，

解得：

【解析】根據(jù)勾股定理求出AB，分∽、∽兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可；

過點M作于點D，分別證明∽，∽，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．

本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理、靈活運用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．24.【答案】解：設(shè)這個降價率為x，

依題意，得：，

解得：，舍去

答：這個降價率為

設(shè)每千克應(yīng)漲價y元，則每天可售出千克，

依題意，得：，

整理，得：，

解得：，

要使顧客得到實惠，

答：每千克應(yīng)漲價5元．

【解析】設(shè)這個降價率為x，根據(jù)原價及經(jīng)過兩次降價后的價格，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論；

設(shè)每千克應(yīng)漲價y元，則每天可售出千克，根據(jù)總利潤=每千克的利潤銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．

本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．25.【答案】解：對于直線：，

當(dāng)時，，即，，

當(dāng)時，，

解得，即，，

聯(lián)立，

解得，即，

則的面積為；

①由題意可知，