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Page第01講函數(shù)及其性質(zhì)(單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性)(12類核心考點精講精練)1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷,第6題,5分根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性2024年新I卷,第8題,5分求函數(shù)值抽象函數(shù)的關(guān)系比較函數(shù)值的大小關(guān)系2024年新Ⅱ卷,第6題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷函數(shù)奇偶性的應(yīng)用根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍求余弦(型)函數(shù)的奇偶性2024年新Ⅱ卷,第11題,6分函數(shù)對稱性的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點判斷零點所在的區(qū)間2023年新I卷,第4題,5分復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值2023年新I卷,第11題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷函數(shù)極值點的辨析2023年新Ⅱ卷,第4題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用奇偶性求參數(shù)2022年新I卷,第12題,5分抽象函數(shù)的奇偶性函數(shù)對稱性的應(yīng)用函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系2022年新Ⅱ卷,第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用抽象函數(shù)的周期性求函數(shù)值2021年新I卷,第13題,5分由奇偶性求參數(shù)無2021年新Ⅱ卷,第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的周期性的定義與求解2021年新Ⅱ卷,第14題,5分函數(shù)奇偶性的定義與判斷基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式2020年新I卷,第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式2020年新Ⅱ卷,第7題,5分復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性對數(shù)函數(shù)單調(diào)性2020年新Ⅱ卷,第8題,5分函數(shù)奇偶性的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性解不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容,設(shè)題穩(wěn)定,難度中等偏難,分值為5-6分【備考策略】1.會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性,掌握求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的基本方法2.理解函數(shù)最大值、最小值的概念、作用和實際意義,會求簡單函數(shù)的最值3.能夠利用函數(shù)的單調(diào)性解決有關(guān)問題4.了解奇偶性的概念和意義,會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的奇偶性5.了解周期性的概念和意義.會判斷、應(yīng)用簡單函數(shù)的周期性解決問題6.能綜合運用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等解決相關(guān)問題.【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容,一般會以抽象函數(shù)作為載體,考查函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性及對稱性,是新高考一輪復(fù)習(xí)的重點內(nèi)容.知識講解函數(shù)的單調(diào)性(1)單調(diào)函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2當x1<x2時,都有f(x1)<f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時,都有f(x1)>f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)單調(diào)區(qū)間的定義如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴格的)單調(diào)性,區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.(3)函數(shù)的最值前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果存在實數(shù)M滿足條件(1)對于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M(3)對于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(4)存在x0∈I,使得f(x0)=M結(jié)論M為最大值M為最小值單調(diào)性的常見運算單調(diào)性的運算①增函數(shù)(↗)增函數(shù)(↗)增函數(shù)↗②減函數(shù)(↘)減函數(shù)(↘)減函數(shù)↘③為↗,則為↘,為↘④增函數(shù)(↗)減函數(shù)(↘)增函數(shù)↗⑤減函數(shù)(↘)增函數(shù)(↗)減函數(shù)↘⑥增函數(shù)(↗)減函數(shù)(↘)未知(導(dǎo)數(shù))復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性奇偶性①具有奇偶性的函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱(大前提)②奇偶性的定義:奇函數(shù):,圖象關(guān)于原點對稱偶函數(shù):,圖象關(guān)于軸對稱③奇偶性的運算周期性(差為常數(shù)有周期)①若,則的周期為:②若,則的周期為:③若,則的周期為:(周期擴倍問題)④若,則的周期為:(周期擴倍問題)對稱性(和為常數(shù)有對稱軸)軸對稱①若,則的對稱軸為②若,則的對稱軸為點對稱①若,則的對稱中心為②若,則的對稱中心為周期性對稱性綜合問題①若,,其中,則的周期為:②若,,其中,則的周期為:③若,,其中,則的周期為:奇偶性對稱性綜合問題①已知為偶函數(shù),為奇函數(shù),則的周期為:②已知為奇函數(shù),為偶函數(shù),則的周期為:考點一、根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)單調(diào)性1.(2021·全國·高考真題)下列函數(shù)中是增函數(shù)的為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷后可得正確的選項.【詳解】對于A,為上的減函數(shù),不合題意,舍.對于B,為上的減函數(shù),不合題意,舍.對于C,在為減函數(shù),不合題意,舍.對于D,為上的增函數(shù),符合題意,故選:D.2.(2024·山西晉中·三模)下列函數(shù)中既是奇函數(shù),又在上單調(diào)遞減的是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)和單調(diào)性的定義,結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象逐項判斷.【詳解】對于A:函數(shù)的定義域為R,又,所以是偶函數(shù),故A錯誤;對于B:由冪函數(shù)的圖象可知,在上單調(diào)遞增,故B錯誤;對于C:函數(shù)的定義域為,又,所以是奇函數(shù),又冪函數(shù)都在上單調(diào)遞減,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,故C正確;對于D:因為對數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,故D錯誤.故選:C.1.(2024·全國·一模)下列函數(shù)中在區(qū)間上單調(diào)遞減的是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】結(jié)合常見函數(shù)的圖象和性質(zhì)進行判斷.【詳解】對于A,因為是周期函數(shù),在上不單調(diào),故A錯誤;對于B,在上是,單調(diào)遞增,故B錯誤;對于D,是二次函數(shù),圖象是開口向上的拋物線,對稱軸為軸,所以它在上為增函數(shù),故D錯誤;對于C,只有這個函數(shù)在上單調(diào)遞減,故C正確.故選:C2.(2024·吉林·模擬預(yù)測)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】利用奇函數(shù)的定義,即可判斷四個選項的奇偶性,只有是奇函數(shù),又正切函數(shù)在上不是單調(diào)遞增函數(shù),而函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)恒大于零,所以只有C正確.【詳解】對于A,,為偶函數(shù),故A錯誤;對于B,,為奇函數(shù),又在不滿足單調(diào)遞增定義,所以B錯誤;對于C,,為奇函數(shù),,在區(qū)間上單調(diào)遞增,故C正確;對于D,是非奇非偶函數(shù),所以D錯誤.故選:C.考點二、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性(含分段函數(shù))求參數(shù)值1.(2023·全國·高考真題)設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性,判斷列式計算作答.【詳解】函數(shù)在R上單調(diào)遞增,而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,則有函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減,因此,解得,所以的取值范圍是.故選:D2.(2024·全國·高考真題)已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點的大小關(guān)系即可得到不等式組,解出即可.【詳解】因為在上單調(diào)遞增,且時,單調(diào)遞增,則需滿足,解得,即a的范圍是.故選:B.1.(2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測)函數(shù)在上單調(diào)遞減,則t的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得的單調(diào)性,從而可求得t的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減,則,解得.故選:A2.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)(且)在定義域內(nèi)是增函數(shù),則的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)題意,利用分段函數(shù)單調(diào)性的判定方法,列出不等式組,即可求解.【詳解】由函數(shù),因為函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù),則滿足,解得,即實數(shù)的取值范圍為.故選:C.考點三、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式1.(2024·江西·模擬預(yù)測)已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,則不等式的解集為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性計算即可.【詳解】由,可得,因為是奇函數(shù),且,所以,因為在上單調(diào)遞增,所以,故不等式的解集為.故選:D2.(2020·山東·高考真題)若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足的x的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調(diào)性,得到函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的符號,再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于等于零,分類轉(zhuǎn)化為對應(yīng)自變量不等式,最后求并集得結(jié)果.【詳解】因為定義在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減,且,所以在上也是單調(diào)遞減,且,,所以當時,,當時,,所以由可得:或或解得或,所以滿足的的取值范圍是,故選:D.【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性解抽象函數(shù)不等式,考查分類討論思想方法,屬中檔題.3.(2024·四川南充·二模)設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù),說明其單調(diào)性和奇偶性,轉(zhuǎn)化為解不等式即可求解.【詳解】,設(shè),又易知,為上的奇函數(shù),又,在上單調(diào)遞增,又,,,,又為上的奇函數(shù),,又在上單調(diào)遞增,,,故滿足的的取值范圍是.故選:C.1.(2024·湖北武漢·二模)已知函數(shù),則關(guān)于的不等式的解集為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】消去絕對值可得函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性解不等式即可得.【詳解】由,故在上單調(diào)遞增,由,有,即.故選:A.2.(2024·吉林長春·模擬預(yù)測)已知函數(shù),則不等式的解集為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】判斷的奇偶性和單調(diào)性,再根據(jù)函數(shù)性質(zhì)求解不等式即可.【詳解】,定義域為,又,故為偶函數(shù);又當時,均為單調(diào)增函數(shù),故為上的單調(diào)增函數(shù);又,故當時,,則此時為上的單調(diào)增函數(shù),故時,為單調(diào)減函數(shù);,即,則,即,,也即,解得.故選:A.3.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù),則滿足的的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】設(shè),即可判斷為奇函數(shù),又,可得圖象的對稱中心為,則,再判斷的單調(diào)性,不等式,即,結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,解得即可.【詳解】設(shè),,則,所以為奇函數(shù).又,則的圖象是由的圖象向右平移個單位長度得到的,所以圖象的對稱中心為,所以.因為在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞增,因為,所以,所以,解得,故滿足的的取值范圍為.故選:B考點四、根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較函數(shù)值大小關(guān)系1.(2024·全國·高考真題)已知函數(shù)的定義域為R,,且當時,則下列結(jié)論中一定正確的是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】代入得到,再利用函數(shù)性質(zhì)和不等式的性質(zhì),逐漸遞推即可判斷.【詳解】因為當時,所以,又因為,則,,,,,則依次下去可知,則B正確;且無證據(jù)表明ACD一定正確.故選:B.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題的關(guān)鍵是利用,再利用題目所給的函數(shù)性質(zhì),代入函數(shù)值再結(jié)合不等式同向可加性,不斷遞推即可.2.(2023·全國·高考真題)已知函數(shù).記,則(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】利用作差法比較自變量的大小,再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】令,則開口向下,對稱軸為,因為,而,所以,即由二次函數(shù)性質(zhì)知,因為,而,即,所以,綜上,,又為增函數(shù),故,即.故選:A.3.(2024·寧夏銀川·二模)定義域為的函數(shù)滿足為偶函數(shù),且當時,恒成立,若,,,則,,的大小關(guān)系為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)條件先得到函數(shù)的對稱性和單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)性比較大小.【詳解】當時,恒成立,即當時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,又為偶函數(shù),即,所以函數(shù)關(guān)于對稱,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以因為,所以所以,所以,即,故選:D.1.(2024·遼寧丹東·二模)已知函數(shù),,,,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)題意,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì),進而求得的大小關(guān)系,得到答案.【詳解】因為函數(shù),可得,當時,;當時,;當時,,所以在和上遞增,在上遞減,因為,可得,所以,又因為,,所以,所以,即,所以.故選:D.2.(2024·北京·模擬預(yù)測)函數(shù),記,則(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】由題意得是上的偶函數(shù),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知關(guān)于在上單調(diào)遞減,進一步比較對數(shù)、指數(shù)冪的大小即可求解.【詳解】注意到定義域為全體實數(shù),且,所以是上的偶函數(shù),從而,因為在上單調(diào)遞增,所以關(guān)于在上單調(diào)遞減,而,所以.故選:B.3.(2024·寧夏石嘴山·三模)若定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的大小關(guān)系為(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)運算判斷處,再結(jié)合的奇偶性以及單調(diào)性,即可得答案.【詳解】因為是定義在上偶函數(shù),所以,因為,則,所以,因為在上單調(diào)遞增,所以,即,故選:A.考點五、根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值1.(2023·全國·高考真題)已知是偶函數(shù),則(
)A. B. C.1 D.2【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義運算求解.【詳解】因為為偶函數(shù),則,又因為不恒為0,可得,即,則,即,解得.故選:D.2.(2023·全國·高考真題)若為偶函數(shù),則(
).A. B.0 C. D.1【答案】B【分析】根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì),利用特殊值法求出值,再檢驗即可.【詳解】因為為偶函數(shù),則,解得,當時,,,解得或,則其定義域為或,關(guān)于原點對稱.,故此時為偶函數(shù).故選:B.3.(2023·全國·高考真題)若為偶函數(shù),則.【答案】2【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到,從而求得,再檢驗即可得解.【詳解】因為為偶函數(shù),定義域為,所以,即,則,故,此時,所以,又定義域為,故為偶函數(shù),所以.故答案為:2.1.(2024·陜西安康·模擬預(yù)測)已知函數(shù)為奇函數(shù),則(
)A. B.0 C.1 D.【答案】C【分析】由奇函數(shù)的定義可得,結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可求解.【詳解】因為為R上的奇函數(shù),所以,即,整理得,解得.故選:C2.(2024·山東·模擬預(yù)測)已知函數(shù)是偶函數(shù),則的值是(
)A. B. C.1 D.2【答案】A【分析】利用偶函數(shù)可得,可求的值.【詳解】因為函數(shù)是偶函數(shù),所以,即,所以,所以,即,故A正確.故選:A.3.(2024·上海奉賢·三模)若函數(shù)為奇函數(shù),則.【答案】【分析】利用函數(shù)是奇函數(shù)得到,然后利用方程求解,即可得解.【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù),所以,當時,則,則,即,所以,解得,所以.故答案為:.考點六、抽象函數(shù)奇偶性的綜合應(yīng)用1.(2021·全國·高考真題)設(shè)函數(shù)的定義域為R,為奇函數(shù),為偶函數(shù),當時,.若,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件,可以確定出函數(shù)解析式,進而利用定義或周期性結(jié)論,即可得到答案.【詳解】[方法一]:因為是奇函數(shù),所以①;因為是偶函數(shù),所以②.令,由①得:,由②得:,因為,所以,令,由①得:,所以.思路一:從定義入手.所以.[方法二]:因為是奇函數(shù),所以①;因為是偶函數(shù),所以②.令,由①得:,由②得:,因為,所以,令,由①得:,所以.思路二:從周期性入手由兩個對稱性可知,函數(shù)的周期.所以.故選:D.【點睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時候,我們通??梢越柚恍┒壗Y(jié)論,求出其周期性進而達到簡便計算的效果.2.(2024·河南鄭州·模擬預(yù)測)已知為奇函數(shù),則(
)A. B.14 C. D.7【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義和性質(zhì)即可求解.【詳解】因為為奇函數(shù),故,,,,故.故選:C.3.(2024·河南·三模)(多選)定義在上的函數(shù)滿足,則(
)A. B.C.為奇函數(shù) D.單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】利用賦值法可求及,故可判斷各項的正誤,也可以由題意得,結(jié)合條件推出的解析式,進而即可求解判斷ABCD四個選項.【詳解】法1:令,則,令,則,若或,若,則即,由的任意性可得不恒成立,故不成立,故,故A錯誤,B正確.令,則,故為奇函數(shù),且,它為上的增函數(shù),故CD正確.法2:由條件,得,由的任意性得為常數(shù),故代回去得:,所以由的任意性只能,即,為增函數(shù),所以,為奇函數(shù),故A錯,BCD對.故選:BCD.1.(2024·廣東茂名·模擬預(yù)測)(多選)已知函數(shù)的定義域為R,,,則(
)A. B.函數(shù)是奇函數(shù)C. D.的一個周期為3【答案】AC【分析】根據(jù)條件等式,利用賦值法,求特殊函數(shù)值,以及判斷函數(shù)的奇偶性和周期性.【詳解】令,則,所以,A選項正確;令,則,即,所以是偶函數(shù),B選項錯誤;,令,則,令,則,所以,所以,因為,所以,,C選項正確;令,則,所以,,所以,的一個周期為6,D選項錯誤.故選:AC.2.(2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測)(多選)已知函數(shù)的定義域為,為奇函數(shù),為偶函數(shù),且對任意的,,都有,則(
)A.是奇函數(shù) B.C.的圖象關(guān)于對稱 D.【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和題設(shè)條件,推得是周期為4的周期函數(shù),結(jié)合周期函數(shù)的性質(zhì)求值,利用單調(diào)性比較大小,逐項判定即可求解.【詳解】因為為奇函數(shù),所以,即函數(shù)關(guān)于對稱,C正確;由函數(shù)關(guān)于對稱可知,又因為為偶函數(shù),所以,即函數(shù)關(guān)于對稱,則,所以,即,所以,所以是周期為4的周期函數(shù),所以,又,所以,所以,所以,B正確;是偶函數(shù),A錯誤;對任意的,且,都有,不妨設(shè),則,由單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上單調(diào)遞增,又由函數(shù)關(guān)于對稱,所以在上單調(diào)遞增又,,所以,得,D錯誤.故選:BC【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查抽象函數(shù),解題關(guān)鍵是合理利用抽象函數(shù)的單調(diào)性,奇偶性周期性分析題意,然后逐個選項分析即可.考點七、函數(shù)周期性的綜合應(yīng)用1.(2021·全國·高考真題)已知函數(shù)的定義域為,為偶函數(shù),為奇函數(shù),則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),由已知條件得出,結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù),則,可得,因為函數(shù)為奇函數(shù),則,所以,,所以,,即,故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),因為函數(shù)為奇函數(shù),則,故,其它三個選項未知.故選:B.2.(2024·江西·模擬預(yù)測)(多選)已知函數(shù)對任意的,,都有,且,,則(
)A. B.是奇函數(shù) C.的周期為4 D.,【答案】ACD【分析】令,即可判斷A;令,即可判斷B;令,求出,再令,即可判斷C;根據(jù)C選項可求出,再根據(jù)函數(shù)的周期性即可判斷D.【詳解】由,令,則,又,所以,故A正確;令,則,所以,所以是偶函數(shù),故B錯誤;令,則,所以,令,則,所以,即,所以,所以的周期為4,故C正確;由,得,所以,故D正確.故選:ACD.3.(2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測)(多選)已知可導(dǎo)函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為,若是奇函數(shù),,且對任意,恒有,則一定有(
)A. B.C. D.【答案】ABD【分析】先根據(jù)題意,利用賦值法,結(jié)合函數(shù)奇偶函數(shù)的定義得出:是上的奇函數(shù),周期為,是上的偶函數(shù),周期為;再逐項分析即可解答.【詳解】因為是上的奇函數(shù),所以,則,即是上的偶函數(shù).令,由得:,①令取,得,結(jié)合是上的奇函數(shù),是上的偶函數(shù),得,②結(jié)合,由①②可得:,即.所以,又因為是上的奇函數(shù),所以,則,所以函數(shù),是周期為的函數(shù).對于選項A:因為,,所以令,得,所以,故選項A正確;對于選項B:因為是上的奇函數(shù),周期為,所以,故選項B正確;對于選項C:因為,所以,故選項C錯誤;對于選項D:因為是上的偶函數(shù),周期為,所以.令,,由得:,解得:,所以,故選項D正確.故選:ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題主要考查抽象函數(shù)的性質(zhì),涉及函數(shù)的奇偶性、周期性及導(dǎo)數(shù)的計算.解題關(guān)鍵在于熟練地應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性的定義及導(dǎo)數(shù)的計算,利用賦值法推導(dǎo)出函數(shù),的性質(zhì).1.(2024·重慶·三模)已知是定義域為的奇函數(shù)且滿足,則()A. B.0 C.1 D.【答案】B【分析】根據(jù)題意,推得,得到是周期為2的周期函數(shù),結(jié)合,即可求解.【詳解】由是定義域為的奇函數(shù),則,且,又由滿足,即,則有,可得,即函數(shù)是周期為2的周期函數(shù),故.故選:B.2.(2024·河南·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的定義域為,若,且,則.【答案】【分析】通過賦值法解出,由解出;進而求出,再證明函數(shù)為偶函數(shù),進而證出,結(jié)合偶函數(shù)得出函數(shù)周期,求出最后求解即可.【詳解】令,得,再令,得,所以,因為,所以,令,得,所以,即,若,則代入中,,由,所以,即,且,令,得,由,,所以,所以為偶函數(shù),所以,,令,得,所以,即,因為,所以,所以為周期函數(shù),周期為4,所以,,所以故答案為:.【點睛】關(guān)鍵點點睛:該題剛開始的關(guān)鍵是通過賦值法求得的值,這也是抽象函數(shù)求函數(shù)值的常用方法,另一個關(guān)鍵點是從所求出發(fā):求多個函數(shù)值和,聯(lián)想到這種類型的求和大概兩種:一種轉(zhuǎn)化成某個數(shù)列求和,另一種利用周期性求和,所以接下來的關(guān)鍵就是借助奇偶性求函數(shù)的周期.3.(2024·廣東深圳·模擬預(yù)測)(多選)已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為R,若是奇函數(shù),,且對任意,,則(
)A. B.C.是周期為3的函數(shù) D.【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和導(dǎo)函數(shù)的運算法則,結(jié)合賦值法可得相關(guān)結(jié)論.【詳解】對于A:令,得,因為,所以,A正確;對于B:令,得①,所以,因為是奇函數(shù),,所以,即是偶函數(shù),所以②,由①②,得,即,所以,所以,是周期為3的函數(shù),所以,所以B錯誤,C正確;對于D:因為,在①中令得,,所以,,所以D正確.故選:ACD.考點八、函數(shù)對稱性的綜合應(yīng)用1.(2022·全國·高考真題)已知函數(shù)的定義域均為R,且.若的圖像關(guān)于直線對稱,,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到,從而得到,,然后根據(jù)條件得到的值,再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因為的圖像關(guān)于直線對稱,所以,因為,所以,即,因為,所以,代入得,即,所以,.因為,所以,即,所以.因為,所以,又因為,聯(lián)立得,,所以的圖像關(guān)于點中心對稱,因為函數(shù)的定義域為R,所以因為,所以.所以.故選:D【點睛】含有對稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽,考生需要根據(jù)已知條件進行恰當?shù)霓D(zhuǎn)化,然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.2.(2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測)已知函數(shù)在存在最大值與最小值分別為和,則函數(shù),函數(shù)圖像的對稱中心是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】通過分析函數(shù),得出最大值與最小值的和,得出函數(shù)的表達式,利用對勾函數(shù)的對稱點即可得出函數(shù)的對稱點.【詳解】由題意,在中,,∴,∵最大值與最小值分別為和,∴在對勾函數(shù)中,對稱軸為,對稱點為,在中,,∴即,對稱軸為,函數(shù)為對勾函數(shù)向下平移1個單位得到,∴函數(shù)對稱點為,故選:C.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查.函數(shù)的性質(zhì),構(gòu)造函數(shù),對稱中心,函數(shù)的最值(和),考查學(xué)生的分析和處理問題的能力,計算能力,具有一定的綜合性.1.(2024·寧夏銀川·三模)已知函數(shù),則下列說法不正確的是(
)A.函數(shù)單調(diào)遞增 B.函數(shù)值域為C.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱 D.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱【答案】C【分析】分離常數(shù),再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法,即可判斷A;根據(jù)函數(shù)形式的變形,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域,求解函數(shù)的值域,即可判斷B;根據(jù)對稱性的定義,與的關(guān)系,即可判斷CD.【詳解】,函數(shù),,則,又內(nèi)層函數(shù)在上單調(diào)遞增,外層函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則可知,函數(shù)單調(diào)遞增,故A正確;因為,所以,則,所以函數(shù)的值域為,故B正確;,,所以函數(shù)關(guān)于點對稱,故C錯誤,D正確.故選:C.2.(2024·陜西西安·模擬預(yù)測)已知的定義域為,函數(shù)滿足,圖象的交點分別是,,則可能值為(
)A.2 B.14 C.18 D.25【答案】C【分析】可以分別說明的對稱中心為,從而兩個函數(shù)的圖象交點關(guān)于對稱,即應(yīng)為6的倍數(shù),由此即可逐一判斷.【詳解】因為函數(shù)滿足,所以的對稱中心為,注意到,所以的對稱中心也是,故兩個函數(shù)的圖象交點關(guān)于對稱,故應(yīng)為6的倍數(shù),對比選項可知C選項符合題意.故選:C.考點九、周期性對稱性的綜合應(yīng)用2.(2022·全國·高考真題)(多選)已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為,記,若,均為偶函數(shù),則(
)A. B. C. D.【答案】BC【分析】方法一:轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性,結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可得解.【詳解】[方法一]:對稱性和周期性的關(guān)系研究對于,因為為偶函數(shù),所以即①,所以,所以關(guān)于對稱,則,故C正確;對于,因為為偶函數(shù),,,所以關(guān)于對稱,由①求導(dǎo),和,得,所以,所以關(guān)于對稱,因為其定義域為R,所以,結(jié)合關(guān)于對稱,從而周期,所以,,故B正確,D錯誤;若函數(shù)滿足題設(shè)條件,則函數(shù)(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件,所以無法確定的函數(shù)值,故A錯誤.故選:BC.[方法二]:【最優(yōu)解】特殊值,構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2,關(guān)于對稱,故可設(shè),則,顯然A,D錯誤,選BC.故選:BC.[方法三]:因為,均為偶函數(shù),所以即,,所以,,則,故C正確;函數(shù),的圖象分別關(guān)于直線對稱,又,且函數(shù)可導(dǎo),所以,所以,所以,所以,,故B正確,D錯誤;若函數(shù)滿足題設(shè)條件,則函數(shù)(C為常數(shù))也滿足題設(shè)條件,所以無法確定的函數(shù)值,故A錯誤.故選:BC.【點評】方法一:根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì),即可判斷各選項的真假,轉(zhuǎn)化難度較高,是該題的通性通法;方法二:根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù),再驗證選項,簡單明了,是該題的最優(yōu)解.3.(2024·河南·一模)(多選)已知定義在上的函數(shù),,其導(dǎo)函數(shù)分別為,,,,且,則(
)A.的圖象關(guān)于點中心對稱 B.C. D.【答案】BCD【分析】先根據(jù)條件分析出的周期性和對稱性,再得到的周期性,根據(jù)函數(shù)性質(zhì)即可得結(jié)果.【詳解】由題意可得,兩式相減可得①,所以的圖象關(guān)于點成中心對稱,故A錯誤;由②,②式兩邊對求導(dǎo)可得,可知是偶函數(shù),以替換①中的可得,可得,所以是周期為4的周期函數(shù),故B正確;因為,可知也是周期為4的周期函數(shù),即,兩邊求導(dǎo)可得,所以,故C正確;因為,令,則,即,又因為是偶函數(shù),所以,又因為是周期為4的周期函數(shù),則,由可得,所以,D正確.故選:BCD.【點睛】關(guān)鍵點睛:解決這類題的關(guān)鍵是熟練掌握對稱與周期的關(guān)系,若關(guān)于兩點(縱坐標相同)或者兩條直線(平行于軸)對稱,則周期為這兩點或者這兩條直線的距離的兩倍,若關(guān)于一點和一直線(平行于軸)對稱,則周期為這點和這條直線的距離的四倍.1.(2024·陜西榆林·一模)定義在R上的函數(shù),滿足,,,,則下列說法中錯誤的是(
)A.是函數(shù)圖象的一條對稱軸B.2是的一個周期C.函數(shù)圖象的一個對稱中心為D.若且,,則n的最小值為2【答案】D【分析】由已知可推得關(guān)于直線對稱,.又有.進而得出,即有,即可得出B項;根據(jù)的周期可得出的周期為4,結(jié)合的對稱性,即可得出A項;由的對稱中心,即可得出關(guān)于點對稱,結(jié)合的性質(zhì),即可得出C項;根據(jù)的周期性以及對稱性可得,,然后分討論求解,即可判斷D項.【詳解】由可得,所以關(guān)于直線對稱,所以關(guān)于直線對稱,即關(guān)于直線對稱,所以關(guān)于直線對稱,所以關(guān)于直線對稱,所以有,所以有,所以.又由可得,,所以關(guān)于點對稱,所以.對于B項,因為,,所以,,所以,所以,的周期為,故B項正確;對于A項,由已知周期為2,所以的周期為4.因為關(guān)于直線對稱,所以是函數(shù)圖象的一條對稱軸,故A項正確;對于C項,關(guān)于點對稱,所以關(guān)于點對稱,所以關(guān)于點對稱,所以.又關(guān)于直線對稱,所以,所以,所以有,所以函數(shù)圖象的一個對稱中心為,故C項正確;對于D項,由C知,關(guān)于點對稱,關(guān)于點對稱,所以,,,所以.又的周期為4,所以對,.因為,則當時,有.因為,所以,不滿足題意;當時,,不滿足題意;當時,,滿足題意.故n的最小值為3,D錯誤.故選:D【點睛】關(guān)鍵點睛:根據(jù)已知關(guān)系式可得出的對稱軸,進而根據(jù)的關(guān)系,即可推得的對稱軸,結(jié)合的對稱中心,即可得出的周期.2.(2024·河南新鄉(xiāng)·三模)(多選)已知定義在上的函數(shù)滿足,且,若,則(
)A. B.的圖象關(guān)于直線對稱C.是周期函數(shù) D.【答案】BCD【分析】根據(jù)給定的等式,結(jié)合賦值法推導(dǎo)出函數(shù)及對稱軸,再逐項分析計算得解.【詳解】由,得,則,即,因此是周期為4的周期函數(shù),C正確;令,得,則,因此,A錯誤;由,得,則,因此的圖象關(guān)于直線對稱,B正確;由,得的圖象關(guān)于直線對稱,因此直線及均為圖象的對稱軸,從而,令,得,即,則,故,D正確.故答案為:BCD【點睛】結(jié)論點睛:函數(shù)的定義域為D,,①存在常數(shù)a,b使得,則函數(shù)圖象關(guān)于點對稱.②存在常數(shù)a使得,則函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.3.(2024·河北邢臺·二模)(多選)已知函數(shù),的定義域均為,且,,若,且,則下列結(jié)論正確的是(
)A.是奇函數(shù) B.是的對稱中心C.2是的周期 D.【答案】BD【分析】利用已知恒等式證明,從而得到B正確;再推知及,從而計算出D的結(jié)果;利用反證法即可說明A和C錯誤.【詳解】對于A,由已知有,所以是偶函數(shù).假設(shè)是奇函數(shù),那么必有,故,矛盾.所以不是奇函數(shù),A錯誤;對于B,由已知有,故.所以,故是的對稱中心,B正確;對于C,由已知有.所以.假設(shè)2是的周期,那么,從而.但,故,矛盾.所以不以2為周期,C錯誤;對于D,由于,,故.所以,即.再由可得,即.這就得到,故D正確.故選:BD.考點十、周期性奇偶性的綜合應(yīng)用1.(2024·重慶·模擬預(yù)測)已知是定義在上的函數(shù),若函數(shù)為偶函數(shù),函數(shù)為奇函數(shù),則(
)A.0 B.1 C.2 D.-1【答案】A【分析】根據(jù)條件得到函數(shù)是周期為的函數(shù),再根據(jù)條件得出,即可求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)為偶函數(shù),所以,函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,又函數(shù)為奇函數(shù),所以,所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱,所以,所以,即,所以,則函數(shù)的一個周期為4,令,則,所以,令,,又,所以,,所以.故選:A2.(2024·四川南充·三模)已知函數(shù)的定義域均為R,函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,,則(
)A. B. C.3 D.4【答案】B【分析】利用題設(shè)得到①和②,又由,結(jié)合①式,推得的周期為12,利用求得和,最后利用的周期性即可求得.【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,,即,即①,由函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,可得②,由可得,又得,兩式相加,,將①式代入,得,則得,將②式代入得,,則,于是,即的周期為12.又,由①可得,得,又由可得,即得.因,可得,,于是,故選:B.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題主要考查抽象函數(shù)的對稱性應(yīng)用,屬于難題.解題關(guān)鍵在于根據(jù)中心對稱和軸對稱得出函數(shù)關(guān)系式:①和②,再由利用消元思想,轉(zhuǎn)化為關(guān)于的關(guān)系式是最關(guān)鍵之處,其次是利用的關(guān)系式求得的周期是第二關(guān)鍵,之后賦值求得即可得解.1.(2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測)已知是定義在R上的函數(shù),且為偶函數(shù),為奇函數(shù),當時,,則(
)A. B. C. D.1【答案】C【分析】先根據(jù)為偶函數(shù),為奇函數(shù),求出函數(shù)的周期,再根據(jù)函數(shù)的周期求解即可.【詳解】因為為偶函數(shù),所以,即,所以,因為為奇函數(shù),所以,所以,即,所以,所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),所以,又,所以,即.故選:C.【點睛】方法點睛:函數(shù)的三個性質(zhì):單調(diào)性、奇偶性和周期性,在高考中一般不會單獨命題,而是常將它們綜合在一起考查,其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合,并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值,多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn),且主要有以下幾種命題角度;(1)函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合,注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義,以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性.(2)周期性與奇偶性相結(jié)合,此類問題多考查求值問題,常利用奇偶性及周期性進行交換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解;(3)周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合,解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間,然后利用奇偶性和單調(diào)性求解.2.(2024·江蘇南通·三模)已知函數(shù)的定義域為,且為偶函數(shù),為奇函數(shù).若,則(
)A.23 B.24 C.25 D.26【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性推出函數(shù)關(guān)于直線對稱和關(guān)于點對稱,則得到其周期,再計算其一個周期內(nèi)的和,最后代入計算即可.【詳解】為偶函數(shù),則則關(guān)于對稱,為奇函數(shù),則,即,則關(guān)于點對稱,則由其關(guān)于對稱有,則,則,作差有,為周期函數(shù),且周期為4,因為,,則,因為,,則,,則,,,故選:C.3.(2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的定義域為,且為奇函數(shù),為偶函數(shù),,則.【答案】4048【分析】根據(jù)題中為奇函數(shù),為偶函數(shù),從而可得出為周期為4的函數(shù),從而可求解.【詳解】由題意得為奇函數(shù),所以,即,所以函數(shù)關(guān)于點中心對稱,由為偶函數(shù),所以可得為偶函數(shù),則,所以函數(shù)關(guān)于直線對稱,所以,從而得,所以函數(shù)為周期為4的函數(shù),因為,所以,則,因為關(guān)于直線對稱,所以,又因為關(guān)于點對稱,所以,又因為,又因為,所以,所以.故答案為:4048.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的周期,再求出一個周期內(nèi)的值,最后求和即可.考點十一、奇偶性對稱性的綜合應(yīng)用1.(2024·福建泉州·模擬預(yù)測)已知為奇函數(shù),則(
)A.6 B.5 C. D.【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)對函數(shù)依次賦值即可求解.【詳解】由題為奇函數(shù),則,所以,所以關(guān)于對稱,所以,故選:D.2.(2024·黑龍江·三模)已知函數(shù)在上的最大值和最小值分別為,,則(
)A. B.0 C.2 D.4【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù),證明為奇函數(shù),從而得到,即可求出的值.【詳解】令,定義域為,因為在上的最大值和最小值分別為,,所以在上的最大值和最小值分別為,,因為,所以為奇函數(shù),的圖象關(guān)于原點對稱,所以的最大值和最小值互為相反數(shù),即,所以,故選:A.1.(2024·河北·二模)已知函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)的圖象(
)A.關(guān)于點對稱 B.關(guān)于點對稱C.關(guān)于點對稱 D.關(guān)于點對稱【答案】C【分析】由函數(shù)的平移變化即可求得出答案.【詳解】函數(shù)為奇函數(shù),圖象關(guān)于對稱,將函數(shù)向左平移一個單位可得函數(shù),則函數(shù)關(guān)于對稱,所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱.故選:C.2.(2024·江西南昌·三模)(多選)已知函數(shù),若的圖象關(guān)于直線對稱,則下列說法正確的是(
)A.的圖象也關(guān)于直線對稱 B.的圖象關(guān)于中心對稱C. D.【答案】BCD【分析】根據(jù)題意,由函數(shù)圖象的對稱性可得,,由此分析可得由此分析選項,即可得答案.【詳解】設(shè)關(guān)于直線對稱,所以,,所以或,當時,,的圖象關(guān)于直線對稱,此時,,∴,當時,,∴,∴,又∵是一個定值,而隨的不同而不同,∴此等式不成立,即不成立,∴,即,所以的圖象關(guān)于中心對稱,B正確;∴,,即,C正確.與關(guān)于對稱,∴,即,即,∴,D正確,又,則,即,,而,若A選項成立,則時,,所以但此時,,所以由可得,但這與已知矛盾,所以的圖象不可能關(guān)于直線對稱,A錯誤.故選:BCD.考點十二、函數(shù)性質(zhì)的全部綜合應(yīng)用1.(2024·山東·模擬預(yù)測)(多選)已知定義域為R的函數(shù)滿足,,且為奇函數(shù),則(
)A. B.函數(shù)的一個周期為4C. D.【答案】BC【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)得到,利用賦值法判斷A,令,結(jié)合,即可得到為偶函數(shù),推出的周期,即可判斷B、C,再由利用并項求和判斷D.【詳解】因為為定義域為R上奇函數(shù),所以,即,在,令,可得,故A錯誤;令,因為,所以,即,所以為偶函數(shù),又為奇函數(shù),所以,即,所以,所以,即,所以,則,所以,所以是以為周期的周期函數(shù),所以,則,故B、C正確;由與得,所以,所以,,,,,,,,,,所以,故D錯誤.故選:BC【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題解答的關(guān)鍵是令,利用賦值法及所給條件一一計算.2.(2024·江西·模擬預(yù)測)(多選)已知定義在上的函數(shù)滿足,的導(dǎo)函數(shù)為,則(
)A. B.是單調(diào)函數(shù)C. D.為偶函數(shù)【答案】ACD【分析】對于A:利用賦值法分析可得,;對于B:根據(jù)結(jié)合單調(diào)性的定義分析判斷;對于C:分析可得,即可得結(jié)果;對于D:對求導(dǎo),結(jié)合偶函數(shù)的定義分析判斷.【詳解】因為,且的定義域為,對于選項A:令,則,可得;令,則,可得,故A正確;對于選項B:由選項A可知,所以不是單調(diào)函數(shù),故B錯誤;對于選項C:令,可得,即,所以,故C正確;對于選項D:由選項C可知,對兩邊求導(dǎo)得,即,所以為偶函數(shù),故D正確.故選:ACD.【點睛】方法點睛:函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性,在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系,推證函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題.3.(2024·廣東廣州·模擬預(yù)測)(多選)已知函數(shù),及導(dǎo)函數(shù),的定義域均為.若是奇函數(shù),且,,則(
)A. B.是偶函數(shù)C. D.【答案】CD【分析】由可知,.結(jié)合,可得,且是奇函數(shù)就可以判斷A項.根據(jù),可知是周期為4的函數(shù),以及和圖象得對稱點,可以判斷B選項不正確.利用賦值法,找到規(guī)律,即可判斷C項正確.根據(jù),及周期性可以知道,,即可判斷D項正確.【詳解】因為,所以(,).又因為,所以,.則,所以.于是可得,令,則,所以.所以,所以,又因為,所以,即①因為是奇函數(shù),所以②,,,所以A錯誤.由①②得,所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).因為,因此函數(shù)也是周期為4的函數(shù).又的圖像關(guān)于點對稱,所以的圖像關(guān)于點對稱,所以B選項不正確.因為,令,得,即,所以;令,得,所以,所以,所以,所以C選項正確.因為,所以,,,,則有,可得,所以D選項正確.故選:CD.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題關(guān)鍵在于通過導(dǎo)數(shù)的關(guān)系和奇函數(shù)的性質(zhì)推導(dǎo)函數(shù)間的關(guān)系.采用賦值法,找到周期函數(shù)的周期,再借助圖象關(guān)于某點對稱推出另一個函數(shù)的對此點再根據(jù)平移變換進行解答.1.(2024·黑龍江·模擬預(yù)測)(多選)已知函數(shù)的定義域為,若,有,,則(
)A. B.C.為偶函數(shù) D.4為函數(shù)的一個周期【答案】ACD【分析】根據(jù)已知條件進行賦值,以及利用變量替換推出函數(shù)性質(zhì),逐一判斷選項即可求解.【詳解】根據(jù)題意,,取,得,因為,所以,A正確;取,得,所以,B錯誤;取,得,即,所以為偶函數(shù),C正確;取,得,所以,即4為函數(shù)的一個周期,D正確.故選:ACD.【點睛】方法點睛:解答抽象函數(shù)問題,常用的方法是賦值法,求函數(shù)值時,通常令等式中的變量取等特殊值;判斷函數(shù)奇偶性時,通常通過賦值使等式中出現(xiàn);當然要結(jié)合所求靈活賦值,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)進行求解.2.(2024·河南鄭州·二模)(多選)已知函數(shù)的定義域為,且,為偶函數(shù),則(
)A. B.為偶函數(shù)C. D.【答案】ACD【分析】令,可判斷A;令,可判斷B;由函數(shù)圖象的變換可得的圖象關(guān)于對稱,結(jié)合奇偶性可得周期性,即可判斷C;根據(jù)周期性和賦值法求得,然后可判斷D.【詳解】令,得,即,A正確;令,得,又,所以對任意恒成立,因為,所以不恒為0,所以,即,B錯誤;將的圖象向左平移1個單位后,再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?,縱坐標不變,可得的圖象,因為的圖象關(guān)于對稱,所以的圖象關(guān)于對稱,所以,又為奇函數(shù),所以,所以,所以4為的周期.由可得,C正確;因為,,,所以,D正確.故選:ACD【點睛】難點點睛:本題難點在于合理賦值,利用對稱性求得周期,然后即可求解.3.(2024·山東臨沂·二模)(多選)已知定義在上的函數(shù)滿足,,且,則(
)A.的最小正周期為4 B.C.函數(shù)是奇函數(shù) D.【答案】AB【分析】據(jù)題意,通過賦值得到,,即可判斷A;令,可求出,由周期性可判斷B;令,得到,由周期性,可證明是奇函數(shù),假設(shè)函數(shù)是奇函數(shù),推出矛盾,判斷C;由周期性及對稱性可計算D.【詳解】對于A,因為,所以,,所以,故的最小正周期為4,A正確;對于B,因為,令,則,所以,由A可知,,故B正確;對于C,因為,①令,則,所以,所以,②由①②,所以,即,故為奇函數(shù),若函數(shù)是奇函數(shù),則,所以,即,所以,所以的最小正周期為2,與選項A矛盾,故C錯誤;對于D,因為為奇函數(shù),且,所以,又因為的最小正周期為4,所以,因為所以,,所以,,以此類推,所以,故D錯誤.故選:AB【點睛】方法點睛:本題以抽象函數(shù)為載體綜合考查函數(shù)的性質(zhì),關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷出的周期.以下是抽象函數(shù)周期性質(zhì)的一些總結(jié),可以適當總結(jié)記憶:設(shè)函數(shù),(1)若,則函數(shù)的周期為;(2)若,則函數(shù)的周期為;(3)若,則函數(shù)的周期為;(4)若,則函數(shù)的周期為;(5)若,則函數(shù)的周期為.一、單選題1.(2024·江蘇南通·模擬預(yù)測)若函數(shù)是偶函數(shù),則(
)A. B. C.1 D.2【答案】A【分析】由題意可得,化簡整理即可求得m的值.【詳解】函數(shù)的定義域為,由是偶函數(shù),得,即,整理得,所以.故選:A2.(2024·陜西·模擬預(yù)測)已知函數(shù),若,則的值為(
)A. B. C.2 D.4【答案】B【分析】由已知可得,進而求得,計算即可.【詳解】由條件得,故,所以,解得.故選:B.3.(2024·湖南長沙·二模)已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù),對任意都有,當時,則等于(
)A.2 B. C.0 D.【答案】A【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和對稱性推得函數(shù)的周期為4,利用周期性和奇函數(shù)特征即可求得的值.【詳解】定義在上的函數(shù)是奇函數(shù),且對任意都有,故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱,∴,故,∴,∴是周期為4的周期函數(shù).則.故選:A.4.(2024·河北滄州·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的定義域為R,,,均滿足.若,則(
)A.0 B. C. D.【答案】D【分析】先賦值求出,接著賦值,求出,再賦值求出,最后賦值,即可求解.【詳解】令,得,所以;令,,得,又,所以;令,得;令,,得.故選:D.5.(2024·四川·三模)定義在R上的函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱,且函數(shù)為奇函數(shù),則函數(shù)圖象的對稱中心是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】先根據(jù)條件得到的對稱中心,再根據(jù)對稱得到的對稱中心.【詳解】因為為奇函數(shù),所以,即,故的對稱中心為,即,由于函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱,且關(guān)于的對稱點為,故的對稱中心為.故選:D6.(2024·山西·三模)設(shè)函數(shù),則不等式的解集為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,再根據(jù)奇偶性與單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域為,且,所以為偶函數(shù),當時,因為與在上單調(diào)遞增,所以在上單調(diào)遞增,則在上單調(diào)遞減,不等式,即,等價于,解得或,所以不等式的解集為.故選:C7.(2024·四川成都·模擬預(yù)測)已知定義在上的奇函數(shù)滿足,且當時,,則()A.1 B. C. D.【答案】B【分析】首先得到的周期性,再結(jié)合奇偶性與所給函數(shù)解析式計算可得.【詳解】根據(jù)題意,函數(shù)滿足,則,即是周期為的周期函數(shù),所以,,又由函數(shù)為定義在上的奇函數(shù),則,,當時,,則,則,所以;故選:B.8.(2024·陜西銅川·三模)若函數(shù)在上單調(diào)遞減,則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞減,解得.故選:C.二、多選題9.(2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測)定義在上的函數(shù)滿足,則(
)A. B.C.為奇函數(shù) D.單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】A和B項,令后進行分類討論即可得出結(jié)論;C項,令即可得出的表達式,進而得出奇偶性;D項,由C項得出表達式,即可得出單調(diào)性.【詳解】由題意,在中,A和B項,當時,,解得:或,當時,則,由于具有任意性,故不成立,∴,A錯誤,B正確;C項,當時,,∵,∴為奇函數(shù),且,C正確;D項,由C項可知,故為增函數(shù),D正確.故選:BCD.10.(2024·廣西來賓·模擬預(yù)測)已知定義在R上的函數(shù)滿足,且,則(
)A. B.為奇函數(shù)C.不存在零點 D.【答案】ACD【分析】根據(jù)題意,結(jié)合抽象函數(shù)的賦值法,列出方程,逐項判定,即可求解.【詳解】對于A中,由,令,可得,因為,所以,所以A正確;對于B中,函數(shù)的定義域為全體實數(shù),由,顯然不符合,所以函數(shù)不是奇函數(shù),所以B不正確;對于C中,由,令,可得,即,解得或,所以函數(shù)沒有零點,所以C正確;對于D中,由,令,可得,所以,即,所以D正確.故選:ACD.一、單選題1.(2024·江西·二模)已知定義在上的函數(shù)滿足,當時,.若,則實數(shù)的取值范圍是(
)A., B.,C., D.,【答案】D【分析】依題意可得的奇偶性、對稱性與周期性,即可得到的圖象,即可得到,,解得即可.【詳解】因為,所以為奇函數(shù);又因為,所以關(guān)于直線對稱;由知的一個周期為.因為當時,,所以在上單調(diào)遞增,函數(shù)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象可知,若,則,,解得,,所以實數(shù)的取值范圍是,.故選:D.2.(2024·陜西安康·模擬預(yù)測)已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)題意,結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法,結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),列出關(guān)于的不等式,即可求解.【詳解】根據(jù)題意,當時,,可得在上遞增,要使得函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù),則滿足,且,解可得,所以實數(shù)的取值范圍為.故選:B.二、多選題3.(2024·河北·模擬預(yù)測)已知定義在上的連續(xù)函數(shù)滿足,,,當時,恒成立,則下列說法正確的是(
)A. B.是偶函數(shù)C. D.的圖象關(guān)于對稱【答案】BCD【分析】根據(jù)所給關(guān)系式,利用賦值法一一計算可得.【詳解】因為,,令可得,解得或,又當時,恒成立,所以,故A錯誤;令,,則,即,所以為偶函數(shù),故B正確;令,,則,所以,令,,則,所以,故C正確;令可得,令,可得,又,所以,即,所以,所以的圖象關(guān)于對稱,故D正確.故選:BCD4.(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的定義域為R,對,且為的導(dǎo)函數(shù),則(
)A.為偶函數(shù) B.C. D.【答案】BCD【分析】對于A:令,可判斷A;對于B:令,進而計算可判斷B;對于C:為奇函數(shù),可得為偶函數(shù);進而可得關(guān)于對稱,可判斷C;對于D:令,可得,令,則,兩式相加可判斷D.【詳解】對于A:令,則,為奇函數(shù),故選項A不正確;對于B:令,則,令,則為奇函數(shù),,的周期為4,,故選項B正確;對于C:為奇函數(shù),為偶函數(shù);的周期為4,為偶函數(shù),,關(guān)于對稱,所以,令,可得,令,可得,所以,故,,故選項C正確;對于D:令,則,即①,令,則②,由①+②得,故選項D正確.故選:BCD.【點睛】關(guān)鍵點睛:本題綜合考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用,涉及到函數(shù)的奇偶性、周期性以及導(dǎo)數(shù)的知識,解答的關(guān)鍵是根據(jù)題意采用變量代換推出函數(shù)為周期為4的周期函數(shù),進而求得一個周期內(nèi)的函數(shù)值,即可求解.5.(2024·河南信陽·模擬預(yù)測)已知是定義在上的函數(shù),且滿足:①;②,則(
)A. B.為奇函數(shù)C.在上單調(diào)遞增 D.在處取得極小值【答案】AB【分析】對于A:令,即可得結(jié)果;對于B:令,可得,結(jié)合奇函數(shù)的定義分析判斷;對于CD:舉反例,即可判斷.【詳解】因為,A:令,可得,故A正確;B:令,可得,則,即,若,可得;若,則,滿足;綜上所述:,所以為奇函數(shù),故B正確;C、D:例如,顯然不恒為0,且,,即,所以符合題意,但在上單調(diào)遞減,無極值點,故C、D錯誤;故選:AB.6.(2024·湖北荊州·三模)已知函數(shù)的定義域為,且,,則(
)A. B.關(guān)于中心對稱C.是周期函數(shù) D.的解析式可能為【答案】ACD【分析】對于A:根據(jù)題意賦值即可;對于C:根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)以及周期性的定義分析判斷;對于B:舉反例說明即可;對于D:將代入題意關(guān)系式檢驗即可.【詳解】由,且函數(shù)的定義域為,對于選項A:令,,可得,且,可得,故A正確;對于選項C:令,則,則,即,可知為偶函數(shù),令,則,可知,,可得,則,所以,可知周期為6,故C正確;對于選項B:因為由于為偶函數(shù)且周期為6,則,不滿足,所以不關(guān)于中心對稱,故B錯誤;對于選項D:因為的定義域為,且,即符合題意,所以的解析式可能為,故D正確;故選:ACD.【點睛】方法點睛:函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性,在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系,推證函數(shù)的性質(zhì),根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題.7.(2024·山東泰安·模擬預(yù)測)已知函數(shù),的定義域為,為的導(dǎo)函數(shù),且,,若為偶函數(shù),則(
)A. B.C. D.【答案】BCD【分析】由為偶函數(shù),得,兩邊求導(dǎo)化簡后可得為奇函數(shù),然后逐個賦值分析判斷即可.【詳解】對于,∵為偶函數(shù),則兩邊求導(dǎo)得:,∴,為奇函數(shù),,令,則,,所以不正確對于,令,可得,則,
所以正確;
對于,,可得,,兩式相加的令,即可得,所以正確;對于,∵,則,又,可得,所以是以為周期的函數(shù),所以,所以正確.故選:【點睛】關(guān)鍵點點睛:此題考查函數(shù)的奇偶性和周期性的應(yīng)用,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷為奇函數(shù),考查計算能力,屬于較難題.8.(2024·廣東深圳·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的定義域為,且,,,則下列說法中正確的是()A.為偶函數(shù) B.C. D.【答案】BC【分析】根據(jù)所給條件,利用賦值法和遞推法進行推導(dǎo)判斷即可.【詳解】對于A,因為的定義域為,且,令,則,故,則,令,則,又令,結(jié)合得,所以不是偶函數(shù),故A錯誤.對于B,令,則.而,,所以,故B正確.對于C,由選項B可知,,令,則,所以.又因為為奇函數(shù),所以,所以,故C正確.對于D,由選項B以及,可得,所以,,令得,結(jié)合遞推可得,.因為,故,故D錯誤.故選:BC【點睛】抽象函數(shù)問題,常常要取恰當?shù)奶厥庵挡⒔Y(jié)合遞推關(guān)系得到進一步的結(jié)論.9.(2024·河南三門峽·模擬預(yù)測)已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù),且,若,則(
)A. B.C. D.【答案】AC【分析】利用抽象函數(shù)的關(guān)系式,采用賦值,賦變量的方法,結(jié)合函數(shù)的對稱性和周期性,即可判斷選項.【詳解】因為,所以的圖像關(guān)于直線對稱.令,得,故A項正確;因為.所以,即,所以,因為,所以,即,所以,則的一個周期為4.因為的圖像關(guān)于直線對稱,所以是的一個極值點,所以,所以,則.故B項錯誤;由,得,即.所以,故C項正確;設(shè)為常數(shù)),定義域為,則,又,所以,顯然也滿足題設(shè),即上?下平移均滿足題設(shè),顯然的值不確定,故D項錯誤.故選:AC【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題的關(guān)鍵是對抽象函數(shù)進行賦值,以及抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題,,即可正確得到.三、填空題10.(2024·山
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