第04講 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（含對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用）（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第04講對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)（含對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用）（8類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第6題,5分判斷對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)2024年新Ⅱ卷，第8題,5分由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式函數(shù)不等式恒成立問題2023年新I卷，第10題,5分對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式2021年新Ⅱ卷，第7題,5分比較對(duì)數(shù)式的大小無2020年新I卷，第12題,5分對(duì)數(shù)的運(yùn)算隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)2020年新Ⅱ卷，第7題,5分對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題?？純?nèi)容，設(shè)題多為函數(shù)性質(zhì)或函數(shù)模型，難度中等，分值為5-6分【備考策略】1.理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，熟練指對(duì)互化，能用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)2.了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，能畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)3.熟練掌握對(duì)數(shù)函數(shù)且與指數(shù)函數(shù)且的圖象關(guān)系【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容通常會(huì)考查指對(duì)冪的大小比較、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)的函數(shù)模型等，需要重點(diǎn)備考復(fù)習(xí)知識(shí)講解對(duì)數(shù)的運(yùn)算對(duì)數(shù)的定義如果，那么把叫做以為底，的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)對(duì)數(shù)的分類一般對(duì)數(shù)：底數(shù)為，，記為常用對(duì)數(shù)：底數(shù)為10，記為，即：自然對(duì)數(shù)：底數(shù)為e（e≈2.71828…），記為，即：對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則①兩個(gè)基本對(duì)數(shù)：①，②②對(duì)數(shù)恒等式：①，②。③換底公式：；推廣1：對(duì)數(shù)的倒數(shù)式推廣2：。④積的對(duì)數(shù)：；⑤商的對(duì)數(shù)：；⑥冪的對(duì)數(shù)：?，?，?，?對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義及一般形式形如：的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：當(dāng)時(shí)，即過定點(diǎn)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上為增函數(shù)（5）在上為減函數(shù)對(duì)數(shù)型糖水不等式(1)設(shè),且,則有(2)設(shè),則有(3)上式的倒數(shù)形式：設(shè),則有考點(diǎn)一、對(duì)數(shù)的運(yùn)算1．（2024·重慶·三模）已知，則．【答案】3【分析】由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系求出，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】由，得，所以.故答案為：32．（2024·青海·模擬預(yù)測(cè)）若，，則（

）A．1 B．－1 C．2 D．－2【答案】A【分析】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則、換底公式的應(yīng)用.【詳解】由，所以故選：A3．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，，滿足且，則（

）A． B．12 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指對(duì)數(shù)的互化可得，，代入，即可計(jì)算得到的值.【詳解】因?yàn)榍遥字?，所以，，所以，，所以，則.故選：D．1．（2024·河南鄭州·三模）已知，則的值為．【答案】/0.5【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，可得，即，所以，即，所?故答案為：.2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知且，則．【答案】64【分析】將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來表示即可求解.【詳解】由題，整理得，或，又，所以，故故答案為：64.3．（2024·遼寧丹東·一模）若，，，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)冪與對(duì)數(shù)的互化公式，結(jié)合對(duì)數(shù)的換底公式，即可求解.【詳解】由，，，可得，所以，則.故選：B.考點(diǎn)二、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域1．（2024·河南·三模）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】使函數(shù)有意義，即得關(guān)于的不等式組，解之即得函數(shù)定義域.【詳解】函數(shù)有意義，等價(jià)于，解得，，故函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.1．（2023·廣東珠海·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)真數(shù)大于0得到不等式，求出定義域.【詳解】令，解得，故的定義域?yàn)?故選：B2．（2024·青海海南·二模）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于0和分母不為0即可得到不等式組，解出即可.【詳解】∵函數(shù)，∴，解得．故選：D．考點(diǎn)三、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)①y＝logax；②y＝logbx；③y＝logcx；④y＝logdx的大致圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系正確的是（）A．a(chǎn)＋c＜b＋a B．a(chǎn)＋d＜b＋cC．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c【答案】A【詳解】解析：由已知可得b＞a＞1＞d＞c，則a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正確，D錯(cuò)誤；又a＋d與b＋c的大小不確定，故B，C錯(cuò)誤．故選A.2．（2024·廣東深圳·二模）已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（

）A．一、二象限 B．一、三象限 C．二、四象限 D．三、四象限【答案】D【分析】由函數(shù)過點(diǎn)，分類可解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過二、三、四象限；則當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象過一、三、四象限；所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過三、四象限.故選：D3．（2024·陜西渭南·二模）已知直線（，）過函數(shù)（，且）的定點(diǎn)T，則的最小值為.【答案】【分析】先根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)的特點(diǎn)求得定點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線方程得，運(yùn)用常值代換法即可求得結(jié)論.【詳解】令時(shí)，可得，可知函數(shù)，且的圖象恒過定點(diǎn)，因?yàn)槎c(diǎn)在直線上，可得，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝，y＝loga（x＋）（a＞0，且a≠1）的圖象可能是（）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】略2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)，且的圖象所過定點(diǎn)恰好在橢圓上，則的最小值為.【答案】16【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)求出定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)在橢圓上，將定點(diǎn)代入橢圓方程，得到與的等量關(guān)系，再利用基本不等式即可求解.【詳解】由題意得，函數(shù)，且的圖象所過定點(diǎn)為，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.故答案為：16.考點(diǎn)四、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性1．（遼寧·高考真題）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由解析式求出函數(shù)定義域，再由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，即可得出結(jié)果.【詳解】由題意，，解得：或，即函數(shù)的定義域?yàn)椋海驗(yàn)楹瘮?shù)由與復(fù)合而成，外函數(shù)顯然單調(diào)遞減，要求的單調(diào)減區(qū)間，只需單調(diào)遞增，又是開口向上，對(duì)稱軸為的二次函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查求對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法即可，涉及一元二次不等式解法，屬于基礎(chǔ)題型.2．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用換元法和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，換元后可知只要滿足即可，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在定義域內(nèi)遞增，所以，解得，故選：B3．（2024·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分界點(diǎn)的大小關(guān)系即可得到不等式組，解出即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，則需滿足，解得，即a的范圍是.故選：B.4．（2024·北京·高考真題）已知，是函數(shù)的圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合基本不等式分析判斷AB；舉例判斷CD即可.【詳解】由題意不妨設(shè)，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，即，對(duì)于選項(xiàng)AB：可得，即，根據(jù)函數(shù)是增函數(shù)，所以，故B正確，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：例如，則，可得，即，故D錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：例如，則，可得，即，故C錯(cuò)誤，故選：B.1．（23-24高三下·青海西寧·開學(xué)考試）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為．【答案】【分析】將可看作由復(fù)合而成，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，列出不等式，即可求得答案.【詳解】設(shè)，則可看作由復(fù)合而成，由于在上單調(diào)遞增，故要使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，需滿足在區(qū)間上恒成立，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，故，解得，故a的取值范圍為，故答案為：2．（2022高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．【答案】【分析】求出函數(shù)的定義域，確定由復(fù)合而成，判斷這兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求得答案.【詳解】由題意知函數(shù)，令，則，則即由復(fù)合而成，由于在上單調(diào)遞減，故要求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，即求的單調(diào)遞增區(qū)間，而的對(duì)稱軸為，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，故答案為：3．（23-24高三上·甘肅白銀·階段練習(xí)）已知是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)、一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式組，可得答案.【詳解】由題意可得，解得.故答案為：.考點(diǎn)五、對(duì)數(shù)函數(shù)的值域與最值1．（山東·高考真題）函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求得，再由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】，，，∴函數(shù)的值域?yàn)?故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2．（22-23高三上·河北·階段練習(xí)）已知函數(shù)的值域?yàn)椋敲吹娜≈捣秶?【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)化為定義域的問題，對(duì)參數(shù)是否為0進(jìn)行分類討論，即可求出的取值范圍【詳解】解：由題意在中，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，∴解得：當(dāng)時(shí)，則解得綜上，故答案為：.3．（23-24高一下·上海閔行·階段練習(xí)）函數(shù)的最大值為.【答案】【分析】判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求得答案.【詳解】由題意，知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)該函數(shù)取到最大值，故答案為：1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥坷煤瘮?shù)的單調(diào)性可求函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)為增函數(shù)，故其值域?yàn)?故答案為：2．（2023高一·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù)的值域是．【答案】【分析】利用換元法，令，則，然后先求出內(nèi)層函數(shù)的值域，再求外層函數(shù)的值域即可【詳解】令，則，因?yàn)?，所以的值域?yàn)椋驗(yàn)樵谑菧p函數(shù)，所以，所以的值域?yàn)?，故答案為?．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊痉治觥壳蟪龊瘮?shù)的定義域，進(jìn)而求出的范圍，利用換元法結(jié)合二次函數(shù)求函數(shù)的值域.【詳解】因?yàn)橐阎瘮?shù)的定義域?yàn)榍?，定義域需滿足，可得，令，則，則，又因?yàn)榈膱D象開口向上，對(duì)稱軸為，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；可知函數(shù)的值域?yàn)?故答案為：.考點(diǎn)六、對(duì)數(shù)函數(shù)中奇偶性的應(yīng)用1．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù)是奇函數(shù)，則.【答案】1【分析】先求出函數(shù)的定義域，然后由奇函數(shù)的性質(zhì)得可求出.【詳解】由，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，解得，故答案為：12．（23-24高一上·安徽阜陽(yáng)·期末）若函數(shù)（m，n為常數(shù)）在上有最大值7，則函數(shù)在上（

）A．有最小值 B．有最大值5 C．有最大值6 D．有最小值【答案】A【分析】先分析函數(shù)的奇偶性，然后結(jié)合奇偶性和已知條件判斷出在上的最小值，由此可知結(jié)果.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以恒成立，所以的定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，所以是奇函數(shù)，因?yàn)樵谏嫌凶畲笾担栽谏嫌凶畲笾禐?，所以在上有最小值，所以在上有最小值．故選：A．3．（2024·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則（

）A．-3 B．-2 C． D．【答案】C【分析】方法一：由題意，推出是奇函數(shù)，根據(jù)定義域的對(duì)稱性依次求得的值，即可求得；方法二：直接利用，將其化成，再由等式恒成立得到，繼而求得.【詳解】方法一：依題意將函數(shù)的圖象向左移1個(gè)單位長(zhǎng)度關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，即是奇函數(shù)，因奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而時(shí)函數(shù)無意義，故時(shí)也無意義，即，解得此時(shí)為奇函數(shù)，則解得故.故選：C．方法二：依題意恒成立，代入得化簡(jiǎn)得，,整理得：，即(*)，依題意，此式在函數(shù)的定義域內(nèi)恒成立，故須使，則得，回代(*)可得，，即，故.故選：C.1．（22-23高二下·江西上饒·階段練習(xí)）已知函數(shù)，的最大值為，最小值為，則.【答案】【分析】構(gòu)造，定義判斷奇偶性，利用對(duì)稱性有，即可求結(jié)果.【詳解】令，且，，所以為奇函數(shù)，且在上連續(xù)，根據(jù)奇函數(shù)的對(duì)稱性：在上的最大、最小值關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則，故.故答案為：2．（2024·寧夏銀川·二模）若是奇函數(shù)，則．【答案】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得到，即可求出的值，求出函數(shù)的定義域，再由奇函數(shù)的性質(zhì)，求出的值，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由,可得，所以且，所以，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，則，即，解得，此時(shí)，符合題意，所以.故答案為：.考點(diǎn)七、對(duì)數(shù)函數(shù)值的大小比較（含構(gòu)造函數(shù)比較大小）1．（2024·天津·高考真題）若，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分析判斷即可.【詳解】因?yàn)樵谏线f增，且，所以，所以，即，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，即，所以，故選：B2．（2022·天津·高考真題）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋?故答案為：C.3．（2022·全國(guó)·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造函數(shù)，導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，由此確定的大小.【詳解】方法一：構(gòu)造法設(shè)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，設(shè)，則,令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，所以故選：C.方法二：比較法解：，，，①，令則，故在上單調(diào)遞減，可得，即，所以；②，令則，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以在上單調(diào)遞增，可得，即，所以故4．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性不難對(duì)a,b的大小作出判定，對(duì)于a與c，b與c的大小關(guān)系，將0.01換成x,分別構(gòu)造函數(shù),，利用導(dǎo)數(shù)分析其在0的右側(cè)包括0.01的較小范圍內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合f(0)=0,g(0)=0即可得出a與c，b與c的大小關(guān)系.【詳解】[方法一]：，所以；下面比較與的大小關(guān)系.記，則，，由于所以當(dāng)0<x<2時(shí)，，即，，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，即；令，則，，由于，在x>0時(shí)，，所以，即函數(shù)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，所以，即，即b<c；綜上，，故選：B.[方法二]：令，即函數(shù)在（1，+∞)上單調(diào)遞減令，即函數(shù)在（1，3)上單調(diào)遞增綜上，，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查比較大小問題，難度較大，關(guān)鍵難點(diǎn)是將各個(gè)值中的共同的量用變量替換，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而比較大小，這樣的問題，憑借近似估計(jì)計(jì)算往往是無法解決的.1．（2021·天津·高考真題）設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出的范圍即可求解.【詳解】，，，，，，.故選：D.2．（2021·全國(guó)·高考真題）已知，，，則下列判斷正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可比較、與的大小關(guān)系，由此可得出結(jié)論.【詳解】，即.故選：C.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用指對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得到，，，從而利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析判斷得，，從而得解.【詳解】，，，因?yàn)椋瑒t，所以，即；而，，所以，所以，即；綜上：.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用與比較大小，利用與比較大小，從而得解.4．（23-24高三上·河北保定·階段練習(xí)）設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)、指數(shù)、冪的大小比較，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)判斷出的大小關(guān)系.【詳解】，所以；因?yàn)椋?，即，所以；設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，同理，即，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，所以，從而，綜上．．故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：要比較指數(shù)、冪、對(duì)數(shù)的大小，可以考慮利用“分段法”來進(jìn)行求解，即要比較的大小關(guān)系，可以根據(jù)的結(jié)構(gòu)，找到兩個(gè)數(shù)，使得（不妨設(shè)），從而判斷出的大小關(guān)系.5．（2024·山西·二模）設(shè)，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意可得、，構(gòu)造函數(shù)、，利用導(dǎo)數(shù)討論兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性可得、，即可求解.【詳解】，，設(shè)函數(shù)，則，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，且，即，所以在上單調(diào)遞減，則，即，所以.設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，且，即，得，所以，即，解得.綜上，.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：此類比較大小類題目，要能將所給數(shù)進(jìn)行形式上的變化，進(jìn)而由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而比較大小.考點(diǎn)八、對(duì)數(shù)型糖水不等式的應(yīng)用1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知，則（

）A． B． C． D．【法一】對(duì)數(shù)型糖水不等式因?yàn)?所以.在上述推論中取,可得,且.所以,即,選A.【法二】普通型糖水不等式由已知條件,可得.同公式(2)的證明過程,可以得到,即.所以,即.,即,所以,即.綜上,,選A.1.比較大小:與？【答案】【法一】。【法二】。【法三】對(duì)數(shù)型糖水不等式直接可得2．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到最大，再利用作差法，結(jié)合基本不等式得到，從而得解.【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，，，所以，，；當(dāng)時(shí)，，所以，取，則，所以，即，綜上，.故選：C.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)數(shù)比大小常用結(jié)論：.一、單選題1．（2024·河北衡水·三模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求得，可求.【詳解】，又，故，故選：B．2．（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，利用指對(duì)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性得到，則比較出大小.【詳解】因?yàn)?，且，則，，所以，故選：A.3．（2024·天津?yàn)I海新·三模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】判斷a，b，c與0和1的大小關(guān)系即可得到答案．【詳解】，，，則,故.故選：C.4．（2024·江蘇宿遷·三模）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先計(jì)算出，根據(jù)為上的奇函數(shù)，得到.【詳解】，因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以.故選：A5．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測(cè)）直線與函數(shù)分別交于兩點(diǎn)，且，則函數(shù)的解析式為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及得，代入化解即可.【詳解】由題意可知，定義域?yàn)椋瘮?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以，解得，所以.故選：B.6．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】函數(shù)與都是偶函數(shù)，其中，，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與的圖象，如下圖，由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.故選：D7．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】首先得到的周期性，再結(jié)合奇偶性與所給函數(shù)解析式計(jì)算可得.【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則，即是周期為的周期函數(shù)，所以，，又由函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，則，，當(dāng)時(shí)，，則，則，所以，故選：B．二、填空題8．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)為偶函數(shù)，則.【答案】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義得，代入化簡(jiǎn)即得值.【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即，即，即，所以，故答案為：9．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，則，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得在上為減函數(shù)，且恒成立，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，設(shè)，則，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得在上為減函數(shù)且恒成立，即，解得，即a的取值范圍為．故答案為：．10．（2024·四川成都·三模）函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且，若，則.【答案】【分析】由對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)以及奇函數(shù)的性質(zhì)運(yùn)算即可得解.【詳解】由題意，所以，所以的定義域?yàn)?，且，且，所以，因?yàn)?，所?故答案為：.一、單選題1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性分析得在上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性即可得到答案.【詳解】設(shè)，易知函數(shù)是增函數(shù)，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞減.因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，即.故選：D.2．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)是奇函數(shù)求出的值，再求出的定義域即可求出的取值范圍.【詳解】，，即，即，，，是定義在區(qū)間上的奇函數(shù)，，即，，解得（舍）或，的定義域?yàn)椋?故選：D.3．（2024·河北·三模）已知，，，，則下列大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】等價(jià)變形已知條件，，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?，，所以即，，顯然在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，又，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，所以,故選：B.4．（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式，再求解即可.【詳解】，所以，即為偶函數(shù)，對(duì)函數(shù)，，則，因?yàn)?，所以，，所以，故在上恒成?所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.所以，所以，解得或．故選：B5．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用切線放縮公式：比較，再由三角函數(shù)單調(diào)性，比較.【詳解】由知，∵，∴.知.故選：B.6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，列出關(guān)于的不等式，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，當(dāng)時(shí)，，可得在上遞增，要使得函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則滿足，且，解可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.7．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，若函數(shù)是偶函數(shù)，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合偶函數(shù)滿足的等量關(guān)系，即可求解.【詳解】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故所以，故或（舍去），故選：D8．（2024·湖北黃岡·二模）已知分別滿足下列關(guān)系：，則的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將指數(shù)式化成對(duì)數(shù)式，利用換底公式，基本不等式可推得，利用指對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過構(gòu)造函數(shù)判斷單調(diào)性可推得，最后利用正切函數(shù)的單調(diào)性可得.【詳解】由可得因，又，故,即；因，則由，由函數(shù)，，因時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，則有，故得；由，而，即，綜上，則有.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決此類題的常見方法，（1）指、對(duì)數(shù)函數(shù)的值比較：一般需要指對(duì)互化、換底公式，以及運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性判斷；（2）作差、作商比較：對(duì)于結(jié)構(gòu)相似的一般進(jìn)行作差或作商比較，有時(shí)還需基本不等式放縮比較；（3）構(gòu)造函數(shù)法：對(duì)于相同結(jié)構(gòu)的式子，常構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性判斷.二、多選題9．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)若，且，則下列關(guān)系式一定成立的為（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)討論推理即可．對(duì)于B，舉反例即可．對(duì)于C，D，分兩種情況討論：和時(shí)，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，推理判斷出每個(gè)的真假．【詳解】對(duì)于A，若，且，只能，有，則，，所以，故A正確；對(duì)于B，舉反例：當(dāng)時(shí)，則，，此時(shí)，故B不正確；對(duì)于C，易知，且．若，且，則有：（?。┊?dāng)時(shí)，有，則，，且，所以；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，且，則．綜上所述：，故C正確；對(duì)于D，若，則．若，且，分類討論．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，有，從而，，則；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，則，，因?yàn)?，則，從而．綜合所述：，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)根據(jù)題意，且，根據(jù)相應(yīng)的選項(xiàng)特征分類討論，進(jìn)而分析判斷即可.三、填空題10．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，若且，，則的最小值為．【答案】8【分析】先求出函數(shù)過定點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用基本不等式求最值.【詳解】因?yàn)?，（且），所以函?shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)，所以，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，即的最小值為.故答案為：.1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知且，則．【答案】64【分析】將利用換底公式轉(zhuǎn)化成來表示即可求解.【詳解】由題，整理得，或，又，所以，故故答案為：64.2．（2024·全國(guó)·高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1【答案】C【分析】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)?，分類討論與的大小關(guān)系，結(jié)合符號(hào)分析判斷，即可得，代入可得最值；解法二：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析的符號(hào)，進(jìn)而可得的符號(hào)，即可得，代入可得最值.【詳解】解法一：由題意可知：的定義域?yàn)?，令解得；令解得；若，?dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)；可知若，符合題意；若，當(dāng)時(shí)，可知，此時(shí)，不合題意；綜上所述：，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為；解法二：由題意可知：的定義域?yàn)?，令解得；令解得；則當(dāng)時(shí)，，故，所以；時(shí)，，故，所以；故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：分別求、的根，以根和函數(shù)定義域?yàn)榕R界，比較大小分類討論，結(jié)合符號(hào)性分析判斷.3．（2023·北京·高考真題）已知函數(shù)，則．【答案】1【分析】根據(jù)給定條件，把代入，利用指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)，所以.故答案為：14．（2023·全國(guó)·高考真題）（多選）噪聲污染問題越來越受到重視．用聲壓級(jí)來度量聲音的強(qiáng)弱，定義聲壓級(jí)，其中常數(shù)是聽覺下限閾值，是實(shí)際聲