第06講 函數(shù)與方程（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第06講函數(shù)與方程（5類核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新I卷，第7題,5分求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)正弦函數(shù)圖象的應(yīng)用2024年新Ⅱ卷，第6題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍函數(shù)奇偶性的定義與判斷函數(shù)奇偶性的應(yīng)用求余弦(型)函數(shù)的奇偶性2024年新Ⅱ卷，第9題,6分求函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)求含sinx(型)函數(shù)的值域和最值求正弦(型)函數(shù)的對稱軸及對稱中心求正弦(型)函數(shù)的最小正周期2024年新Ⅱ卷，第11題,6分判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間函數(shù)對稱性的應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性、極值與最值的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)2023年新I卷，第15題,5分根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會(huì)結(jié)合其他知識點(diǎn)考查，需要掌握函數(shù)零點(diǎn)的定義，難度不定，分值為5-6分【備考策略】1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程解的關(guān)系，會(huì)判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間及零點(diǎn)個(gè)數(shù)2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理3.了解用二分法求方程的近似解，能借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容通常以函數(shù)為載體，考查函數(shù)零點(diǎn)，是新高考復(fù)習(xí)的重要內(nèi)容知識講解函數(shù)的零點(diǎn)一般的，對于函數(shù)，我們把方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的零點(diǎn)。零點(diǎn)存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點(diǎn)，即，使得注：零點(diǎn)存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點(diǎn)不一定存在函數(shù)單調(diào)性對零點(diǎn)個(gè)數(shù)的影響如果一個(gè)連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點(diǎn)至多有一個(gè)。因此分析一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)4、幾個(gè)“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)）（1）若，則“一定”存在零點(diǎn)，但“不一定”只有一個(gè)零點(diǎn)。要分析的性質(zhì)與圖象，如果單調(diào)，則“一定”只有一個(gè)零點(diǎn)（2）若，則“不一定”存在零點(diǎn)，也“不一定”沒有零點(diǎn)。如果單調(diào)，那么“一定”沒有零點(diǎn)（3）如果在區(qū)間中存在零點(diǎn)，則的符號是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖象影響。如果單調(diào)，則一定小于05、零點(diǎn)與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號是一個(gè)在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點(diǎn)，且，則時(shí)，；時(shí)，6、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法（1）可直接判斷的幾個(gè)結(jié)論：①若為增（減）函數(shù)，則也為增（減）函數(shù)②若為增函數(shù)，則為減函數(shù)；同樣，若為減函數(shù)，則為增函數(shù)③若為增函數(shù)，且，則為增函數(shù)（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：判斷的單調(diào)性可分別判斷與的單調(diào)性（注意要利用的范圍求出的范圍），若，均為增函數(shù)或均為減函數(shù)，則單調(diào)遞增；若，一增一減，則單調(diào)遞減（此規(guī)律可簡記為“同增異減”）（3）利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷——求出單調(diào)區(qū)間從而也可作出圖象7、證明零點(diǎn)存在的步驟（1）將所證等式中的所有項(xiàng)移至等號一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)（2）判斷是否要對表達(dá)式進(jìn)行合理變形，然后將表達(dá)式設(shè)為函數(shù)（3）分析函數(shù)的性質(zhì)，并考慮在已知范圍內(nèi)尋找端點(diǎn)函數(shù)值異號的區(qū)間（4）利用零點(diǎn)存在性定理證明零點(diǎn)存在考點(diǎn)一、求函數(shù)的零點(diǎn)及零點(diǎn)個(gè)數(shù)1．（2024·山東青島·二模）函數(shù)的零點(diǎn)為（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】令，解出即可.【詳解】因?yàn)?，令，解得，即函?shù)的零點(diǎn)為1.故選：B.2．（2024·江蘇·一模）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】令，得，則；故，，所以在共有4個(gè)零點(diǎn)，故選：C.3．（23-24高三下·重慶·階段練習(xí)）（多選）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)問題，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】∵函數(shù)的零點(diǎn)為，的零點(diǎn)為，∴函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，函數(shù)與函數(shù)圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，作函數(shù)、函數(shù)、函數(shù)的圖象如圖6，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，∵函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，∴點(diǎn)A、B關(guān)于直線對稱，又∵點(diǎn)A、B在直線上，∴點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，對于A：∴，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B：易知，故選項(xiàng)B正確；對于C：∵，，，∴，即選項(xiàng)C正確；對于D：由零點(diǎn)存在定理易知，，∴，即，，故選項(xiàng)D正確，故選:BCD．1．（2023·上海徐匯·一模）函數(shù)的零點(diǎn)是．【答案】/0.5【分析】利用對數(shù)運(yùn)算及零點(diǎn)含義可得答案.【詳解】由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?，令可得，解得或（舍），故答案為：.2．（2024·河北·模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有零點(diǎn)的和為（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用和角的余弦公式及二倍角公式化簡函數(shù)，由零點(diǎn)意義求得或，再借助正余弦函數(shù)圖象性質(zhì)求解即得.【詳解】依題意，，由，得或或（不符合題意，舍去），函數(shù)是偶函數(shù)，在上的所有零點(diǎn)關(guān)于數(shù)0對稱，它們的和為0，正弦函數(shù)的周期為，方程在的兩根和為，在上的兩根和為，因此在上的兩根和構(gòu)成首項(xiàng)為，末項(xiàng)為的等差數(shù)列，共有項(xiàng)，所有根的和為.故選：B3．（2024·河北·模擬預(yù)測）（多選）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】對于A，由題意得，進(jìn)而得即可求解判斷；對于B，先明確零點(diǎn)取值范圍，由取值范圍再結(jié)合即即可求解判斷；對于C，由即以及零點(diǎn)的取值范圍即可求解判斷；對于D，結(jié)合AB以及將轉(zhuǎn)化成即可判斷.【詳解】對于A，由題，，所以即，所以，故，故A正確；對于B，由得，故函數(shù)與圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)和與圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)和的零點(diǎn)，如圖，由圖象性質(zhì)可知，又由A得，故，所以，故B錯(cuò)；對于C，由上即，以及得：，故C對；對于D，由AB得，，，所以，故D對.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是由和得即，二是數(shù)形結(jié)合明確零點(diǎn)的取值范圍為且，接著對所判式子進(jìn)行變形放縮等即可判斷.考點(diǎn)二、求方程的根及根的個(gè)數(shù)1．（2024·浙江金華·三模）若函數(shù)，則方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，令，則，且，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，只有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，只有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，由3個(gè)解，從而得到答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)和的圖象如下：令得，故，令，則，且，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，只有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，只有1個(gè)解，當(dāng)時(shí)，結(jié)合圖象可知，由3個(gè)解，綜上，方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為5.故選：D2．（2024·浙江溫州·三模）已知函數(shù)，則關(guān)于方程的根個(gè)數(shù)不可能是（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】將原問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出的圖象，分、、三種情況，結(jié)合圖象求解即可．【詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖所示：

將原問題轉(zhuǎn)化為直線（過定點(diǎn)）與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒有交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)；所以直線與函數(shù)的圖象不可能有兩個(gè)交點(diǎn)．故選：C．1．（23-24高三下·遼寧·階段練習(xí)）已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的所有實(shí)根之和為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】首先確定的圖象關(guān)于對稱，然后分和兩種情況進(jìn)行討論，利用數(shù)形結(jié)合的方法，在同一直角坐標(biāo)系中畫出、，通過判斷兩函數(shù)在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求出函數(shù)的實(shí)根和.【詳解】因?yàn)?，則，所以的圖象關(guān)于對稱，因?yàn)?，此時(shí)不成立，當(dāng)時(shí)，由，即，則，，，，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出與，的圖象如下所示：由圖可得與在上有且僅有個(gè)交點(diǎn)，圖象都關(guān)于，所以所有的實(shí)根之和為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是判斷出關(guān)于對稱，再將方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，根據(jù)對稱性計(jì)算.2．（22-23高一上·上?！て谀┮阎?，則方程的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)不可能為（

）A．5個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】A【分析】作出的圖象，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)作出的圖象，再對分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（具體到每種類型時(shí)為常數(shù)）的解的個(gè)數(shù)問題.【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，，，，，作出的圖象，如圖所示：令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，，則的圖象如下所示：①當(dāng)時(shí)，令或，則關(guān)于的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，關(guān)于的方程的方程也有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，即此時(shí)對應(yīng)的個(gè)數(shù)為，（以下處理方法類似）；②當(dāng)時(shí)，令或或，此時(shí)對應(yīng)的個(gè)數(shù)為6；③當(dāng)時(shí)，令或或或，此時(shí)對應(yīng)的個(gè)數(shù)為；④當(dāng)時(shí)，或或或，此時(shí)對應(yīng)的個(gè)數(shù)為；⑤當(dāng)時(shí)，或或，此時(shí)對應(yīng)的個(gè)數(shù)為；⑥當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)對應(yīng)的個(gè)數(shù)為3；⑦當(dāng)時(shí)，，此時(shí)對應(yīng)的個(gè)數(shù)為2.綜上可知，實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)不可能為5個(gè).故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是作出的圖象，再對分類討論，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程（具體到每種類型時(shí)為常數(shù)）的根的問題.考點(diǎn)三、求圖象的交點(diǎn)及交點(diǎn)個(gè)數(shù)1．（2024·全國·高考真題）當(dāng)時(shí)，曲線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】畫出兩函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象即可求解【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，所以在上函數(shù)有三個(gè)周期的圖象，在坐標(biāo)系中結(jié)合五點(diǎn)法畫出兩函數(shù)圖象，如圖所示：由圖可知，兩函數(shù)圖象有6個(gè)交點(diǎn).故選：C2．（2023·全國·高考真題）函數(shù)的圖象由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度得到，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】先利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)求得，再作出與的部分大致圖像，考慮特殊點(diǎn)處與的大小關(guān)系，從而精確圖像，由此得解.【詳解】因?yàn)橄蜃笃揭苽€(gè)單位所得函數(shù)為，所以，而顯然過與兩點(diǎn)，作出與的部分大致圖像如下，

考慮，即處與的大小關(guān)系，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；所以由圖可知，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為.故選：C.1．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測）函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D【分析】在同一坐標(biāo)系中，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象得到交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】函數(shù)與都是偶函數(shù)，其中，，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)與的圖象，如下圖，由圖可知，兩函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為6.故選：D2．（2021·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)的零點(diǎn)為軸上的所有整數(shù)，則函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意明確函數(shù)的表達(dá)式，數(shù)形結(jié)合求出二者的交點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為軸上的所有整數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期，所以，且，結(jié)合，可得，所以．作出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如下圖所示，可知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有個(gè)交點(diǎn)，故選：D．

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)的求解與判斷(1)直接求零點(diǎn)：令，如果能求出解，則有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn)；(2)零點(diǎn)存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)；(3)利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)：將函數(shù)變形為兩個(gè)函數(shù)的差，畫兩個(gè)函數(shù)的圖象，看其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn)．考點(diǎn)四、用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間1．（2022高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】的定義域?yàn)?，又與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，，所以，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間為，故選：B.2．（23-24高三上·浙江寧波·期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解.【詳解】由已知，可知為增函數(shù)，且，，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，函數(shù)在有零點(diǎn)，且零點(diǎn)是唯一的.故選：B1．（23-24高三下·北京·階段練習(xí)）函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理分析判斷.【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)椋以趦?nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)的唯一一個(gè)零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選：B.2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由零點(diǎn)存在性定理可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，又，易知函?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以在內(nèi)存在一個(gè)零點(diǎn)，使.故選：C.考點(diǎn)五、根據(jù)零點(diǎn)、方程的根及圖象交點(diǎn)求參數(shù)范圍1．（2024·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】解法一：令，分析可知曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知該交點(diǎn)只能在y軸上，即可得，并代入檢驗(yàn)即可；解法二：令，可知為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點(diǎn)只能為0，即可得，并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】解法一：令，即，可得，令，原題意等價(jià)于當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，注意到均為偶函數(shù)，可知該交點(diǎn)只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因?yàn)椋瑒t，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則方程有且僅有一個(gè)實(shí)根0，即曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，所以符合題意；綜上所述：.解法二：令，原題意等價(jià)于有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，則為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點(diǎn)只能為0，即，解得，若，則，又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即有且僅有一個(gè)零點(diǎn)0，所以符合題意；故選：D.2．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)，函數(shù)，若函數(shù)恰有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)，可確定當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，繼而作出的大致圖像，考慮時(shí)的圖象情況，分類討論，將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，數(shù)形結(jié)合，即可解決.【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，由得，即，解得或，所以在上有2個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，若，對稱軸為，函數(shù)的大致圖象如圖：此時(shí)，即，則，所以無解，則無零點(diǎn)，無零點(diǎn)，綜上，此時(shí)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，若，此時(shí)的大致圖象如下：令，解得（舍去），顯然在上存在唯一負(fù)解，所以要使恰有5個(gè)零點(diǎn)，需，即，解得，所以．故選：D【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法:直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;（3）數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.3．（23-24高一上·重慶·期中）已知，若關(guān)于x的方程在上有解，則a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知可得.當(dāng)時(shí)，設(shè)，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)增長速度的快慢，結(jié)合函數(shù)圖象，列出不等式，求解即可得出；當(dāng)時(shí)，代入方程求解，即可判斷；當(dāng)時(shí)，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，列出不等式組，求解即可得出答案.【詳解】由已知可得，.當(dāng)時(shí)，設(shè)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.但是函數(shù)的遞減的速度要慢于函數(shù)的遞減速度，且.作出函數(shù)以及的圖象如圖，要使與在上有交點(diǎn)，應(yīng)滿足，即.又，所以；當(dāng)時(shí)，由已知可得，整理可得，解得，或（舍去），此時(shí)方程有解，滿足；當(dāng)時(shí)，設(shè)，函數(shù)以及均為上的增函數(shù)，所以，在上單調(diào)遞增.要使在上有解，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可知，應(yīng)有，即，解得.綜上所述，.故選：B.1．（2024·全國·高考真題）曲線與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程，令，分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，畫出大致圖形數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令，即，令則，令得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，因?yàn)榍€與在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以等價(jià)于與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.故答案為：2．（22-23高三上·河北張家口·期末）（多選）已知，方程，在區(qū)間的根分別為a，b，以下結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】題意說明分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用這三個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于直線對稱得，，直接變形判斷AB，利用不等式知識判斷C，由零點(diǎn)存在定理確定，構(gòu)造函數(shù)，確定其單調(diào)性，由單調(diào)性判斷D．【詳解】已知兩方程化為，，所以分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，易知和的圖象關(guān)于直線對稱，而函數(shù)的圖象可以看作是由的圖象向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到的，因此的圖象也關(guān)于直線對稱，所以點(diǎn)與關(guān)于直線對稱，，，，A正確；又，所以，，從而，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號，由于，而，因此，等號不成立，即，C錯(cuò)誤，，設(shè)，則，，，所以，所以，時(shí)，是減函數(shù)，所以由得，所以，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，解題關(guān)鍵是確定分別是函數(shù)和的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用這三個(gè)函數(shù)圖象都關(guān)于直線對稱得出的關(guān)系．3．（2024·天津·高考真題）若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)與兩函數(shù)的交點(diǎn)的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)與，則兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，分、與進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，計(jì)算函數(shù)定義域可得或，計(jì)算可得時(shí)，兩函數(shù)在軸左側(cè)有一交點(diǎn)，則只需找到當(dāng)時(shí)，在軸右側(cè)無交點(diǎn)的情況即可得；當(dāng)時(shí)，按同一方式討論即可得.【詳解】令，即，由題可得，當(dāng)時(shí)，，有，則，不符合要求，舍去；當(dāng)時(shí)，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)，由，可得或，當(dāng)時(shí)，則，則，即，整理得，當(dāng)時(shí)，即，即，當(dāng)，或（正值舍去），當(dāng)時(shí)，或，有兩解，舍去，即當(dāng)時(shí)，在時(shí)有唯一解，則當(dāng)時(shí)，在時(shí)需無解，當(dāng)，且時(shí)，由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得或，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，即，故時(shí)，圖象為雙曲線右支的軸上方部分向右平移所得，由的漸近線方程為，即部分的漸近線方程為，其斜率為，又，即在時(shí)的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，解得，故符合要求；當(dāng)時(shí)，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點(diǎn)，由，可得或，當(dāng)時(shí)，則，則，即，整理得，當(dāng)時(shí)，即，即，當(dāng)，（負(fù)值舍去）或，當(dāng)時(shí)，或，有兩解，舍去，即當(dāng)時(shí)，在時(shí)有唯一解，則當(dāng)時(shí)，在時(shí)需無解，當(dāng)，且時(shí)，由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得或，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，同理可得：時(shí)，圖象為雙曲線左支的軸上方部分向左平移所得，部分的漸近線方程為，其斜率為，又，即在時(shí)的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故有，解得，故符合要求；綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵點(diǎn)在于將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)問題，從而可將其分成兩個(gè)函數(shù)研究.一、單選題1．（23-24高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理即可得解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以的零點(diǎn)所在的區(qū)間為.故選：C.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)y＝ax2＋2x＋1有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．1 B．0C．0或1 D．一切實(shí)數(shù)【答案】C【解析】略3．（2024·山西·模擬預(yù)測）方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】作出函數(shù)和的圖象，由圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)得出結(jié)論．【詳解】設(shè)，．在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出與的大致圖象，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．根據(jù)圖象可得兩個(gè)函數(shù)共有11個(gè)交點(diǎn)．故選：C．4．（2024高三上·全國·競賽）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)對數(shù)的定義即可求解.【詳解】依題意，原方程等價(jià)于即，顯然只有一個(gè)正實(shí)根.故選：B.5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)已知條件先畫出在不同定義域內(nèi)的圖象，需要求解函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，令，利用函數(shù)的圖象求解和兩個(gè)函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】由題意可知，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可以轉(zhuǎn)化為和函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，它們的函數(shù)圖象如圖所示.故選：C．6．（23-24高二下·安徽蕪湖·期中）已知函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】采用參變分離法，將函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)探究函數(shù)的圖象及趨勢特征即得參數(shù)范圍.【詳解】由，，可得：，令，依題意，函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).又，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，故時(shí)，取得極大值，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故要使函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).，需使，解得.故選：C.7．（23-24高三下·福建廈門·強(qiáng)基計(jì)劃）在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】借助因式分解的方法，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值求解即得.【詳解】依題意，，而，顯然且，因此，由，得，解得或，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2.故選：B8．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)為偶函數(shù)，若函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】C【分析】由函數(shù)的圖象關(guān)于對稱得零點(diǎn)關(guān)于對稱，但的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)可得答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以，所以的圖象關(guān)于對稱，令，則，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)的零點(diǎn)關(guān)于對稱，但的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為奇數(shù)個(gè)，則所以.故選：C.二、填空題9．（2024高三·全國·專題練習(xí)）函數(shù)在所有零點(diǎn)之和為【答案】【分析】化簡函數(shù)為，令，求得方程的根，即可求解.【詳解】由，令，即，解得或，因?yàn)?，所以或或，所以零點(diǎn)之和為.故答案為：.10．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)f（x）＝則使得方程x＋f（x）＝m有解的實(shí)數(shù)m的取值范圍是．【答案】【分析】方程有解，利用求函數(shù)的值域即可得到參數(shù)的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即有解，則；當(dāng)時(shí)，，即有解，則，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故答案為：一、單選題1．（2024·山東·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則使有零點(diǎn)的一個(gè)充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先判斷，此時(shí)可得的單調(diào)性，依題意可得，令，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)存在性定理得到存在使得，從而得到有零點(diǎn)的充要條件為，即可判斷.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，沒有零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，，要使有零點(diǎn)，則需，即，令，則在上單調(diào)遞減，且，，，所以存在使得，所以有零點(diǎn)的充要條件為，所以使有零點(diǎn)的一個(gè)充分條件是.故選：D2．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測）函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．0 B．-1 C． D．2【答案】A【分析】令，即，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，畫出函數(shù)圖象，可知兩個(gè)函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，得，進(jìn)而得到，即【詳解】由零點(diǎn)定義可知，函數(shù)的零點(diǎn)，就是方程的實(shí)數(shù)根，令，則，顯然，所以，構(gòu)造函數(shù)與函數(shù)，則方程的根，可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，根據(jù)圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，所以此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，所以，，即，另外發(fā)現(xiàn)，將代入，可得，所以也是函數(shù)的零點(diǎn)，說明，即.故選:A.3．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直線與函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn)，可得是奇函數(shù)，可得只需直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)即可，即方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】由題意得，則直線與函數(shù)的圖象有5個(gè)交點(diǎn).顯然，直線與的圖象交于點(diǎn).又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以是奇函數(shù)，則必須且只需直線與曲線有2個(gè)交點(diǎn)即可，所以方程有2個(gè)實(shí)數(shù)根.令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以.又當(dāng)趨近于0時(shí)，,所以；當(dāng)趨近于時(shí)，，所以必須且只需.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：直接法；分離參數(shù)法；數(shù)形結(jié)合法.4．（23-24高三下·浙江·階段練習(xí)）已知函數(shù)的零點(diǎn)分別為，則的值是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，令，利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)和函數(shù)的對稱性求出，即可求的值．【詳解】由題意，，令，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且的圖象也關(guān)于直線對稱，設(shè)，則關(guān)于直線對稱，所以且由可得，所以．由可得，所以，又代入上式可得，則．故選：A．二、多選題5．（23-24高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)，若方程有五個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值可以為（

）A． B． C． D．0【答案】AB【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可知，在有兩個(gè)零點(diǎn)，列出不等式組求解即可.【詳解】,如圖所示，令，則，若方程有五個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則有兩個(gè)零點(diǎn)分別為，，由圖象可知，即，可得，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：AB．6．（2024·湖南懷化·二模）已知函數(shù)的零點(diǎn)為的零點(diǎn)為，則（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用函數(shù)零點(diǎn)的意義，結(jié)合函數(shù)與互為反函數(shù)，確定的關(guān)系，再逐項(xiàng)分析判斷得解.【詳解】依題意，，，則分別是直線與函數(shù)，圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而函數(shù)與互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，又直線垂直于直線，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則，于是，，，BC正確，A錯(cuò)誤；，即，D錯(cuò)誤.故選：BC

三、填空題7．（2024·寧夏銀川·二模）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求a的范圍【答案】【分析】根據(jù)零點(diǎn)的定義,轉(zhuǎn)化為的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題.結(jié)合反函數(shù)特征,得解.【詳解】的零點(diǎn)兩個(gè),即的根有兩個(gè).即的交點(diǎn)有兩個(gè).而互為反函數(shù),圖像關(guān)于對稱.當(dāng)兩個(gè)圖像均與相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為.分別求導(dǎo),所以,所以.,即,所以.當(dāng)時(shí)候,兩圖像有一個(gè)交點(diǎn),當(dāng),兩圖像有兩個(gè)交點(diǎn),即的零點(diǎn)兩個(gè).綜上所.故答案為:.8．（2024·天津·模擬預(yù)測）已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【答案】【分析】是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，再分段去絕對值符號，探討零點(diǎn)個(gè)數(shù)即得.【詳解】顯然是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，由，得，因?yàn)楹瘮?shù)有3個(gè)零點(diǎn)，必有，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故答案為：9．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】本題根據(jù)已知條件給定的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，對參數(shù)a分類討論并結(jié)合函數(shù)圖象即可求解.【詳解】①當(dāng)時(shí)，，由于時(shí)，時(shí)，此時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，所以不符合題意；②當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的大概圖象如圖所示，，由于時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，此時(shí)在上有，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只需，即；③當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的大概圖象如圖所示，，由于函數(shù)在上是增函數(shù)，故與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，要使有兩個(gè)零點(diǎn)，只需函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)即可，當(dāng)時(shí)，恰好只有一個(gè)零點(diǎn).綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.10．（2024·天津武清·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【答案】【分析】本題首先可根據(jù)函數(shù)解析式研究函數(shù)在區(qū)間和上零點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后根據(jù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)或根據(jù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，令，得，即，該方程至多兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，令，得，該方程至多兩個(gè)根，因?yàn)楹瘮?shù)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，所以函數(shù)在區(qū)間和上均有零點(diǎn)，若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，即直線與函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?，則，解得，若函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，則或，解得或，若函數(shù)在區(qū)間上也有兩個(gè)零點(diǎn)，令，解得，，則，解得，若函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，則且，解得；所以當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需滿足，解得，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上有2個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上有1個(gè)零點(diǎn)時(shí),需滿足，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)數(shù)目求參數(shù)的取值范圍，可將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)數(shù)目進(jìn)行求解，其中分段函數(shù)中一段可以有2個(gè)交點(diǎn)也可有1個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此結(jié)合總共有3個(gè)交點(diǎn)求解，考查分類討論思想，是難題.1．（2024·全國·高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對稱中心【答案】AD【分析】A選項(xiàng)，先分析出函數(shù)的極值點(diǎn)為，根據(jù)零點(diǎn)存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個(gè)零點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進(jìn)行分析；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據(jù)此計(jì)算判斷；D選項(xiàng)，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據(jù)此進(jìn)行計(jì)算判斷，亦可利用拐點(diǎn)結(jié)論直接求解.【詳解】A選項(xiàng)，，由于，故時(shí)，故在上單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點(diǎn)存在定理在上有一個(gè)零點(diǎn)，又，，則，則在上各有一個(gè)零點(diǎn)，于是時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，此時(shí)在處取到極小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，假設(shè)存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項(xiàng)式定理，等式右邊展開式含有的項(xiàng)為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，方法一：利用對稱中心的表達(dá)式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實(shí)上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項(xiàng)正確.方法二：直接利用拐點(diǎn)結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項(xiàng)正確.故選：AD【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的對稱軸為；（2）關(guān)于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點(diǎn)，對稱中心的橫坐標(biāo)是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心2．（2023·全國·高考真題）已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】【分析】令，得有3個(gè)根，從而結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)即可得解.【詳解】因?yàn)?，所以，令，則有3個(gè)根，令，則有3個(gè)根，其中，結(jié)合余弦函數(shù)的圖像性質(zhì)可得，故，故答案為：.3．（2023·天津·高考真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)絕對值的意義，去掉絕對值，求出零點(diǎn)，再根據(jù)根存在的條件即可判斷的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，此時(shí)成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時(shí)，，此時(shí)成立．（2）當(dāng)時(shí)，，即，若時(shí)，，顯然不成立；若時(shí)，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時(shí)，，顯然不成立；綜上，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為．所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)，從而解出．4．（2022·天津·高考真題）設(shè)，對任意實(shí)數(shù)x，記．若至少有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】設(shè)，，分析可知函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，可得出，求出的取值范圍，然后對實(shí)數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論，根據(jù)題意可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，綜合可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，則，解得或.①當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時(shí)函數(shù)只有兩個(gè)零點(diǎn)，不合乎題意；②當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，所以，，解得；③當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為，合乎題意；④當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)分別為、，要使得函數(shù)至少有個(gè)零點(diǎn)，則，可得，解得，此時(shí).綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.5．（2022·北京·高考真題）若函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為，則；．【答案】1【分析】先代入零點(diǎn)，求得A的值，再將函數(shù)化簡為，代入自變量，計(jì)算即可.【詳解】∵，∴∴故