第01講 數(shù)列的概念及其表示（含數(shù)列周期性單調(diào)性和數(shù)列通項(xiàng)公式的構(gòu)造）（學(xué)生版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第01講數(shù)列的概念及其表示（含數(shù)列周期性單調(diào)性和數(shù)列通項(xiàng)公式的構(gòu)造）（7類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第19題,17分由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列求直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)向量夾角的坐標(biāo)表示2024年全國(guó)甲卷，第18題,12分利用an與sn關(guān)系求通項(xiàng)錯(cuò)位相減法求和2023年全國(guó)甲卷（理科），第17題,10分利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)錯(cuò)位相減法求和2022年新I卷，第17題,10分利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)累乘法求數(shù)列通項(xiàng)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式求數(shù)列中的項(xiàng)裂項(xiàng)相消法求和2022年全國(guó)甲卷（理科），第17題,10分求數(shù)列最值利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)2022年全國(guó)乙卷（理科），第4題,5分判斷數(shù)列單調(diào)性數(shù)學(xué)新文化2021年全國(guó)甲卷（理科），第7題,10分判斷數(shù)列單調(diào)性充分條件與必要條件2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的?？純?nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分【備考策略】1.掌握數(shù)列的有關(guān)概念和表示方法2.能利用與的關(guān)系以及遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式3.理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù),能利用數(shù)列的周期性、單調(diào)性解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，常考查利用與關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)及通項(xiàng)公式構(gòu)造的相關(guān)應(yīng)用，需綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系能用公式an＝f(n)表示，這個(gè)公式叫做數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和數(shù)列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做數(shù)列的前n項(xiàng)和2.數(shù)列的分類(lèi)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)類(lèi)型滿足條件項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an＋1＞an其中n∈N*遞減數(shù)列an＋1＜an常數(shù)列an＋1＝an擺動(dòng)數(shù)列從第二項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列數(shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，an)畫(huà)在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用公式表示的方法遞推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法4．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))（1）已知Sn求an的三個(gè)步驟(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式．(3)注意檢驗(yàn)n＝1時(shí)的表達(dá)式是否可以與n≥2的表達(dá)式合并．（2）Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化．(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．5．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1.))若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1.))6.根據(jù)形如an＋1＝an＋f(n)(f(n)是可以求和的)的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，常用累加法求出an－a1與n的關(guān)系式，進(jìn)而得到an的通項(xiàng)公式．7.根據(jù)形如an＋1＝an·f(n)(f(n)是可以求積的)的遞推公式求通項(xiàng)公式時(shí)，常用累乘法求出eq\f(an,a1)與n的關(guān)系式，進(jìn)而得到an的通項(xiàng)公式．8.形如an＋1＝eq\f(pan,qan＋r)(p，q，r是常數(shù))的數(shù)列，將其變形為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(r,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(q,p).若p＝r，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差數(shù)列，且公差為eq\f(q,p)，即可用公式求通項(xiàng)．9.根據(jù)形如an＋1＝pan＋q的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式時(shí)，一般先構(gòu)造公比為p的等比數(shù)列{an＋x}，即將原遞推關(guān)系式化為an＋1＋x＝p(an＋x)的形式，再求出數(shù)列{an＋x}的通項(xiàng)公式，最后求{an}的通項(xiàng)公式．10.數(shù)列的周期性對(duì)于無(wú)窮數(shù)列,如果存在一個(gè)正整數(shù),對(duì)于任意正整數(shù)恒有成立,則稱是周期為的周期數(shù)列.的最小值稱為最小正周期,簡(jiǎn)稱周期.考點(diǎn)一、數(shù)列周期性的應(yīng)用1．（湖南·高考真題）已知數(shù)列滿足，，則（

）A． B．C． D．2．（2024·山東濟(jì)寧·三模）已知數(shù)列中，，則（

）A． B． C．1 D．23．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，，數(shù)列，滿足，則數(shù)列的前2024項(xiàng)的和為．6．1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，若對(duì)，則（

）A． B．1 C． D．2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，數(shù)列的首項(xiàng)為1，且滿足．若，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（

）A．0 B．1 C．675 D．20233．（2024·山東濱州·二模）已知函數(shù)，數(shù)列滿足，，，則．考點(diǎn)二、數(shù)列單調(diào)性的應(yīng)用1．（2022·全國(guó)·高考真題）嫦娥二號(hào)衛(wèi)星在完成探月任務(wù)后，繼續(xù)進(jìn)行深空探測(cè)，成為我國(guó)第一顆環(huán)繞太陽(yáng)飛行的人造行星，為研究嫦娥二號(hào)繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數(shù)列：，，，…，依此類(lèi)推，其中．則（

）A． B． C． D．2．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，則“”是是遞增數(shù)列的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2024·四川雅安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，，單調(diào)遞增，則的取值范圍為.4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2024·陜西漢中·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前n項(xiàng)積為且，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B．為遞減數(shù)列C． D．1．（2024·北京東城·一模）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，若是遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·江西·二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為常數(shù)且，，若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．4．（2020·北京·高考真題）在等差數(shù)列中，，．記，則數(shù)列（

）．A．有最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) B．有最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)C．無(wú)最大項(xiàng)，有最小項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)，無(wú)最小項(xiàng)考點(diǎn)三、用與的關(guān)系求通項(xiàng)或項(xiàng)1．（2024·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.3．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，已知．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．4．（2022·全國(guó)·高考真題）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．1．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)證明：．2．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．3．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意，有(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求的前100項(xiàng)的和.4．（2024·全國(guó)·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和為.考點(diǎn)四、累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，（）．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：．2．（全國(guó)·高考真題）已知數(shù)列滿足．(1)求；(2)證明：．3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列中，，，且，(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，求．1．（2024·遼寧丹東·二模）已知數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，求．2．（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和.考點(diǎn)五、累乘法求數(shù)列通項(xiàng)公式1．（23-24高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．2．（23-24高二上·江蘇蘇州·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．1．（23-24高三下·黑龍江哈爾濱·開(kāi)學(xué)考試）記數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意正整數(shù)，有，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)對(duì)所有正整數(shù)，若，則在和兩項(xiàng)中插入，由此得到一個(gè)新數(shù)列，求的前91項(xiàng)和.2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知（常數(shù)），數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．3．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，數(shù)列的前項(xiàng)和為恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．考點(diǎn)六、遞推數(shù)列構(gòu)造等差數(shù)列1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列中，，且，其中．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．2．（23-24高三上·河南焦作·期末）已知數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．1．（23-24高三上·江蘇南京·期末）已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意都有.(1)設(shè)，證明：是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.2．（2024·山東青島·二模）已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，求的最小值.考點(diǎn)七、遞推數(shù)列構(gòu)造等比數(shù)列1．（重慶·高考真題）數(shù)列中，若=1，=2+3（n≥1），則該數(shù)列的通項(xiàng)=2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿足，記．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：．3．（四川·高考真題）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)證明：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．1．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知，求使取得最大項(xiàng)時(shí)的值．（參考值：）2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列滿足：，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．3．（23-24高三上·重慶·期中）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之積為，滿足.(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)之和為，證明：.一、單選題1．（2023·浙江寧波·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．32．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，且有，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2023·海南省直轄縣級(jí)單位·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，則（

）A．為等差數(shù)列 B．C．為遞增數(shù)列 D．的前20項(xiàng)和為10三、填空題4．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則.四、解答題5．（2024·四川雅安·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.6．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.7．（2024·河北滄州·三模）已知數(shù)列滿足，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.8．（2024·貴州貴陽(yáng)·三模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.試求:(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)時(shí)，求滿足條件的最小整數(shù).9．9．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求．(2)若，則當(dāng)取最小值時(shí)，求的值．10．（2024·河北保定·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和.一、單選題1．（2024·安徽合肥·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且滿足，則（

）A． B． C． D．2．（2024·江蘇蘇州·二模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題3．（2024·福建泉州·一模）已知數(shù)列滿足，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列是常數(shù)列C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，數(shù)列單調(diào)遞減三、填空題4．（2024·浙江紹興·三模）記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則；．5．（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為．四、解答題6．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列滿足，且．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求的前項(xiàng)和．7．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求實(shí)數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.8．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿足．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若，求的前項(xiàng)和．9．（2024·江蘇無(wú)錫·二模）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和.若對(duì)任意的恒成立，求k的取值范圍.10．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)若，證明：是等比數(shù)列；(2)若是和的等差中項(xiàng)，設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和為．1．（2023·北京·高考真題）已知數(shù)列滿足，則（