第03講 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（教師版）-2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫

Page第03講等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和（9類(lèi)核心考點(diǎn)精講精練）1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析關(guān)聯(lián)考點(diǎn)2024年新Ⅱ卷，第19題,17分由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列求直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)向量夾角的坐標(biāo)表示2023年新Ⅱ卷，第8題,5分等比數(shù)列前n項(xiàng)和的基本量計(jì)算等比數(shù)列前n和的性質(zhì)及應(yīng)用無(wú)2022年新Ⅱ卷，第17題,10分等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算等差數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算數(shù)列不等式能成立(有解)問(wèn)題2021年新Ⅱ卷，第12題,5分求等比數(shù)列前n項(xiàng)和數(shù)列新定義2020年新I卷，第18題,12分等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等比數(shù)列前n項(xiàng)和無(wú)2020年新Ⅱ卷，第18題,12分等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算求等比數(shù)列前n項(xiàng)和無(wú)2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，設(shè)題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分【備考策略】1.理解等比數(shù)列的概念2掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題4.熟練掌握等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的性質(zhì)【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容，一般給出數(shù)列為等比數(shù)列，或通過(guò)構(gòu)造為等比數(shù)列，求通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和。需綜合復(fù)習(xí)知識(shí)講解等比數(shù)列的定義從第二項(xiàng)開(kāi)始，后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比為同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)是等比數(shù)列的公比，用表示數(shù)學(xué)表達(dá)式通項(xiàng)公式，，，等比數(shù)列通項(xiàng)公式與函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列為指數(shù)型函數(shù)等比中項(xiàng)若，，三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則,其中叫做，的等比中項(xiàng)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的性質(zhì)（1）若或（2）若，為等比數(shù)列，則，仍為等比數(shù)列等比數(shù)列前n項(xiàng)和等比數(shù)列前n項(xiàng)和與函數(shù)關(guān)系等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是指數(shù)型函數(shù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)（1），，……仍成等比數(shù)列（2）證明數(shù)列為等比數(shù)列的方法（1）（為常數(shù)）為等比數(shù)列（2）若,則，，三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列考點(diǎn)一、等比數(shù)列項(xiàng)、公比及通項(xiàng)公式的求解1．（2024·山東青島·一模）等比數(shù)列中，，，則（

）A．32 B．24 C．20 D．16【答案】A【分析】利用已知求出首項(xiàng)和公比,再求.【詳解】由題得所以.故選：A.2．（2022·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項(xiàng)和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項(xiàng)與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用兩個(gè)等式，結(jié)合方程的思想，全部轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程組可得.【詳解】設(shè)數(shù)列的公比為，由得，所以，又因?yàn)楦黜?xiàng)均為正數(shù)，所以，由得，所以，故，故選：A.4．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首項(xiàng)后可求通項(xiàng)；（2）利用分組求和法即可求.【詳解】（1）因?yàn)?故，所以即故等比數(shù)列的公比為，故，故，故.（2）由等比數(shù)列求和公式得，所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.1．（2023·全國(guó)·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.【答案】【分析】根據(jù)等比數(shù)列公式對(duì)化簡(jiǎn)得，聯(lián)立求出，最后得.【詳解】設(shè)的公比為，則，顯然，則，即，則，因?yàn)?，則，則，則，則，故答案為：.2．（2024·四川遂寧·三模）等比數(shù)列中，，．(1)求的通項(xiàng)公式：(2)記為的前n項(xiàng)和，若，求m．【答案】(1)或．(2)．【分析】（1）由條件求出公比，即可求解通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，代入等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，即可求解.【詳解】（1）等比數(shù)列中，，．，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，的通項(xiàng)公式為，或．（2）記為的前n項(xiàng)和．當(dāng)，時(shí)，，由，得，，無(wú)解；當(dāng)，時(shí)，，由，得，，解得．3．（2024·上海·三模）已知等比數(shù)列的公比，且，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，且是嚴(yán)格增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）是嚴(yán)格增數(shù)列，利用恒成立即可求解.【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，且，所以或2，若，，則與矛盾，舍去，若，，則，，滿(mǎn)足題意，所以．（2）因?yàn)?，是?yán)格增數(shù)列，所以對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，，即對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，所以，因?yàn)樵谏蠂?yán)格遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，所以的取值范圍是.考點(diǎn)二、等比中項(xiàng)的應(yīng)用1．（2024·湖北荊州·三模）若實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則=.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的公差計(jì)算求出，再根據(jù)等比中項(xiàng)求出即可.【詳解】實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，則等差數(shù)列的公差為，成等比數(shù)列，則，由于等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，所以，所以，則.故答案為：.2．（2024·江西九江·三模）已知等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項(xiàng)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)等比中項(xiàng)的定義得出；再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得出，化簡(jiǎn)即可解答.【詳解】因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以.又因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，公差為，所以，化簡(jiǎn)得，即，所以.故選：A.3．（2024·廣東茂名·模擬預(yù)測(cè)）在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，若，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為.【答案】165【分析】由等比和等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，再由前項(xiàng)和公式求出結(jié)果即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得，即，因公差大于零，解得，（舍），所以，故答案為：165.1．（2024·廣東江門(mén)·一模）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則＝（）A．3 B．4 C．8 D．9【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，可求結(jié)論.【詳解】由各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，且，可得，所以.故選：B.2．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，若成等比數(shù)列，則（

）A．9 B．12 C．18 D．27【答案】D【分析】利用等比中項(xiàng)列式，借助等差數(shù)列通項(xiàng)公式求解即得.【詳解】由成等比數(shù)列，得，所以，解得，所以.故選：D3．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列，則（

）A．157 B．156 C．74 D．73【答案】D【分析】由等比中項(xiàng)性質(zhì)求得，由等差中項(xiàng)性質(zhì)得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算求得，進(jìn)而求解即可.【詳解】由等比中項(xiàng)性質(zhì)知.由成等差數(shù)列，得，所以，所以等比數(shù)列的公比，所以，所以.故選：D.考點(diǎn)三、等比數(shù)列的性質(zhì)1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，是的兩個(gè)根，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程韋達(dá)定理得出，得出，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)，計(jì)算出結(jié)果；【詳解】若，是的兩個(gè)根，則，因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，，.故選：C.2．（廣東·高考真題）若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則.【答案】.【詳解】由得，所以【點(diǎn)睛】等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.3．（全國(guó)·高考真題）設(shè)是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比，且，那么（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，設(shè)，，，則A，B，C成等比數(shù)列，然后利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可求得答案【詳解】設(shè)，，，則A，B，C成等比數(shù)列，公比為，且,由條件得，所以，所以，所以.故選：B4．（全國(guó)·高考真題）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A． B．7 C．6 D．【答案】A【詳解】試題分析：由等比數(shù)列的性質(zhì)知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比數(shù)列，所以a4a5a6＝故答案為考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)、指數(shù)冪的運(yùn)算、根式與指數(shù)式的互化等知識(shí)，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．1．（23-24高二上·山東青島·階段練習(xí)）等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．5 D．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解.【詳解】因?yàn)槭歉黜?xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，所以，即，則記，則，兩式相加得，所以，即.故選：B.2．（2024·北京朝陽(yáng)·一模）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則（

）A．9 B．16 C．21 D．25【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)求，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，即，得，.故選：C3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，且，則.【答案】64【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即可求解.【詳解】設(shè)公比為，由可得，故，所以，故答案為：64考點(diǎn)四、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的求解1．（2023·全國(guó)·高考真題）設(shè)等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和，若，，則（

）A． B． C．15 D．40【答案】C【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于的方程,計(jì)算出,即可求出.【詳解】由題知,即,即,即.由題知,所以.所以.故選:C.2．（2024·山西晉中·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A． B．3 C．1 D．【答案】B【分析】設(shè)公比為，推導(dǎo)出，即可求出的值.【詳解】設(shè)公比為，當(dāng)時(shí)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，又，所以，解得.故選：B3．（全國(guó)·高考真題）等比數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記為的前項(xiàng)和．若，求．【答案】（1）或.（2）.【詳解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n項(xiàng)和，解方程可得m．詳解：（1）設(shè)的公比為，由題設(shè)得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，則．由得，此方程沒(méi)有正整數(shù)解．若，則．由得，解得．綜上，．點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題．1．（2023·全國(guó)·高考真題）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為．【答案】【分析】先分析，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式和平方差公式化簡(jiǎn)即可求出公比.【詳解】若，則由得，則，不合題意.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，即，解?故答案為：2．（2024·江西南昌·三模）已知是單調(diào)遞減的等比數(shù)列，若，前3項(xiàng)和，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知條件得，解得，再使用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列求和公式求解即可.【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列公比為，則，解得或，由因?yàn)閿?shù)列為單調(diào)遞減的等比數(shù)列，所以，所以，.故選：AD.3．（全國(guó)·高考真題）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】(1)結(jié)合已知條件求出公比，進(jìn)而可得到答案；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論求出，然后結(jié)合基本不等式即可證明.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以由等比?shù)列性質(zhì)可知，，即，故，從而數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由(1)中結(jié)論可知，，則，故，由基本不等式可知，，即，所以，考點(diǎn)五、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)1．（2023·全國(guó)·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．【答案】C【分析】方法一：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出公比，再根據(jù)的關(guān)系即可解出；方法二：根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì)求解．【詳解】方法一：設(shè)等比數(shù)列的公比為，首項(xiàng)為，若，則，與題意不符，所以；若，則，與題意不符，所以；由，可得，，①，由①可得，，解得：，所以．故選：C．方法二：設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，所以，否則，從而，成等比數(shù)列，所以有，，解得：或，當(dāng)時(shí)，，即為，易知，，即；當(dāng)時(shí)，，與矛盾，舍去．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，以及整體思想的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是把握的關(guān)系，從而減少相關(guān)量的求解，簡(jiǎn)化運(yùn)算．2．（2021·全國(guó)·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根據(jù)題目條件可得，，成等比數(shù)列，從而求出，進(jìn)一步求出答案.【詳解】∵為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.3．（2024·湖南邵陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）記為公比小于1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和，，，則（

）A．6 B．3 C．1 D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列片斷和性質(zhì)列式計(jì)算即得.【詳解】依題意，成等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，設(shè)其公比為，則，由，得，整理得，由等比數(shù)列的公比小于1，得，解得，所以.故選：B4．（23-24高二上·湖南衡陽(yáng)·期末）已知等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為.若，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．7【答案】C【分析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和列出與，兩式相比即可解出答案；或根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)得，，成等比數(shù)列，且公比為，即可列式，代入值即可解出答案.【詳解】法一：因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為，則，，所以，解得.法二：根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)得，，成等比數(shù)列，且公比為，所以，即，解得..故選：C1．（2024·四川內(nèi)江·三模）在等比數(shù)列中，為其前項(xiàng)和，若，則的值為（

）A．25 B．30 C．35 D．40【答案】C【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，可得，所以.故選：C2．（2024·湖北襄陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（

）A．40 B．-30 C．30 D．-30或40【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知片段和成等比數(shù)列，求出片段和等比數(shù)列公比即可得解.【詳解】因?yàn)?，且，所以，，故，所以，即，解得或（舍去），由等比?shù)列性質(zhì)可知，成等比數(shù)列，公比為所以，解得，故選：A3．（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè)）在正項(xiàng)等比數(shù)列中，為其前n項(xiàng)和，若，，則的值為（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】C【分析】由等比數(shù)列片段和依然成等比數(shù)列，結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可列式求解.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，則是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，若，，則，所以，即，解得或（舍去）.故選：C.考點(diǎn)六、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，為實(shí)數(shù)，則.【答案】【分析】根據(jù)已知和求通項(xiàng)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，即，解得或0（舍去），所以，，公比，所以.故答案為：.2．（2024·寧夏銀川·三模）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，(1)求的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得成立的n的最小值.【答案】(1)(2)11【分析】（1）利用數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解；（2）利用（1）的結(jié)論得到求解.【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，由，得，兩式相減得，即，又，且，所以是等比數(shù)列，所以；（2）由（1）知：，則數(shù)列的前n項(xiàng)和為，所以不等式，即為，即，所以，所以使得成立的n的最小值為11.3．（23-24高三上·廣東潮州·期末）公比為的等比數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求與的值；(2)若，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：．【答案】(1)，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)作差求出，即可求出公比與參數(shù)的值；（2）由（1）可得，則，利用等差數(shù)列求和公式求出，從而得到，利用裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，所以，，，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，則，又，，解得；（2）由（1）可得，所以，，當(dāng)時(shí)，，．4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)；（2）設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足，記的前n項(xiàng)和為，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由，結(jié)合與的關(guān)系，分討論，得到數(shù)列為等比數(shù)列，即可得出結(jié)論；（2）由結(jié)合的結(jié)論，利用錯(cuò)位相減法求出，對(duì)任意恒成立，分類(lèi)討論分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為與關(guān)于的函數(shù)的范圍關(guān)系，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，由①，得②，①②得，又是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，；（2）由，得，所以，，兩式相減得，所以，由得恒成立，即恒成立，時(shí)不等式恒成立；時(shí)，，得；時(shí)，，得；所以.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）已知求不要忽略情況；（2）恒成立分離參數(shù)時(shí)，要注意變量的正負(fù)零討論，如（2）中恒成立，要對(duì)討論，還要注意時(shí)，分離參數(shù)不等式要變號(hào).1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“為等比數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】先考查充分性：利用，驗(yàn)證即可，再考查必要性，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足條件，但不是等比數(shù)列，即可判斷.【詳解】若是等比數(shù)列，則，，所以，即．若，令滿(mǎn)足條件，但不是等比數(shù)列．所以是充分不必要條件．故選：A．2．（浙江·高考真題）設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為.已知=4，=2+1，.（Ⅰ）求通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列{||}的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【詳解】試題分析：本題主要考查等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查數(shù)列基本思想方法，以及推理論證能力.試題解析：（Ⅰ）由題意得，則又當(dāng)時(shí)，由，得.又,所以，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（Ⅱ）設(shè)，，.當(dāng)時(shí)，由于，故.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足上式，所以，【考點(diǎn)】等差、等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí).【方法點(diǎn)睛】數(shù)列求和的常用方法：（1）錯(cuò)位相減法：形如數(shù)列的求和，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列；（2）裂項(xiàng)法：形如數(shù)列或的求和，其中，是關(guān)于的一次函數(shù)；（3）分組法：數(shù)列的通項(xiàng)公式可分解為幾個(gè)容易求和的部分．3．（山東·高考真題）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為.已知.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿(mǎn)足，求的前n項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系求解；（Ⅱ）結(jié)合第（Ⅰ）問(wèn)的結(jié)果，利用關(guān)系式求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并結(jié)合其通項(xiàng)的結(jié)構(gòu)特征，采用錯(cuò)位相減法求其前n項(xiàng)和.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，，故?dāng)時(shí)，此時(shí)，即所以，（Ⅱ）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，兩式相減，得所以，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)也適合，綜上可得：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，特殊數(shù)列的求和問(wèn)題，關(guān)鍵在于運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行數(shù)列求和，注意考慮的情況，屬于中檔題.4．（2024·黑龍江·二模）已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，其中.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)在與之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項(xiàng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系可得，從而可得公比，故可求首項(xiàng)從而得到通項(xiàng)公式；（2）先求出的通項(xiàng)，再利用反證法結(jié)合等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得矛盾，從而得到數(shù)列中不存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.【詳解】（1）因?yàn)?，故，故，而為等比?shù)列，故其公比為，又，故，故，故.（2）由題設(shè)可得，若數(shù)列中存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列，則，因?yàn)榈炔顢?shù)列，故即，故，故即，這樣不同矛盾，故數(shù)列中不存在不同三項(xiàng)，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列.考點(diǎn)七、等比數(shù)列的函數(shù)特性與最值1．（北京·高考真題）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】試題分析：當(dāng)時(shí)，不是遞增數(shù)列；當(dāng)且時(shí)，是遞增數(shù)列，但是不成立，所以選D.考點(diǎn)：等比數(shù)列2．（2023·上海浦東新·三模）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)甲：，乙：是嚴(yán)格增數(shù)列，則甲是乙的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】D【分析】舉出反例得到充分性和必要性均不成立.【詳解】不妨設(shè)，則，滿(mǎn)足，但是嚴(yán)格減數(shù)列，充分性不成立，當(dāng)時(shí)，是嚴(yán)格增數(shù)列，但，必要性不成立，故甲是乙的既非充分又非必要條件.故選：D3．（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿(mǎn)足，則取最大值時(shí)的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，有，由函數(shù)單調(diào)遞增，且，可得.有，由數(shù)列單調(diào)遞減，所以取得最大值時(shí)的值為9，故選：B.4．（2024·湖北·二模）（多選）無(wú)窮等比數(shù)列的首項(xiàng)為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（

）A．， B．，C．， D．，【答案】BC【分析】結(jié)合選項(xiàng)，利用等比數(shù)列單調(diào)性分析判斷即可.【詳解】，時(shí)，等比數(shù)列單調(diào)遞減，故只有最大值，沒(méi)有最小值；，時(shí)，等比數(shù)列為擺動(dòng)數(shù)列，此時(shí)為大值，為最小值；，時(shí)，奇數(shù)項(xiàng)都相等且小于零，偶數(shù)項(xiàng)都相等且大于零，所以等比數(shù)列有最大值，也有最小值；，時(shí)，因?yàn)椋詿o(wú)最大值，奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)無(wú)最小值，偶數(shù)項(xiàng)為正無(wú)最大值.故選：BC5．（23-24高三上·江西·期中）（多選）在等比數(shù)列中，，，，若為的前項(xiàng)和，為的前項(xiàng)積，則（

）A．為單調(diào)遞增數(shù)列 B．C．為的最大項(xiàng) D．無(wú)最大項(xiàng)【答案】BC【分析】由，，可得，，結(jié)合分析可得，，，則為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.選項(xiàng)B正確.，根據(jù)單調(diào)遞減和，可知為的最大項(xiàng)，則選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】由，因此.又因?yàn)閯t.當(dāng)時(shí)，，則，，則，與題意矛盾.因此.則為單調(diào)遞減數(shù)列，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.而，故，選項(xiàng)B正確.又因?yàn)闉閱握{(diào)遞減數(shù)列，則，由可知，，，所以當(dāng)時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，，則.因此的最大項(xiàng)為，則選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故答案為：BC.1．（23-24高三上·天津南開(kāi)·階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的公比為，則“且”是“是遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，分別驗(yàn)證充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得，，當(dāng)且時(shí)，則，且單調(diào)遞減，則是遞減數(shù)列，故充分性滿(mǎn)足；當(dāng)是遞減數(shù)列，可得或，故必要性不滿(mǎn)足；所以“且”是“是遞減數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)的積為，且公比，若對(duì)于任意正整數(shù)，，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性即可求解，即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】根據(jù)題意，在時(shí)取得最小值，所以為單調(diào)遞增數(shù)列，所以，所以A正確，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意，所以C錯(cuò)誤；由可得，即，所以，所以D正確．故選：AD．3．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則取最大值時(shí)，的值為．【答案】【分析】根據(jù)求出、、，由等比中項(xiàng)有，進(jìn)而求得，得到等比數(shù)列的首項(xiàng)、公比、通項(xiàng)公式，再結(jié)合的單調(diào)性，即可求出最大時(shí)的值.【詳解】，，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，有，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，數(shù)列是遞減數(shù)列，，，所以時(shí)，最大.故答案為：.4．（2023·廣東佛山·一模）等比數(shù)列公比為，，若（），則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、充分性和必要性的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列公比為，所以，當(dāng)時(shí)，，，顯然數(shù)列為不是遞增數(shù)列；當(dāng)“數(shù)列為遞增數(shù)列”時(shí)，有，因?yàn)?，所以如果，例如，顯然有，，顯然數(shù)列為不是遞增數(shù)列，因此有，，所以由，當(dāng)時(shí)，顯然對(duì)于恒成立，當(dāng)時(shí)，對(duì)于不一定恒成立，例如；當(dāng)時(shí)，對(duì)于不一定恒成立，例如；當(dāng)時(shí)，對(duì)于恒不成立，因此“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B考點(diǎn)八、等比數(shù)列中的數(shù)學(xué)文化1．（22-23高三上·安徽六安·階段練習(xí)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難.次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān).要見(jiàn)每朝行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”意思是：有一個(gè)人要走441里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完.則此人最后一天走的路程是（

）A．7里 B．14里 C．21里 D．112里【答案】A【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)求解，【詳解】設(shè)為公比為的等比數(shù)列，則，解得，則，故選：A2．（北京·高考真題）“十二平均律”

是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn).十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為A． B．C． D．【答案】D【詳解】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個(gè)單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)可解.詳解：因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為，所以，又，則故選D.點(diǎn)睛：此題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項(xiàng)公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.3．（2023·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）（多選）佩爾數(shù)列是一個(gè)呈指數(shù)增長(zhǎng)的整數(shù)數(shù)列．隨著項(xiàng)數(shù)越來(lái)越大，其后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值越來(lái)越接近于一個(gè)常數(shù)，該常數(shù)稱(chēng)為白銀比．白銀比和三角平方數(shù)、佩爾數(shù)及正八邊形都有關(guān)系．記佩爾數(shù)列為，且，，．則（

）A． B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C． D．白銀比為【答案】ACD【分析】由遞推公式得出，即可判斷A；計(jì)算，，，由等比數(shù)列的定義即可判斷B；設(shè)數(shù)列是公比為是等比數(shù)列，求出和的值，得出，即可判斷C；由通項(xiàng)公式得出，化簡(jiǎn)后根據(jù)白銀比的定義，求出白銀比即可判斷D．【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，，，，，，，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)數(shù)列是公比為是等比數(shù)列，則，所以，所以，所以或；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，，故D正確，故選：ACD．1．（2023·廣東揭陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān)”.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后天共走的里程數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)第天走里，其中，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式求出的值，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得此人后天共走的里程數(shù).【詳解】設(shè)第天走里，其中，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，所以，，解得，所以，此人后三天所走的里程數(shù)為.故選：D.2．（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）公元前1650年的埃及萊因德紙草書(shū)上載有如下問(wèn)題：“十人分十斗玉米，從第二人開(kāi)始，各人所得依次比前人少八分之一，問(wèn)每人各得玉米多少斗？”在上述問(wèn)題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．斗 B．斗C．斗 D．斗【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式計(jì)算．【詳解】由題意記10人每人所得玉米時(shí)依次為，則時(shí)，，，即是等比數(shù)列，由已知，，（斗）．故選：A．3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）《塵劫記》是元代一部經(jīng)典的古典數(shù)學(xué)著作，里面記載了一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：假設(shè)每對(duì)老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個(gè)月后，有一對(duì)老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個(gè)月后，每對(duì)老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此類(lèi)推.記每個(gè)月新生的老鼠數(shù)量為，每個(gè)月老鼠的總數(shù)量為，數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，可知，，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求得的值判斷選項(xiàng)A；求得的值判斷選項(xiàng)B；求得的值判斷選項(xiàng)C；求得的值判斷選項(xiàng)D.【詳解】依題意，，.因?yàn)椋?，所?故數(shù)列是以14為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列.故，，而，故.故，，選項(xiàng)A：.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：.判斷正確；選項(xiàng)D：.判斷錯(cuò)誤.故選：C.考點(diǎn)九、等比數(shù)列的證明1．（全國(guó)·高考真題）數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，已知，（），求證：（1）數(shù)列是等比數(shù)列；（2）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由化簡(jiǎn)已知條件，得到，從而證得數(shù)列是等比數(shù)列.（2）由（1）求得，由此結(jié)合已知條件化簡(jiǎn)得到.【詳解】（1）∵，，∴．即，∴．故是以2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可知，∴．又，．∴對(duì)于任意正整數(shù)n，都有．【點(diǎn)睛】數(shù)學(xué)的證明主要是通過(guò)演繹推理來(lái)進(jìn)行的，一個(gè)復(fù)雜的數(shù)學(xué)命題的推理往往是由多個(gè)“三段論”構(gòu)成的．“如果，，則”這種推理規(guī)則叫做三段論推理．在演繹推理中，只要前提（大前提、小前提）和推理形式是正確的，結(jié)論必定是正確的，否則所得的結(jié)論是錯(cuò)誤的．2．（四川·高考真題）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知．(1)證明：當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列；(2)求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)證明見(jiàn)解析.(2)當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí).【分析】（1）當(dāng)時(shí)，由題設(shè)條件知,由此可知，即可證明結(jié)論．（2）當(dāng)時(shí)，由題設(shè)條件結(jié)合（1）可求得；當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，由題設(shè)推出，求得，綜合可得出的通項(xiàng)公式．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由題意知，令，則，解得，且，，兩式相減得，于是，又，所以是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，即,當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)且時(shí)，由得，兩式相減得，即，故，因此，令，則即，即為首項(xiàng)為，公比為b的等比數(shù)列，故，則,時(shí)，適合上式，故.3．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足.(1)證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)是否存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的正整數(shù)，總成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)存在，，【分析】（1）由已知可得，可得是首項(xiàng)為、公比為－1的等比數(shù)列，可求通項(xiàng)公式；（2）假設(shè)成立，由（1）可得，化簡(jiǎn)可得存在正整數(shù)，當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)，總成立.【詳解】（1）由，得，所以，又，故，由遞推公式可得,所以，所以是首項(xiàng)為、公比為－1的等比數(shù)列.故，即；（2）由（1）可得，所以，假設(shè)成立，則，化簡(jiǎn)得.可知當(dāng)為正偶數(shù)，即時(shí)，（*）式對(duì)任意的正整數(shù)總成立.因此，存在正整數(shù)，當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意的正整數(shù)，總成立.4．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)，若是遞增數(shù)列，求實(shí)數(shù)的范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）利用及已知條件得到遞推式，然后證明并驗(yàn)證首項(xiàng)非零即可；（2）求出，并將命題轉(zhuǎn)化為恒成立，然后取即得到，再證明時(shí)不等式恒成立.【詳解】（1）由知，得.由已知有，故，得.而，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.（2）根據(jù)（1）的結(jié)論有，即.那么就有.命題等價(jià)于恒成立，即.此即，化簡(jiǎn)得到.從而要求的取值范圍使得恒成立.一方面，對(duì)該不等式取可得到，即；另一方面，若，則，，故我們恒有，即.所以的取值范圍是.5．（22-23高三上·浙江寧波·期末）已知正項(xiàng)數(shù)列中，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)，證明：.【答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知得，得到是以為公比的等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；（2）求出，利用裂項(xiàng)相消法即可求證.【詳解】（1）由，，得，又，則是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，.（2）證明：因?yàn)椋?6．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列滿(mǎn)足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2).【分析】（1）利用等比數(shù)列的定義證明，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；（2）由（1）可得，再裂項(xiàng)相消可知，進(jìn)而求解二次不等式即可.【詳解】（1）由題可知：，又，故是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，即.（2），，且當(dāng)趨于時(shí)，趨近于1，所以由恒成立，可知，解得.一、單選題1．（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)積，若，且（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)求解即可.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)，得，所以.故選:B.2．（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測(cè)）等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式特征求解即可.【詳解】若等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，則，矛盾，故設(shè)等比數(shù)列公比為，則，即等比數(shù)列的前項(xiàng)和要滿(mǎn)足，又因?yàn)?，所?故選：B二、多選題3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，首項(xiàng)，且滿(mǎn)足，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)遞推關(guān)系代入即可求解AB，根據(jù)遞推關(guān)系可證明是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，可得，即可利用分組求和，結(jié)合等比求和公式求解CD.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，得，又，所以，取，得，所以，顯然，即數(shù)列一定不是等比數(shù)列，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，取，得，取，得，所以，所以B正確；對(duì)于C，D選項(xiàng)，由，得，又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，，，，所以C，D均正確．故選:BCD．三、填空題4．（2024·上海浦東新·三模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則.【答案】255【分析】根據(jù)題意結(jié)合通項(xiàng)公式求，進(jìn)而結(jié)合等比數(shù)列求和公式運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由題意可得，解得，所以.故答案為：255.5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為各項(xiàng)均不相等的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列，則.【答案】【分析】數(shù)列公比為，則，則由題意可得，解出公比，從而可求出.【詳解】設(shè)數(shù)列公比為，則，成等差數(shù)列，，即，整理得，解得，或（舍去），∴故答案為：四、解答題6．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若成等差數(shù)列，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的基本量計(jì)算即可求解；（2）裂項(xiàng)相消法求得，再利用數(shù)列單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，由成等差數(shù)列可得，故，解得，由可得，解得，故，即數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）可得，故，又因?yàn)闉檫f增數(shù)列，則，又當(dāng)時(shí)，所以，故.7．（2024·陜西渭南·三模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)．【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知條件和等比數(shù)列基本量的計(jì)算，求出數(shù)列首項(xiàng)和公比，得通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法可得數(shù)列的前n項(xiàng)和．【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公比為，∵，，∴，即，∴（舍去），∴，即，∴．（2）∵，∴．∴，，兩式相減得，∴．8．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項(xiàng)和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與等比中項(xiàng)公式列出關(guān)于和d的方程，求解即可得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得等比數(shù)列的第三項(xiàng)，進(jìn)而得，從而得到的通項(xiàng)公式，利用等差和等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分組求和即可求出.【詳解】（1）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為d，由，得，即，由，，成等比數(shù)列得，，化簡(jiǎn)得，因?yàn)?，所以．所以．綜上．（2）由知，，又為公比是3的等比數(shù)列，，所以，即，所以，，所以.綜上.9．（2024·新疆喀什·三模）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿(mǎn)足（）．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并證明．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，證明見(jiàn)解析【分析】（1）由等比數(shù)列的定義即可求證，（2）由裂項(xiàng)相消法求和，即可求解,根據(jù)單調(diào)性，即可求證.【詳解】（1）由得，又，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．（2）由（1）知，，所以所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故．10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，數(shù)列也為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，可先列出等比數(shù)列前三項(xiàng)，結(jié)合等比中項(xiàng)建立方程求解公比即可；（2）由等比數(shù)列求和公式求得，然后結(jié)合裂項(xiàng)相消計(jì)算求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，結(jié)合，得數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，由題意，得，所以，解得或，因?yàn)閿?shù)列是單調(diào)遞增的，所以，所以．（2）由（1）知，，所以，故

，故數(shù)列的前項(xiàng)和.一、單選題1．（2024·北京海淀·二模）設(shè)是公比為的無(wú)窮等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和．若，則“”是“數(shù)列存在最小項(xiàng)”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【答案】A【分析】先利用分類(lèi)討論思想結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性證明充分性，再舉反例證明不必要性，即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以此時(shí)數(shù)列遞增，存在是最小項(xiàng)，當(dāng)且，，當(dāng)，時(shí)，可知數(shù)列遞增，存在是最小項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可知數(shù)列還是遞增，存在是最小項(xiàng)，綜上“”是“數(shù)列存在最小項(xiàng)”的充分條件；當(dāng)，，不妨取：，，則，,當(dāng)時(shí)，，即此時(shí)是最小項(xiàng)，即“”不是“數(shù)列存在最小項(xiàng)”的必要條件，綜上可知：“”是“數(shù)列存在最小項(xiàng)”的充分不必要條件，故選：A.2．（2024·山東青島·二模）一只蜜蜂從蜂房出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號(hào)或2號(hào)蜂房，從1號(hào)蜂房只能爬到2號(hào)或3號(hào)蜂房……以此類(lèi)推，用表示蜜蜂爬到號(hào)蜂房的方法數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】由題意可得，則可推出，所以數(shù)列是等比數(shù)列，即可求得答案.【詳解】依題意，（），，當(dāng)時(shí)，，又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.故選：A.二、多選題3．（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知是等比數(shù)列的前5項(xiàng)中的其中3項(xiàng)，且，則的前7項(xiàng)和可能為（

）A． B． C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)等比數(shù)列分析可知：且或8，分或，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式分析求解，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)榈缺葦?shù)列中所有奇數(shù)項(xiàng)同號(hào)，所有偶數(shù)項(xiàng)同號(hào)，結(jié)合已知可知，其中2，8這兩項(xiàng)的奇偶性相同，又因?yàn)?，可知?，則有：若，，則，解得，符合題意，所以的前7項(xiàng)和為；若，，則，解得，此時(shí)，符合題意，所以的前7項(xiàng)和為；綜上所述：的前7項(xiàng)和為或．故選：AB．三、填空題4．（2024·北京·三模）已知等比數(shù)列滿(mǎn)足：（），請(qǐng)寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：．【答案】（答案不唯一，（，））【分析】根據(jù)給定條件，可得，公比，再寫(xiě)出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，，得，顯然，即，于是，解得，，滿(mǎn)足，，取，.故答案為：5．（2024·上?！と＃o(wú)窮等比數(shù)列滿(mǎn)足：，，則的各項(xiàng)和為．【答案】【分析】設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為，的前項(xiàng)和為，根據(jù)所給條件求出、，即可求出，再取極限即可.【詳解】設(shè)無(wú)窮等比數(shù)列的公比為，的前項(xiàng)和為，則，解得或，當(dāng)時(shí)，解得，所以，所以；當(dāng)時(shí)，解得，所以，所以；綜上可得的各項(xiàng)和為.故答案為：四、解答題6．（2024·陜西渭南·二模）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的前2n項(xiàng)和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，借助等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比及首項(xiàng)即可.（2）由（1）的結(jié)論，利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即得.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由及，得，解得，于是，即，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式是.（2）由（1）知，，所以.7．（2024·山東煙臺(tái)·三模）在數(shù)列中，已知，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）構(gòu)造等比數(shù)列數(shù)列即可求得通項(xiàng)公式；（2）代入（1）中的通項(xiàng)公式可得，再根據(jù)，結(jié)合累加求和證明即可.【詳解】（1）由可得，則，即，故是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.故，則，.（2）.易得，故.又，故.綜上有，即得證.8．（2024·浙江紹興·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，設(shè)．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）借助與的關(guān)系可消去，得到，借助將其轉(zhuǎn)換為后結(jié)合等比數(shù)列定義即可得證；（2）借助錯(cuò)位相減法計(jì)算即可得.【詳解】（1），即，即，則，即，即，又，故數(shù)列是以為首項(xiàng)、以為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）易得，即，則，則，有，則，故.9．（2024·浙江·三模）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿(mǎn)足，，，．(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．證明：．【答案】(1)，．(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意得到方程組，解得、，即可得解；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求出，即可得到，再由分組求和及裂項(xiàng)相消法計(jì)算可得.【詳解】（1）等比數(shù)列滿(mǎn)足，，所以單調(diào)遞增，設(shè)的公比為，等差數(shù)列的公差為，依題意可得，解得或（舍去），所以，．（2）由（1）可得，所以所以，故，又，，即，所以．10．（2024·江西贛州·二模）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，成等差數(shù)列.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)公式；(2)記的前n項(xiàng)和為，證明：.【答案】(1)證明見(jiàn)解析，(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由，，成等差數(shù)列可得：，利用兩邊同時(shí)除以，即可構(gòu)造為，所以第一問(wèn)就可以得證并計(jì)算通項(xiàng)；（2）關(guān)鍵是對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行放縮成等比數(shù)列公式求和并證明，所以想到和，最后就能證明不等式成立.【詳解】（1）由，，成等差數(shù)列可得：，因?yàn)?，可得，所以?xún)蛇呁瑫r(shí)除以得：，上式可化為：所以數(shù)列表示是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列所以，即（2）因?yàn)樗杂忠驗(yàn)樗?，（?dāng)n＝1時(shí)等號(hào)成立），綜上可知：.1．（2024·天津·高考真題）已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列．其前項(xiàng)和為．若．(1)求數(shù)列前項(xiàng)和；(2)設(shè)，．（?。┊?dāng)時(shí)，求證：；（ⅱ）求．【答案】(1)(2)①證明見(jiàn)詳解；②【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求，再結(jié)合等比數(shù)列求和公式分析求解；（2）①根據(jù)題意分析可知，，利用作差法分析證明；②根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列求和公式可得，再結(jié)合裂項(xiàng)相消法分析求解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)椋?，可得，整理得，解得或（舍去），所?（2）（i）由（1）可知，且，當(dāng)時(shí)，則，即可知，，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以；（ii）由（1）可知：，若，則；若，則，當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列，可得，所以，且，符合上式，綜上所述：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：1.分析可知當(dāng)時(shí)，，可知為等差數(shù)列；2.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得.2．（2023·天津·高考真題）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．16 B．32 C．54 D．162【答案】C【分析】由題意確定該數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則.故選：C.3．（2022·天津·高考真題）設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為，求證：；(3)求．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行基本量運(yùn)算即可得解；（2）由等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系結(jié)合分析法即可得證；（3）先求得，進(jìn)而由并項(xiàng)求和可得，再結(jié)合錯(cuò)位相減法可得解.【詳解】（1）設(shè)公差為d，公比為，則，由可得（舍去），所以；（2）證明：因?yàn)樗砸C，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；（3）因?yàn)?，所以，設(shè)所以，則，作差得，所以，所以.4．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿(mǎn)足．已知，，成等差數(shù)列．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）記和分別為和的前n項(xiàng)和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用等差數(shù)列的性質(zhì)及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯(cuò)位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯(cuò)位相減法求和，，．設(shè)，

⑧則．

⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯(cuò)位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構(gòu)造裂項(xiàng)法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過(guò)等式左右兩邊系數(shù)比對(duì)易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法設(shè)，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時(shí)采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類(lèi)型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項(xiàng)化簡(jiǎn)的更為簡(jiǎn)潔.（2）的方法一直接作差后利用錯(cuò)位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點(diǎn)，分別利用公式法和錯(cuò)位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；方法三采用構(gòu)造數(shù)