第03講 等比數(shù)列及其前n項和（學生版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第03講等比數(shù)列及其前n項和（9類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2024年新Ⅱ卷，第19題,17分由遞推關系證明等比數(shù)列求直線與雙曲線的交點坐標向量夾角的坐標表示2023年新Ⅱ卷，第8題,5分等比數(shù)列前n項和的基本量計算等比數(shù)列前n和的性質及應用無2022年新Ⅱ卷，第17題,10分等比數(shù)列通項公式的基本量計算等差數(shù)列通項公式的基本量計算數(shù)列不等式能成立(有解)問題2021年新Ⅱ卷，第12題,5分求等比數(shù)列前n項和數(shù)列新定義2020年新I卷，第18題,12分等比數(shù)列通項公式的基本量計算求等比數(shù)列前n項和無2020年新Ⅱ卷，第18題,12分等比數(shù)列通項公式的基本量計算求等比數(shù)列前n項和無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度中等，小題分值為5-6分，大題13-17分【備考策略】1.理解等比數(shù)列的概念2掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關系并能用等比數(shù)列的有關知識解決相應的問題4.熟練掌握等比數(shù)列通項公式與前n項和的性質【命題預測】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，一般給出數(shù)列為等比數(shù)列，或通過構造為等比數(shù)列，求通項公式及前n項和。需綜合復習知識講解等比數(shù)列的定義從第二項開始，后一項與前一項的比為同一個常數(shù)，這個數(shù)列是等比數(shù)列，這個常數(shù)是等比數(shù)列的公比，用表示數(shù)學表達式通項公式，，，等比數(shù)列通項公式與函數(shù)關系等比數(shù)列為指數(shù)型函數(shù)等比中項若，，三個數(shù)成等比數(shù)列，則,其中叫做，的等比中項等比數(shù)列通項公式的性質（1）若或（2）若，為等比數(shù)列，則，仍為等比數(shù)列等比數(shù)列前n項和等比數(shù)列前n項和與函數(shù)關系等比數(shù)列前項和公式是指數(shù)型函數(shù)等比數(shù)列前n項和的性質（1），，……仍成等比數(shù)列（2）證明數(shù)列為等比數(shù)列的方法（1）（為常數(shù)）為等比數(shù)列（2）若,則，，三個數(shù)成等比數(shù)列考點一、等比數(shù)列項、公比及通項公式的求解1．（2024·山東青島·一模）等比數(shù)列中，，，則（

）A．32 B．24 C．20 D．162．（2022·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．33．（2024·山東泰安·模擬預測）已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，則（

）A． B． C． D．4．（2024·全國·高考真題）已知等比數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和.1．（2023·全國·高考真題）已知為等比數(shù)列，，，則.2．（2024·四川遂寧·三模）等比數(shù)列中，，．(1)求的通項公式：(2)記為的前n項和，若，求m．3．（2024·上?！と＃┮阎缺葦?shù)列的公比，且，．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，且是嚴格增數(shù)列，求實數(shù)的取值范圍．考點二、等比中項的應用1．（2024·湖北荊州·三模）若實數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則=.2．（2024·江西九江·三模）已知等差數(shù)列的公差為，是與的等比中項，則（

）A． B． C． D．3．（2024·廣東茂名·模擬預測）在公差為正數(shù)的等差數(shù)列中，若，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前10項和為.1．（2024·廣東江門·一模）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則＝（）A．3 B．4 C．8 D．92．（2024·安徽馬鞍山·三模）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，若成等比數(shù)列，則（

）A．9 B．12 C．18 D．273．（2024·陜西安康·模擬預測）已知在正項等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列，則（

）A．157 B．156 C．74 D．73考點三、等比數(shù)列的性質1．（2024·四川成都·模擬預測）已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，是的兩個根，則的值為（

）A． B． C． D．2．（廣東·高考真題）若等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則.3．（全國·高考真題）設是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比，且，那么（

）A． B． C． D．4．（全國·高考真題）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{}，=5，=10，則=A． B．7 C．6 D．1．（23-24高二上·山東青島·階段練習）等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（

）A．12 B．10 C．5 D．2．（2024·北京朝陽·一模）已知等比數(shù)列的前項和為，且，，則（

）A．9 B．16 C．21 D．253．（2024·四川成都·模擬預測）設數(shù)列是等比數(shù)列，且，則.考點四、等比數(shù)列前項和的求解1．（2023·全國·高考真題）設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和，若，，則（

）A． B． C．15 D．402．（2024·山西晉中·模擬預測）設等比數(shù)列的前項和為，若，則（

）A． B．3 C．1 D．3．（全國·高考真題）等比數(shù)列中，．（1）求的通項公式；（2）記為的前項和．若，求．1．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前項和．若，則的公比為．2．（2024·江西南昌·三模）已知是單調遞減的等比數(shù)列，若，前3項和，則下列說法中正確的是（

）A． B． C． D．3．（全國·高考真題）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設是數(shù)列的前n項和，證明．考點五、等比數(shù)列前項和的性質1．（2023·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則（

）．A．120 B．85 C． D．2．（2021·全國·高考真題）記為等比數(shù)列的前n項和.若，，則（

）A．7 B．8 C．9 D．103．（2024·湖南邵陽·模擬預測）記為公比小于1的等比數(shù)列的前項和，，，則（

）A．6 B．3 C．1 D．4．（23-24高二上·湖南衡陽·期末）已知等比數(shù)列的公比為，前項和為.若，，則（

）A．3 B．4 C．5 D．71．（2024·四川內江·三模）在等比數(shù)列中，為其前項和，若，則的值為（

）A．25 B．30 C．35 D．402．（2024·湖北襄陽·模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，且，則（

）A．40 B．-30 C．30 D．-30或403．（2024·江蘇揚州·模擬預測）在正項等比數(shù)列中，為其前n項和，若，，則的值為（

）A．10 B．20 C．30 D．40考點六、等比數(shù)列通項公式與前項和的關系1．（2024·全國·模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，為實數(shù)，則.2．（2024·寧夏銀川·三模）設數(shù)列的前n項和為，已知，(1)求的通項公式；(2)記數(shù)列的前n項和為，求使得成立的n的最小值.3．（23-24高三上·廣東潮州·期末）公比為的等比數(shù)列的前項和．(1)求與的值；(2)若，記數(shù)列的前項和為，求證：．4．（2021·浙江·高考真題）已知數(shù)列的前n項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項；（2）設數(shù)列滿足，記的前n項和為，若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.1．（2024·全國·模擬預測）記為數(shù)列的前n項和，則“為等比數(shù)列”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．（浙江·高考真題）設數(shù)列{}的前項和為.已知=4，=2+1，.（Ⅰ）求通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列{||}的前項和.3．（山東·高考真題）設數(shù)列的前n項和為.已知.（Ⅰ）求的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足，求的前n項和.4．（2024·黑龍江·二模）已知等比數(shù)列的前n項和為，且，其中.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，在數(shù)列中是否存在不同三項，，（其中成等差數(shù)列）成等比數(shù)列？若存在，求出這樣的三項；若不存在，請說明理由.考點七、等比數(shù)列的函數(shù)特性與最值1．（北京·高考真題）設是公比為的等比數(shù)列，則“”是“為遞增數(shù)列”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2023·上海浦東新·三模）設等比數(shù)列的前項和為，設甲：，乙：是嚴格增數(shù)列，則甲是乙的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件3．（2023·廣西·模擬預測）已知正項等比數(shù)列滿足，則取最大值時的值為（

）A．8 B．9 C．10 D．114．（2024·湖北·二模）（多選）無窮等比數(shù)列的首項為公比為q，下列條件能使既有最大值，又有最小值的有（

）A．， B．，C．， D．，5．（23-24高三上·江西·期中）（多選）在等比數(shù)列中，，，，若為的前項和，為的前項積，則（

）A．為單調遞增數(shù)列 B．C．為的最大項 D．無最大項1．（23-24高三上·天津南開·階段練習）設數(shù)列的公比為，則“且”是“是遞減數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2024·全國·模擬預測）（多選）已知正項等比數(shù)列的前項的積為，且公比，若對于任意正整數(shù)，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，則取最大值時，的值為．4．（2023·廣東佛山·一模）等比數(shù)列公比為，，若（），則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件考點八、等比數(shù)列中的數(shù)學文化1．（22-23高三上·安徽六安·階段練習）我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“三百七十八里關，初行健步不為難.次日腳痛減一半，六朝才得到其關.要見每朝行里數(shù)，請公仔細算相還.”意思是：有一個人要走441里路，第一天走得很快，以后由于腳痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6天剛好走完.則此人最后一天走的路程是（

）A．7里 B．14里 C．21里 D．112里2．（北京·高考真題）“十二平均律”

是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A． B．C． D．3．（2023·江蘇·模擬預測）（多選）佩爾數(shù)列是一個呈指數(shù)增長的整數(shù)數(shù)列．隨著項數(shù)越來越大，其后一項與前一項的比值越來越接近于一個常數(shù)，該常數(shù)稱為白銀比．白銀比和三角平方數(shù)、佩爾數(shù)及正八邊形都有關系．記佩爾數(shù)列為，且，，．則（

）A． B．數(shù)列是等比數(shù)列C． D．白銀比為1．（2023·廣東揭陽·模擬預測）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關”.其大意是：有人要去某關口，路程為里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后天共走的里程數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（2023·貴州遵義·模擬預測）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．斗 B．斗C．斗 D．斗3．（2023·全國·模擬預測）《塵劫記》是元代一部經(jīng)典的古典數(shù)學著作，里面記載了一個有趣的數(shù)學問題：假設每對老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1個月后，有一對老鼠生了12只小老鼠，一共14只；2個月后，每對老鼠各生12只小老鼠，一共98只，……，以此類推.記每個月新生的老鼠數(shù)量為，每個月老鼠的總數(shù)量為，數(shù)列，的前項和分別為，，可知，，，，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．考點九、等比數(shù)列的證明1．（全國·高考真題）數(shù)列的前n項和記為，已知，（），求證：（1）數(shù)列是等比數(shù)列；（2）．2．（四川·高考真題）設數(shù)列的前n項和為，已知．(1)證明：當時，是等比數(shù)列；(2)求的通項公式．3．（2024·全國·模擬預測）已知數(shù)列的首項，且滿足.(1)證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)是否存在正整數(shù)，使得對任意的正整數(shù)，總成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.4．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設，若是遞增數(shù)列，求實數(shù)的范圍.5．（22-23高三上·浙江寧波·期末）已知正項數(shù)列中，，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)，證明：.6．（2024·四川宜賓·模擬預測）已知數(shù)列滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，若對于任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.一、單選題1．（2024·黑龍江·模擬預測）已知為等比數(shù)列的前項積，若，且（

）A． B． C． D．2．（2024·西藏林芝·模擬預測）等比數(shù)列的前項和，則（

）A． B． C． D．二、多選題3．（23-24高二上·山西大同·期末）已知數(shù)列的前項和為，首項，且滿足，則下列四個結論中正確的是（

）A．數(shù)列是等比數(shù)列 B．C． D．三、填空題4．（2024·上海浦東新·三模）已知數(shù)列為等比數(shù)列，，，則.5．（2024·陜西西安·模擬預測）已知數(shù)列為各項均不相等的等比數(shù)列，其前項和為，且成等差數(shù)列，則.四、解答題6．（2024·陜西西安·模擬預測）已知為等比數(shù)列的前項和，若成等差數(shù)列，且．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，且數(shù)列的前項和為，求的取值范圍．7．（2024·陜西渭南·三模）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和為，且滿足，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和．8．（2024·浙江·模擬預測）已知數(shù)列為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項和為，，且，，成等比數(shù)列．(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列，且，求的前n項和．9．（2024·新疆喀什·三模）已知數(shù)列的首項，且滿足（）．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，求數(shù)列的前項和，并證明．10．（2024·全國·模擬預測）已知單調遞增的等比數(shù)列的前項和為，滿足，數(shù)列也為等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項公式．(2)記，求數(shù)列的前項和．一、單選題1．（2024·北京海淀·二模）設是公比為的無窮等比數(shù)列，為其前項和．若，則“”是“數(shù)列存在最小項”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件2．（2024·山東青島·二模）一只蜜蜂從蜂房出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側相鄰的兩個蜂房（如圖），例如：從蜂房只能爬到1號或2號蜂房，從1號蜂房只能爬到2號或3號蜂房……以此類推，用表示蜜蜂爬到號蜂房的方法數(shù)，則（

）A．1 B． C．2 D．二、多選題3．（2024·江西·模擬預測）已知是等比數(shù)列的前5項中的其中3項，且，則的前7項和可能為（

）A． B． C． D．三、填空題4．（2024·北京·三模）已知等比數(shù)列滿足：（），請寫出符合上述條件的一個等比數(shù)列的通項公式：．5．（2024·上?！と＃o窮等比數(shù)列滿足：，，則的各項和為．四、解答題6．（2024·陜西渭南·二模）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，前n項和為，且滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前2n項和.7．（2024·山東煙臺·三模）在數(shù)列中，已知，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，為數(shù)列的前n項和，證明：.8．（2024·浙江紹興·三模）已知數(shù)列的前n項和為，且，，設．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．9．（2024·浙江·三模）已知等比數(shù)列和等差數(shù)列，滿足，，，．(1)求數(shù)列，的通項公式；(2)記數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為．證明：．10．（