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Page第04講導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值(5類核心考點精講精練)1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2024年新I卷,第10題,6分求已知函數(shù)的極值點利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2024年新Ⅱ卷,第11題,6分極值與最值的綜合應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究具體函數(shù)單調(diào)性函數(shù)對稱性的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點判斷零點所在的區(qū)間2024年新Ⅱ卷,第16題,15分根據(jù)極值求參數(shù)求在曲線上一點處的切線方程利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性2023年新I卷,第11題,5分函數(shù)極值點的辨析函數(shù)的性質(zhì)、奇偶性的定義與判斷2023年新I卷,第22題,12分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)基本(均值)不等式的應(yīng)用、求平面軌跡方程、求直線與地物線相交所得弦的弦長2023年新Ⅱ卷,第11題,5分根據(jù)極值求參數(shù)根據(jù)二次函數(shù)零點的分布求參數(shù)的范圍2023年新Ⅱ卷,第22題,12分根據(jù)極值點求參數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(不含參)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點2022年新I卷,第8題,5分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(不含參)錐體體積的有關(guān)計算球的體積的有關(guān)計算多面體與球體內(nèi)切外接問題2022年新I卷,第10題,5分求已知函數(shù)的極值點求在曲線上一點處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點2022年新I卷,第22題,12分由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(含參)利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根2021年新I卷,第15題,5分由導(dǎo)數(shù)求函的最值(不含參)無2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容,設(shè)題穩(wěn)定,難度較大,分值為5-13-15分【備考策略】1.借助函數(shù)的圖象,了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件2能夠利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值以及在給定閉區(qū)間上的最大值、最小值3體會導(dǎo)數(shù)與極大(小)值、最大(小)值的關(guān)系【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的必考內(nèi)容,會結(jié)合導(dǎo)數(shù)來判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性,從而求得函數(shù)的極值或給定區(qū)間上的最值,熱點內(nèi)容,需綜合復(fù)習(xí)知識講解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)的極小值與極小值點若函數(shù)f(x)在點x=a處的函數(shù)值f(a)比它在點x=a附近其他點的函數(shù)值都小,,而且在點x=a附近的左側(cè),右側(cè),則點a叫做函數(shù)的極小值點,f(a)叫做函數(shù)的極小值.(2)函數(shù)的極大值與極大值點若函數(shù)f(x)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附近其他點的函數(shù)值都大,,而且在點x=b附近的左側(cè),右側(cè),則點b叫做函數(shù)的極大值點,f(b)叫做函數(shù)的極大值.(3)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系是極值點是極值點,即:是為極值點的必要非充分條件函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在[a,b]上有最值的條件如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,那么它必有最大值和最小值.(2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步驟①求函數(shù)y=f(x)在(a,b)內(nèi)的極值;②將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a),f(b)比較,其中最大的一個是最大值,最小的一個是最小值.考點一、求函數(shù)的極值或極值點1.(2024·全國·高考真題)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求的極值;(2)當(dāng)時,,求的取值范圍.【答案】(1)極小值為,無極大值.(2)【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性和零點可求函數(shù)的極值.(2)求出函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù),就、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,,故,因為在上為增函數(shù),故在上為增函數(shù),而,故當(dāng)時,,當(dāng)時,,故在處取極小值且極小值為,無極大值.(2),設(shè),則,當(dāng)時,,故在上為增函數(shù),故,即,所以在上為增函數(shù),故.當(dāng)時,當(dāng)時,,故在上為減函數(shù),故在上,即在上即為減函數(shù),故在上,不合題意,舍.當(dāng),此時在上恒成立,同理可得在上恒成立,不合題意,舍;綜上,.【點睛】思路點睛:導(dǎo)數(shù)背景下不等式恒成立問題,往往需要利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,有時還需要對導(dǎo)數(shù)進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)研究其符號特征,處理此類問題時注意利用范圍端點的性質(zhì)來確定如何分類.2.(2023·北京·高考真題)設(shè)函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(1)求的值;(2)設(shè)函數(shù),求的單調(diào)區(qū)間;(3)求的極值點個數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析(3)3個【分析】(1)先對求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到,,從而得到關(guān)于的方程組,解之即可;(2)由(1)得的解析式,從而求得,利用數(shù)軸穿根法求得與的解,由此求得的單調(diào)區(qū)間;(3)結(jié)合(2)中結(jié)論,利用零點存在定理,依次分類討論區(qū)間,,與上的零點的情況,從而利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值點的關(guān)系求得的極值點個數(shù).【詳解】(1)因為,所以,因為在處的切線方程為,所以,,則,解得,所以.(2)由(1)得,則,令,解得,不妨設(shè),,則,易知恒成立,所以令,解得或;令,解得或;所以在,上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,即的單調(diào)遞減區(qū)間為和,單調(diào)遞增區(qū)間為和.(3)由(1)得,,由(2)知在,上單調(diào)遞減,在,上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,,即所以在上存在唯一零點,不妨設(shè)為,則,此時,當(dāng)時,,則單調(diào)遞減;當(dāng)時,,則單調(diào)遞增;所以在上有一個極小值點;當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,則,故,所以在上存在唯一零點,不妨設(shè)為,則,此時,當(dāng)時,,則單調(diào)遞增;當(dāng)時,,則單調(diào)遞減;所以在上有一個極大值點;當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,則,故,所以在上存在唯一零點,不妨設(shè)為,則,此時,當(dāng)時,,則單調(diào)遞減;當(dāng)時,,則單調(diào)遞增;所以在上有一個極小值點;當(dāng)時,,所以,則單調(diào)遞增,所以在上無極值點;綜上:在和上各有一個極小值點,在上有一個極大值點,共有個極值點.【點睛】關(guān)鍵點睛:本題第3小題的解題關(guān)鍵是判斷與的正負(fù)情況,充分利用的單調(diào)性,尋找特殊點判斷即可得解.3.(2021·天津·高考真題)已知,函數(shù).(I)求曲線在點處的切線方程:(II)證明存在唯一的極值點(III)若存在a,使得對任意成立,求實數(shù)b的取值范圍.【答案】(I);(II)證明見解析;(III)【分析】(I)求出在處的導(dǎo)數(shù),即切線斜率,求出,即可求出切線方程;(II)令,可得,則可化為證明與僅有一個交點,利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況,數(shù)形結(jié)合即可求解;(III)令,題目等價于存在,使得,即,利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.【詳解】(I),則,又,則切線方程為;(II)令,則,令,則,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,,當(dāng)時,,畫出大致圖像如下:所以當(dāng)時,與僅有一個交點,令,則,且,當(dāng)時,,則,單調(diào)遞增,當(dāng)時,,則,單調(diào)遞減,為的極大值點,故存在唯一的極值點;(III)由(II)知,此時,所以,令,若存在a,使得對任意成立,等價于存在,使得,即,,,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,所以,故,所以實數(shù)b的取值范圍.【點睛】關(guān)鍵點睛:第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個交點;第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在,使得,即.1.(2024·湖南長沙·三模)已知函數(shù)().(1)求函數(shù)的極值;(2)若集合有且只有一個元素,求的值.【答案】(1)極大值是,無極小值;(2).【分析】(1)利用求導(dǎo),通過參數(shù),可分析出為正負(fù)的區(qū)間,從而可以判斷的極值;(2)利用不等式有唯一解,則正好是最大值取到等號,再去分析取等號的含參方程有解的條件,所以重新構(gòu)造新的函數(shù),通過求導(dǎo)來研究函數(shù)的零點和方程的解.【詳解】(1)由,因為,所以的定義域為,則,因為時,;時,.所以的單調(diào)遞增區(qū)間為;單調(diào)遞減區(qū)間為,所以是的極大值點,的極大值是,無極小值.(2)由(1)可得,要使得集合有且只有一個元素,則只需要設(shè),則,因為時,;時,,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為;單調(diào)遞增區(qū)間為.所以,所以關(guān)于的方程有解時,只能是,所以集合有且只有一個元素時.2.(2024·浙江溫州·三模)設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)證明:函數(shù)存在唯一的極大值點,且.(參考數(shù)據(jù):)【答案】(1)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,極大值,無極小值.(2)證明見解析【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值點,由單調(diào)性證明.【詳解】(1)函數(shù),定義域為,,,解得,解得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,故極大值為,無極小值.(2)由(1)可知,且,,所以根據(jù)零點定理,使,使,即時,,為減函數(shù);時,,為增函數(shù),所以存在唯一極大值點,即,又因為,所以,即,得證!3.(2024·陜西商洛·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.(1)證明:函數(shù)有且只有一個極值點;(2)若恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)求導(dǎo),結(jié)合函數(shù)單調(diào)性及零點存在定理說明的單調(diào)性即可證明;(2)換元,并分離參數(shù)求函數(shù)最值即可求解.【詳解】(1)證明:由題意知的定義域為,且,令,則,所以(即)在上單調(diào)遞增,又所以在上有唯一零點,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)有且只有一個極值點.(2)恒成立,即恒成立,即恒成立,即恒成立.令,則,所以,令,則,令,得,令,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以,解得,即實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查函數(shù)的極值點及不等式恒成立問題,關(guān)鍵是利用函數(shù)特點同構(gòu),得到恒成立..考點二、根據(jù)函數(shù)極值或極值點求參數(shù)值或范圍1.(2024·全國·高考真題)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;(2)若有極小值,且極小值小于0,求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)求導(dǎo),結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程;(2)解法一:求導(dǎo),分析和兩種情況,利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性和極值,分析可得,構(gòu)建函數(shù)解不等式即可;解法二:求導(dǎo),可知有零點,可得,進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)性和極值,分析可得,構(gòu)建函數(shù)解不等式即可.【詳解】(1)當(dāng)時,則,,可得,,即切點坐標(biāo)為,切線斜率,所以切線方程為,即.(2)解法一:因為的定義域為,且,若,則對任意恒成立,可知在上單調(diào)遞增,無極值,不合題意;若,令,解得;令,解得;可知在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,則有極小值,無極大值,由題意可得:,即,構(gòu)建,則,可知在內(nèi)單調(diào)遞增,且,不等式等價于,解得,所以a的取值范圍為;解法二:因為的定義域為,且,若有極小值,則有零點,令,可得,可知與有交點,則,若,令,解得;令,解得;可知在內(nèi)單調(diào)遞減,在內(nèi)單調(diào)遞增,則有極小值,無極大值,符合題意,由題意可得:,即,構(gòu)建,因為則在內(nèi)單調(diào)遞增,可知在內(nèi)單調(diào)遞增,且,不等式等價于,解得,所以a的取值范圍為.2.(2023·全國·高考真題)(1)證明:當(dāng)時,;(2)已知函數(shù),若是的極大值點,求a的取值范圍.【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】(1)分別構(gòu)建,,求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而可得結(jié)果;(2)根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究在上的單調(diào)性,求導(dǎo),分類討論和,結(jié)合(1)中的結(jié)論放縮,根據(jù)極大值的定義分析求解.【詳解】(1)構(gòu)建,則對恒成立,則在上單調(diào)遞增,可得,所以;構(gòu)建,則,構(gòu)建,則對恒成立,則在上單調(diào)遞增,可得,即對恒成立,則在上單調(diào)遞增,可得,所以;綜上所述:.(2)令,解得,即函數(shù)的定義域為,若,則,因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故是的極小值點,不合題意,所以.當(dāng)時,令因為,且,所以函數(shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù),由題意可得:,(i)當(dāng)時,取,,則,由(1)可得,且,所以,即當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增,結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知:在上單調(diào)遞減,所以是的極小值點,不合題意;(ⅱ)當(dāng)時,取,則,由(1)可得,構(gòu)建,則,且,則對恒成立,可知在上單調(diào)遞增,且,所以在內(nèi)存在唯一的零點,當(dāng)時,則,且,則,即當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可知:在上單調(diào)遞增,所以是的極大值點,符合題意;綜上所述:,即,解得或,故a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛:1.當(dāng)時,利用,換元放縮;2.當(dāng)時,利用,換元放縮.3.(2023·全國·高考真題)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;(2)是否存在a,b,使得曲線關(guān)于直線對稱,若存在,求a,b的值,若不存在,說明理由.(3)若在存在極值,求a的取值范圍.【答案】(1);(2)存在滿足題意,理由見解析.(3).【分析】(1)由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式,然后由導(dǎo)數(shù)的幾何意義確定切線的斜率和切點坐標(biāo),最后求解切線方程即可;(2)首先求得函數(shù)的定義域,由函數(shù)的定義域可確定實數(shù)的值,進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對稱性利用特殊值法可得關(guān)于實數(shù)的方程,解方程可得實數(shù)的值,最后檢驗所得的是否正確即可;(3)原問題等價于導(dǎo)函數(shù)有變號的零點,據(jù)此構(gòu)造新函數(shù),然后對函數(shù)求導(dǎo),利用切線放縮研究導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì),分類討論,和三中情況即可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,,則,據(jù)此可得,函數(shù)在處的切線方程為,即.(2)令,函數(shù)的定義域滿足,即函數(shù)的定義域為,定義域關(guān)于直線對稱,由題意可得,由對稱性可知,取可得,即,則,解得,經(jīng)檢驗滿足題意,故.即存在滿足題意.(3)由函數(shù)的解析式可得,由在區(qū)間存在極值點,則在區(qū)間上存在變號零點;令,則,令,在區(qū)間存在極值點,等價于在區(qū)間上存在變號零點,當(dāng)時,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,此時,在區(qū)間上無零點,不合題意;當(dāng),時,由于,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,在區(qū)間上單調(diào)遞增,,所以在區(qū)間上無零點,不符合題意;當(dāng)時,由可得,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,故的最小值為,令,則,函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增,,據(jù)此可得恒成立,則,由一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得,當(dāng)時,,且注意到,根據(jù)零點存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點.當(dāng)時,,單調(diào)減,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,所以.令,則,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以,所以,所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號零點,符合題意.綜合上面可知:實數(shù)得取值范圍是.【點睛】(1)求切線方程的核心是利用導(dǎo)函數(shù)求切線的斜率,求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商,再利用運(yùn)算法則求導(dǎo),合函數(shù)求導(dǎo),應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo),必要時要進(jìn)行換元.(2)根據(jù)函數(shù)的極值(點)求參數(shù)的兩個要領(lǐng):①列式:根據(jù)極值點處導(dǎo)數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組,利用待定系數(shù)法求解;②驗證:求解后驗證根的合理性.本題中第二問利用對稱性求參數(shù)值之后也需要進(jìn)行驗證.4.(2021·全國·高考真題)設(shè)函數(shù),已知是函數(shù)的極值點.(1)求a;(2)設(shè)函數(shù).證明:.【答案】(1);(2)證明見詳解【分析】(1)由題意求出,由極值點處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù);(2)由(1)得,且,分類討論和,可等價轉(zhuǎn)化為要證,即證在和上恒成立,結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】(1)由,,又是函數(shù)的極值點,所以,解得;(2)[方法一]:轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由(Ⅰ)知,,其定義域為.要證,即證,即證.(?。┊?dāng)時,,,即證.令,因為,所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),所以.(ⅱ)當(dāng)時,,,即證,由(?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù),所以.綜合(?。áⅲ┯校甗方法二]【最優(yōu)解】:轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)由(1)得,,且,當(dāng)時,要證,,,即證,化簡得;同理,當(dāng)時,要證,,,即證,化簡得;令,再令,則,,令,,當(dāng)時,,單減,故;當(dāng)時,,單增,故;綜上所述,在恒成立.[方法三]:利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明令,因為,所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù),在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù),所以,即(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號).故當(dāng)且時,且,,即,所以.(?。┊?dāng)時,,所以,即,所以.(ⅱ)當(dāng)時,,同理可證得.綜合(ⅰ)(ⅱ)得,當(dāng)且時,,即.【整體點評】(2)方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式:當(dāng)時,轉(zhuǎn)化為證明,當(dāng)時,轉(zhuǎn)化為證明,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,進(jìn)而證得;方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式:當(dāng)時,成立和當(dāng)時,成立,然后換元構(gòu)造,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進(jìn)而證得,通性通法,運(yùn)算簡潔,為最優(yōu)解;方法三先構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性,證得常見常用結(jié)論(當(dāng)且僅當(dāng)時取等號).然后換元得到,分類討論,利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式,有一定的巧合性.1.(2024·陜西銅川·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的一個極值為.(1)求實數(shù)的值;(2)若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18,求實數(shù)與的值.【答案】(1)或5(2)實數(shù)的值為的值為5【分析】(1)通過求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到極值點,根據(jù)極值為解出的值;(2)根據(jù)上的單調(diào)性,分,,,四種情況討論的最大值,只有中存在符合題意,令最大值為18,求得和的值.【詳解】(1)由,得,令,得或;令,得;令,得或.所以函數(shù)有兩個極值和.若,得,解得;若,得,解得.綜上,實數(shù)的值為-22或5.(2)由(1)得,在區(qū)間的變化情況如下表所示:1+0-0+極大值極小值由表可知,①當(dāng)時,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以最大值為,其值為或,不符合題意;②當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為,,,所以在上的最大值為,其值為或25,不符合題意;③當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為,,,所以在上的最大值為,其值為或25,不符合題意;④當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,若在區(qū)間上的最大值為,其值為或,不符合題意,又因為若,則.那么,函數(shù)在區(qū)間上的最大值只可能小于-2,不合題意,所以要使函數(shù)在區(qū)間上的最大值為18,必須使,且,即.所以,所以.所以,所以.所以或,所以或.因為,所以舍去.綜上,實數(shù)的值為的值為5.【點睛】方法點睛:函數(shù)在閉區(qū)間上的最值通過求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)性,從而函數(shù)的最大值在極大值和端點值中取大,函數(shù)的最小值在極小值和端點值中取小.2.(2024·重慶·模擬預(yù)測)已知(1)若在處的切線平行于x軸,求a的值;(2)若存在極值點,求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)已知條件有,解方程即可求出;(2)根據(jù)條件有在上至少有一個變號零點,即至少有一解,構(gòu)造函數(shù),對求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,求出函數(shù)最值,進(jìn)而即得.【詳解】(1)因為,所以,根據(jù)題意有,即,解得,檢驗,此時,切線為,平行與軸,故符合題意.(2)因為,所以,因為存在極值點,所以在上至少有一個變號零點,即至少有一解,令,則,令,即,解得,所以當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減,所以,又當(dāng)時,,所以.3.(2023·湖南郴州·一模)已知函數(shù).(1)若曲線在處切線與軸平行,求;(2)若在處取得極大值,求的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】(1)先對求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可得解;(2)分類討論的取值情況,利用導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)情況,從而得到其極值情況,由此得解.【詳解】(1)因為,所以,因為曲線在處切線與軸平行,所以,解得,又,所以.(2)的定義域為,,①當(dāng)時,令,得,令,得,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.在處取得極大值,滿足題意;②當(dāng)時,令,得,令,得,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.在處取得極大值,滿足題意;③當(dāng)時,(i)當(dāng)時,所以在上單調(diào)遞增,無極值,不滿足題意;(ii)當(dāng)時,,令,得,令,得或.在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.在處取得極小值,不滿足題意;(iii)當(dāng)時,,令,得,令,得或.在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.在處取得極大值,滿足題意;綜上所述,的取值范圍為.4.(2024·山東泰安·模擬預(yù)測)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)在有兩個極值點,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】(1)通過求函數(shù)的導(dǎo)數(shù),將分類,討論函數(shù)的單調(diào)性;(2)通過導(dǎo)數(shù)將函數(shù)極值問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個根即可.【詳解】(1)由題意可知,函數(shù)定義域為,導(dǎo)數(shù)時,恒成立時,當(dāng);當(dāng)時,當(dāng);當(dāng)綜上可知:時為常函數(shù),無單調(diào)區(qū)間時,單調(diào)增區(qū)間為:,單調(diào)減區(qū)間為:時,單調(diào)增區(qū)間為:,單調(diào)減區(qū)間為:.(2)因為,所以,因為在上有兩個極值點,則,即在上有兩個根,令,當(dāng)時,,單調(diào)遞減當(dāng)時,,單調(diào)遞增又因為時,,,所以在上有2個極值點需滿足.綜上所述,當(dāng)時,函數(shù)在上有兩個極值點.考點三、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值1.(2024·安徽·三模)已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程;(2)若,求函數(shù)在上的最值.【答案】(1)(2)最大值為,最小值為【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求出切線的斜率,即可求出結(jié)果;(2)利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系,求出和的解集,即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再求出兩端點函數(shù)值及極值,通過比較,即可求出結(jié)果.【詳解】(1)由函數(shù),可得,可得,且,所以切線的斜率為,切點為,則所求切線方程為.(2)由(1),當(dāng)時,可得,當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增,而,,,故所求最大值為,最小值為.2.(2024·廣東東莞·模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù),分類討論求區(qū)間;(2)結(jié)合(1)得到的函數(shù)單調(diào)性,分類討論函數(shù)最大值.【詳解】(1)的定義域為,求導(dǎo)數(shù),得,若,則,此時在上單調(diào)遞增,若,則由得,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,綜上,當(dāng),的增區(qū)間為,無減區(qū)間,若,減區(qū)間為,增區(qū)間為.(2)由(1)知,當(dāng)時,在區(qū)間上為增函數(shù),函數(shù)的最大值為,當(dāng)時,在區(qū)間上為減函數(shù),函數(shù)的最大值為,當(dāng)時,在區(qū)間上為減函數(shù),在上為增函數(shù),函數(shù)的最大值為,由,得,若時,函數(shù)的最大值為,若時,函數(shù)的最大值為,綜上,當(dāng)時,函數(shù)的最大值為,當(dāng)時,函數(shù)的最大值為.1.(2024·山東泰安·三模)已知函數(shù).(1)討論的最值;(2)若,且,求的取值范圍.【答案】(1)最小值為,無最大值.(2).【分析】(1)求得,結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號,求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,進(jìn)而求得其最值;(2)把不等式轉(zhuǎn)化為,令,利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】(1).解:因為的定義域為,可得.當(dāng)時,令,可得;當(dāng)時,,單調(diào)遞減,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,故當(dāng)時,取得極小值,也是最小值,且最小值為,無最大值.(2)解:當(dāng)時,由,可得,整理得,即,令,則,由(1)知,當(dāng)時,的最小值為,即恒成立,所以當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減.故當(dāng)時,取得最大值,即,故的取值范圍為.【點睛】方法技巧:對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略:1、合理轉(zhuǎn)化,根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值之間的比較,列出不等式關(guān)系式求解;2、構(gòu)造新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,從而求出參數(shù)的取值范圍;3、利用可分離變量,構(gòu)造新函數(shù),直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.4、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時,一般涉及分離參數(shù)法,但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況,若參變分離不易求解問題,就要考慮利用分類討論法和放縮法,注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.2.(2024·山西晉中·模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值;(2)判斷函數(shù)的零點個數(shù),并證明.【答案】(1)(2)函數(shù)在有且僅有一個零點,證明見解析【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令,利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性,結(jié)合零點存在性定理得到的單調(diào)性,即可求出在閉區(qū)間上的最小值;(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,借助零點存在性定理,討論,和時,的正負(fù),即可得出證明.【詳解】(1)因為,所以,令,,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,且,,所以由零點存在定理可知,在區(qū)間存在唯一的,使又當(dāng)時,;當(dāng)時,;所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,又因為,,所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.(2)函數(shù)在上有且僅有一個零點,證明如下:函數(shù),,則,若,,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,又,,結(jié)合零點存在定理可知,在區(qū)間有且僅有一個零點,若,則,,則,若,因為,所以,綜上,函數(shù)在有且僅有一個零點.3.(2021·北京·高考真題)已知函數(shù).(1)若,求曲線在點處的切線方程;(2)若在處取得極值,求的單調(diào)區(qū)間,以及其最大值與最小值.【答案】(1);(2)函數(shù)的增區(qū)間為、,單調(diào)遞減區(qū)間為,最大值為,最小值為.【分析】(1)求出、的值,利用點斜式可得出所求切線的方程;(2)由可求得實數(shù)的值,然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值,由此可得出結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng)時,,則,,,此時,曲線在點處的切線方程為,即;(2)因為,則,由題意可得,解得,故,,列表如下:增極大值減極小值增所以,函數(shù)的增區(qū)間為、,單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時,;當(dāng)時,.所以,,.考點四、由函數(shù)最值求參數(shù)值或范圍1.(2022·全國·高考真題)已知函數(shù)和有相同的最小值.(1)求a;(2)證明:存在直線,其與兩條曲線和共有三個不同的交點,并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【答案】(1)(2)見解析【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性,從而可得相應(yīng)的最小值,根據(jù)最小值相等可求a.注意分類討論.(2)根據(jù)(1)可得當(dāng)時,的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2,構(gòu)建新函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得的大小關(guān)系,根據(jù)存在直線與曲線、有三個不同的交點可得的取值,再根據(jù)兩類方程的根的關(guān)系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】(1)的定義域為,而,若,則,此時無最小值,故.的定義域為,而.當(dāng)時,,故在上為減函數(shù),當(dāng)時,,故在上為增函數(shù),故.當(dāng)時,,故在上為減函數(shù),當(dāng)時,,故在上為增函數(shù),故.因為和有相同的最小值,故,整理得到,其中,設(shè),則,故為上的減函數(shù),而,故的唯一解為,故的解為.綜上,.(2)[方法一]:由(1)可得和的最小值為.當(dāng)時,考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).設(shè),,當(dāng)時,,當(dāng)時,,故在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),所以,而,,設(shè),其中,則,故在上為增函數(shù),故,故,故有兩個不同的零點,即的解的個數(shù)為2.設(shè),,當(dāng)時,,當(dāng)時,,故在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),所以,而,,有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.當(dāng),由(1)討論可得、僅有一個解,當(dāng)時,由(1)討論可得、均無根,故若存在直線與曲線、有三個不同的交點,則.設(shè),其中,故,設(shè),,則,故在上為增函數(shù),故即,所以,所以在上為增函數(shù),而,,故上有且只有一個零點,且:當(dāng)時,即即,當(dāng)時,即即,因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點,故,此時有兩個不同的根,此時有兩個不同的根,故,,,所以即即,故為方程的解,同理也為方程的解又可化為即即,故為方程的解,同理也為方程的解,所以,而,故即.[方法二]:由知,,,且在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,且①時,此時,顯然與兩條曲線和共有0個交點,不符合題意;②時,此時,故與兩條曲線和共有2個交點,交點的橫坐標(biāo)分別為0和1;③時,首先,證明與曲線有2個交點,即證明有2個零點,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因為,,,令,則,所以在上存在且只存在1個零點,設(shè)為,在上存在且只存在1個零點,設(shè)為其次,證明與曲線和有2個交點,即證明有2個零點,,所以上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因為,,,令,則,所以在上存在且只存在1個零點,設(shè)為,在上存在且只存在1個零點,設(shè)為再次,證明存在b,使得因為,所以,若,則,即,所以只需證明在上有解即可,即在上有零點,因為,,所以在上存在零點,取一零點為,令即可,此時取則此時存在直線,其與兩條曲線和共有三個不同的交點,最后證明,即從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列,因為所以,又因為在上單調(diào)遞減,,即,所以,同理,因為,又因為在上單調(diào)遞增,即,,所以,又因為,所以,即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【點睛】思路點睛:函數(shù)的最值問題,往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,此時注意對參數(shù)的分類討論,而不同方程的根的性質(zhì),注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.2.(2024·海南·模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求曲線在點處的切線方程;(2)當(dāng)時,若函數(shù)有最小值2,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)求出,求導(dǎo),得到,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程;(2)求定義域,求導(dǎo),得到函數(shù)單調(diào)性和最小值,得到,構(gòu)造,求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合特殊點的函數(shù)值,得到答案.【詳解】(1)當(dāng)時,的定義域為,則,則,由于函數(shù)在點處切線方程為,即.(2)的定義域為,,當(dāng)時,令,解得:;令,解得:,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,,即則令,設(shè),令,解得:;令,解得:,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,所以,解得:.3.(2024·四川·模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)若函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求的值;(2)若函數(shù)的最小值為,求的值.【答案】(1)或;(2).【分析】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求得切線方程,再根據(jù)三角形面積,即可求得結(jié)果;(2)通過二次求導(dǎo),求得的最小值,結(jié)合的隱零點,即可求得結(jié)果.【詳解】(1)因為,所以,則,又,所以函數(shù)在處的切線方程為.由題意,顯然,令得,令得,所以函數(shù)在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,所以,解得或.(2)由(1)知,令,所以,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增.因為,所以當(dāng)時,,又所以在上必存在唯一零點,使得.當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,,即在上單調(diào)遞增.所以在處取得最小值,即,且,即,所以.設(shè),所以,當(dāng)時,單調(diào)遞增,,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,,又,所以函數(shù)在上存在唯一的,使得成立,所以,所以,即.【點睛】關(guān)鍵點點睛:處理本題第二問的關(guān)鍵是能夠通過二次求導(dǎo),求得的隱零點,從而判斷的單調(diào)性,進(jìn)而求得最小值.1.(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)有最大值,求實數(shù)的值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】(1)求導(dǎo)得,分類討論可求單調(diào)區(qū)間;(2)利用(1)的結(jié)論可求實數(shù)的值.【詳解】(1)1°當(dāng)時在區(qū)間上單調(diào)遞增。2°當(dāng)時,時,單調(diào)遞增時,單調(diào)遞減綜上,當(dāng)時,的增區(qū)間是,當(dāng)時,的增區(qū)間是,減區(qū)間是(2)由(1)知當(dāng)時,無最大值。當(dāng)時,,平方有,解得.2.(2024·陜西西安·一模)已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞增,求的取值范圍;(2)若的最小值為1,求.【答案】(1)(2)【分析】(1)由在區(qū)間上恒成立,則,即可得出答案;(2)由,得,求導(dǎo)分析單調(diào)性、最值,即可得出答案.【詳解】(1)因為在上單調(diào)遞增,所以在區(qū)間上恒成立,所以,令,則,令,則.當(dāng)時,單調(diào)遞增,,所以,所以在上單調(diào)遞增,故,所以.的取值范圍為.(2)由,得,所以,令,則,令,則,當(dāng)時,,則,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞增,且,所以,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,所以,所以成立,當(dāng)時,當(dāng)時,在上單調(diào)遞減,,在上單調(diào)遞減,因為,所以在上單調(diào)遞減,此時,舍去.當(dāng)時,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,.舍去;當(dāng)時,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,此時,,舍去,綜上,.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系,解題關(guān)鍵是利用在區(qū)間單調(diào)遞增等價在區(qū)間恒成立,然后分離參數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究新構(gòu)造函數(shù)的最小值,3.(2024高三下·全國·專題練習(xí))已知函數(shù).(1)若在上單調(diào)遞減,求實數(shù)的取值范圍;(2)若的最小值為6,求實數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到恒成立,再令新函數(shù),根據(jù)單調(diào)性求最值即可.(2)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造函數(shù),再根據(jù)零點存在定理求出零點,解出方程即可求出的值.【詳解】(1)由題意知,函數(shù)的定義域為,,因為在上單調(diào)遞減,所以恒成立且不恒為0,所以,即恒成立.設(shè),則,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,所以,則,所以實數(shù)的取值范圍是.(2)解法一
由(1)知,,因為的最小值為6,所以,得.設(shè),則,所以在上單調(diào)遞增,因為,,所以存在,使得,當(dāng)時,,即,在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,,即,在上單調(diào)遞增,所以.因為,所以,解得(舍去)或,所以.解法二
由題意知在上恒成立,則在上恒成立.令,則,,由得,由得或,所以在和上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.又,當(dāng)時,,所以,故.因為的最小值為6,所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛:本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題,其中關(guān)鍵是零點存在定理的應(yīng)用.在研究函數(shù)的單調(diào)性時,利用零點存在定理找到導(dǎo)函數(shù)的隱零點,即存在,使得,再根據(jù)最值求解的值即可.4.(2024·全國·模擬預(yù)測)已知函數(shù)和函數(shù)有相同的最大值.(1)求a的值;(2)設(shè)集合,(b為常數(shù)).證明:存在實數(shù)b,使得集合中有且僅有3個元素.【答案】(1)1(2)證明見解析【分析】(1)先由定義域得到,求導(dǎo),當(dāng)時,函數(shù)無最大值,舍去,當(dāng)時,求出單調(diào)性和有最大值,進(jìn)而求出的單調(diào)性,最大值,從而得到方程,求出a的值;(2)集合的元素個數(shù)即為直線與兩條曲線和的交點個數(shù),在(1)的基礎(chǔ)上作出和,數(shù)形結(jié)合得到答案.【詳解】(1)由題意可知,由,得,若,當(dāng)時,;當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以有最小值,無最大值,不合題意.所以,當(dāng)時,;當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以有最大值.由,得,且,當(dāng)時,;當(dāng)時,,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以有最大值.則,解得.(2)集合的元素個數(shù)即為直線與兩條曲線和的交點個數(shù).由(1)可知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且,,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,且,,作出和的圖像如圖所示.
設(shè)和的圖像交于點M,則當(dāng)直線經(jīng)過點M時,直線與兩條曲線和共有3個交點,故存在實數(shù)b,使得集合中有且僅有3個元素.【點睛】方程解的問題可轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點問題,將代數(shù)問題幾何化,借助圖象分析,大大簡化了思維難度,首先要熟悉常見的函數(shù)圖象,包括指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),冪函數(shù),三角函數(shù)等,常常利用導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性和極值最值情況,還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換,包括平移,伸縮,對稱和翻折等,涉及零點之和問題,通??紤]圖象的對稱性進(jìn)行解決.考點五、選填小題中極值的應(yīng)用與求解1.(2022·全國·高考真題)函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】,所以在區(qū)間和上,即單調(diào)遞增;在區(qū)間上,即單調(diào)遞減,又,,,所以在區(qū)間上的最小值為,最大值為.故選:D2.(2021·全國·高考真題)設(shè),若為函數(shù)的極大值點,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點情況,注意零點左右附近函數(shù)值是否變號,結(jié)合極大值點的性質(zhì),對進(jìn)行分類討論,畫出圖象,即可得到所滿足的關(guān)系,由此確定正確選項.【詳解】若,則為單調(diào)函數(shù),無極值點,不符合題意,故.有和兩個不同零點,且在左右附近是不變號,在左右附近是變號的.依題意,a為函數(shù)的極大值點,在左右附近都是小于零的.當(dāng)時,由,,畫出的圖象如下圖所示:
由圖可知,,故.當(dāng)時,由時,,畫出的圖象如下圖所示:
由圖可知,,故.綜上所述,成立.故選:D【點睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì),利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.3.(2024·全國·高考真題)(多選)設(shè)函數(shù),則(
)A.當(dāng)時,有三個零點B.當(dāng)時,是的極大值點C.存在a,b,使得為曲線的對稱軸D.存在a,使得點為曲線的對稱中心【答案】AD【分析】A選項,先分析出函數(shù)的極值點為,根據(jù)零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點;B選項,根據(jù)極值和導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)系進(jìn)行分析;C選項,假設(shè)存在這樣的,使得為的對稱軸,則為恒等式,據(jù)此計算判斷;D選項,若存在這樣的,使得為的對稱中心,則,據(jù)此進(jìn)行計算判斷,亦可利用拐點結(jié)論直接求解.【詳解】A選項,,由于,故時,故在上單調(diào)遞增,時,,單調(diào)遞減,則在處取到極大值,在處取到極小值,由,,則,根據(jù)零點存在定理在上有一個零點,又,,則,則在上各有一個零點,于是時,有三個零點,A選項正確;B選項,,時,,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增,此時在處取到極小值,B選項錯誤;C選項,假設(shè)存在這樣的,使得為的對稱軸,即存在這樣的使得,即,根據(jù)二項式定理,等式右邊展開式含有的項為,于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等,原等式不可能恒成立,于是不存在這樣的,使得為的對稱軸,C選項錯誤;D選項,方法一:利用對稱中心的表達(dá)式化簡,若存在這樣的,使得為的對稱中心,則,事實上,,于是即,解得,即存在使得是的對稱中心,D選項正確.方法二:直接利用拐點結(jié)論任何三次函數(shù)都有對稱中心,對稱中心的橫坐標(biāo)是二階導(dǎo)數(shù)的零點,,,,由,于是該三次函數(shù)的對稱中心為,由題意也是對稱中心,故,即存在使得是的對稱中心,D選項正確.故選:AD【點睛】結(jié)論點睛:(1)的對稱軸為;(2)關(guān)于對稱;(3)任何三次函數(shù)都有對稱中心,對稱中心是三次函數(shù)的拐點,對稱中心的橫坐標(biāo)是的解,即是三次函數(shù)的對稱中心4.(2022·全國·高考真題)已知和分別是函數(shù)(且)的極小值點和極大值點.若,則a的取值范圍是.【答案】【分析】法一:依題可知,方程的兩個根為,即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點,構(gòu)造函數(shù),利用指數(shù)函數(shù)的圖象和圖象變換得到的圖象,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得過原點的切線的斜率,根據(jù)幾何意義可得出答案.【詳解】[方法一]:【最優(yōu)解】轉(zhuǎn)化法,零點的問題轉(zhuǎn)為函數(shù)圖象的交點因為,所以方程的兩個根為,即方程的兩個根為,即函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點,因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點,所以函數(shù)在和上遞減,在上遞增,所以當(dāng)時,,即圖象在上方當(dāng)時,,即圖象在下方,圖象顯然不符合題意,所以.令,則,設(shè)過原點且與函數(shù)的圖象相切的直線的切點為,則切線的斜率為,故切線方程為,則有,解得,則切線的斜率為,因為函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點,所以,解得,又,所以,綜上所述,的取值范圍為.[方法二]:【通性通法】構(gòu)造新函數(shù),二次求導(dǎo)=0的兩個根為因為分別是函數(shù)的極小值點和極大值點,所以函數(shù)在和上遞減,在上遞增,設(shè)函數(shù),則,若,則在上單調(diào)遞增,此時若,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點,則,不符合題意;若,則在上單調(diào)遞減,此時若,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,令,則,此時若有和分別是函數(shù)且的極小值點和極大值點,且,則需滿足,,即故,所以.【整體點評】法一:利用函數(shù)的零點與兩函數(shù)圖象交點的關(guān)系,由數(shù)形結(jié)合解出,突出“小題小做”,是該題的最優(yōu)解;法二:通過構(gòu)造新函數(shù),多次求導(dǎo)判斷單調(diào)性,根據(jù)極值點的大小關(guān)系得出不等式,解出即可,該法屬于通性通法.1.(2021·全國·高考真題)函數(shù)的最小值為.【答案】1【分析】由解析式知定義域為,討論、、,并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知:定義域為,∴當(dāng)時,,此時單調(diào)遞減;當(dāng)時,,有,此時單調(diào)遞減;當(dāng)時,,有,此時單調(diào)遞增;又在各分段的界點處連續(xù),∴綜上有:時,單調(diào)遞減,時,單調(diào)遞增;∴故答案為:1.2.(2023·全國·高考真題)(多選)若函數(shù)既有極大值也有極小值,則(
).A. B. C. D.【答案】BCD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),由已知可得在上有兩個變號零點,轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域為,求導(dǎo)得,因為函數(shù)既有極大值也有極小值,則函數(shù)在上有兩個變號零點,而,因此方程有兩個不等的正根,于是,即有,,,顯然,即,A錯誤,BCD正確.故選:BCD3.(2024·全國·高考真題)(多選)設(shè)函數(shù),則(
)A.是的極小值點 B.當(dāng)時,C.當(dāng)時, D.當(dāng)時,【答案】ACD【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到極值點,即可判斷A;利用函數(shù)的單調(diào)性可判斷B;根據(jù)函數(shù)在上的值域即可判斷C;直接作差可判斷D.【詳解】對A,因為函數(shù)的定義域為R,而,易知當(dāng)時,,當(dāng)或時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,故是函數(shù)的極小值點,正確;對B,當(dāng)時,,所以,而由上可知,函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,錯誤;對C,當(dāng)時,,而由上可知,函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即,正確;對D,當(dāng)時,,所以,正確;故選:ACD.4.(2022·全國·高考真題)(多選)已知函數(shù),則(
)A.有兩個極值點 B.有三個零點C.點是曲線的對稱中心 D.直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點的定義可判斷A,結(jié)合的單調(diào)性、極值可判斷B,利用平移可判斷C;利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題,,令得或,令得,所以在,上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,所以是極值點,故A正確;因,,,所以,函數(shù)在上有一個零點,當(dāng)時,,即函數(shù)在上無零點,綜上所述,函數(shù)有一個零點,故B錯誤;令,該函數(shù)的定義域為,,則是奇函數(shù),是的對稱中心,將的圖象向上移動一個單位得到的圖象,所以點是曲線的對稱中心,故C正確;令,可得,又,當(dāng)切點為時,切線方程為,當(dāng)切點為時,切線方程為,故D錯誤.故選:AC.一、單選題1.(2024·河北承德·二模)設(shè)為實數(shù),若函數(shù)在處取得極小值,則(
)A.1 B. C.0 D.【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)極值點求出的值,然后根據(jù)極值的概念檢驗即得.【詳解】由題可得,令,解得;或,因為函數(shù)在處取得極小值,所以,即,當(dāng)時,,或,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,滿足題意.故選:B.2.(2024·重慶·模擬預(yù)測)若函數(shù)有極值,則實數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù),依題意可得在上有變號零點,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到,解得即可.【詳解】函數(shù)的定義域為,且,因為函數(shù)有極值,所以在上有變號零點,即在上有解(若有兩個解,則兩個解不能相等),因為二次函數(shù)的對稱軸為,開口向上,所以只需,解得,即實數(shù)的取值范圍是.故選:C二、多選題3.(2024·遼寧·模擬預(yù)測)已知函數(shù),則下列說法正確的是(
)A.的極值點為B.的極值點為1C.直線是曲線的一條切線D.有兩個零點【答案】BC【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值的關(guān)系可判斷AB;結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)零點的知識可判斷D;利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得在處的切線方程,從而得以判斷.【詳解】對A:因為,所以,令,得;令,得,所以在上單調(diào)遞減;在上單調(diào)遞增.可知在處取得唯一極小值,也是的最小值,所以的極值點為,故A錯誤,B正確;對C:因為,,所以在處的切線方程為,即,故C正確.對D:因為,,結(jié)合在上的單調(diào)性,可知是在上的唯一零點;當(dāng)時,恒成立,故恒成立,所以在上沒有零點;綜上:只有一個零點,故D錯誤.故選:BC.三、填空題4.(2024·安徽·二模)已知函數(shù),當(dāng)時的最大值與最小值的和為.【答案】【分析】求導(dǎo),可得函數(shù)的單調(diào)性,即可求解極值點以及端點處的函數(shù)值,即可求解最值.【詳解】,當(dāng)時,,遞增;當(dāng)時,,遞減;,,,故最大值與最小值的和為:.故答案為:四、解答題5.(2024·陜西銅川·模擬預(yù)測)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求的最大值;(2)若對定義域內(nèi)任意實數(shù)都有,求的取值范圍.【答案】(1)0(2)【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最值.(2)先利用端點效應(yīng)猜想的取值范圍再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求證出猜想的正確性.【詳解】(1)當(dāng)時,,定義域為,所以,令,得,令,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以的最大值為.(2)因為恒成立,所以,得,下面證明:當(dāng)時,.證明如下:因為在上單調(diào)遞減,又因為,所以當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,又因為,所以時,.綜上,的取值范圍為.6.(2024·山東濰坊·二模)已知函數(shù),曲線在點處的切線方程為.(1)求實數(shù)a,b的值;(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】(1),(2)單調(diào)遞增區(qū)間是,,單調(diào)遞減區(qū)間是,極大值為,極小值為.【分析】(1)求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可;(2)求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間進(jìn)而求解極值即可.【詳解】(1)由題可得,由題意,故,又,故.(2)由(1)可得,令可得或,令可得,故的單調(diào)遞增區(qū)間是,,單調(diào)遞減區(qū)間是.則的極大值為,極小值為.7.(23-24高二下·廣東佛山·階段練習(xí))已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)在上的最大值和最小值;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.【答案】(1)最大值為,最小值為;(2)答案見解析.【分析】(1)求導(dǎo),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在的單調(diào)性,求極值和區(qū)間端點函數(shù)值,即可求解;(2)對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)未知數(shù)的不同范圍,分別求出函數(shù)單調(diào)性.【詳解】(1)當(dāng)時,,則,令,得或,由于,所以當(dāng),,在單調(diào)遞減,所以當(dāng),,在單調(diào)遞增,所以在時取到極小值,且,又因為,,綜上,函數(shù)在上的最大值為,最小值為.(2)因為,所以,當(dāng),即時,,在單調(diào)遞增,當(dāng),即時,令,則,所以當(dāng),,在單調(diào)遞增,當(dāng),,在單調(diào)遞減,當(dāng),,在單調(diào)遞增.綜上所述,當(dāng)時,在單調(diào)遞增,當(dāng)時,在,單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.8.(2024·河南·三模)已知函數(shù),且在處的切線方程是.(1)求實數(shù),的值;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】(1),(2)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,極小值為,無極大值【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到方程組,解得即可;(2)由(1)可得,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,從而求出極值.【詳解】(1)因為,所以,又在處的切線方程為,所以,,解得,.(2)由(1)可得定義域為,則,當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞減,當(dāng)時,,此時函數(shù)單調(diào)遞增,則在處取得極小值,所以的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,因此極小值為,無極大值.9.(2022高三上·河南·專題練習(xí))已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程;(2)若函數(shù)在處取到極小值,求實數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)求導(dǎo),即可根據(jù)點斜式求解直線方程,(2)求導(dǎo),分類討論的取值,即可結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求解極值.【詳解】(1)由題意,,則,又,故所求的切線方程為.(2)由題意,,故.若,則,故當(dāng)時,,當(dāng)時,,故當(dāng)時,函數(shù)取到極小值;若,則令,解得或,要使函數(shù)在處取到極小值,則需,即,此時當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,,滿足條件.綜上,實數(shù)m的取值范圍為.10.(2024·重慶·模擬預(yù)測)已知函數(shù)在時取得極值.(1)求實數(shù);(2)若,求的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),依題意可得,即可求出參數(shù)的值,再檢驗即可;(2)由(1)可得,利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【詳解】(1)因為,所以,由題意得,即,解得,經(jīng)檢驗符合題意;(2)由(1)得,,則,由得或,得,即的單調(diào)遞增區(qū)間為,,單調(diào)遞減區(qū)間為,所以的極大值為,極小值為一、單選題1.(2024·福建泉州·一模)已知,是函數(shù)兩個極值點,則(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】求出函數(shù)導(dǎo)數(shù),解方程得出極值點,計算可判斷選項.【詳解】,令,解得,所以,故AB不正確;,故C正確D錯誤.故選:C2.(2024·廣東深圳·模擬預(yù)測)已知函數(shù)在上恰有兩個極值點,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)有兩個極值點的個數(shù),轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在上有兩個變號零點,再進(jìn)行參數(shù)的討論即可.【詳解】由題意得.因為函數(shù)在上恰有兩個極值點,則在上有兩個變號零點.當(dāng)時,在上恒成立,不符合題意.當(dāng)時,令,則,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,又,,所以,則,即實數(shù)的取值范圍是.故選:D.【點睛】方法點睛:本題考查已知函數(shù)極值點個數(shù)求參數(shù)范圍.對于函數(shù)零點個數(shù)的相關(guān)問題,常常利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合思想來求解.求解這類問題的步驟:(1)構(gòu)造函數(shù),并求其定義域,這是解決此類題的關(guān)鍵點和難點;(2)求導(dǎo),得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點;(3)數(shù)形結(jié)合,挖掘隱含條件,確定函數(shù)圖象與軸的交點情況,進(jìn)而求解.二、多選題3.(2024·全國·模擬預(yù)測)設(shè)函數(shù),記的極小值點為,極大值點為,則(
)A. B.C.在上單調(diào)遞減 D.【答案】ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值點、單調(diào)性,一一判斷各選項,即可得答案..【詳解】由題知的定義域為,,令,解得,即在上單調(diào)遞減,令,解得或,即在和上單調(diào)遞增,又因為記的極小值點為,極大值點為,根據(jù)單調(diào)性可得,則,故A正確,B錯誤;令,解得,即,故C正確;,故D正確.故選:ACD.4.(2024·重慶·三模)若函數(shù)既有極小值又有極大值,則()A. B. C. D.【答案】ABC【分析】根據(jù)題意,求得,轉(zhuǎn)化為在上有兩個不同的實數(shù)根,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),列出不等式組,結(jié)合選項,即可求解.【詳解】由函數(shù),可得,因為既有極小值又有極大值,可得方程在上有兩個不同的實數(shù)根,則滿足,可得,所以,,,例如:時,滿足上式,此時不成立.故選:ABC.三、填空題5.(2024·新疆喀什·三模)已知函數(shù)和()有相同的最大值.則的最小值為.【答案】e【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,對參數(shù)分類討論,分析得當(dāng)時有最大值為,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的最大值為,所以,代入運(yùn)用基本不等式求和的最小值即可.【詳解】,,當(dāng)時,,最大值為0,又,所以當(dāng)時,,由得,與題設(shè)矛盾;當(dāng)時,令得,,即,當(dāng)時,,當(dāng)時,,當(dāng)時,當(dāng)時,,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,在處取到最小值,沒有最大值,不符合題意;當(dāng)時,當(dāng)時,,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,.與有相同的最大值,,又,,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.即的最小值為.故答案為:.四、解答題6.(2024·廣東茂名·二模)已知函數(shù).(1)若曲線在點處的切線方程為,求實數(shù)的值;(2)若,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.【答案】(1);(2).【分析】(1)先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),只需保證,求解即可;(2)構(gòu)造函數(shù),借助函數(shù)導(dǎo)函數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性,應(yīng)用零點存在性定理求解即可.【詳解】(1)因為,所以,所以,因為曲線在點處的切線方程為,切線的斜率為,所以,得,解得:.(2)當(dāng)時,令,,當(dāng)時,,單調(diào)遞增,又,,所以至少存在唯一的實數(shù),使得.當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增,又所以.7.(2024·河南開封·三模)已知函數(shù),為的導(dǎo)函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程;(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.【答案】(1)(2)見解析【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)求出,,,代入直線的點斜式方程即可求出切線方程;(2)求出導(dǎo)函數(shù),用列表法求出極值即可.【詳解】(1)因為的定義域為,,所以,,所以曲線在點處的切線方程為.(2)依題意,,則,令,解得或.當(dāng)變化時,,的變化情況如表所示:12+0-0+單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為,.故的極小值為,的極大值為.8.(2024·陜西西安·模擬預(yù)測)已知函數(shù),若的最小值為0,(1)求的值;(2)若,證明:存在唯一的極大值點,且.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)對函數(shù)求導(dǎo)后,分和兩種情況討論求解即可;(2)令,求導(dǎo)后可得在遞減,遞增,再結(jié)合零點存在性定理得在存在唯一的使得,在存在唯一的零點,從而得是唯一的極大值點.【詳解】(1),當(dāng)時,,所以在上遞減,則沒有最小值,當(dāng)時,由,得,由,得,所以在上遞減,在上遞增,所以時,取得最小值,得成立,下面證為唯一解,令,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上遞增,在上遞減,所以,所以方程有且只有唯一解,綜上,;(2)證明:由(1)知,令,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上遞減,上遞增,因為,所以在存在唯一的使得,在存在唯一的零點,所以當(dāng)或時,,即,當(dāng)時,,即,所以在上遞增,在上遞減,在上遞增,即是唯一的極大值點,,由,得,所以,因為,所以.【點睛】關(guān)鍵點點睛:此題考查函數(shù)的單調(diào)性,考零點存在性定理,考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,第(2)問解題的關(guān)鍵是二次求導(dǎo)后結(jié)合零點存在性定理確定出函數(shù)極值點的范圍,考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力,屬于較難題.9.(2024·福建泉州·一模)設(shè)函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)當(dāng)時,若的值域為,證明:.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】(1)對求導(dǎo),分和討論的單調(diào)性,即可得出答案.(2)對分類討論,求出的單調(diào)性,求出的最小值,進(jìn)而求出單調(diào)性和最值,從而證得結(jié)論.【詳解】(1)的定義域為.當(dāng)時,在單調(diào)遞減.當(dāng)時,令,得,當(dāng),單調(diào)遞減:當(dāng),單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時,在單調(diào)遞減;當(dāng)時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2),定義域為.,由(1)得:當(dāng)時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以,令,因為當(dāng)時,遞增,當(dāng)時,遞減,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.當(dāng)時,,則在遞增,不合題意,舍去.當(dāng)時,又因為當(dāng)趨近正無窮,趨近正無窮,所以在上存在唯一的,使得,即(※)當(dāng)遞增;當(dāng)遞減;當(dāng)遞增.又因為趨近,趨近,且的值域為,所以,代入(※),得:,即.當(dāng)時,同理:當(dāng)遞增;當(dāng)遞減;當(dāng)遞增.又因為趨近,趨近,且的值域為,所以,滿足.綜上,.【點睛】關(guān)鍵點點睛:關(guān)鍵點在于對分類討論,求出的單調(diào)性,求出的最小值,進(jìn)而求出單調(diào)性和最值,從而證得結(jié)論.10.(2024·青海西寧·模擬預(yù)測)已知函數(shù)(1)當(dāng)時,求的零點;(2)若恰有兩個極值點,求的取值范圍.【答案】(1)有且僅有一個零點(2)【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,即可求解;(2)當(dāng)時,利用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可知最多只有一個極值點;當(dāng)時,利用二階導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可知,和,,即可求解.【詳解】(1)當(dāng)時,等價于.令,則,所以在上單調(diào)遞增.因為,所以有且僅有一個零點.(2)由,得.令,則.若,則在上恒成立,故在上單調(diào)遞增,最多只有一個零點,則最多只有一個極值點,不符合題意;若,則當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則.令,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則,從而.顯然,當(dāng)時,,則,.令,則,設(shè),則,由,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,所以,即恒成立,故單調(diào)遞增.當(dāng)時,,即,則.因為,所以,.當(dāng)時,,當(dāng)時,,則的單調(diào)遞增區(qū)間為和,單調(diào)遞減區(qū)間為,則恰有兩個極值點.故當(dāng)恰有兩個極值點時,的取值范圍為.【點睛】方法點睛:已知函數(shù)有零點(極值點)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法:(1)直接法:直接求解方程得到方程的根,再通過解不等式確定參數(shù)范圍;(2)分離參數(shù)法:先將參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;(3)數(shù)形結(jié)合法:先對解析式變形,進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù),然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.1.(2023·全國·高考真題)(多選)已知函數(shù)的定義域為,,則(
).A. B.C.是偶函數(shù) D.為的極小值點【答案】ABC【分析】方法一:利用賦值法,結(jié)合函數(shù)奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC,舉反例即可排除選項D.方法二:選項ABC的判斷與方法一同,對于D,可構(gòu)造特殊函數(shù)進(jìn)行判斷即可.【詳解】方法一:因為,對于A,令,,故正確.對于B,令,,則,故B正確.對于C,令,,則,令,又函數(shù)的定義域為,所以為偶函數(shù),故正確,對于D,不妨令,顯然符合題設(shè)條件,此時無極值,故錯誤.方法二:因為,對于A,令,,故正確.對于B,令,,則,故B正確.對于C,令,,則,令,又函數(shù)的定義域為,所以為偶函數(shù),故正確,對于D,當(dāng)時,對兩邊同時除以,得到,故可以設(shè),則,當(dāng)肘,,則,令,得;令,得;故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為為偶函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
顯然,此時是的極大值,故D錯誤.故選:.2.(2022·全國·高考真題)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,求的最大值;(2)若恰有一個零點,求a的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,即可得解;(2)求導(dǎo)得,按照、及結(jié)合導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)的極值,即可得解.【詳解】(1)當(dāng)時,,則,當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減;所以;(2),則,當(dāng)時,,所以當(dāng)時,,單調(diào)遞增;當(dāng)時,,單調(diào)遞減;所以,此時函數(shù)無零點,不合題意;當(dāng)時,,在上,,單調(diào)遞增;在上,,單調(diào)遞減;又,由(1)得,即,所以,當(dāng)時,,則存在,使得,所以僅在有唯一零點,符合題意;當(dāng)時,,所以單調(diào)遞增,又,所以有唯一零點,符合題意;當(dāng)時,,在上,,單調(diào)遞增;在上,,單調(diào)遞減;此時,由(1)得當(dāng)時,,,所以,此時存在,使得,所以在有一個零點,在無零點,所以有唯一零點,符合題意;綜上,a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛:解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性,把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.3.(2020·北京·高考真題)已知函數(shù).(Ⅰ)求曲線的斜率等于的切線方程;(Ⅱ)設(shè)曲線在點處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為,求的最小值.【答案】(Ⅰ),(Ⅱ).【分析】(Ⅰ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點的坐標(biāo),然后由點斜式可得結(jié)果;(Ⅱ)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程,再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距,進(jìn)一步得到三角形的面積,最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.【詳解】(Ⅰ)因為,所以,設(shè)切點為,則,即,所以切點為,由點斜式可得切線方程為:,即.(Ⅱ)[方法一]:導(dǎo)數(shù)法顯然,因為在點處的切線方程為:,令,得,令,得,所以,不妨設(shè)時,結(jié)果一樣,則,所以,由,得,由,得,所以在上遞減,在上遞增,所以時,取得極小值,也是最小值為.[方法二]【最優(yōu)解】:換元加導(dǎo)數(shù)法
.因為為偶函數(shù),不妨設(shè),,令,則.令,則面積為,只需求出的最小值..因為,所以令,得.隨著a的變化,的變化情況如下表:a0減極小值增所以.所以當(dāng),即時,.因為為偶函數(shù),當(dāng)時,.綜上,當(dāng)時,的最小值為32.[方法三]:多元均值不等式法同方法二,只需求出的最小值.令,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號.所以當(dāng),即時,.因為為偶函數(shù),當(dāng)時,.綜上,當(dāng)時,的最小值為32.[方法四]:兩次使用基本不等式法同方法一得到,下同方法一.【整體點評】(Ⅱ)的方法一直接對面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù),方法二利用換元方法,簡化了運(yùn)算,確定為最優(yōu)解;方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上,利用多元均值不等式求得最小值,運(yùn)算較為簡潔;方法四兩次使用基本不等式,所有知識最少,配湊巧妙,技巧性較高.4.(2019·全國·高考真題)已知函數(shù).證明:(1)存在唯一的極值點;(2)有且僅有兩個實根,且兩個實根互為倒數(shù).【答案】(1)見詳解;(2)見詳解【分析】(1)先對函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性,得到存在唯一,使得,進(jìn)而可得判斷函數(shù)的單調(diào)性,即可確定其極值點個數(shù),證明出結(jié)論成立;(2)先由(1)的結(jié)果,得到,,得到在內(nèi)存在唯一實根,記作,再求出,即可結(jié)合題意,說明結(jié)論成立.【詳解】(1)由題意可得,的定義域為,由,得,顯然單調(diào)遞增;又,,故存在唯一,使得;又當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞增;當(dāng)時,,函數(shù)單調(diào)遞減;因此,存在唯一的極值點;(2)[方法一]【利用對稱性轉(zhuǎn)化為研究兩個函數(shù)根的問題】的根的情況問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像在區(qū)間內(nèi)的交點情況..當(dāng)時,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;又因為,所以當(dāng)時,,則時,單調(diào)遞減;當(dāng)時,,則當(dāng)時,單調(diào)遞增.又,所以函數(shù)與的圖像,如圖所示,只有兩個交點,橫坐標(biāo)分別為和,且,即和為的兩個實根.
又因為,當(dāng)時,,由于,所以,即,所以兩個實根互為倒數(shù).[方法二]【分類討論】由(1)知,.又,所以有且僅有兩個實根,可令.下面證明,由,得,顯然有,.(*)(1)當(dāng)時,,(*)式不成立;(2)當(dāng)時,,(*)式不成立;(3)當(dāng)時,,(*)式成立.綜上,有且僅有兩個實根,且兩個實根互為倒數(shù).[方法三]【利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理】的定義域為,顯然不是方程的根,所以有兩個實根等價于有兩個零點,且定義域為.而,所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.當(dāng)時,,,所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點,即,所以.結(jié)合單調(diào)性知在區(qū)間內(nèi)有唯一零點,所以有且僅有兩個零點,且兩個零點互為倒數(shù),即有且僅有兩個實根,且兩個實根互為倒數(shù).【整體點評】(2)方法一:對稱性是函數(shù)的重要性質(zhì),利用函數(shù)的對稱性研究函數(shù)體現(xiàn)了整體思想;方法二:分類討論是最常規(guī)的思想,是處理導(dǎo)數(shù)問題最常規(guī)的手段;方法三:函數(shù)的單調(diào)性和零點存在定理的綜合運(yùn)用使得問題簡單化.5.(2019·江蘇·高考真題)設(shè)函數(shù),為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和的零點均在集合中,求f(x)的極小值;(3)若,且f(x)的極大值為M,求證:M≤.【答案】(1);(2)的極小值為(3)見解析.【分析】(1)由題意得到關(guān)于a的方程,解方程即可確定a的值;(2)由題意首先確定a,b,c的值從而確定函數(shù)的解析式,然后求解其導(dǎo)函數(shù),由導(dǎo)函數(shù)即可確定函數(shù)的極小值.(3)由題意首先確定函數(shù)的極大值M的表達(dá)式,然后可用如下方法證明題中的不等式:解法一:由函數(shù)的解析式結(jié)合不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮即可證得題中的不等式;解法二:由題意構(gòu)造函數(shù),求得函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值,因為,所以.當(dāng)時,.令,則.令,得.列表如下:+0–極大值所以當(dāng)時,取得極大值,且是最大值,故.所以當(dāng)時,,因此.【詳解】(1)因為,所以.因為,所以,解得.(2)因為,所以,從而.令,得或.因為,都在集合中,且,所以.此時,.令,得或.列表如下:1+0–0+極大值極小值所以的極小值為.(3)因為,所以,.因為,所以,則有2個不同的零點,設(shè)為.由,得.列表如下:+0–0+極大值極小值所以的極大值.解法一:.因此.解法二:因為,所以.當(dāng)時,.令,則.令,得.列表如下:+0–極大值所以當(dāng)時,取得極大值,且是最大值,故.所以當(dāng)時,,因此.【點睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力.6.(2018·全國·高考真題)已知函數(shù),則的最小值是.【答案】【分析】方法一:由,確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,減區(qū)間,從而確定出函數(shù)的最小值點,代入求得函數(shù)的最小值.【詳解】[方法一]:【通性通法】導(dǎo)數(shù)法.令,得,即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增;令,得,即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.則.故答案為:.[方法二]:三元基本不等式的應(yīng)用因為,所以.當(dāng)且僅當(dāng),即時,取等號.根據(jù)可知,是奇函數(shù),于是,此時.故答案為:.[方法三]:升冪公式+多元基本不等式,,當(dāng)且僅當(dāng),即時,.根據(jù)可知,是奇函數(shù),于是.故答案為:.[方法四]:化同角+多元基本不等式+放縮,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為:.[方法五]:萬能公式+換元+導(dǎo)數(shù)求最值設(shè),則可化為,當(dāng)時,;當(dāng)時,,對分母求導(dǎo)后易知,當(dāng)時,有最小值.故答案為:.[方法六]:配方法,當(dāng)且僅當(dāng)即時,取最小值.故答案為:.[方法七]:【最優(yōu)解】周期性應(yīng)用+導(dǎo)數(shù)法因為,所以,即函數(shù)的一個周期為,因此時,的最小值即為函數(shù)的最小值.當(dāng)時,,當(dāng)時,因為,令,解得或,由,,,所以的最小值為.故答案為:.【整體點評】方法一:直接利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,得出極值點,從而求出最小值,是求最值的通性通法;方法二:通過對函數(shù)平方,創(chuàng)造三元基本不等式的使用條件,從而解出;方法三:基本原理同方法三,通過化同角利用多元基本不等式求解,難度較高;方法四:通過化同角以及化同名函
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