第09講 利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題及方程的根（教師版）-2025版高中數(shù)學一輪復習考點幫

Page第09講利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題及方程的根（6類核心考點精講精練）1.5年真題考點分布5年考情考題示例考點分析關聯(lián)考點2024年新Ⅱ卷，第11題,6分利用導數(shù)研究函數(shù)的零點利用導數(shù)研究具體函數(shù)單調性函數(shù)對稱性的應用極值與最值的綜合應用判斷零點所在的區(qū)間2023年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究函數(shù)的零點利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間(不含參)利用導數(shù)研究不等式恒成立問題根據極值點求參數(shù)2022年新I卷，第10題,5分利用導數(shù)研究函數(shù)的零點求在曲線上一點處的切線方程(斜率）求已知函數(shù)的極值點2022年新I卷，第22題,12分利用導數(shù)研究方程的根由導數(shù)求函數(shù)的最值(含參)2021年新Ⅱ卷，第21題,12分利用導數(shù)研究方程的根求離散型隨機查量的均值均值的實際應用2021年新Ⅱ卷，第22題,12分利用導數(shù)研究函數(shù)的零點含參分類討論求函數(shù)的單調區(qū)間2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內容是新高考卷的必考內容，設題穩(wěn)定，難度較大，分值為15-17分【備考策略】1能用導數(shù)證明函數(shù)的單調性2能結合零點的定義及零點存在性定理解決零點問題3能結合方程的根的定義用導數(shù)解決方程的根的問題【命題預測】導數(shù)的綜合應用是高考考查的重點內容,也是高考壓軸題之一近幾年高考命題的趨勢，是穩(wěn)中求變、變中求新、新中求活，縱觀近幾年的高考題,導數(shù)的綜合應用題考查多個核心素養(yǎng)以及綜合應用能力,有一定的難度,一般放在解答題的最后位置，對數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等多個數(shù)學學科的核心素養(yǎng)都有較深入的考查，需綜合復習知識講解利用導數(shù)研究函數(shù)零點的方法(1)通過最值(極值)判斷零點個數(shù)的方法借助導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值后，通過極值的正負，函數(shù)單調性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點個數(shù)或者通過零點個數(shù)求參數(shù)范圍.(2)數(shù)形結合法求解零點對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結合函數(shù)的單調性，畫出草圖數(shù)形結合確定其中參數(shù)的范圍.(3)構造函數(shù)法研究函數(shù)零點①根據條件構造某個函數(shù)，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間及極值點，根據函數(shù)零點的個數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關系，從而求解.②解決此類問題的關鍵是將函數(shù)零點、方程的根、曲線交點相互轉化，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉化與化歸的思想方法．利用導數(shù)研究函數(shù)方程的根的方法(1)通過最值(極值)判斷零點個數(shù)（方程的根）的方法借助導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值后，通過極值的正負，函數(shù)單調性判斷函數(shù)圖象走勢，從而判斷零點個數(shù)（方程的根）或者通過零點個數(shù)（方程的根）求參數(shù)范圍.(2)數(shù)形結合法求解零點（方程的根）對于方程解的個數(shù)(或函數(shù)零點個數(shù))問題，可利用函數(shù)的值域或最值，結合函數(shù)的單調性，畫出草圖數(shù)形結合確定其中參數(shù)的范圍.(3)構造函數(shù)法研究函數(shù)零點（方程的根）①根據條件構造某個函數(shù)，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調區(qū)間及極值點，根據函數(shù)零點的個數(shù)（方程的根）尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點的函數(shù)值與0的關系，從而求解.②解決此類問題的關鍵是將函數(shù)零點、方程的根、曲線交點相互轉化，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉化與化歸的思想方法．考點一、求函數(shù)零點及其個數(shù)1．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求的最大值；(2)討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求函數(shù)的定義域及導函數(shù)，求時方程的解，分區(qū)間確定函數(shù)的單調性，單調性求最值；（2）函數(shù)的零點，即方程的解，設，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質，討論，結合圖象確定函數(shù)的零點個數(shù).【詳解】（1）的定義域是，，，當時，，得.當時，，函數(shù)單調遞增，當時，，函數(shù)單調遞減當時，函數(shù)取最大值，最大值為；（2）由，得，令，則，由得，由，得，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，又，，，作函數(shù)的圖象如下：綜上：當或時，在上有一個零點，當時，在上有2個零點，當或時，在上沒有零點.2．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)設函數(shù)，討論零點的個數(shù).【答案】(1)最小值(2)答案見解析【分析】（1）先利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，進而可求出函數(shù)的最小值；（2）令，得，令，則與有相同的零點，利用導數(shù)求出函數(shù)的極值點，再分類討論即可得出結論.【詳解】（1）的定義域為，則當時，；當時，，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，因此的最小值為；（2），且，令，得，令，則與有相同的零點，且，令，則，因為當時，則，所以在區(qū)間上單調遞增，又，所以，使，且當時，，即；當時，，即，所以在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，因此的最小值為，由，得，即，令，則在區(qū)間上單調遞增，因為，所以，則，所以，從而，即所以的最小值，所以當時，沒有零點；當時，有一個零點；當時，因為，當趨近于0時，趨近于；當趨近于時，趨近于，所以有兩個零點.綜上，當時，的零點個數(shù)為0；當時，的零點個數(shù)為1；當時，的零點個數(shù)為2.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調區(qū)間與極值，根據函數(shù)的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數(shù)法：將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.3．（2024·河北保定·二模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)若，試討論的零點個數(shù).【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）求得的導數(shù)，可得切線斜率和切點，從而求得切線方程；（2）由為奇函數(shù)，將問題轉化為討論在上的零點，求得導數(shù)，討論，，和，求得的單調性、極值和最值，結合零點存在定理，即可得到零點個數(shù).【詳解】（1）當時，，.，.故曲線在點處的切線方程為.（2）因為，所以為奇函數(shù).又因為，所以只需要討論在上的零點.，.令函數(shù)，①當，即時，分段討論：當時，.當時，，所以在上單調遞減，即在上單調遞減因為，，所以存在，使得.當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減.因為，，所以在上有1個零點，在上有3個零點.②當，即時，，在上單調遞減，所以在上沒有零點，在上有1個零點.③當，即時，分段討論：當時，.當時，，所以在上單調遞增，即在上單調遞增.因為，，所以存在，使得.當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.因為，，所以在上沒有零點，在上有1個零點.④當，即時，分段討論：當時，.當時，令函數(shù)，.所以在上單調遞增，即在上單調遞增.因為，，所以存在，使得.所以在上單調遞減，在上單調遞增，即在在上單調遞減，在上單調遞增.因為，，所以存在，使得.當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增.因為，，所以在上沒有零點，在上有1個零點.綜上，當時，在上有3個零點；當時，在上有1個零點.【點睛】方法點睛：利用導數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：（1）直接法：先對函數(shù)求導，根據導數(shù)的方法求出函數(shù)的單調區(qū)間與極值，根據函數(shù)的基本性質作出圖象，然后將問題轉化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉化與化歸思想、數(shù)形結合思想和分類討論思想的應用；（2）構造新函數(shù)法：將問題轉化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.1．（2024·山東·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求曲線在點處的切線在軸上的截距；(2)探究的零點個數(shù)．【答案】(1)(2)有兩個零點【分析】（1）求得，得到，，利用導數(shù)的幾何意義，求得切線方程，進而求得其在軸上的截距；（2）得到在上遞增，結合，得到，使得，進而求得單調性，結合零點的存在性定理，即可求解.【詳解】（1）解析：由函數(shù)，可得，所以，又，所以的方程為，即，令，可得，所以直線在軸上的截距為．（2）解：因為和在上均單調遞增，所以在上單調遞增，又因為，所以，使得，所以，當時，，在單調遞減；當時，，在單調遞增，又因為，所以有兩個零點．【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據題設條件構建關于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.結論拓展：與和相關的常見同構模型①，構造函數(shù)或；②，構造函數(shù)或；③，構造函數(shù)或.2．（2024·浙江·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)當時，判斷的零點個數(shù).【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為；(2)2個.【分析】（1）求導，當時，利用指數(shù)函數(shù)性質和余弦函數(shù)有界性可判斷導數(shù)符號，當時，利用二次導數(shù)判斷導函數(shù)單調性，然后可得導函數(shù)符號；（2）當時，利用二次導數(shù)判斷的單調性，當時，利用指數(shù)函數(shù)性質和正弦函數(shù)有界性可判斷函數(shù)值符號，當時，記，利用導數(shù)研究其圖象，根據與的圖象交點個數(shù)判斷即可.【詳解】（1）當時，，所以，當時，，所以，則，所以，在上單調遞減.當時，記，則，因為，所以，在單調遞增，所以，即，所以在上單調遞增.綜上，的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）當時，，則，

記，則，當時，，所以，在單調遞增，所以，在上單調遞增，所以，在上無零點.當時，因為，所以，此時無零點.當時，記，則，因為當趨近于0時，趨近于0，所以的變化越來越慢，圖象下凹，當時，，當時，，作出函數(shù)和的圖象如圖，由圖可知，當時，兩個函數(shù)圖象有一個交點，即有一個零點.易知是的一個零點.綜上，函數(shù)共有2個零點.3．（2024·河南·模擬預測）已知函數(shù)．(1)求的極大值；(2)若，求在區(qū)間上的零點個數(shù)．【答案】(1)答案見解析(2)2025個零點【分析】（1）求導，分析函數(shù)的單調性，分情況討論，求函數(shù)的極大值.（2）先分析方程在上解得個數(shù)，再分析在上解的個數(shù)，進一步考慮方程在上解的個數(shù)，可得問題答案.【詳解】（1）由題易得，函數(shù)的定義域為，又，所以，當時，隨的變化情況如下表：0200極小值極大值由上表可知，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．所以的極大值為．當時，隨的變化情況如下表：0200極大值極小值由上表可知，的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為．所以的極大值為．綜上所述，當時，的極大值為；當時，的極大值為0．（2）方法一：當時，，所以函數(shù)．由，得．所以要求在區(qū)間上的零點的個數(shù)，只需求的圖象與的圖象在區(qū)間上的交點個數(shù)即可．由（1）知，當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以在區(qū)間上單調遞減．又在區(qū)間上單調遞增，且，所以與的圖象在區(qū)間上只有一個交點，所以在區(qū)間上有且只有1個零點．因為當時，，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，所以在區(qū)間上有極大值，即當時，恒有．又當時，的值域為，且其最小正周期為，現(xiàn)考查在其一個周期上的情況，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，且，，所以與的圖象在區(qū)間上只有一個交點，即在區(qū)間上有且只有1個零點．因為在區(qū)間上，，所以與的圖象在區(qū)間上無交點，即在區(qū)間上無零點．在區(qū)間上，單調遞減，單調遞增，且，所以與的圖象在區(qū)間上只有一個交點，即在區(qū)間上有且只有1個零點．所以在一個周期上有且只有2個零點．同理可知，在區(qū)間上，且單調遞減，在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，且，，所以與的圖象在區(qū)間和上各有一個交點，即在上的每一個區(qū)間上都有且只有2個零點．所以在上共有個零點．綜上可知，在區(qū)間上共有個零點．方法二：當時，，所以函數(shù)．當時，，所以在區(qū)間上單調遞減．又，所以存在唯一零點，使得．所以在區(qū)間上有且僅有一個零點．當時，，所以．所以在上無零點．當時，，所以在區(qū)間上單調遞增．又，所以存在唯一零點．當時，，設，則所以在上單調遞增．又，所以存在，使得．即當時，單調遞減；當時，單調遞增．又，所以在區(qū)間上有且僅有一個零點所以在區(qū)間上有且僅有一個零點．當時，，設，則所以在上單調遞增．又，所以在區(qū)間上單調遞減：又，所以存在唯一，使得．所以在區(qū)間上有且僅有一個零點．所以在區(qū)間上有兩個零點．所以在上共有個零點．綜上所述，在區(qū)間上共有個零點．【點睛】方法點睛：導函數(shù)求解函數(shù)零點個數(shù)問題，要利用導函數(shù)研究函數(shù)的單調性，進而求出函數(shù)的極值情況，結合特殊點的函數(shù)值的正負，零點存在性定理進行求解.考點二、由函數(shù)零點及個數(shù)求參數(shù)值1．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由導數(shù)確定函數(shù)的單調性，即可得解；（2）求導得，按照、及結合導數(shù)討論函數(shù)的單調性，求得函數(shù)的極值，即可得解.【詳解】（1）當時，，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以；（2），則，當時，，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；又，由（1）得，即，所以，當時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當時，，所以單調遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當時，，在上，，單調遞增；在上，，單調遞減；此時，由（1）得當時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與單調性，把函數(shù)零點問題轉化為函數(shù)的單調性與極值的問題.2．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）先算出切點,再求導算出斜率即可（2）求導,對分類討論,對分兩部分研究【詳解】（1）的定義域為當時,,所以切點為,所以切線斜率為2所以曲線在點處的切線方程為（2）設若,當,即所以在上單調遞增,故在上沒有零點,不合題意若,當,則所以在上單調遞增所以,即所以在上單調遞增,故在上沒有零點,不合題意若(1)當,則,所以在上單調遞增所以存在,使得,即當單調遞減當單調遞增所以當,令則所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點又沒有零點,即在上有唯一零點(2)當設所以在單調遞增所以存在,使得當單調遞減當單調遞增,又所以存在,使得,即當單調遞增,當單調遞減，當，，又，而,所以當所以在上有唯一零點,上無零點即在上有唯一零點所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個零點,求的取值范圍為【點睛】方法點睛：本題的關鍵是對的范圍進行合理分類，否定和肯定并用，否定只需要說明一邊不滿足即可，肯定要兩方面都說明.3．（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)有且僅有三個零點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求導，導數(shù)值大于0來求單調遞增區(qū)間即可；（2）利用函數(shù)的單調性和取值情況，分析可得的取值范圍.【詳解】（1）由，得，令，得，解得．所以的單調遞增區(qū)間為（2）令，解得或．當變化時，，的變化情況如下表所示：0200單調遞減1單調遞增單調遞減由函數(shù)有且僅有三個零點，得方程有且僅有三個不等的實數(shù)根，所以函數(shù)的圖象與直線有且僅有三個交點．顯然，當時，；當時，．所以由上表可知，的極小值為，的極大值為，故．4．（2024·廣東茂名·一模）設函數(shù)，.(1)當時，在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若在上存在零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）構建函數(shù)，通過導數(shù)判斷函數(shù)單調性，進而求解實數(shù)的取值范圍；（2）分離參數(shù)，令，，利用導數(shù)求函數(shù)在指定區(qū)間的最值，即得解.【詳解】（1）當時，，所以不等式轉化為，在上恒成立.令，所以.當時，恒成立.若，則在上恒成立，在上單調遞增，故，符合題意；若，令函數(shù)，則在上恒成立，所以在上單調遞增，因為，且當時，.所以，，故當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，則，不符合題意.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；（2）因為，，令，即，所以.令，，則.令，得.所以當時，，單調遞減；當，時，單調遞增.所以當時，取得極小值，即當時，取得極小值.又因為，，所以.所以.當取得極大值，即當時，取得極大值.又因為，，所以.所以，所以當，.所以.又因為，所以時，在上存在零點，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】思路點睛：本題可從以下方面解題（1）構建函數(shù)，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，通過函數(shù)的單調性求參數(shù)的取值范圍；（2）分離參數(shù)，將零點問題轉化為函數(shù)的交點問題，并利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，進而求函數(shù)的最值.（3）本題計算量較大，注意導數(shù)求解過程中的容易出現(xiàn)的問題，以及單調性的分析要注意取值范圍.1．（2024·廣東汕頭·三模）已知函數(shù).(1)若曲線在處的切線與軸垂直，求的極值.(2)若在只有一個零點，求.【答案】(1)極小值，無極大值；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，結合幾何意義求出，再分析單調性求出極值.（2）由函數(shù)零點的意義，等價變形得在只有一解，轉化為直線與函數(shù)圖象只有一個交點求解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為R，求導得，，依題意，，則，，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，無極大值.（2）函數(shù)在只有一個零點，等價于在只有一個零點，設，則函數(shù)在只有一個零點，當且僅當在只有一解，即在只有一解，于是曲線與直線只有一個公共點，令，求導得，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，函數(shù)在取得極小值同時也是最小值，當時，；當時，，畫山大致的圖象，如圖，在只有一個零點時，，所以在只有一個零點吋，.2．（2024·福建泉州·模擬預測）已知函數(shù).(1)若是函數(shù)的極值點，求的值，并求其單調區(qū)間；(2)若函數(shù)在上僅有2個零點，求的取值范圍．【答案】(1)；的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；(2)【分析】（1）首先根據，求的值，根據導數(shù)和函數(shù)單調性的關系，即可求解函數(shù)的單調區(qū)間；（2）首先參變分離為，再構造函數(shù)，，并判斷函數(shù)在區(qū)間的單調性，極值和端點值，根據圖象的交點個數(shù)，即可求解.【詳解】（1），，得，當時，，得或，的變化情況如下表所示，00增區(qū)間極大值減區(qū)間極小值增區(qū)間所以函數(shù)的增區(qū)間是和，減區(qū)間是；（2）令，，得，令，，，得，如下表，130減區(qū)間極小值3增區(qū)間因為函數(shù)在上僅有2個零點，即與有2個交點，如圖：即.3．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的單調遞增區(qū)間為．(1)求函數(shù)的圖象在點處的切線方程；(2)若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由的單調遞增區(qū)間為，得出函數(shù)在處取到極值，即可求解；（2）由（1），令得，令得，若有兩個零點，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，此時,令的單調性即可求解．【詳解】（1）由題，的定義域為，，由于函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，因此函數(shù)在處取得極值，故，解得．因此，令，解得，當時，，在單調遞增，當時，，在單調遞減，符合題意，故，所以函數(shù)的圖象在點處的切線方程為，即．（2）由（1）知，則，令，得．令，則，整理得．因為在上單調遞增，在上單調遞減，且當時，，當時，，所以函數(shù)的最大值為，即．若有兩個零點，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，此時,令，則，所以函數(shù)在上單調遞增，且當時，，易知若有兩個零點，則直線與函數(shù)的圖象有一個交點，因此，所以實數(shù)的取值范圍是．4．（2024·安徽·三模）已知函數(shù)．(1)求證：至多只有一個零點；(2)當時，分別為的極大值點和極小值點，若成立，求實數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）分、及進行討論，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性后結合零點的存在性定理即可得；（2）由（1）可將轉換為，再構造函數(shù)，分及進行分類討論即可得.【詳解】（1）由題意得，，當時，令，解得，①當時，，所以在上單調遞增，又，此時函數(shù)有唯一的零點；②當時，，所以時，單調遞增，時，單調遞減，時，單調遞增，又，則函數(shù)在區(qū)間上無零點，在上至多只有一個零點，所以函數(shù)至多只有一個零點；③當時，，所以時，單調遞增，時，單調遞減，時，單調遞增，又，則函數(shù)在上至多只有一個零點，在區(qū)間上無零點，所以函數(shù)至多只有一個零點，綜上，函數(shù)至多只有一個零點；（2）由（1）知，當時，在上單調遞增，在單調遞減，所以的極大值點為，極小值點為，此時，因為，所以，因為，所以，所以,所以，即，設，則，令，則，①當時，，此時恒成立，則在上單調遞增，所以，此時，②當時，，設的兩個根為，且，則，所以，則當時，，此時在上單調遞減，所以當時，，此時，與矛盾，不合題意.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：本題最后一問關鍵點在于借助第一問所得，將雙變量、變?yōu)閱巫兞?，從而可構造函?shù)，分及進行討論即可得.考點三、求方程根的個數(shù)1．（2024·浙江溫州·一模）已知（）.(1)求導函數(shù)的最值；(2)試討論關于的方程（）的根的個數(shù)，并說明理由.【答案】(1)最大值等于(2)答案見解析【分析】（1）求出導函數(shù)，令，對再求導，利用導數(shù)確定單調性得最值；（2）方程變形為，令，對求導，確定單調性，得出函數(shù)值域后可得結論．【詳解】（1）∵，記∴，解得：當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，所以的最大值等于.（2）方法1：由，即，即.令，∴，由解得：∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴，且所以：當時，方程無解；當時，方程有1個解；當時，方程有2個解.方法2：由，即，即.令，，∴，由解得：∴在上單調遞增，在上單調遞減，∴，且所以：當時，方程無解；當時，方程有1個解；當時，方程有2個解.方法3：由，即，兩邊取對數(shù)得：，即.令，所以由，解得當時，，單調遞增，當時，，單調遞減所以當，即時，方程無解；當，即時，方程有1個解；當，即時，方程有2個解.1．（2024·山西·模擬預測）已知函數(shù)，且與軸相切于坐標原點．(1)求實數(shù)的值及的最大值；(2)證明：當時，；(3)判斷關于的方程實數(shù)根的個數(shù)，并證明．【答案】(1)，最大值為0(2)證明見解析(3)2個，證明見解析【分析】（1）由求出的值，即可得到解析式，再利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值；（2）依題意即證當時，記，，當時直接說明即可，當，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，即可得證；（3）設，，當時，由（1）知，則，當時，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，結合零點存在性定理判斷函數(shù)的零點，當時，，令，利用導數(shù)說明在區(qū)間上單調遞減，即可得到，從而說明函數(shù)在無零點，即可得解.【詳解】（1）由題意知，且，，，解得，，，則，當時，，．故，所以在區(qū)間上單調遞減，所以．當時，令，則，，，，在區(qū)間上單調遞減，則，在區(qū)間上單調遞增，則，則．綜上所述，，的最大值為．（2）因為，要證當時，即證，記，，當時，，，；當時，，記，則，在區(qū)間上單調遞減，則，則在區(qū)間上單調遞減，，綜上所述，當時，．（3）設，，，當時，由（1）知，故，故在區(qū)間上無實數(shù)根．當時，，因此為的一個實數(shù)根．當時，單調遞減，又，，存在，使得，所以當時，當時，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，，又，在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)根，在區(qū)間上無實數(shù)根．當時，，令，，故在區(qū)間上單調遞減，，于是恒成立．故在區(qū)間上無實數(shù)根，綜上所述，有2個不相等的實數(shù)根．【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉化為函數(shù)的單調性、極(最)值問題處理．2．（2024·河南信陽·一模）已知函數(shù)．(1)若，求證：；(2)討論關于x的方程在上的根的情況．【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.【分析】（1）把代入，利用導數(shù)探討單調性，求出最大值即得.（2）構造函數(shù)，求出導數(shù)并確定導函數(shù)的單調性，再按導函數(shù)的零點情況分類討論求解.【詳解】（1）當時，，求導得，當時，，當時，，因此函數(shù)在上單調遞增，在上單調遞減，所以.（2）依題意，，令，求導得，令，求導得，當時，，，則，當時，，，則，于是在上單調遞減，①當時，時，，函數(shù)單調遞增，而，因此僅有1個零點；②當時，，，存在唯一的零點，且，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；而，則在上有唯一的零點0，又，則當，即時，在上有唯一的零點，函數(shù)在上有2個零點；若，在上無零點，在上有1個零點；③當時，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，則，當且僅當時取等號，因此僅有1個零點0；④當時，顯然，則，且，又，則函數(shù)存在唯一的零點，．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，而，則在上有唯一的零點0，顯然，則，且，又，因此在上有唯一的零點，此時有兩個零點；所以當且時，有兩個零點；當或時，有一個零點．【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：①轉化，即通過構造函數(shù)，把問題轉化成所構造函數(shù)的零點問題；②列式，即根據函數(shù)的零點存在定理或結合函數(shù)的圖象列出關系式；③得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．考點四、由方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍1．（2024·貴州貴陽·二模）已知函數(shù).(1)當時.求在處的切線方程;(2)若方程存兩個不等的實數(shù)根，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據導數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）方程進行分離參數(shù)變形為，引入函數(shù)，利用導數(shù)確定函數(shù)的單調性與極值，結合函數(shù)圖象得出結論．【詳解】（1）當時，，則，所以，，所以在處的切線方程為：，即．（2）由得，，易知，顯然當時等式不成立，所以當時，令，則，當或時，，當時，，所以在和上單調遞減，在上單調遞增，且，作出的大致圖象，如圖，由的圖象可知當時，方程有兩個不同的解，即方程有兩個不等的實數(shù)根，所以的取值范圍是．.2．（2024·山東煙臺·三模）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)當時，若方程有三個不等的實根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.(2)【分析】（1）直接使用導數(shù)的符號判斷單調性；（2）將方程化為，再討論方程的解的個數(shù)，然后得到方程的根滿足的條件，即可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）求導知.當時，由可知，在上單調遞增；當時，對有，對有，所以在上單調遞增，在上單調遞減.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞增，在上單調遞減.（2）當時，，故原方程可化為.而，所以原方程又等價于.由于和不能同時為零，故原方程又等價于.即.設，則，從而對有，對有.故在上遞增，在上遞減，這就得到，且不等號兩邊相等當且僅當.然后考慮關于的方程：①若，由于當時有，而在上遞增，故方程至多有一個解；而，，所以方程恰有一個解；②若，由于在上遞增，在上遞減，故方程至多有兩個解；而由有，再結合，，，即知方程恰有兩個解，且這兩個解分別屬于和；③若，則.由于，且不等號兩邊相等當且僅當，故方程恰有一解.④若，則，故方程無解.由剛剛討論的的解的數(shù)量情況可知，方程存在三個不同的實根，當且僅當關于的二次方程有兩個不同的根，且，.一方面，若關于的二次方程有兩個不同的根，且，，則首先有，且.故，，所以.而方程的解是，兩解符號相反，故只能，.所以，即.這就得到，所以，解得.故我們得到；另一方面，當時，關于的二次方程有兩個不同的根，.且有，，.綜上，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：對于取值范圍問題，使用分類討論法是最直接的手段.1．（2023·廣東梅州·三模）已知函數(shù)，，為函數(shù)的導函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調性；(2)若方程在上有實根，求的取值范圍.【答案】(1)函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增(2)【分析】（1）由題意得，令，則，分類討論，，即可得出答案；（2）由（1）得，題意轉化為方程在上有實根，令，則，分類討論，，，即可得出答案．【詳解】（1），令，則當時，，函數(shù)在上單調遞增；當時，，得，，得.所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由（1）知，，方程在上有實根等價于方程在上有實根.令，則當時，，函數(shù)在上單調遞增，，不合題意；當時，在上恒成立，所以函數(shù)在上單調遞減，，不合題意；當時，，得，，得，所以函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.因為，所以，所以綜上所述，的取值范圍為2．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程為．(1)求的值；(2)若有兩個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據已知條件利用切點求出的斜率和函數(shù)值列兩個等式求解即可.（2）把方程中的參數(shù)分離，構造新函數(shù)，將方程根的個數(shù)轉化為函數(shù)圖象的交點個數(shù)，通過研究構造的新函數(shù)的大致圖象數(shù)形結合求解即可.【詳解】（1）因為點在直線上，所以．又，所以．，，所以．綜上．（2）由（1）得，易知，所以有兩個不同的實數(shù)根可轉化為：關于的方程有兩個不同的實數(shù)根．設，，令得，或．所以當變化時，的變化情況為000單調遞增極大值單調遞減單調遞減單調遞減極小值單調遞增所以的極大值為，極小值為，當時，，當時，，當且時，，，當且時，，當時，．根據以上信息畫出的大致圖象，如圖所示．所以實數(shù)的取值范圍為考點五、圖象交點問題1．（2021·全國·高考真題）已知且，函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調遞增；上單調遞減；（2）.【分析】（1）求得函數(shù)的導函數(shù)，利用導函數(shù)的正負與函數(shù)的單調性的關系即可得到函數(shù)的單調性；（2）方法一：利用指數(shù)對數(shù)的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩個交點等價轉化為方程有兩個不同的實數(shù)根，即曲線與直線有兩個交點，利用導函數(shù)研究的單調性，并結合的正負，零點和極限值分析的圖象，進而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據的圖象和單調性得到的取值范圍.【詳解】（1）當時，,令得,當時，,當時，,∴函數(shù)在上單調遞增；上單調遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設函數(shù),則,令，得,在內,單調遞增；在上,單調遞減；,又，當趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內有兩個解．構造函數(shù)，求導數(shù)得．當時，在區(qū)間內單調遞增，所以，在內最多只有一個零點，不符合題意；當時，，令得，當時，；當時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當時，有，即，由函數(shù)在內有兩個零點知，所以，即．構造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當且僅當時取等號，故的解為且．所以，實數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內有兩個不相同的解．因為，所以兩邊取對數(shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．①當時，與只有一個交點，不符合題意．②當時，取上一點在點的切線方程為，即．當與為同一直線時有得直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．記，令，有．在區(qū)間內單調遞增；在區(qū)間內單調遞減；時，最大值為，所以當且時有．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因為，由得．當時，在區(qū)間內單調遞減，不滿足題意；當時，，由得在區(qū)間內單調遞增，由得在區(qū)間內單調遞減．因為，且，所以，即，即，兩邊取對數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內單調遞增，在區(qū)間內單調遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實數(shù)a的范圍為．]【整體點評】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，根據曲線和直線的交點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍問題，屬較難試題，方法一：將問題進行等價轉化，分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值，圖象，利用數(shù)形結合思想求解.方法二：將問題取對，構造差函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和最值.方法三：將問題取對，分成與兩個函數(shù)，研究對數(shù)函數(shù)過原點的切線問題，將切線斜率與一次函數(shù)的斜率比較得到結論．方法四：直接求導研究極值，單調性，最值，得到結論.2．（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據導數(shù)可得函數(shù)的單調性，從而可得相應的最小值，根據最小值相等可求a.注意分類討論.（2）根據（1）可得當時，的解的個數(shù)、的解的個數(shù)均為2，構建新函數(shù)，利用導數(shù)可得該函數(shù)只有一個零點且可得的大小關系，根據存在直線與曲線、有三個不同的交點可得的取值，再根據兩類方程的根的關系可證明三根成等差數(shù)列.【詳解】（1）的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故.的定義域為，而.當時，，故在上為減函數(shù)，當時，，故在上為增函數(shù)，故.當時，，故在上為減函數(shù)，當時，，故在上為增函數(shù)，故.因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中，設，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).設，，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.設，，當時，，當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.當，由（1）討論可得、僅有一個解，當時，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，則.設，其中，故，設，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個零點，且：當時，即即，當時，即即，因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，故，此時有兩個不同的根，此時有兩個不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調遞減，在上單調遞增；在上單調遞減，在上單調遞增，且①時，此時，顯然與兩條曲線和共有0個交點，不符合題意；②時，此時，故與兩條曲線和共有2個交點，交點的橫坐標分別為0和1；③時，首先，證明與曲線有2個交點，即證明有2個零點，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點，設為，在上存在且只存在1個零點，設為其次，證明與曲線和有2個交點，即證明有2個零點，，所以上單調遞減，在上單調遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點，設為，在上存在且只存在1個零點，設為再次，證明存在b，使得因為，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點，因為，，所以在上存在零點，取一零點為，令即可，此時取則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，最后證明，即從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列，因為所以，又因為在上單調遞減，，即，所以，同理，因為，又因為在上單調遞增，即，，所以，又因為，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點的橫坐標成等差數(shù)列.【點睛】思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導數(shù)討論函數(shù)的單調性，此時注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關系.1．（2024·江蘇·模擬預測）已知函數(shù)在處的切線經過原點.(1)判斷函數(shù)的單調性；(2)求證：函數(shù)的圖象與直線有且只有一個交點.【答案】(1)在上單調遞增(2)證明見解析【分析】（1）先根據題意求出參數(shù)的值，然后求導，結合導數(shù)符號與函數(shù)單調性的關系即可得解；（2）由題意構造函數(shù)（），利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性，結合零點存在定理即可得解.【詳解】（1）因為，所以切點為.因為，所以，所以切線方程為.因為切線經過原點，所以，所以.由定義域為，故，所以在上單調遞增.（2）設（），則.因為當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，且，因為，且當時，單調遞減，所以所以當時，，所以函數(shù)在時沒有零點，所以當時，函數(shù)的圖象與直線沒有交點.當時，，單調遞增，又因為，且函數(shù)的圖象是不間斷的，所以當時，函數(shù)有且只有一個零點，函數(shù)的圖象與直線有且只有一個交點.綜上所述，函數(shù)的圖象與直線有且只有一個交點.2．（2024·陜西西安·二模）設函數(shù).(1)當時，討論的單調性；(2)若時，函數(shù)的圖像與的圖像僅只有一個公共點，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）借助導數(shù)對、及分類討論即可得；（2）原問題可等價于即在上無解，構造函數(shù)，借助導數(shù)研究即可得.【詳解】（1）的定義域為，，①當時，，由，得，由，得，當時，的在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，②當時，，，當時，，的區(qū)間上單調遞減，③當時，由，得或，且.當變化時，的變化情況如下表：遞減遞增遞減綜上所述，當時，的在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減；當時，在區(qū)間上的單調遞減；當時，在區(qū)間上的單調遞增，在區(qū)間和上單調遞減區(qū)間；（2）若時，函數(shù)的圖像與的圖像僅只有一個公共點，即關于的方程，即在區(qū)間上僅只有一個解，是方程的解，且時，問題等價于即在上無解，即曲線或與直線無公共點，，由得，當或時，變化時，，的變化情況如下表：遞減，負值無意義遞減，正值極小值遞增，正值且當且時，；當且時，.故的取值范圍為.3．（2024·云南昆明·模擬預測）已知函數(shù).(1)當時，求的單調區(qū)間；(2)證明：若曲線與直線有且僅有兩個交點，求的取值范圍.【答案】(1)單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為(2).【分析】（1）求導后，根據的正負可得單調區(qū)間；（2）將問題轉化為方程有且僅有兩個不等實根，構造函數(shù)，結合導數(shù)知識可作出的圖象，進而得到，結合單調性可得結果.【詳解】（1）當時，，則定義域為，，當時，；當時，；的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為.（2）由題意知：且；與有且僅有兩個交點，方程有且僅有兩個不等實根，即方程有且僅有兩個不等實根，即方程有且僅有兩個不等實根；令，則定義域為，，當時，；當時，；在上單調遞增，在上單調遞減，，當時，；當時，；可得大致圖象如下圖所示，令，則，有且僅有兩個不同實數(shù)根的充要條件為，即，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：本題根據曲線與直線交點個數(shù)求解參數(shù)范圍的關鍵是能夠首先將問題轉化為方程根的個數(shù)問題，進而采用同構的邏輯，通過構造函數(shù)的方式進一步將問題轉化為同一函數(shù)不同函數(shù)值大小關系的比較問題.考點六、零點、方程的根、圖象交點小題綜合1．（2023·全國·高考真題）函數(shù)存在3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】寫出，并求出極值點，轉化為極大值大于0且極小值小于0即可.【詳解】，則，若要存在3個零點，則要存在極大值和極小值，則，令，解得或，且當時，，當，，故的極大值為，極小值為，若要存在3個零點，則，即，解得，故選：B.2．（2024·全國·高考真題）（多選）設函數(shù)，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心【答案】AD【分析】A選項，先分析出函數(shù)的極值點為，根據零點存在定理和極值的符號判斷出在上各有一個零點；B選項，根據極值和導函數(shù)符號的關系進行分析；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，則為恒等式，據此計算判斷；D選項，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，據此進行計算判斷，亦可利用拐點結論直接求解.【詳解】A選項，，由于，故時，故在上單調遞增，時，，單調遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調遞減，時，單調遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD【點睛】結論點睛：（1）的對稱軸為；（2）關于對稱；（3）任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心是三次函數(shù)的拐點，對稱中心的橫坐標是的解，即是三次函數(shù)的對稱中心3．（2022·全國·高考真題）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點 B．有三個零點C．點是曲線的對稱中心 D．直線是曲線的切線【答案】AC【分析】利用極值點的定義可判斷A，結合的單調性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，，令得或，令得，所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以是極值點，故A正確；因，，，所以，函數(shù)在上有一個零點，當時，，即函數(shù)在上無零點，綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B錯誤；令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：AC.4．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)，給出下列四個結論：①若，恰有2個零點；②存在負數(shù)，使得恰有1個零點；③存在負數(shù)，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)，使得恰有3個零點．其中所有正確結論的序號是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直線與曲線的左、右支分別相切的情形，利用方程思想以及數(shù)形結合可判斷各選項的正誤.【詳解】對于①，當時，由，可得或，①正確；對于②，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導得，由題意可得，解得，所以，存在，使得只有一個零點，②正確；對于③，當直線過點時，，解得，所以，當時，直線與曲線有兩個交點，若函數(shù)有三個零點，則直線與曲線有兩個交點，直線與曲線有一個交點，所以，，此不等式無解，因此，不存在，使得函數(shù)有三個零點，③錯誤；對于④，考查直線與曲線相切于點，對函數(shù)求導得，由題意可得，解得，所以，當時，函數(shù)有三個零點，④正確.故答案為：①②④.【點睛】思路點睛：已知函數(shù)的零點或方程的根的情況，求解參數(shù)的取值范圍問題的本質都是研究函數(shù)的零點問題，求解此類問題的一般步驟：（1）轉化，即通過構造函數(shù)，把問題轉化成所構造函數(shù)的零點問題；（2）列式，即根據函數(shù)的零點存在定理或結合函數(shù)的圖象列出關系式；（3）得解，即由列出的式子求出參數(shù)的取值范圍．1．（2024·四川綿陽·模擬預測）函數(shù)恰好有一零點，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題將函數(shù)恰好有一零點，且等價于與相切，將切線斜率k和截距b求出來根據即可求解.【詳解】函數(shù)即，因為函數(shù)恰好有一零點，且，則由指數(shù)函數(shù)圖象特性與相切，因為，設切點為，則切線斜率為，切點在切線上，故，所以由得.故選：B.2．（2024·陜西銅川·模擬預測）已知，若函數(shù)有4個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據導數(shù)判斷在和上各有1個零點，轉化為當時，有2個零點，利用正弦型函數(shù)的性質建立不等式求解即可.【詳解】當時，，當時，單調遞增；當時，單調遞減．又，，，所以在和上各有1個零點．又因為有4個根，所以當時，有2個零點，因為，所以，即，解得．故選：B．3．（2024·全國·模擬預測）（多選）已知函數(shù)，，則（

）A．若有極值點，則B．當時，有一個零點C．D．當時，曲線上斜率為2的切線是直線【答案】BC【分析】對A，判斷當時情況即可；對B，求導分析函數(shù)的單調性，結合零點存在性定理判斷即可；對C，根據得關于對稱，再判斷的對稱性判斷即可；對D，根據導數(shù)的幾何意義判斷即可.【詳解】對A，由題得，當時，遞增，不存在極值點，故A選項錯誤；對B，當時，，令得或，令得，所以在上單調遞減，在，上單調遞增．因為，，，所以函數(shù)在上有一個零點，在上無零點．綜上所述，函數(shù)有一個零點，故B選項正確；對C，由得關于對稱，令，該函數(shù)的定義域為R，因為，則是奇函數(shù)，圖象的對稱中心是原點，將的圖象向上平移一個單位長度得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C選項正確；對D，令，可得．又，，所以當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D選項錯誤.故選：BC．4．（2024·安徽·模擬預測）若關于的方程有解，則實數(shù)m的最大值為.【答案】/【分析】根據題意，由條件可得，構造函數(shù)，即可得到，然后利用導數(shù)求得函數(shù)的值域即可得到結果.【詳解】由題意得，，令，則，易知單調遞增，所以.令，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，所以，得.所以的最大值為.故答案為：5．（2024·天津北辰·三模）若函數(shù)有四個零點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】分析可知關于直線對稱，由對稱性可知當時，有2個零點，令，化簡整理可得：與在內只有一個交點，利用導數(shù)分析的單調性和極值，結合圖象分析求解.【詳解】由題意可知：的定義域為，且，可知關于直線對稱，原題意等價于：當時，有2個零點，且，即，若，則，顯然，若時，令，可得，令，可知與在內只有一個交點，則，令，解得或；令，解得；可知在內單調遞減，在內單調遞增，且，又，可得的圖象如圖所示，由圖象可知：或或，解得或或，綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是關于直線對稱，根據對稱性可得當時，有2個零點，這樣可以去絕對值，把問題轉化為常規(guī)問題.一、單選題1．（2023·陜西西安·模擬預測）方程有兩個不等的實數(shù)解，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】變形為有兩個不等的實數(shù)解，構造，求導，得到單調性和極值情況，又當時，恒成立，當時，恒成立，從而得到答案.【詳解】由題意得有兩個不等的實數(shù)解，令，定義域為R，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在時取得極小值，也是最小值，故，又當時，恒成立，當時，恒成立，故要想有兩個不等的實數(shù)解，則.故選：C2．（2024·四川涼山·二模）若，，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】求導，研究函數(shù)單調性，極值，畫圖，根據圖象得零點個數(shù).【詳解】,當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，又，，，，則的草圖如下：由圖象可得函數(shù)的零點個數(shù)為.故選：C.二、多選題3．（2024·四川成都·模擬預測）已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點B．有一個零點C．點是曲線的對稱中心D．直線是曲線的切線【答案】BC【分析】利用導數(shù)y與零點存在性定理求解三次函數(shù)的極值點，零點，對稱中心，切線問題.【詳解】選項A：則恒成立，故單調遞增，故不存在兩個極值點，故選項A錯誤.選項B:又單調遞增，故有一個零點，故選項B正確，選項C：故點是曲線的對稱中心，故選項C正確，選項D：令，即，令，則令，則當則當切線斜率為切點為則切線方程為：與不相等，當時同樣切線方程不為，故選項D錯誤.故選：BC.4．（2024·遼寧·模擬預測）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．的極值點為B．的極值點為1C．直線是曲線的一條切線D．有兩個零點【答案】BC【分析】利用導數(shù)與函數(shù)的極值的關系可判斷AB；結合函數(shù)的單調性與函數(shù)零點的知識可判斷D；利用導數(shù)的幾何意義求得在處的切線方程，從而得以判斷．【詳解】對A：因為，所以，令，得；令，得，所以在上單調遞減；在上單調遞增.可知在處取得唯一極小值，也是的最小值，所以的極值點為，故A錯誤，B正確；對C：因為，，所以在處的切線方程為，即，故C正確．對D：因為，，結合在上的單調性，可知是在上的唯一零點；當時，恒成立，故恒成立，所以在上沒有零點；綜上：只有一個零點，故D錯誤．故選：BC.三、填空題5．（2024·全國·模擬預測）方程有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】分離參數(shù)，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調性與最值，作出函數(shù)大致圖象，數(shù)形結合計算即可.【詳解】由題意，得方程有兩個不相等的實數(shù)根．令，則，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減．所以當時，取最大值．作出函數(shù)的大致圖象，如圖．由圖可知，當時，直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以實數(shù)的取值范圍為．故答案為：.6．（2024·山西·三模）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有一個零點，則的取值范圍是.【答案】【分析】根據對勾函數(shù)的性質以及導數(shù)求解函數(shù)的最值，即可作出函數(shù)的圖象，根據只有一個交點，即可結合圖象求解.【詳解】，由于為對勾函數(shù)，最小值為2，而，所以在單調遞減，故，作出的大致圖象如下：故要使恰有一個零點，只需要只有一個交點，故，即，故答案為：7．（23-24高三上·四川內江·期末）已知函數(shù)，若函數(shù)的圖象與曲線有三個交點，則的取值范圍是.【答案】【分析】將問題轉為有三個不同的交點.構造函數(shù)，利用導數(shù)求解單調性，進而根據極值即可求解.【詳解】由于的圖象與曲線有三個交點，所以有三個不同的實數(shù)根，即有三個不同的交點.記,則，令，則或，此時單調遞增，令，則，此時單調遞減，故和分別為的極大值點和極小值點，要使有三個不同的交點，則,即而，故，故答案為：四、解答題8．（2023·廣西河池·模擬預測）已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)與直線在上有兩個不同的交點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）求導，點斜式求切線方程即可；（2）構造新函數(shù)，在指定區(qū)間上求最大值，最小值即可解決.【詳解】（1）當時，，所以，因為，所以切點坐標為，切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）由題知，函數(shù)與直線在上有兩個不同的交點，令，所以，因為，所以令，得，所以當時，，當時，，所以在上有最大值，因為，又，所以，所以在上有最小值，所以在上有兩個不同的交點的條件是，解得所以實數(shù)的取值范圍為9．（23-24高三上·北京大興·階段練習）已知，(1)求的極值；(2)若函數(shù)存在兩個零點，求的取值范圍.【答案】(1)極大值為，無極小值；(2).【分析】（1）利用導數(shù)研究的單調性，即可求極值；（2）問題化為與有兩個交點，結合（1）結論及性質確定參數(shù)范圍.【詳解】（1）令且，則，當時，當時，所以在上遞增，上遞減，故的極大值為，無極小值.（2）由題設，有兩個根，即與有兩個交點，由（1）知：在上遞增，上遞減，在上，在上，且當趨向正無窮時趨向于0，綜上，只需，即.10．（2024·湖南邵陽·三模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的單調遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)有且僅有三個零點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用求導，導數(shù)值大于0來求單調遞增區(qū)間即可；（2）利用函數(shù)的單調性和取值情況，分析可得的取值范圍.【詳解】（1）由，得，令，得，解得．所以的單調遞增區(qū)間為（2）令，解得或．當變化時，，的變化情況如下表所示：0200單調遞減1單調遞增單調遞減由函數(shù)有且僅有三個零點，得方程有且僅有三個不等的實數(shù)根，所以函數(shù)的圖象與直線有且僅有三個交點．顯然，當時，；當時，．所以由上表可知，的極小值為，的極大值為，故．一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）已知過點的直線與函數(shù)的圖象有三個交點，則該直線的斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】方法一：問題轉化為方程有三個不等的實數(shù)根.分離參數(shù)后構造函數(shù)，求導分析單調性后求出參數(shù)的范圍；方法二：分離函數(shù)，令，則方程變?yōu)?，分別構造函數(shù)，求導分析的單調性和極值，再討論當時圖象的情況和當時設切點，利用導數(shù)的意義求出切線的斜率，再由點在直線上和點斜式方程寫出切線方程，求出斜率，最后綜合以上求出斜率范圍.【詳解】問題轉化為方程有三個不等的實數(shù)根．方法一：分離參數(shù)因為，所以方程有三個不等的實根等價于方程有兩個不等的實根．令，則．令，則，即單調遞增．又，所以當時，單調遞減，且；當時，單調遞增，且．又因為當時，；當時，；當時，，所以實數(shù)k的取值范圍是．故選：C．方法二：分離函數(shù)令，則，所以．令，則，解得，令，得；令，得；所以在上單調遞減，在上單調遞增，有極小值；而且，所以方程有一解．①當時，過一、三象限，兩圖象有兩個交點，不合題意；②當時，過原點O作的切線，設切點，則，所以．又，得，所以，所以．故選：C．【點睛】關鍵點點睛：方法一關鍵是能夠把問題轉化為方程有三個不等的實數(shù)根，再分離參數(shù)后由導數(shù)確定單調性和特殊值分析函數(shù)的最值情況.2．（2024·貴州貴陽·一模）已知函數(shù)，若方程存在三個不相等的實根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】考查利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題，先根據導數(shù)情況得出函數(shù)單調性和最值情況，再數(shù)形結合分析，分段函數(shù)分段討論即可.【詳解】因為方程存在三個不相等的實根，所以函數(shù)有三個零點，當時，，所以，所以當時，；當時，，所以在上單調遞減，在單調遞增，，又當時，；當時，，所以圖象如圖；當時，，所以，所以當時，；當時，，所以在上單調遞減，在單調遞增，，又當時，；當時，，所以圖象如圖，所以當即時函數(shù)有三個零點，即方程存在三個不相等的實根，故選：C.二、填空題3．（2024·重慶·模擬預測）若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個不同的公共點，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【分析】依題意關于的方程恰有三個不等實數(shù)根，令，利用導數(shù)說明函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最大值，令，則（且），令（且），依題意可得與有兩個交點，且其中一個交點的橫坐標小于，另一個交點的橫坐標位于之間，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】令，則，即，依題意關于的方程恰有三個不等實數(shù)根，令，則，所以當時，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減，又，當時，當時，所以，令，則（且），則（且），令（且），因為在定義域上單調遞增，在，上單調遞增，所以在，上單調遞增，又，，要使關于的方程恰有三個不等實數(shù)根，則與有兩個交點，且其中一個交點的橫坐標小于，另一個交點的橫坐標位于之間，則，解得，綜上可得實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是將函數(shù)的公共點問題轉化為方程的解，從而轉化為常數(shù)函數(shù)的定函數(shù)的交點問題.4．（2024·湖北黃岡·二模）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象有且僅有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】構造函數(shù)，利用導數(shù)，分類討論，求出的取值范圍.【詳解】令，令，則，令，則.令，則，所以在上單調遞增；令，則，所以在上單調遞減；又，則有且只有兩根，分別為0，1；因為與的圖象有且僅有兩個不同的交點，則函數(shù)圖象與軸有且僅有兩個不同的交點，設兩個不同的交點的橫坐標為，，則方程組有且只有一組實數(shù)根，令，則，當時，，則此時在上遞增，又當趨向于，趨向于，當趨向于，趨向于，即，則有且只有一組實數(shù)根；當時，方程組有且只有一組實數(shù)根，等價于函數(shù)圖象與直線圖象共有兩個交點，臨界情況為兩條直線與圖象相切，當與相切，設對應切點為，因，則相應切線方程為，即，所以，所以，解得；當與相切，設對應切點為，則相應切線，即，所以，可得，解得；如圖則，綜上的取值范圍為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題求解的關鍵有兩個：一是利用兩個函數(shù)圖象有兩個公共點，轉化為新函數(shù)的零點情況；二是把解的情況轉化為直線和曲線的相切問題，結合導數(shù)的幾何意義求解即可.5．（2024·福建泉州·一模）已知函數(shù)有且只有兩個零點，則a的范圍．【答案】【分析】根據題意，轉化為有兩個根據，即或有兩個解，分別令，，利用導數(shù)求得函數(shù)和的單調性與最值，作出函數(shù)和的圖象，結合圖象，即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，可得，即，因為，所以，所以，可得或，即或，令，，可得，，當時，可得，在單調遞增，且；當時，且；當時，可得，在單調遞減；當時，可得，在單調遞增，且，又當時，，，當時，且；作出函數(shù)的圖象，如圖所示，要使得有兩個實數(shù)根，即有兩個不同的零點，結合圖象，可得或，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【點睛】方法技巧：已知函數(shù)零點（方程根）的個數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題的三種常用方法：1、直接法，直接根據題設條件構建關于參數(shù)的不等式（組），再通過解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；3、數(shù)形結合法，先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解.結論拓展：與和相關的常見同構模型①，構造函數(shù)或；②，構造函數(shù)或；③，構造函數(shù)或.三、解答題6．（2024·廣東深圳·模擬預測）已知在時取得極大值．(1)討論在上的單調性；(2)令，試判斷在上零點的個數(shù)．【答案】(1)答案見解析(2)三個零點【分析】（1）求導數(shù)，令，則或，通過討論的正負，可得的單調性．（2）分別討論和，求出單調性，可得結果．【詳解】（1）由題意，，因為在時取得極大值，則，得，所以，令，則或．時，，單調遞增，時，，單調遞減，時，，單調遞增，時，，單調遞減．所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減．（2）在R上有3個零點，理由如下：，因為，所以是的一個零點．，所以是偶函數(shù)，即要確定在R上的零點個數(shù)，需確定時，的零點個數(shù)即可．①當時，，令，即或，時，單調遞減，且，時，單調遞增，且，所以在有唯一零點；②當時，由于，，而在單調遞增，，所以恒成立，故在無零點，所以在有一個零點，由于是偶函數(shù)，所以在有一個零點，而，綜上，在R有且僅有三個零點．7．（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)，，.(1)若的最小值為0，求的值；(2)當時，證明：方程在上有解.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據函數(shù)的最小值求參數(shù)即可；（2）轉化為在上有解，根據圖象特征即可證明；【詳解】（1）由已知得，則.令，解得.當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.所以，所以.（2）要證在上有解，即證在上有解，即證在上有解.令，則.設，則.當時，；當時，.所以即在上單調遞增，在上單調遞減.又因為，，，所以由零點存在性定理知，，使，即，所以當時，；當時，.所以在上單調遞增，在上單調遞減.所以.因為，所以，即，且時，，所以當時，直線與函數(shù)的圖像在上有交點，即在上有解.【點睛】思路點睛：將方程在上有解轉化為在上有解，求出在上的單調性，則直線與函數(shù)的圖像在上有交點即可證明；8．（2024·廣東梅州·二模）已知函數(shù)，，（）．(1)證明：當時，；(2)討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)當時，在上沒有零點：當時，在上有且僅有1個零點．【分析】（1）結合已知不等式構造函數(shù)，對其求導，結合導數(shù)與單調性關系即可證明；（2）對求導，結合導數(shù)與單調性關系及函數(shù)零點存在定理對的范圍進行分類討論即可求解．【詳解】（1）證明，令，則，記，則，當時，，當時，，所以在上單調遞減：在上單調遞增，從而在上，，所以在上單調遞增，因此在上，，即；（2），，，在上，，所以，在上遞增，，即函數(shù)在上無零點；，記，則，在上遞增，而，故存在，使，當時，遞減，時，遞增，，而，，在上無零點，在,上有唯一零點，綜上，當時，在上沒有零點：當時，在上有且僅有1個零點．【點睛】方法點睛：利用導數(shù)證明或判定不等式問題：1．通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值（最值），從而得出不等關系；2．利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題，從而判定不等關系；3．適當放縮構造法：根據已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；4．構造“形似”函數(shù)，變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數(shù).9．（2024·廣西南寧·二模）已知函數(shù)(1)若在定義域內單調遞增，求的取值范圍，(2)若函數(shù)恰有兩個零點，求的取值范圍，【答案】(1)(2)．【分析】（1）法一，求出函數(shù)的導數(shù)，根據題意可得恒成立，解不等式求出的范圍；法二，求導，判斷的單調性，根據函數(shù)的單調性，求出的范圍即可；（2）法一，求導判斷的單調性，求出極值，并結合區(qū)間端點函數(shù)值和零點情況求解.法二，問題轉化為有兩個根，令，求導判斷的單調性和極值以及區(qū)間端點函數(shù)值，得解；【詳解】（1）（解法一）由，得，因為在定義域內單調遞增，所以．即在上恒成立．由，得，故的取值范圍為．（解法二）：由，得，，當時，恒成立，在定義域內單調遞增，符合題意；當時，，可見，當時，，在內單調遞增；當時，，在內單調遞減，故不符合題意；所以的取值范圍為．（2）（解法一）：由，，，當，即時，恒成立，在內單調遞增，不符合題意；當時，即時，，可見，當時，，在內單調遞增；當時，，在內單調遞減；且當時，；當時．故要使函數(shù)恰有兩個零點，即使．，解得．綜上所述，故的取值范圍為．（解法二）：由，得，令，則，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；則，，即時；另外，時，，所以當時，圖象與直線恰有兩個交點．即恰有兩個零點時，的取值范圍為．10．（2024·廣西賀州·一模）已知函數(shù)．(1)若，討論的單調性；(2)若關于x的方程有且只有一個解，求a的取值范圍．【答案】(1)當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).(2)或【分析】（1）先求導，再根據導函數(shù)的正負得出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）關于x的方程有且只有一個解，令，求出的單調區(qū)間，即可求解.【詳解】（1）對函數(shù)求導可得：，因為，則，所以由可得，解得或，所以當時，函數(shù)在上是增函數(shù)；當時，函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù).（2）因為關于x的方程有且只有一個解，即，也即，令，則是減函數(shù)，因為，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，又因為當時，；；當時，；所以實數(shù)的取值范圍為或.1．（2022·浙江·高考真題）設函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經過點．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)（ⅰ）見解析；（ⅱ）見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調性.（2）（ⅰ）由題設構造關于切點橫坐標的方程，根據方程有3個不同的解可證明不等式成立，（ⅱ），，則題設不等式可轉化為，結合零點滿足的方程進一步轉化為，利用導數(shù)可證該不等式成立.【詳解】（1），當，；當，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.（2）（?。┮驗檫^有三條不同的切線，設切點為，故，故方程有3個不同的根，該方程可整理為，設，則，當或時，；當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：且，此時，設，則，故為上的減函數(shù)，故，故.（ⅱ）當時，同（?。┲杏懻摽傻茫汗试谏蠟闇p函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設，則，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：，因為，故，又，設，，則方程即為：即為，記則為有三個不同的根，設，，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設，則，所以，，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證：【點睛】思路點睛：導數(shù)背景下的切線條數(shù)問題，一般轉化為關于切點方程的解的個數(shù)問題，而復雜方程的零點性質的討論，應該根據零點的性質合理轉化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.2．（2021·全國·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調性即可；(2)由題意結合(1)中函數(shù)的單調性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當時，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；當時，在上單調遞增；當時，若，則單調遞增，若，則單調遞減，若，則單調遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當時，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當時，構造函數(shù)，則，當時，單調遞減，當時，單調遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當時，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結合函數(shù)的單調性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結論成立.【點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，判斷單調性；已知單調性，求參數(shù)．(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結合思想的應用．3．（2021·浙江·高考真題）設a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；（3）當時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))【答案】(1)見解析(2)；(3)證明見解析.【分析】(1)首先求得導函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調性；(2)將原問題進行等價轉化，然后構造新函數(shù)，利用導函數(shù)研究函數(shù)的性質并進行放縮即可確定實數(shù)a的取值范圍；(3)方法一：結合(2)的結論將原問題進行等價變形，然后利用分析法即可證得題中的結論成立.【詳解】(1)，①若，則，所以在上單調遞增；②若，當時，單調遞減，當時，單調遞增