圓的最值模型之阿氏圓模型（原卷版）（北師大版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題08圓的最值模型之阿氏圓模型一、模型說明背景故事：“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點(diǎn)P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓．這個(gè)軌跡最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”.模型建立：當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)以O(shè)為圓心，r為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖所示：易證：△BOP∽△POA，，∴對(duì)于圓上任意一點(diǎn)P都有.對(duì)于任意一個(gè)圓，任意一個(gè)k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線上，在同側(cè)適當(dāng)?shù)奈恢眠x取A、B點(diǎn)，則需【技巧總結(jié)】計(jì)算的最小值時(shí)，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形問題：在圓上找一點(diǎn)P使得的值最小，解決步驟具體如下：①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點(diǎn)與圓心相連即OP，OB②計(jì)算出這兩條線段的長度比③在OB上取一點(diǎn)C，使得，即構(gòu)造△POM∽△BOP，則，④則，當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)可得最小值二、例題精講例1．如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點(diǎn)P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求：①，②，③，④的最小值．例2．如圖，正方形的邊長為4，的半徑為2，為上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是．例3．如圖，在邊長為4的正方形ABCD內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P，且BP＝．連接CP，將線段PC繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PQ．連接CQ、DQ，則DQ+CQ的最小值為．例4．如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點(diǎn)的正方形CDEF（C、D、E、F四個(gè)頂點(diǎn)按逆時(shí)針方向排列）可以繞點(diǎn)C自由轉(zhuǎn)動(dòng)，且CD＝，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當(dāng)正方形CDEF有頂點(diǎn)在線段AB上時(shí)，直接寫出BD＋AD的值；（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，BD＋AD的最小值．例5．如圖，拋物線與軸交于，，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)，且，的平分線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于的直線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，垂足為，交直線于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，求的值；（3）當(dāng)直線為拋物線的對(duì)稱軸時(shí)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值．【變式訓(xùn)練1】．如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則PA＋PB的最小值為．【變式訓(xùn)練2】．如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點(diǎn)P是圓B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為．【變式訓(xùn)練3】．問題提出：如圖①，在中，，，，⊙C的半徑為2，P為圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，求的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個(gè)問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點(diǎn)D，使，則．又，所以∽．所以．所以，所以．請(qǐng)你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為________；（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一點(diǎn)，求的最小值．【變式訓(xùn)練4】．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點(diǎn)，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為B（1）求拋物線解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)M為x軸下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接MA、MB、BC，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，四邊形AMBC面積最大，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點(diǎn)是半徑為2的⊙B上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PA，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到某一位置時(shí)，PC+PA的值最小，請(qǐng)求出這個(gè)最小值，并說明理由．三、課后訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．2．如圖所示，，半徑為2的圓內(nèi)切于．為圓上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作、分別垂直于的兩邊，垂足為、，則的取值范圍為．3．如圖，在中，點(diǎn)A、點(diǎn)在上，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．4．如圖，在中，，以點(diǎn)B為圓心作圓B與相切，點(diǎn)P為圓B上任一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．5．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點(diǎn)C為圓心，6為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是.

6．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點(diǎn)P是⊙B上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PD﹣PC的最大值為．7．如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是扇形AEF的上任意一點(diǎn)，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是．8．如圖，點(diǎn)A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)D在OB上，且OD＝4，動(dòng)點(diǎn)P在上．求2PC＋PD的最小值．9．已知與有公共頂點(diǎn)C，為等邊三角形，在中，．(