專題04 反比例函數(shù)與一次函數(shù)、實(shí)際問(wèn)題的綜合壓軸題四種模型全攻略（解析版）

專題04反比例函數(shù)與一次函數(shù)、實(shí)際問(wèn)題的綜合壓軸題四種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷】 1【考點(diǎn)二一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題】 3【考點(diǎn)三一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】 6【考點(diǎn)四實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)】 9【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 13【典型例題】【考點(diǎn)一一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象綜合判斷】例題：（2023春·江蘇蘇州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D所示，滿足函數(shù)和的大致圖像是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．①④【答案】B【分析】先根據(jù)反比例函數(shù)的圖象所在的象限判斷出k的符號(hào)，然后再根據(jù)k符號(hào)、一次函數(shù)的性質(zhì)判斷出一次函數(shù)所在的象限，二者一致的即為正確答案．【詳解】解：一次函數(shù)．∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限，∴，∴，∴一次函數(shù)位于第一、二、四象限；故圖①錯(cuò)誤，圖②正確；∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限，∴；∴，∴一次函數(shù)位于第一、三、四象限；故圖③正確，圖④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象性質(zhì)和一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，要掌握它們的性質(zhì)才能靈活解題．【變1-1】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考一模）已知一次函數(shù)的圖象如圖所示，則與的圖象在同一坐標(biāo)系中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，，從而得到一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，反比函數(shù)的圖象位于第一、三象限內(nèi)，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，∴，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限，反比函數(shù)的圖象位于第一、三象限內(nèi)．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變1-2】（2023秋·山東濱州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，同一坐標(biāo)系中，直線與雙曲線大致位置錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖象所在象限，確定出，的符號(hào)，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在的象限，確定出，的符號(hào)，至此找出一次函數(shù)和反比例函數(shù)，的符號(hào)一致的選項(xiàng)即可．【詳解】解：A.由一次函數(shù)圖象知，異號(hào)，即，同號(hào)，由反比例函數(shù)圖象知，同號(hào)，故該選不符合題意；B.由一次函數(shù)圖象知，異號(hào)，即，同號(hào)，由反比例函數(shù)圖象知，異號(hào)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C.由一次函數(shù)圖象知，同號(hào)，即，異號(hào)，由反比例函數(shù)圖象知，異號(hào)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D.由一次函數(shù)圖象知，異號(hào)，即，同號(hào)，由反比例函數(shù)圖象知，同號(hào)，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)，反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．解題的關(guān)鍵在于確定出，的符號(hào)，明確系數(shù)與函數(shù)圖象的關(guān)系．【考點(diǎn)二一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題】例題：（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，反比例函數(shù)與一次函數(shù)相交于，兩點(diǎn)，若，則x的取值范圍是（）A． B．C． D．或【答案】D【分析】把A點(diǎn)坐標(biāo)代入可求出m的值，進(jìn)而可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)，即可求出答案．【詳解】解：把代入得，，解得：，∴反比例函數(shù)的解析式為，把代入得，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，正比例函數(shù)圖象在反比例圖象下方，∴或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意求出B點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．【變2-1】（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（

）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】D【分析】先把代入，求出n值，再根據(jù)圖象直接求解即可．【詳解】解：把代入，得，解得：，∴，∵圖象交于、兩點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)，或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握利用圖象法求自變量的取值范圍是解題的關(guān)鍵．【變2-2】（2023春·廣東云浮·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是(

)A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】利用待定系數(shù)法求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，結(jié)合圖象，利用數(shù)形結(jié)合法解答即可．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，∴，∴．∴．∴當(dāng)時(shí)，x的取值范圍是或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，利用數(shù)形結(jié)合法解答是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三一次函數(shù)與反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】例題：（2023春·浙江·八年級(jí)期末）已知某消毒藥物燃燒時(shí)，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y（微克）與時(shí)間x（小時(shí)）成正比例，藥物熄滅后，y（微克）與x（小時(shí)）成反比例，如圖所示，現(xiàn)測(cè)得藥物4小時(shí)燃畢，此時(shí)室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為6微克，請(qǐng)你根據(jù)題中提供的信息，解答下列問(wèn)題：(1)分別求出藥物燃燒時(shí)和藥物熄滅后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)研究表明，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3微克且持續(xù)時(shí)間不低于10小時(shí)時(shí)，才能殺滅空氣中的毒，那么這次消毒是否有效？為什么？【答案】(1)藥物燃燒時(shí)的函數(shù)解析式為；藥物燃燒時(shí)的函數(shù)解析式為；(2)沒(méi)有效，見(jiàn)解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解析式即可；（2）利用時(shí)分別代入求出答案．【詳解】（1）解：設(shè)藥物燃燒時(shí)的函數(shù)解析式為，將點(diǎn)代入，得，解得，∴藥物燃燒時(shí)的函數(shù)解析式為；設(shè)藥物熄滅后y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是，將點(diǎn)代入，得，解得，∴藥物燃燒時(shí)的函數(shù)解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，∵，∴這次消毒沒(méi)有效．【點(diǎn)睛】此題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，正確求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變3-1】（2023春·全國(guó)·八年級(jí)階段練習(xí)）實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)顯示，一般成人喝50毫升某品牌白酒后，血液中酒精含量y（毫克/百毫升）與時(shí)間x（時(shí)）變化的圖象如圖（圖象由線段與部分雙曲線AB組成）所示．國(guó)家規(guī)定，車(chē)輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于20（毫克/百毫升）時(shí)屬于“酒后駕駛”，不能駕車(chē)上路．(1)求部分雙曲線的函數(shù)表達(dá)式；(2)參照上述數(shù)學(xué)模型，假設(shè)某駕駛員晚上在家喝完50毫升該品牌白酒，第二天早上能否駕車(chē)去上班？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)；(2)第二天早上不能駕車(chē)去上班．【分析】（1）首先求得線段所在直線的解析式，然后求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式即可求解；（2）把代入反比例函數(shù)解析式可求得時(shí)間，結(jié)合規(guī)定可進(jìn)行判斷．【詳解】（1）解：設(shè)直線的解析式為，∵直線過(guò)，∴，解得∴直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)雙曲線的解析式為，將點(diǎn)代入求得：，∴；（2）解：由得，當(dāng)時(shí)，，從晚上到第二天早上時(shí)間間距為小時(shí)，∵，∴第二天早上不能駕車(chē)去上班．【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)和反比例函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法等知識(shí)點(diǎn)，熟練相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變3-2】（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模）實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)：初中生在數(shù)學(xué)課上聽(tīng)課注意力指標(biāo)隨上課時(shí)間的變化而變化，上課開(kāi)始時(shí)，學(xué)生興趣激增，中間一段時(shí)間，學(xué)生的興趣保持平穩(wěn)狀態(tài)，隨后開(kāi)始分散．學(xué)生注意力指標(biāo)y隨時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示，其中當(dāng)時(shí)，圖象是反比例函數(shù)的一部分．

(1)求點(diǎn)C，D所在反比例函數(shù)的表達(dá)式和直線的表達(dá)式；(2)張老師想在數(shù)學(xué)課上講解一道數(shù)學(xué)綜合題，希望學(xué)生注意力指標(biāo)不低于36，那么她最多可以講______分鐘．【答案】(1)，(2)【分析】（1）設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，將點(diǎn)C代入確定反比例函數(shù)解析式，然后即可確定，設(shè)的表達(dá)式為，利用待定系數(shù)法代入求解即可；（2）求出當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的值，然后即可求解．【詳解】（1）解：設(shè)反比例函數(shù)的表達(dá)式為，將代入得：，∴．當(dāng)時(shí)，，∴．∴．設(shè)的表達(dá)式為，將，代入，得：，解得，∴（2）當(dāng)時(shí)，，解得，，解得：，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)四實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)】例題：（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出功率一定時(shí)，輸出的扭矩M（使物體發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)的力矩，單位為）與發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)n（發(fā)動(dòng)機(jī)曲軸的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，單位為）存在一定的關(guān)系，某興趣小組通過(guò)對(duì)固定輸出功率的發(fā)動(dòng)機(jī)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，得到對(duì)應(yīng)的扭矩M和轉(zhuǎn)數(shù)n的數(shù)據(jù)如表：n（）1.522.534M（）400300240200150(1)以表中各組對(duì)應(yīng)值為點(diǎn)的坐標(biāo)，在如圖直角坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點(diǎn)并用光滑曲線連結(jié)．(2)能否用學(xué)過(guò)的函數(shù)刻畫(huà)變量M和n的關(guān)系？如果能，請(qǐng)求出M關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式；（不必寫(xiě)出n的取值范圍）；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．(3)某個(gè)使用場(chǎng)景需要此款發(fā)動(dòng)機(jī)輸出的扭矩不低于，但不超過(guò)，求此場(chǎng)景中該發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)數(shù)n的取值范圍．【答案】(1)見(jiàn)詳解(2)能，M關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為(3)【分析】（1）根據(jù)題意可直接進(jìn)行畫(huà)出函數(shù)圖象；（2）由（1）可知M和n符合反比例函數(shù)關(guān)系，則設(shè)M關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為，然后問(wèn)題可求解；（3）根據(jù)題意及結(jié)合函數(shù)圖象可直接進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：由題意可得如下函數(shù)圖象：（2）解：由（1）可設(shè)M關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為，則把點(diǎn)代入得：，∴M關(guān)于n的函數(shù)表達(dá)式為；（3）解：由題意可得：當(dāng)時(shí)，則有，解得：；當(dāng)時(shí)，則有，解得：；∴n的取值范圍為．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變4-1】（2023秋·陜西榆林·九年級(jí)綏德中學(xué)?？计谀┮阎?，的長(zhǎng)和邊上的高分別是和，它的面積是．(1)求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若自變量的取值范圍是，求的最大值和最小值．【答案】(1)(2)沒(méi)有最大值，最小值是【分析】（1）利用三角形的面積公式即可解決問(wèn)題；（2）先列表，然后描點(diǎn)，連線即可畫(huà)出函數(shù)圖象，觀察圖象即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）解：由題意：∴．（2）列表：…………描點(diǎn)、連線如圖所示：

自變量的取值范圍是，則沒(méi)有最大值，當(dāng)時(shí)，的最小值是．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變4-2】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考二模）如圖，某人對(duì)地面的壓強(qiáng)（單位：）與這個(gè)人和地面接觸面積（單位：）滿足反比例函數(shù)關(guān)系．

(1)圖像上點(diǎn)A坐標(biāo)為，求函數(shù)解析式和這個(gè)人的體重．(2)如果此人所穿的每只鞋與地面的接觸面積大約為，那么此人雙腳站立時(shí)對(duì)地面的壓強(qiáng)有多大？(3)如果某一沼澤地面能承受的最大壓強(qiáng)為，那么此人應(yīng)站立在面積至少多大的木板上才不至于下陷（木板的質(zhì)量忽略不計(jì)）？【答案】(1)函數(shù)解析式為，這個(gè)人的體重．(2)人雙腳站立時(shí)對(duì)地面的壓強(qiáng)為．(3)木板面積至少為．【分析】（1）由圖象可知壓強(qiáng)與接觸的受力面積成反比，故可得到對(duì)應(yīng)的反比例函數(shù)，再將點(diǎn)代入解析式即可求得反比例函數(shù)的解析式，由反比例函數(shù)的解析式可分析得到人的體重．（2）首先換算單位，根據(jù)，帶入解析式即可求得此人雙腳站立時(shí)對(duì)地面的壓強(qiáng)大?。?）根據(jù)得：，將地面能承受的最大壓強(qiáng)代入解析式即可求得至少多大的木板才不至于下陷．【詳解】（1）解：由圖示圖像可知函數(shù)解析式為：，∵時(shí)，，由，人的體重，∴．答：函數(shù)解析式為，這個(gè)人的體重．（2）解：先換算單位，根據(jù)，代入反比例函數(shù)中得：人雙腳站立時(shí)對(duì)地面的壓強(qiáng)為：．答：人雙腳站立時(shí)對(duì)地面的壓強(qiáng)為．（3）解：根據(jù)得：，木板面積至少為：．答：木板面積至少為．【點(diǎn)睛】本題主要考查求反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與實(shí)際問(wèn)題，能夠通過(guò)函數(shù)圖象判斷函數(shù)類(lèi)別以及正確求解函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，兩點(diǎn)，當(dāng)一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值時(shí)，x的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圖象即可判斷．【詳解】解：由圖象可知：當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)大于一次函數(shù)的函數(shù)值，當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)等于一次函數(shù)的函數(shù)值，當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的函數(shù)值，當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)等于一次函數(shù)的函數(shù)值，當(dāng)時(shí)，反比例函數(shù)大于一次函數(shù)的函數(shù)值，即當(dāng)一次函數(shù)大于反比例函數(shù)的值時(shí)，x的取值范圍是：故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是熟知交點(diǎn)的性質(zhì)．2．（2023春·四川宜賓·八年級(jí)校考期中）在同一直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別根據(jù)和討論直線和雙曲線在坐標(biāo)系中的位置即可得．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、三、四象限，雙曲線經(jīng)過(guò)第一、三象限，故A、B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)時(shí)，直線經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，雙曲線經(jīng)過(guò)第二、四象限，故D錯(cuò)誤；故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握根據(jù)待定系數(shù)判斷圖象在坐標(biāo)系中的位置是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中的一種重要思想方法，在解題中運(yùn)用數(shù)形結(jié)合常?？梢詢?yōu)化解題思路，簡(jiǎn)化解題過(guò)程．如圖，直線與雙曲線相交于點(diǎn)．根據(jù)圖象可知關(guān)于的方程的解是（

）

A．或1 B．或2 C．1或2 D．或【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)直接判斷即可．【詳解】解：∵直線與雙曲線相交于點(diǎn)，∴關(guān)于的方程的解是或1．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象和一次函數(shù)圖像的交點(diǎn)問(wèn)題，明確函數(shù)圖像上各交點(diǎn)坐標(biāo)代表的意義是解決本題的關(guān)鍵．4．（2023·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖象大致是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵兩個(gè)函數(shù)的比例系數(shù)均為k，∴兩個(gè)函數(shù)圖象必有交點(diǎn)，交y軸的正半軸，符合這兩個(gè)條件的選項(xiàng)只有選項(xiàng)C，故C正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的綜合判斷，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)．二、填空題5．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）若正比例函數(shù)與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，則k的值可以是________（寫(xiě)出一個(gè)即可）．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系解答即可．【詳解】解：∵正比例函數(shù)與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，∴，∴k的值可以是（答案不唯一）．故答案為：（答案不唯一）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，掌握它們的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）正比例函數(shù)，①時(shí)，正比例函數(shù)圖象過(guò)第一、三象限；②時(shí)，正比例函數(shù)圖象過(guò)第二、四象限．（2）反比例函數(shù)，①時(shí)，反比例函數(shù)圖象在第一、三象限；②時(shí)，反比例函數(shù)圖象在第二、四象限．6．（2023·陜西西安·西安市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)是函數(shù)與的圖象的一個(gè)交點(diǎn)，且該交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)是______．【答案】2【分析】根據(jù)點(diǎn)A是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，那么當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)的函數(shù)值相等，則，求出a的值進(jìn)而求出正比例函數(shù)解析式，再把代入正比例函數(shù)解析式求出y的值即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意，得：，解得：，∴正比例函數(shù)的解析式是：，把代入中得，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，正確求出a的值是解題的關(guān)鍵．7．（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖像交于，兩點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______．【答案】【分析】先把點(diǎn)坐標(biāo)代入中求出得到反比例函數(shù)解析式，再利用反比例函數(shù)解析式確定點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合函數(shù)圖像，寫(xiě)出反比例函數(shù)圖像在一次函數(shù)圖像下方所對(duì)應(yīng)的自變量的范圍即可．【詳解】解：∵，在反比例函數(shù)的圖像上，∴，解得：，∴反比例函數(shù)解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，∴，∴當(dāng)時(shí)，的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無(wú)解，則兩者無(wú)交點(diǎn)．掌握利用圖像法解不等式是解題的關(guān)鍵．8．（2023·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，若，則的取值范圍是__________．【答案】或【分析】先利用對(duì)稱性求出點(diǎn)B的坐標(biāo)為，再利用函數(shù)圖象法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)，∴由對(duì)稱性可知，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，由函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時(shí)，正比例函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方，即此時(shí)，∴若，則的取值范圍是或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正比例函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，正確找出正比例函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象的下方時(shí)自變量的取值范圍是解題的關(guān)鍵．三、解答題9．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考二模）如圖，把的水從瓶子里全部倒出，設(shè)平均每秒倒出的水，所用的時(shí)間為秒．

(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)要求至多10秒把水倒完，求平均每秒至少倒出多少毫升的水？【答案】(1)(2)平均每秒至少倒出水，至多把水倒完【分析】（1）所用時(shí)間等于總量÷每秒倒出的水量列關(guān)系時(shí)即可；（2）令（1）中，解出x的值，在勇反比例函數(shù)增減性計(jì)算即可．【詳解】（1）∵，∴；（2）當(dāng)時(shí)，，解得∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，∴時(shí)，，∴平均每秒至少倒出水，至多把水倒完．【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題抽象化為反比例函數(shù)，列出關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．10．（2023·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃╇姕缥闷鞯碾娮桦S溫度變化的大致圖像如圖所示，通電后溫度由室溫上升到時(shí)，電阻與溫度成反比例函數(shù)關(guān)系，且在溫度達(dá)到時(shí)，電阻下降到最小值，隨后電阻隨溫度升高而增加，溫度每上升，電阻增加．

(1)當(dāng)時(shí)，求y與x之間的關(guān)系式；(2)電滅蚊器在使用過(guò)程中，溫度x在什么范圍內(nèi)時(shí)，電阻不超過(guò)?【答案】(1)當(dāng)時(shí)，y與x的關(guān)系式為：．(2)溫度x取值范圍是時(shí)，電阻不超過(guò)．【分析】（1）設(shè)y與x之間的關(guān)系式為，把點(diǎn)和點(diǎn)代入求得m的值即可解答；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的關(guān)系式為，然后求得解析，然后分別求出時(shí)，兩函數(shù)的函數(shù)值即可求解解答．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x之間的關(guān)系式為，根據(jù)題意得：該函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，y與x的關(guān)系式為：．（2）解：∵，∴當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意得：該函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，∵溫度每上升，電阻增加．當(dāng)時(shí)，設(shè)y與x的關(guān)系式為，∴該函數(shù)圖像過(guò)點(diǎn)，∴，解得：，∴當(dāng)時(shí)，y與x的關(guān)系式為：；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，；對(duì)于，當(dāng)時(shí)，．答：溫度x取值范圍是時(shí)，電阻不超過(guò)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，求出兩函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．11．（2023秋·陜西榆林·九年級(jí)綏德中學(xué)?？计谀┠撤N商品上市之初采用了大量的廣告宣傳，其銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）與上市的天數(shù)x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式為．當(dāng)廣告停止后，銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）與上市的天數(shù)x（天）之間成反比（如圖），現(xiàn)已知上市30天時(shí)，當(dāng)日銷(xiāo)售量為120萬(wàn)件．(1)當(dāng)時(shí)，求該商品上市以后銷(xiāo)售量y（萬(wàn)件）與上市的天數(shù)（天）之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)廣告合同約定，當(dāng)銷(xiāo)售量不低于萬(wàn)件，并且持續(xù)天數(shù)不少于天時(shí)，廣告設(shè)計(jì)師就可以拿到“特殊貢獻(xiàn)獎(jiǎng)”，那么本次廣告策劃，設(shè)計(jì)師能否拿到“特殊貢獻(xiàn)獎(jiǎng)”？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)設(shè)計(jì)師可以拿到特殊貢獻(xiàn)獎(jiǎng)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）將已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入到正比例函數(shù)和反比例函數(shù)中利用待定系數(shù)法確定其解析式即可；（2）分別求得銷(xiāo)量不低于萬(wàn)件的天數(shù)，相加后大于等于天即可拿到特殊貢獻(xiàn)獎(jiǎng)，否則不能．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，設(shè)，把代入得，∴（2）當(dāng)時(shí)，由得，，即，有天；當(dāng)時(shí)，由，解得：，即，有天，共有天，因此設(shè)計(jì)師可以拿到特殊貢獻(xiàn)獎(jiǎng)．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中整理出反比例函數(shù)的模型．12．（2023春·山西長(zhǎng)治·八年級(jí)長(zhǎng)治市第五中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）用橡膠或聚脂薄膜材斜制成氣球，并充以比空氣密度小的氫氣或氦氣，用以攜帶儀器升空，進(jìn)行高空氣象觀測(cè)．某氣球內(nèi)充滿了一定量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓與氣體體積成反比例函數(shù)，其圖象如圖所示．

(1)求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式．(2)當(dāng)氣體體積為時(shí)，氣壓是多少？(3)當(dāng)氣球內(nèi)的氣壓大于時(shí)，氣球?qū)⒚赫?，為了安全起?jiàn)，氣體的體積應(yīng)不小于多少？【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）設(shè)，將點(diǎn)代入，得，進(jìn)行計(jì)算即可得；（2）將代入計(jì)算即可得；（3）將代入計(jì)算即可得．【詳解】（1）解：設(shè)，將點(diǎn)代入，可得，∴，故；（2）當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)氣體體積為時(shí)，氣壓是；（3）當(dāng)時(shí)，，∴為了安全起見(jiàn)，氣體的體積應(yīng)不小于【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握反比函數(shù)的圖象和性質(zhì)．13．（2023·貴州貴陽(yáng)·統(tǒng)考一模）心理學(xué)家研究發(fā)現(xiàn)，一般情況下，學(xué)生在一節(jié)課中的注意力隨教師講課時(shí)間的變化而變化．開(kāi)始上課時(shí)，學(xué)生的注意力逐步增強(qiáng)，此時(shí)學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)與上課時(shí)間成一次函數(shù)關(guān)系，滿足（），中間有一段時(shí)間學(xué)生的注意力保持較為理想的穩(wěn)定狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開(kāi)始分散．經(jīng)過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知，學(xué)生的注意力指標(biāo)數(shù)y隨時(shí)間x（min）的變化規(guī)律如圖所