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專題06直接開平方法和配方法解一元二次方程壓軸題五種模型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一解一元二次方程——直接開平方法】 1【考點(diǎn)二配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程】 3【考點(diǎn)三配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程】 4【考點(diǎn)四用配方法解一元二次方程錯(cuò)解復(fù)原】 6【考點(diǎn)五利用配方法求多項(xiàng)式的最值問題】 9【過關(guān)檢測(cè)】 12【典型例題】【考點(diǎn)一解一元二次方程——直接開平方法】例題:(2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí))解方程:.【答案】,【分析】方程兩邊同時(shí)除以16,再開平方來求解.【詳解】解:方程兩邊同時(shí)除以16得,開平方得,解得,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解法,理解直接開平方法是解答關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí))解方程:【答案】,【分析】首先將方程整理為,然后直接開方求解即可.【詳解】解:∴∴,.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接開平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活選用合適的方法.2.(2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè))解關(guān)于的方程:.【答案】,【分析】變形后利用直接開方法解方程即可.【詳解】整理得:,∴,∴或,∴,.【點(diǎn)睛】本題考查了直接開方法解一元二次方程,解題關(guān)鍵是熟記直接開平方法的解方程的步驟,準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算即可.3.(2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí))解下列方程:(1)(2x﹣3)2=9(2)(3x﹣1)2=(x+1)2.【答案】(1)x1=3,x2=0;(2)x1=1,x2=0【分析】(1)直接開方即可求解;(2)直接開方即可求解.【詳解】(1)直接開平方,得:2x-3=±3,∴2x-3=3或2x-3=-3,∴x1=3,x2=0;(2)直接開平方,得:3x-1=x+1,或3x-1=-(x+1),∴2x=2,或4x=0,解得:x1=1,x2=0.【點(diǎn)睛】本題考查了直接開平方法解一元二次方程,理解平方根的含義是解答本題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)二配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程】例題:(2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí))解方程:x2﹣4x+2=0.【答案】【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程的一般步驟解方程即可.【詳解】解:x2﹣4x+2=0移項(xiàng)得,配方得,即,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法,熟練掌握配方法解一元二次方程的步驟是解題的關(guān)鍵,此題也可以用公式法解方程.【變式訓(xùn)練】1.(2023秋·湖南衡陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末)解方程:【答案】,.【分析】根據(jù)配方法即可求解.【詳解】∴,.【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程的求解,解題的關(guān)鍵是配方法的應(yīng)用.2.(2023秋·福建廈門·九年級(jí)統(tǒng)考期末)解方程:.【答案】【分析】利用配方法解方程.【詳解】∴.【點(diǎn)睛】此題考查解一元二次方程的方法—配方法,將等式變形為平方形式是解題的關(guān)鍵.3.(2023秋·陜西渭南·九年級(jí)統(tǒng)考期末)解方程:.【答案】,.【分析】根據(jù)一元二次方程的解題步驟來解即可.【詳解】解:方程可化為:,,,∴,解得,.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解法,熟練掌握方程的解題步驟并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.4.(2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí))用配方法解下列方程:(1).(2).【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)配方法解一元二次方程;(2)根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解.【詳解】(1)解:,,即,∴,解得:;(2)解:,,即,∴,解得.【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程,掌握配方法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)三配方法解二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程】例題:(2023秋·上海徐匯·八年級(jí)校聯(lián)考期末)用配方法解方程:【答案】,【分析】先把常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊,再把二次項(xiàng)系數(shù)化為“1”,在等式兩邊同時(shí)加上,左邊湊成完全平方的形式.【詳解】解:,.【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程,解題的關(guān)鍵是掌握用配方法解一元二次方程的方法.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))利用配方法解方程:.【答案】,.【分析】利用配方法得到,然后利用直接開平方法解方程即可.【詳解】所以原方程的解為,.故答案為,.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣配方法:將一元二次方程配成(x+m)2=n的形式,再利用直接開平方法求解,這種解一元二次方程的方法叫配方法.2.(2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí))用配方法解方程:.【答案】或【分析】根據(jù)配方法的步驟先兩邊都除以2,再移項(xiàng),再配方,最后開方即可得出答案.【詳解】原方程變形為:配方得即或所以原方程得解為或【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程,關(guān)鍵是能正確配方,配方法的一般步驟:(1)把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊;(2)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1;(3)等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.3.(2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))用配方法解下列關(guān)于x的方程(1)

(2)【答案】(1),;(2),【分析】(1)根據(jù)配方法,先把常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊,再兩邊同時(shí)加上36,等式左邊湊成完全平方形式,再直接開平方得出結(jié)果;(2)根據(jù)配方法,先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后把常數(shù)項(xiàng)移到等式右邊,再兩邊同時(shí)加上1,等式左邊湊成完全平方形式,再直接開平方得出結(jié)果.【詳解】(1),;(2),.【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的解法——配方法,解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法的方法.4.(2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè))用配方法解下列一元二次方程:(1);(2).【答案】(1),;(2),.【分析】(1)先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,再將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊,然后方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,將左邊化為完全平方式,然后方程兩邊同時(shí)開方,進(jìn)而得解;(2)先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1,再將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊,然后方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,將左邊化為完全平方式,然后方程兩邊同時(shí)開方,進(jìn)而得解.【詳解】(1)解:,;(2)解:,.【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程,熟練掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)四用配方法解一元二次方程錯(cuò)解復(fù)原】例題:(2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè))以下是圓圓在用配方法解一元二次方程的過程:解:移項(xiàng)得配方:開平方得:移項(xiàng):所以:,圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤?如果有錯(cuò)誤,請(qǐng)寫出正確的解答過程.【答案】有錯(cuò)誤,過程見解析【分析】直接利用配方法解一元二次方程的方法進(jìn)而分析得出答案.【詳解】解:圓圓的解答過程有錯(cuò)誤,正確的解答過程如下:移項(xiàng)得:,配方:,,開平方得:,移項(xiàng):,所以:,.【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元二次方程,正確掌握配方法解方程的步驟是解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023秋·河北滄州·九年級(jí)統(tǒng)考期末)閱讀材料,并回答問題:佳佳解一元二次方程的過程如下:解:①②③④.問題:(1)佳佳解方程的方法是______;A.直接開平方法B.配方法C.公式法D.因式分解法(2)上述解答過程中,從______步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤(填序號(hào)),發(fā)生錯(cuò)誤的原因是______;(3)在下面的空白處,寫出正確的解答過程.【答案】(1)B(2)②,等號(hào)右邊沒有加9(3),.【分析】(1)利用配方法解方程的方法進(jìn)行判斷;(2)第2步方程兩邊都加上4,則可判斷從②步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤;(3)利用配方法解方程的基本步驟解方程.【詳解】(1)解:佳佳解方程的方法為配方法;故選:B;(2)解:上述解答過程中,從②步開始出現(xiàn)了錯(cuò)誤,發(fā)生錯(cuò)誤的原因是方程右邊沒有加上9;故答案為:②;等號(hào)右邊沒有加9;(3)解:正確解答為:解:,移項(xiàng)得,配方得,即,∴,∴或,所以,.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程-配方法:熟練掌握用配方法解一元二次方程的步驟是解決問題的關(guān)鍵.2.(2023春·八年級(jí)單元測(cè)試)用配方法解一元二次方程:.小明同學(xué)的解題過程如下:解:,小明的解題過程是否正確?若正確,請(qǐng)回答“對(duì)”;若錯(cuò)誤,請(qǐng)寫出你的解題過程.【答案】錯(cuò)誤,見解析【分析】運(yùn)用配方法解答該方程即可判定正誤.【詳解】解:錯(cuò)誤,正確解法如下:解得,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了運(yùn)用配方法解一元二次方程,掌握配方法成為解答本題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)五利用配方法求多項(xiàng)式的最值問題】例題:(2023秋·甘肅慶陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末)閱讀材料:利用公式法,可以將一些形如的多項(xiàng)式變形為的形式,我們把這樣的變形方法叫作“配方法”.運(yùn)用多項(xiàng)式的配方法及平方差公式能對(duì)一些多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解,例如.根據(jù)以上材料,解答下列問題:(1)分解因式:.(2)求多項(xiàng)式的最小值.【答案】(1)(2)-23【分析】(1)先利用完全平方公式進(jìn)行配方,再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可;(2)利用完全平方公式進(jìn)行配方,根據(jù)平方的非負(fù)性即可得出答案.【詳解】(1)解:原式.(2)解:,,,多項(xiàng)式的最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用完全平方公式進(jìn)行配方以及利用平方差公式進(jìn)行因式分解,熟練掌握兩個(gè)公式及其特點(diǎn)是本題解題關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練】1.(2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí))代數(shù)式的最小值為(

).A. B.0 C.3 D.5【答案】A【分析】利用配方法對(duì)代數(shù)式做適當(dāng)變形,通過計(jì)算即可得到答案.【詳解】代數(shù)式∵,∴即代數(shù)式,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和不等式的知識(shí);解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和不等式的性質(zhì),從而完成求解.2.(2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí))把代數(shù)式通過配湊等手段,得到局部完全平方式,再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題,這種解題方法叫做配方法.如:①用配方法分解因式:,解:原式②,利用配方法求M的最小值:解:因?yàn)椋援?dāng)時(shí),M有最小值5請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問題:(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù),使之成為完全平方式;(2)用配方法因式分解;(3)若,求M的最小值.【答案】(1)16(2)(3)【分析】(1)利用完全平方公式,加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方即可;(2)利用配方法分解因式即可;(3)利用配方法得到,然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定M的最小值.【詳解】(1)解:,故答案為:16;(2)解:;(3)解:∵,∴當(dāng)時(shí),M有最小值.【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解?配方法等,熟練掌握配方法和平方差公式及完全平方公式是解決問題的關(guān)鍵.【過關(guān)檢測(cè)】一、選擇題1.(2023秋·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末)方程的解是(

)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)直接開平方解方程即可.【詳解】,所以,.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直接開平方解一元二次方程,關(guān)鍵是理解平方根的意義.2.(2023春·浙江嘉興·八年級(jí)統(tǒng)考期末)一元二次方程配方后,結(jié)果正確的是(

)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的配方法即可求出答案.【詳解】移項(xiàng),得,方程兩邊同時(shí)加上4,得,配方得,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的配方法,熟練掌握配方的步驟是解題的關(guān)鍵.3.(2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè))方程的左邊是一個(gè)完全平方式,則m等于()A. B.或4 C.或 D.4【答案】B【分析】根據(jù)完全平方式的結(jié)構(gòu),而,即可求解.【詳解】解:根據(jù)題意得:,解得,故選:B.【點(diǎn)睛】此題考查了配方法解一元二次方程,解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用.選擇用配方法解一元二次方程時(shí),最好使方程的二次項(xiàng)的系數(shù)為1,一次項(xiàng)的系數(shù)是2的倍數(shù).4.(2023秋·河北保定·九年級(jí)統(tǒng)考期末)小明解方程的過程如圖所示,他在解答過程中開始出錯(cuò)的步驟是(

)解:……①……②……③,…④A.① B.② C.③ D.④【答案】C【分析】根據(jù)配方法解一元二次方程即可確定出錯(cuò)的步驟.【詳解】解:出錯(cuò)的步驟是③,應(yīng)該是在②步的基礎(chǔ)上,兩邊同時(shí)加上4,得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程,熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.5.(2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè))將代數(shù)式配方后,發(fā)現(xiàn)它的最小值為(

)A. B. C. D.0【答案】A【分析】原式利用完全平方公式配方后,即可確定最小值.【詳解】解:,當(dāng)時(shí),代數(shù)式有最小值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程—配方法,熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵.二、填空題6.(2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí))方程的根是.【答案】【分析】形如的一元二次方程,可直接采用開平方法解得,進(jìn)而得出方程的根.【詳解】解:∵,即,解得故答案為:.【點(diǎn)睛】此題主要考查形如的一元二次方程的解法,熟練掌握開平方法是解題的關(guān)鍵.7.(2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí))方程的解是.【答案】【分析】利用配方法解方程即可.【詳解】解:,故答案為:.【點(diǎn)睛】此題考查了利用配方法解一元二次方程,正確掌握配方的方法是解題的關(guān)鍵.8.(2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí))填空:(1).(2).(3).【答案】16366【分析】(1)所填的常數(shù)項(xiàng)為一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方;(2)所填的常數(shù)項(xiàng)為一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方;(3)所填的常數(shù)項(xiàng)為一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,運(yùn)用配方法的運(yùn)算方法,也可以直接利用完全平方公式:得出結(jié)論.【詳解】解:(1).故答案為:①16;(2)故答案為:②;(3)故答案為:③36,④6.【點(diǎn)睛】此題主要考查了配方法的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是掌握配方的過程中應(yīng)注意不能改變?cè)降拇笮。?.(2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí))當(dāng)時(shí),代數(shù)式有最小值為.【答案】3【分析】根據(jù)偶次方的非負(fù)性可知,當(dāng)時(shí)有最小值,進(jìn)而可求解.【詳解】解:,當(dāng)時(shí)代數(shù)式取得最小值,最小值為,即時(shí),代數(shù)式的最小值為,故答案為:3;.【點(diǎn)睛】本題主要考查了配方法、偶次方的非負(fù)性,掌握偶次方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.10.(2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè))已知代數(shù)式A=3x2﹣x+1,B=4x2+3x+7,則AB(填>,<或=).【答案】<【分析】先求A-B的差,再將差用配方法變形為A﹣B=﹣(x+2)2﹣2,然后利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)求解.【詳解】解:A﹣B=3x2﹣x+1﹣(4x2+3x+7)=﹣x2﹣4x﹣6=﹣(x+2)2﹣2,∵﹣(x+2)2≤0,∴﹣(x+2)2﹣2<0,∴A﹣B<0,∴A<B,故答案為:<.【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的綜合應(yīng)用,配方法的關(guān)鍵是:先將一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)化為1,然后在方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.三、解答題11.(2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí))解方程:.【答案】,【分析】方程移項(xiàng),利用完全平方公式配方得到結(jié)果,即可求解.【詳解】解:,∴,∴,∴或,解得:,.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程—配方法,掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵.12.(2023春·上海虹口·七年級(jí)校聯(lián)考期末)解方程:.【答案】【分析】利用配方法,方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方,則左邊是完全平方式,右邊是常數(shù),即可求解.【詳解】解:配方得:即開方得:【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的方法,根據(jù)方程的形式選擇合適的方法求解.13.(2023·全國·九年級(jí)假期作業(yè))用配方法解方程.【答案】【分析】利用配方法解一元二次方程即可求解.【詳解】解:,,即,∴,解得:.【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程,掌握配方法是解題的關(guān)鍵.14.(2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí))解方程:(1)(2)【答案】(1),;(2),.【分析】(1)方程移項(xiàng)后,利用平方根定義開方即可求出解;(2)方程移項(xiàng)后,利用完全平方公式配方,計(jì)算即可求出解.【詳解】(1)解:方程移項(xiàng)得:,開方得:或,解得:,.(2)解:方程移項(xiàng)得:,配方得:,即:開方得:或,解得:,.【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程——配方法及直接開平方法,熟練掌握各自的解法是解本題的關(guān)鍵.15.(2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí))用配方法解下列方程:(1).(2).【答案】(1)(2)【分析】(1)先把二次項(xiàng)系數(shù)化為1,再根據(jù)題意,利用配方法解一元二次方程;(2)先化為一般形式,然后根據(jù)題意,利用配方法解一元二次方程即可求解.【詳解】(1)解:二次項(xiàng)系數(shù)化為1,,,∴,∴,解得:;(2)解:,化為一般形式,,二次項(xiàng)系數(shù)化為1,,,即,∴,解得:.【點(diǎn)睛】本題考查了配方法解一元二次方程,掌握配方法是解題的關(guān)鍵.16.(2023秋·北京海淀·九年級(jí)期末)解方程:(1).(2).(3)(4).【答案】(1)(2),(3),(4)【分析】(1)根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解;(2)根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解;(3)根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解;(4)根據(jù)配方法解一元二次方程即可求解.【詳解】(1)解:∴即,解得(2)解:即,解得(3)解:,∴,解得,;(4)解:∴,∴,∴,解得.【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程,掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵.17.(2023秋·北京東城·九年級(jí)統(tǒng)考期末)下面是小聰同學(xué)用配

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