專題34 概率（講義）（2考點+17題型）

第34講概率目錄TOC\o"1-2"\h\u考點一概率的相關(guān)概念 2題型01事件的分類 2題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小 3題型03理解概率的意義 4題型04判斷幾個事件概率的大小關(guān)系 4考點二概率的計算方法 6題型01根據(jù)概率公式計算概率 7題型02根據(jù)概率作判斷 7題型03已知概率求數(shù)量 8題型04列舉法求概率 9題型05畫樹狀圖法/列表法求概率 9題型06幾何概率 10題型07由頻率估計概率 12題型08用頻率估計概率的綜合應(yīng)用 13題型09放回實驗概率計算方法 16題型10不放回實驗概率計算方法 17題型11游戲公平性 19題型12概率的應(yīng)用 21題型13概率與統(tǒng)計綜合 23考點要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測概率的相關(guān)概念能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結(jié)果，以及指定隨機事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解隨機事件的概率.知道通過大量重復(fù)試驗，可以用頻率估計概率.概率問題在中考數(shù)學(xué)中的考察難度在中檔以下，年年都會考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右，預(yù)計2024年各地中考還將出現(xiàn).該專題考題的類型也比較的固定，單獨考察時，通常作為選擇或者填空題，考概率的基本定義和簡單計算;綜合考察時會和統(tǒng)計圖表類問題結(jié)合，作為最后一問，考察概率的樹狀圖或者列表分析.因為整體難度較小，屬于中考數(shù)學(xué)中必拿分點，審題時要多加注意即可.概率的計算方法

考點一概率的相關(guān)概念1.概率的定義及計算公式概率的定義：一般地，對于一個隨機事件A，把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱之為隨機事件A發(fā)生的概率，記為P(A).概率的意義：一個事件發(fā)生的概率是一個確定的數(shù),它從數(shù)值上刻畫了一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小.概率公式：P(隨機事件)=隨機事件出現(xiàn)的次數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù).2.確定事件與隨機事件定義事件發(fā)生的概率確定事件必然

事件在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件。P(必然事件)=1不可能事件在一定條件下，有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件。P(不可能事件)=0不確定事件（隨機事件）在一定條件下，許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生，這些事情稱為不確定事件（又叫隨機事件）。0＜P(隨機事件)＜1題型01事件的分類【例1】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測）彩民李大叔購買1張彩票，中獎．這個事件是（

）A．必然事件 B．確定性事件 C．不可能事件 D．隨機事件【變式1-1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（

）A．水落石出 B．水漲船高 C．水滴石穿 D．水中撈月【變式1-2】（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）下列事件是必然事件的是（

）A．三角形內(nèi)角和是180°B．端午節(jié)賽龍舟，紅隊獲得冠軍C．?dāng)S一枚均勻骰子，點數(shù)是6的一面朝上D．打開電視，正在播放神舟十四號載人飛船發(fā)射實況【變式1-3】（2021·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，電路圖上有4個開關(guān)A、B、C、D和1個小燈泡，同時閉合開關(guān)A、B或同時閉合開關(guān)C、D都可以使小燈泡發(fā)光．下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機事件的是（

）A．只閉合1個開關(guān) B．只閉合2個開關(guān) C．只閉合3個開關(guān) D．閉合4個開關(guān)【變式1-4】（2024·福建福州·校考一模）下列事件中是隨機事件的是（

）A．明天太陽從東方升起 B．經(jīng)過有交通信號燈的路口時遇到紅燈C．平面內(nèi)不共線的三點確定一個圓 D．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是540°題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小【例2】（2022·廣東中山·統(tǒng)考一模）某校九年級選出三名同學(xué)參加學(xué)校組織的“法治和安全知識競賽”．比賽規(guī)定，以抽簽方式?jīng)Q定每個人的出場順序，主持人將表示出場順序的數(shù)字1，2，3分別寫在3張同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個抽，下列說法中正確的是（

）A．小星抽到數(shù)字1的可能性最小 B．小星抽到數(shù)字2的可能性最大C．小星抽到數(shù)字3的可能性最大 D．小星抽到每個數(shù)的可能性相同【變式2-1】（2021·河北唐山·統(tǒng)考一模）下列4個袋子中，裝有除顏色外完全相同的10個小球，任意摸出一個球，摸到紅球可能性最大的是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)?？家荒＃┐永镉?個紅球，m個白球，3個黑球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，若摸到紅球的可能性最大，則m的值不可能是（

）A．1 B．3 C．5 D．10【變式2-3】（2023·貴州貴陽·?？家荒＃?張質(zhì)地相同的卡片背面朝上放置，正面分別標(biāo)有1～4四個數(shù)字，隨機抽出一張，出現(xiàn)可能性最大的是（

）A．?dāng)?shù)字大于2的卡片 B．?dāng)?shù)字小于2的卡片 C．?dāng)?shù)字大于3的卡片 D．?dāng)?shù)字小于4的卡片方法技巧判斷事件發(fā)生的可能性大小，首先看是什么事件，必然事件的可能性最大為100%，不可能事件的可能性最小為0，隨機事件的可能性有大有小，其發(fā)生可能性介于0－100%．在隨機事件中，要想判斷隨機事件發(fā)生的概率就要列舉出隨機事件中可能出現(xiàn)的各種結(jié)果，其中包含的結(jié)果數(shù)多的事件發(fā)生的可能性大．所以平時要多加練習(xí)如何列舉全隨機事件中包含的各種結(jié)果，如果少列舉一種都會造成錯誤結(jié)果．題型03理解概率的意義【例3】（2022·廣東深圳·?？家荒＃?4人中至少有2人在同一個月過生日”這一事件發(fā)生的概率為P，則（）A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1【變式3-1】（2022·安徽蕪湖·統(tǒng)考一模）縣氣象站天氣預(yù)報稱，明天千島湖鎮(zhèn)的降水概率為90%A．明天千島湖鎮(zhèn)下雨的可能性較大B．明天千島湖鎮(zhèn)有90%C．明天千島湖鎮(zhèn)全天有90%D．明天千島湖鎮(zhèn)一定會下雨【變式3-2】（2022·河北石家莊·校聯(lián)考一模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時，正面向上的概率是0.5．則下列判斷正確的是（

）A．連續(xù)擲2次時，正面朝上一定會出現(xiàn)1次B．連續(xù)擲100次時，正面朝上一定會出現(xiàn)50次C．連續(xù)擲2n次時，正面朝上一定會出現(xiàn)n次D．當(dāng)拋擲次數(shù)越大時，正面朝上的頻率越穩(wěn)定于0.5【變式3-3】（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中，如果沒有硬幣，我們可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（）A．一枚均勻的普通六面體骰子 B．兩張撲克牌(一張黑桃，一張紅桃)C．兩個只有顏色不同的小球 D．一枚圖釘題型04判斷幾個事件概率的大小關(guān)系【例4】（2021·福建福州·福州三牧中學(xué)?？级＃┰谝粋€布袋中裝有紅、白兩種顏色的小球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別．其中紅球若干，白球5個，袋中的球已攪勻．若從袋中隨機取出1個球，取出紅球的可能性大，則紅球的個數(shù)是（

）A．4個 B．5個 C．不足4個 D．6個或6個以上【變式4-1】（2023·廣東云浮·統(tǒng)考二模）任意拋擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動后，發(fā)生可能性最大的事件是（）A．朝上一面的點數(shù)大于2 B．朝上一面的點數(shù)為3C．朝上一面的點數(shù)是2的倍數(shù) D．朝上一面的點數(shù)是3的倍數(shù)【變式4-2】（2020·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考一模）桌子上有6杯同樣型號的杯子，其中1杯84消毒液，2杯75%的酒精，3杯雙氧水，從6個杯子中隨機取出1杯，請你將下列事件發(fā)生的可能性從大到小排列：_________．（填序號即可）①取到75%的酒精；②取到雙氧水；③沒有取到75%的酒精；④取到84消毒液．

考點二概率的計算方法公式法P（A）=m列舉法在一次試驗中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小相等，我們可通過列舉試驗結(jié)果的方法，分析出隨機事件發(fā)生的概率，這種方法稱為列舉法.【注意事項】1）直接列舉試驗結(jié)果時，要有一定的順序性，保證結(jié)果不重不漏.2）用列舉法求概率的前提有兩個：①所有可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個②每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等.3）所求概率是一個準(zhǔn)確數(shù)，一般用分?jǐn)?shù)表示.畫樹狀圖法當(dāng)事件中涉及兩個以上的因素時，用樹狀圖的形式不重不漏地列出所有可能的結(jié)果的方法叫畫樹狀圖法.畫樹狀圖法求概率的步驟：1)明確試驗由幾個步驟組成；2)畫樹狀圖分步列舉出試驗的所有等可能結(jié)果；3)根據(jù)樹狀圖求出所關(guān)注事件包含的結(jié)果數(shù)及所有等可能的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式求解.列表法當(dāng)事件中涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，用表格不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，這種方法叫列表法.列表法求概率的步驟：1）列表，并將所有可能結(jié)果有規(guī)律地填人表格；2）通過表格計數(shù)，確定所有等可能的結(jié)果數(shù)n和符合條件的結(jié)果數(shù)m的值；3）利用概率公式PA用頻率估計概率的方法通過大量重復(fù)試驗，隨著試驗次數(shù)的增加，一個事件出現(xiàn)的頻率，總在一個固定數(shù)的附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性.因此可以用隨機事件發(fā)生的頻率來估計該事件發(fā)生的概率.適用范圍：當(dāng)實驗的所有可能結(jié)果不是有限個或結(jié)果個數(shù)很多，或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時，一般通過統(tǒng)計頻率來估計概率．易混易錯1.當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素或一個因素做兩次試驗并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常可以采用列表法，也可以用樹狀圖法.當(dāng)試驗包含三步或三步以上時，不能用列表法，用畫樹狀圖法比較方便.2.概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值，且隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確.題型01根據(jù)概率公式計算概率【例1】（2023·廣西·模擬預(yù)測）書架上有2本數(shù)學(xué)書、1本物理書．從中任取1本書是物理書的概率為（

）A．14 B．13 C．12【變式1-1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在一個不透明的袋子里，裝有3個紅球、1個白球，它們除顏色外都相同，從袋中任意摸出一個球為紅球的概率是（

）A．34 B．12 C．13【變式1-2】（2023·廣西·模擬預(yù)測）老師從甲、乙，丙、丁四位同學(xué)中任選一人去學(xué)校勞動基地澆水，選中甲同學(xué)的概率是（

）A．15 B．14 C．13【變式1-3】（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，一個質(zhì)地均勻的正五邊形轉(zhuǎn)盤，指針的位置固定，當(dāng)轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動停止后，觀察指針指向區(qū)域內(nèi)的數(shù)（若指針正好指向分界線，則重新轉(zhuǎn)一次），這個數(shù)是一個奇數(shù)的概率是________．題型02根據(jù)概率作判斷【例2】（2020·北京·一模）一個不透明的袋中裝有8個黃球，m個紅球，n個白球，每個球除顏色外都相同．任意摸出一個球，是黃球的概率與不是黃球的概率相同，下列m與n的關(guān)系一定正確的是（

）A．m=n=8 B．n?m=8 C．m+n=8 D．m?n=8【變式2-1】（2015·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知電流在一定時間段內(nèi)正常通過電子元件“”的概率是0.5，則在一定時間段內(nèi)，由該元件組成的圖示電路A，B之間，電流能夠正常通過的概率是__________．【變式2-2】（2023·福建廈門·統(tǒng)考一模）一個不透明盒子中裝有1個紅球、2個黃球，這些球除顏色外無其他差別．從該盒子中隨機摸出1個球，請寫出概率為13的事件：________題型03已知概率求數(shù)量【例3】（2023·廣東·統(tǒng)考二模）一個不透明的口袋中裝有n個白球，為了估計白球的個數(shù)，向口袋中加入兩個紅球，它們除顏色外其它完全相同．通過多次摸球?qū)嶒灪蟀l(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在10%附近，則n的值為（

A．18 B．20 C．22 D．24【變式3-1】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）一個不透明的箱子中有5個紅球和若干個黃球，除顏色外無其它差別.若任意摸出一個球，摸出紅球的概率為14，則這個箱子中黃球的個數(shù)為____【變式3-2】（2018·四川成都·成都外國語學(xué)校?？家荒＃┐醒b有6個黑球和n個白球，經(jīng)過若干次試驗，發(fā)現(xiàn)“若從袋中任摸出一個球，恰是黑球的概率為34_____個．【變式3-3】（2020·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）在一個不透明的袋子中裝有6個紅球和若干個白球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻后隨機摸出一個球，記下顏色后放回，不斷重復(fù)這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有20次摸到紅球，估計袋子中白球的個數(shù)約為_________．【變式3-4】（2023·廣西南寧·廣西大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考一模）黔東南州某校數(shù)學(xué)興趣小組開展摸球試驗，具體操作如下：在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的小球共4個，這些球除顏色外無其它差別，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，然后再把它放回盒子里攪勻，再隨機摸出一球記下顏色，不斷重復(fù)摸球?qū)嶒灒卤硎沁@次活動的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m263850127197251摸到白球的頻率m0.2600.2530.2500.2540.2460.251(1)請你根據(jù)上表統(tǒng)計數(shù)據(jù)估計：從不透明的盒子里隨機摸出一個球，摸出的球是白球的概率約為___________（精確到0.01）；(2)試估算盒子里有多少個白球？(3)根據(jù)第（2）題的估算結(jié)果，若從盒子里隨機摸出兩球，請畫樹狀圖或列表求“摸到兩個顏色相同小球”的概率．題型04列舉法求概率【例4】（2023·湖北武漢·校考模擬預(yù)測）隨著信息化的發(fā)展，二維碼已經(jīng)走進我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方形組成．現(xiàn)對由三個小正方形組成的“”進行涂色，每個小正方形隨機涂成黑色或白色，恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為（

）A．13 B．38 C．12【變式4-1】（2023·廣東佛山·校考一模）宋代程顥的《秋月》有四句古詩如下：①空水澄鮮一色秋；②白云紅葉兩悠悠；③清溪流過碧山頭；④隔斷紅塵三十里這四句古詩的順序被打亂了，敏敏想把這四句古詩調(diào)整為正確位置，則她第一次就調(diào)整正確的可能性是（）A．112 B．118 C．124【變式4-2】．（2021·山東濰坊·?？级＃┈F(xiàn)有下列長度的五根木棒：3，5，8，10，13，從中任取三根，可以組成三角形的概率為________．題型05畫樹狀圖法/列表法求概率【例5】（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）為了疫情防控，某小區(qū)需要從甲、乙、丙、丁4名志愿者中隨機抽取2名負(fù)責(zé)該小區(qū)入口處的測溫工作，則甲被抽中的概率是（

）A．12 B．14 C．34【變式5-1】（2022·廣東深圳·?？家荒＃┩瑫r擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是（

）A．112 B．16 C．13【變式5-2】（2023·遼寧沈陽·模擬預(yù)測）一只不透明的袋子中裝有3個大小、質(zhì)地完全相同的乒乓球，球面上分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3，攪勻后先從袋子中任意摸出1個球，記下數(shù)字后放回，攪勻后再從袋子中任意摸出1個球，記下數(shù)字．(1)第一次摸到標(biāo)有偶數(shù)的乒乓球的概率是______；(2)用畫樹狀圖或列表等方法求兩次都摸到標(biāo)有奇數(shù)的乒乓球的概率．【變式5-3】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考一模）有五個封裝后外觀完全相同的紙箱，且每個紙箱內(nèi)各裝有一個西瓜，其中，所裝西瓜的重量分別為6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．現(xiàn)將這五個紙箱隨機擺放．(1)若從這五個紙箱中隨機選1個，則所選紙箱里西瓜的重量為6kg的概率是______；(2)若從這五個紙箱中隨機選2個，請利用列表或畫樹狀圖的方法，求所選兩個紙箱里西瓜的重量之和為15kg的概率．【變式5-4】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖所示，甲、乙兩個帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個面積相等的扇形（兩個轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外，其它完全相同），轉(zhuǎn)盤甲上的數(shù)字分別是?6，?1，8，轉(zhuǎn)盤乙上的數(shù)字分別是?4，5，7（規(guī)定：指針恰好停留在分界線上，則重新轉(zhuǎn)一次）．(1)轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤甲指針指向正數(shù)的概率是__________；轉(zhuǎn)盤乙指針指向正數(shù)的概率是__________．(2)若同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤甲指針?biāo)傅臄?shù)字記為a，轉(zhuǎn)盤乙指針?biāo)傅臄?shù)字記為b，請用列表法或樹狀圖法求滿足a+b<0的概率．題型06幾何概率【例6】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在5×6的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形OAB的圓心及弧的兩端均為格點．假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形OAB（陰影部分）的概率是（

）A．π12 B．π24 C．10π【變式6-1】（2022·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）將一枚飛鏢任意投擲到如圖所示的正六邊形鏢盤上，飛鏢落在白色區(qū)域的概率為(

)A．12 B．13 C．25【變式6-2】（2022·福建龍巖·統(tǒng)考一模）如圖①所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長為5m，寬為4m的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當(dāng)位置隨機地朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計實驗結(jié)果），他將若干次有效實驗的結(jié)果繪制成了②所示的折線統(tǒng)計圖，由此他估計不規(guī)則圖案的面積大約為（

）A．6m2 B．7m2 C．8m2【變式6-3】（2020·浙江衢州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖是一個游戲轉(zhuǎn)盤，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動后，指針落在數(shù)字“Ⅱ”所示區(qū)域內(nèi)的概率是（）A．13 B．14 C．16【變式6-4】（2022·貴州畢節(jié)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，將一個棱長為3的正方體表面涂上顏色，再把它分割成棱長為1的小正方體，將它們?nèi)糠湃胍粋€不透明盒子中搖勻，隨機取出一個小正方體，只有一個面被涂色的概率為（

）A．427 B．29 C．827【變式6-5】（2023·湖南株洲·?？寄M預(yù)測）如果小球在如圖所示的地板上自由地滾動，并隨機的停留在某塊方磚上，那么它最終停留在陰影區(qū)域的概率是______．【變式6-6】（2022·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考二模）如圖，正方形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，點E在線段BC上，OF⊥OE交CD于點F，小明向正方形內(nèi)投擲一枚飛鏢，則飛鏢落在陰影部分的概率是_________．題型07由頻率估計概率【例7】（2020·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如下的表格，則符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（

）實驗次數(shù)10020030050080010002000頻率0.3650.3280.3300.3340.3360.3320.333A．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃B．拋一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是5C．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”D．拋一枚硬幣，出現(xiàn)反面的概率【變式7-1】（2023·山東青島·模擬預(yù)測）在一個不透明的口袋中裝有紅球和白球共8個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的球攪勻后，從中隨機摸出一個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復(fù)這一過程，共摸了100次球，發(fā)現(xiàn)有75次摸到紅球，則口袋中紅球的個數(shù)約為___________．【變式7-2】（2023·江蘇揚州·?？级＃榱吮容^甲、乙兩魚池中的魚苗數(shù)目，小明從兩魚池中各撈出100條魚苗，每條做好記號，然后放回原魚池；一段時間后，在同樣的地方，小明再從甲、乙兩魚池中各撈出100條魚苗，發(fā)現(xiàn)其中有記號的魚苗分別是5條、10條，可以初步估計魚苗數(shù)目較多的是____________魚池（填甲或乙）【變式7-3】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）2022年3月12日是我國第44個植樹節(jié)，某林業(yè)部門為了考察某種幼樹在一定條件下的移植成活率，在同等條件下，對這種幼樹進行大量移植，并統(tǒng)計成活情況，下表是這種幼樹移植過程中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：幼樹移植數(shù)（棵）100100050008000100001500020000幼樹移植成活數(shù)（棵）878934485722489831344318044幼樹移植成活的頻率0.8700.8930.8970.9030.8980.8960.902估計該種幼樹在此條件下移植成活的概率是______．（結(jié)果精確到0.1）【變式7-4】（2023·福建三明·統(tǒng)考一模）某射擊運動員在同一條件下的射擊成績記錄如下：射擊次數(shù)20801002004008001000射中九環(huán)以上次數(shù)186882166330664832射中九環(huán)以上的頻率0.900.850.820.830.8250.830.832根據(jù)頻率的穩(wěn)定性，估計這名運動員射擊一次時“中九環(huán)以上”的概率約是_______.（精確到0.01）題型08用頻率估計概率的綜合應(yīng)用【例8】（2022·福建·二模）不透明袋子中裝有紅、黃小球各若干個，這些球除顏色外無其他差別．把“從袋子中隨機摸出一個小球”作為試驗，每次試驗后，將摸出的小球放回?fù)u勻，再進行下一次試驗．試驗數(shù)據(jù)顯示：大量重復(fù)試驗后，摸出紅球的頻率越來越穩(wěn)定于0.2，則下列對于袋子中球的數(shù)量的估計，最合理的是（

）A．紅球有2個 B．黃球有10個C．黃球的數(shù)量是紅球的4倍 D．黃球和紅球的數(shù)量相等【變式8-1】（2015·河北·模擬預(yù)測）某小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是（

）A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀”B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃C．暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球D．?dāng)S一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是6【變式8-2】（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）某射箭選手在同一條件下進行射箭訓(xùn)練，結(jié)果如下：射箭次數(shù)n102050100200350500射中靶心的次數(shù)m7174492178315455射中靶心的頻率m0.700.850.880.920.890.900.91下列說法正確的是（

）A．該選手射箭一次，估計射中靶心的概率為0.90B．該選手射箭80次，射中靶心的頻率不超過0.90C．該選手射箭400次，射中靶心的次數(shù)不超過360次D．該選手射箭1000次，射中靶心的次數(shù)一定為910次【變式8-3】（2020·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）大數(shù)據(jù)分析技術(shù)為打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)發(fā)揮了重要作用．如圖是小明同學(xué)的蘇康碼（綠碼）示意圖，用黑白打印機打印于邊長為2cm的正方形區(qū)域內(nèi)，為了估計圖中黑色部分的總面積，在正方形區(qū)域內(nèi)隨機擲點，經(jīng)過大量重復(fù)試驗，發(fā)現(xiàn)點落入黑色部分的頻率穩(wěn)定在0.6左右，據(jù)此可以估計黑色部分的總面積約為____cm2【變式8-4】（2023·江蘇徐州·統(tǒng)考一模）國務(wù)院教育督導(dǎo)委員會辦公室印發(fā)的《關(guān)于組織責(zé)任督學(xué)進行“五項管理”督導(dǎo)的通知》指出，要加強中小學(xué)生作業(yè)、睡眠、手機、讀物、體質(zhì)管理．某校數(shù)學(xué)社團成員采用隨機抽樣的方法，抽取了八年級部分學(xué)生，對他們一周內(nèi)平均每天的睡眠時間t（單位：h）進行了調(diào)查，將數(shù)據(jù)整理后得到下列不完整的統(tǒng)計圖表：組別睡眠時間分組頻數(shù)頻率At<640.08B6≤t<780.16C7≤t<810aD8≤t<9210.42Et≥9b0.14請根據(jù)圖表信息回答下列問題：（1）頻數(shù)分布表中，a=________，b=________；（2）扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形的圓心角的度數(shù)是________°；（3）請估算該校600名八年級學(xué)生中睡眠不足7小時的人數(shù)；（4）研究表明，初中生每天睡眠時長低于7小時，會嚴(yán)重影響學(xué)習(xí)效率．請你根據(jù)以上調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，向?qū)W校提出一條合理化的建議．題型09放回實驗概率計算方法【例9】（2017·河北·模擬預(yù)測）在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的球共40個，小穎做摸球試驗，她將盒子里面的球攪勻后從中隨機摸出一個球，記下顏色，然后把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程．如圖所示為“摸到白球”的頻率折線統(tǒng)計圖．(1)請估計：當(dāng)n足夠大時，摸到白球的頻率將會接近__________（結(jié)果精確到0.1），假如小李摸一次球，小李摸到白球的概率為__________；(2)試估算盒子里白、黑兩種顏色的球各有多少個；(3)在（2）的條件下，如果要使摸到白球的頻率穩(wěn)定在35【變式9-1】（2024·福建南平·統(tǒng)考一模）在一個不透明的盒子里，裝有四個分別標(biāo)有數(shù)字1，3，4，5的小球．它們的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同．小明先從盒子里隨機取出一個小球，記下數(shù)字為x，放回盒子搖勻后，再由小華隨機取出一個小球，記下數(shù)字為y．(1)列出表示點x,y的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；(2)求小明、小華各取一次小球所確定的點x,y落在一次函數(shù)y=5x的圖象上的概率．【變式9-2】（2022·陜西西安·校考模擬預(yù)測）一個不透明的箱子里裝有1枚黑棋子和若干枚白棋子，這些棋子除顏色外其他完全相同，每次把箱子里的棋子搖勻后隨機摸出一枚棋子，記下顏色后再放回箱子里，通過大量重復(fù)試驗后，發(fā)現(xiàn)摸到黑棋子的頻率穩(wěn)定于13(1)請你估計箱子里白棋子的數(shù)量；(2)若一個不透明的袋子里裝有2枚黑棋子和1枚白棋子，從箱子和袋子里各隨機摸出一枚棋子，請用樹狀圖或列表法求摸出的兩枚棋子顏色不同的概率．【變式9-3】（2021·廣東清遠(yuǎn)·一模）為慶祝黨的二十大勝利召開，陽光中學(xué)舉行作文比賽，題目有“科技托起強國夢”“家鄉(xiāng)的新變化““時代賦予我們的使命”．比賽時，將這三個作文題目寫在三張無差別不透明的卡片的正面上，洗勻后正面向下放在桌面上，然后參賽學(xué)生依次抽取：樂樂先從中隨機抽取一張卡片，放回后洗勻，再由貝貝從中隨機抽取一張卡片，……，每人所抽取到的卡片題目均為自己此次參賽作文的題目．

(1)貝貝抽中題目“家鄉(xiāng)的新變化“的概率是_____．(2)請用畫樹狀圖或列表的方法表示出樂樂和貝貝兩人抽取的所有可能的結(jié)果，并求出他倆抽中不同題目的概率．（三個作文題目分別用字母A，B，C表示）題型10不放回實驗概率計算方法【例10】（2023·江蘇鹽城·?？级＃}城地處黃海之濱，市域內(nèi)海洋灘涂資源豐富，灘涂面積占江蘇省灘涂總面積近70%，被譽為“東方濕地之都”．黃海濕地文化是鹽城身份認(rèn)同、文化自信的重要載體，丹頂鶴、麋鹿、勺嘴鷸“濕地吉祥三寶”更是世界聞名．為保護與宣傳這“三寶”，某校生物興趣小組設(shè)計了3張環(huán)保宣傳卡片，正面分別繪有丹頂鶴、麋鹿、勺嘴鷸圖案，除此之外卡片完全相同．

(1)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，則抽取的卡片正面圖案恰好是“麋鹿”的概率為_____；(2)將這3張卡片背面朝上，洗勻，從中隨機抽取一張，不放回，再從剩余的兩張卡片中隨機抽取一張，請用列表或畫樹狀圖的方法，求抽取的卡片正面圖案恰好是“丹頂鶴”和“勺嘴鷸”的概率．【變式10-1】（2023·陜西榆林·統(tǒng)考模擬預(yù)測）中國一中亞峰會于5月18日至19日在陜西省西安市舉行，讓千年古都再次聚焦世界的目光．也讓每一個西安人、陜西人感到驕傲．在一個不透明的口袋里，裝有分別標(biāo)著漢字“喜”、“迎”、“中”、“亞”、“峰”、“會”的六個小球(1)若從袋中任取一個小球，則取到的小球上的漢字恰好是“亞”的概率為_________；(2)從袋中任取一個小球，不放回．?dāng)噭蚝笤購氖Ｏ碌奈鍌€小球中任取一個，請用畫樹狀圖或列表法（漢字不分先后順序）求出取到的兩個小球上的漢字恰能組成“喜迎”或“中亞”或“峰會”的概率．【變式10-2】（2022·廣東湛江·校聯(lián)考二模）在一個不透明的布袋中，有紅，白兩種顏色的小球，這些球除顏色外都相同，其中白球1個，現(xiàn)從中任意摸出一個紅球的概率為23(1)求袋中紅球的個數(shù)為___________．(2)攪勻后先從中任意摸出1個球（不放回），再從余下的球中任意摸出1個球．請用樹狀圖或表格求兩次都摸到紅球的概率．【變式10-3】（2023·吉林白山·校聯(lián)考二模）從一副撲克牌中取出四張牌，它們的牌面數(shù)字分別為1、2、2、3，將這四張撲克牌背面，朝上洗勻，從中隨機抽取一張，不放回，再從剩余的三張牌中隨機抽取一張．請用畫樹狀圖或列表的方法，求抽取的這兩張牌的牌面數(shù)字之和為偶數(shù)的概率．【變式10-4】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）將圖中的A型、B型、C型矩形紙片分別放在3個盒子中，盒子的形狀、大小、質(zhì)地都相同，再將這3個盒子裝入一只不透明的袋子中．

(1)攪勻后從中摸出1個盒子，則摸出的盒子中是A型矩形紙片的概率______；(2)攪勻后先從中摸出1個盒子(不放回)，再從余下的兩個盒子中摸出一個盒子，用列表法或畫樹狀圖法求2次摸出的盒子的紙片能拼成一個新矩形的概率(不重疊無縫隙拼接)．方法技巧：對于“放回”和“不放回”的題目，易錯點在于不知道如何判斷是“放回”還是“不放回”，只要判斷正確，然后結(jié)合樹狀圖等方法就能迎刃而解：如，過紅綠燈、選擇直行、左、右轉(zhuǎn)彎等，就屬于放回這類問題，他們有共同特征就是每一次都有同樣多的選擇；從幾個人里選兩個人參加活動、一次性選擇兩個物品等，屬于不放回問題，他們的共同特征就是每抽取一次，下一次就少一種情況，特別注意同時抽取，也是表示抽出來不放回．做題時，一定要看清每次選擇后的下一步選擇是都有同樣多的選擇還是少了一種選擇以正確判斷是“放回”還是“不放回”．題型11游戲公平性【例11】（2022·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，在8個格子中依次放著分別寫有字母a～h的小球．甲、乙兩人輪流從中取走小球，規(guī)則如下：①每人首次取球時，只能取走2個或3個球；后續(xù)每次可取走1個，2個或3個球；②取走2個或3個球時，必須從相鄰的格子中取走；③最后一個將球取完的人獲勝．（1）若甲首次取走寫有b，c，d的3個球，接著乙首次也取走3個球，則______（填“甲”或“乙”）一定獲勝；（2）若甲首次取走寫有a，b的2個球，乙想要一定獲勝，則乙首次取球的方案是_________．【變式11-1】（2023·云南·模擬預(yù)測）2022年3月23日下午，“天宮課堂”第二課開講，航天員翟志剛、王亞平、葉光富相互配合進行授課，激發(fā)了同學(xué)們學(xué)習(xí)航天知識的熱情．小冰和小雪參加航天知識競賽時，均獲得了一等獎，學(xué)校想請一位同學(xué)作為代表分享獲獎心得．小冰和小雪都想分享，于是兩人決定一起做游戲，誰獲勝誰分享，游戲規(guī)則如下：甲口袋裝有編號為1，2的兩個球，乙口袋裝有編號為1，2，3，4，5的五個球，兩口袋中的球除編號外都相同．小冰先從甲口袋中隨機摸出一個球，小雪再從乙口袋中隨機摸出一個球，若兩球編號之和為奇數(shù)，則小冰獲勝；若兩球編號之和為偶數(shù)，則小雪獲勝．請用列表或畫樹狀圖的方法，說明這個游戲?qū)﹄p方是否公平．【變式11-2】（2021·云南昆明·校聯(lián)考一模）小穎和小亮都想去觀看“垃圾分類”宣傳演出，但只有一張入場券，于是他們設(shè)計了一個“配紫色”游戲：A，B是兩個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，每個轉(zhuǎn)盤都被分成面積相等的幾個扇形、同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，如果其中一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了紅色，另一個轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)出了藍(lán)色，那么可以配成紫色．若配成紫色，則小穎去觀看，否則小亮去觀看．這個游戲?qū)﹄p方公平嗎？請說明理由．【變式11-3】（2020·云南昆明·統(tǒng)考一模）現(xiàn)有A、B兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小球．其中，A袋裝有2個白球，1個紅球；B袋裝有2個紅球，1個白球．（1）將A袋搖勻，然后從A袋中隨機取出一個小球，求摸出小球是白色的概率；（2）小華和小林商定了一個游戲規(guī)則：從搖勻后的A，B兩袋中隨機摸出一個小球，摸出的這兩個小球，若顏色相同，則小林獲勝；若顏色不同，則小華獲勝．請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙方是否公平．題型12概率的應(yīng)用【例12】（2022·福建·校聯(lián)考一模）商場在國慶期間舉行部分商品優(yōu)惠促銷活動，顧客只能從以下兩種方案中選擇一種：方案一：購物每滿200元減66元；方案二：顧客購物達(dá)到200元可抽獎一次．具體規(guī)則是：在一個箱子內(nèi)裝有四張一樣的卡片，四張卡片中有2張寫著數(shù)字1，2張寫著數(shù)字5．顧客隨機從箱子內(nèi)抽出兩張卡片，兩張卡片上的數(shù)字和記為w，w的值和享受的優(yōu)惠如表所示．w的值2610實際付款8折7折6折(1)若按方案二的抽獎方式，利用樹形圖（或列表法）求一次抽獎獲得7折優(yōu)惠的概率；(2)若某顧客的購物金額為a元（200<a<300），請用所學(xué)統(tǒng)計與概率的知識，求出選擇方案二更優(yōu)惠時a的取值范圍．【變式12-1】（2022·山西·山西大附中?？家荒＃┠成虉?，為了吸引顧客，在“元旦”當(dāng)天舉辦了商品有獎酬賓活動，凡購物滿200元者，有兩種獎勵方案供選擇：方案一：是直接獲得20元的禮金卷；方案二：是得到一次搖獎的機會．規(guī)則如下：已知如圖是由轉(zhuǎn)盤和箭頭組成的兩個轉(zhuǎn)盤A、B，這兩個轉(zhuǎn)盤除了顏色不同外，其它構(gòu)造完全相同，搖獎?wù)咄瑫r轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，指針分別指向一個區(qū)域（指針落在分割線上時重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤），根據(jù)指針指向的區(qū)域顏色（如表）決定送禮金券的多少．指針指向兩紅一紅一藍(lán)兩藍(lán)禮金券（元）18918(1)請你用列表法（或畫樹狀圖法）求兩款轉(zhuǎn)盤指針分別指向一紅區(qū)和一藍(lán)區(qū)的概率．(2)如果一名顧客當(dāng)天在本店購物滿200元，若只考慮獲得最多的禮品券，請你幫助分析選擇哪種方案較為實惠．【變式12-2】（2021·江蘇無錫·校聯(lián)考一模）一款游戲的規(guī)則如下：如圖①為游戲棋盤，從起點到終點共7步；如圖②是一個被分成4個大小相等的扇形的轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，待轉(zhuǎn)盤自動停止后，此時，稱為轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次（若指針指向兩個扇形的交線，則不計轉(zhuǎn)動的次數(shù)，重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，直到指針指向一個扇形的內(nèi)部為止），每次棋子按照指針?biāo)傅臄?shù)字前進相應(yīng)的步數(shù)，若棋子最終能恰好落在終點的視為通過游戲，棋子從起點前進2步到達(dá)B，第二次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤指針?biāo)笖?shù)字為3，…，直到棋子到達(dá)終點或超過終點停止．（1）轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，求轉(zhuǎn)盤停止后指針指向4的概率；（2）請用列表或畫樹狀圖法，求轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤兩次能通過游戲的概率．【變式12-3】（2020·新疆·統(tǒng)考二模）一個智力挑戰(zhàn)賽需要全部答對兩道單項選擇題，才能順利通過第一關(guān).第一道題有4個選項，第二道題有3個選項，這兩道題小新都不會，不過小新還有一個“求助卡”沒有用，使用“求助卡”可以讓主持人去掉其中一題的一個錯誤選項．（1）如果小新在第--題使用“求助卡”，請用樹狀圖或者列表來分析小新順利通過第一關(guān)的概率；（2）從概率的角度分析，你建議小新在第幾題使用“求助卡”．為什么．題型13概率與統(tǒng)計綜合【例13】（2022·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測）2021年，中國科技取得10項重大突破，其中4項和安徽有關(guān)，分別是A．“人造太陽”刷新世界紀(jì)錄；B．“九章2.0”和“祖沖之2.0”的出現(xiàn)；C．光存儲時間達(dá)1小時；D．證明凱勒幾何核心猜想．為調(diào)查學(xué)生對這4項科技最想了解的情況，某校對九年級部分學(xué)生進行了隨機調(diào)查（每人只能選一個），根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計結(jié)果，繪制成兩幅不完整的統(tǒng)計圖．請結(jié)合統(tǒng)計圖，回答下列問題．(1)參加這次調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為________；扇形統(tǒng)計圖中，D部分扇形所對應(yīng)圓心角的度數(shù)是________；將條形統(tǒng)計圖補充完整；(2)該校九年級共有800名學(xué)生，按照此調(diào)查結(jié)果，估計最想了解C項目的學(xué)生人數(shù)；(3)在所調(diào)查的學(xué)生中隨機抽取甲、乙兩名學(xué)生，求恰好甲最想了解A項目、乙最想了解D項目的概率．【變式13-1】（2023·浙江紹興·校聯(lián)考模擬預(yù)測）某中學(xué)的一個數(shù)學(xué)興趣小組在本校學(xué)生中開展了主題為“防詐、反詐”的專題調(diào)查活動，采取隨機抽樣的方式進行問卷調(diào)查，問卷調(diào)查的結(jié)果分為“A．非常了解”、“B．比較了解”、“C．基本了解”、“D．不太了解”四個等級，將所得數(shù)據(jù)進行整理后，繪制成如圖兩幅不完整的統(tǒng)計圖表，請你結(jié)合圖表中的信息解答下列問題：等級ABCD頻數(shù)1105036n頻率0.55m0.180.02(1)表中m的值為_______，n的值為________；(2)扇形統(tǒng)計圖中，等級B所對應(yīng)的扇形的圓心角是_______°；(3)若該校從甲、乙、丙、丁四人中隨機選取兩人參加市里的比賽，求甲、乙兩人恰好同時選中的概率．【變式13-2】（2022·安徽合肥·合肥38中?？家荒＃┰诩訌妼χ行W(xué)生“雙減”和“五項管理”政策下，某校為了了解在教學(xué)改革模式下九年級期末數(shù)學(xué)成績，隨機抽取40名學(xué)生抽測，滿分為50分，并將測試成績分成五檔：A檔：40≤x≤50；B檔：30≤x<40；C檔：20≤x<30；D檔：10≤x<20；E檔：0≤x<10，繪制頻數(shù)分布圖如下，已知在20≤x<30這一組的具體得分（單位：分）是20、26、22、27、28、26、26、26、24、29、27、21、28、27．(1)在20≤x<30這一組成績數(shù)據(jù)中，中位數(shù)為_______，眾數(shù)為______，并補全頻數(shù)分布直方圖；(2)若成績不低于40分為優(yōu)秀，該校九年級有1800名學(xué)生，則該校九年級期末數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生約有多少名？(3)該校舉辦“一幫一”活動，在A檔中隨抽取兩名學(xué)生，在E檔隨抽取兩名學(xué)生，則該4名同學(xué)中隨機抽取2名學(xué)生，恰好抽出一名A檔學(xué)生和一名E檔學(xué)生的概率是多少？

【變式13-3】（2023·遼寧鐵嶺·統(tǒng)考一模）習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣．”河南省實驗中學(xué)響應(yīng)號召，鼓勵師生利用課余時間廣泛閱讀，學(xué)校文學(xué)社為了解學(xué)生課外閱讀情況，抽樣調(diào)查了20名學(xué)生每天用于課外閱讀的時間，以下是部分?jǐn)?shù)據(jù)和不完整的統(tǒng)計圖表：閱讀時間在40≤x<60范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)：40，50，45，50，40，55，45，40不完整的統(tǒng)計圖表：課外閱讀時間x（min）等級人數(shù)

0≤x<20D320≤x<40Ca40≤x<60B8x≥60Ab結(jié)合以上信息回答下列問題：(1)統(tǒng)計表中的a=______；統(tǒng)計圖中B組對應(yīng)扇形的圓心角為______度；(2)閱讀時間在40≤x<60范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)的眾數(shù)是______min；根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請你估計全校600名同學(xué)課外閱讀時間不少于40min的人數(shù)有______人；(3)A等級學(xué)生中只有一名女生，從A等級學(xué)生中選兩名學(xué)生對全校學(xué)生作讀書的收獲和體會的報告，用列舉法或樹狀圖法求恰好選擇一名男生和一名女生的概率．

第34講概率答案解析考點一概率的相關(guān)概念題型01事件的分類【例1】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測）彩民李大叔購買1張彩票，中獎．這個事件是（

）A．必然事件 B．確定性事件 C．不可能事件 D．隨機事件【答案】D【分析】直接根據(jù)隨機事件的概念即可得出結(jié)論．【詳解】購買一張彩票，結(jié)果可能為中獎，也可能為不中獎，中獎與否是隨機的，即這個事件為隨機事件．故選：D．【點睛】本題考查了隨機事件的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握隨機事件發(fā)生的條件，能夠靈活作出判斷．【變式1-1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列成語所描述的事件屬于不可能事件的是（

）A．水落石出 B．水漲船高 C．水滴石穿 D．水中撈月【答案】D【分析】根據(jù)不可能事件的定義：在一定條件下一定不會發(fā)生的事件是不可能事件，進行逐一判斷即可【詳解】解：A、水落石出是必然事件，不符合題意；B、水漲船高是必然事件，不符合題意；C、水滴石穿是必然事件，不符合題意；D、水中撈月是不可能事件，符合題意；故選D【點睛】本題主要考查了不可能事件，熟知不可能事件的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）下列事件是必然事件的是（

）A．三角形內(nèi)角和是180° B．端午節(jié)賽龍舟，紅隊獲得冠軍C．?dāng)S一枚均勻骰子，點數(shù)是6的一面朝上 D．打開電視，正在播放神舟十四號載人飛船發(fā)射實況【答案】A【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可．【詳解】解：A、三角形內(nèi)角和是180°是必然事件，故此選項符合題意；B、端午節(jié)賽龍舟，紅隊獲得冠軍是隨機事件，故此選項不符合題意；C、擲一枚均勻骰子，點數(shù)是6的一面朝上是隨機事件，故此選項不符合題意；D、打開電視，正在播放神舟十四號載人飛船發(fā)射實況是隨機事件，故此選項不符合題意；故選：A．【點睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．【變式1-3】（2021·貴州貴陽·統(tǒng)考一模）如圖，電路圖上有4個開關(guān)A、B、C、D和1個小燈泡，同時閉合開關(guān)A、B或同時閉合開關(guān)C、D都可以使小燈泡發(fā)光．下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機事件的是（

）A．只閉合1個開關(guān) B．只閉合2個開關(guān) C．只閉合3個開關(guān) D．閉合4個開關(guān)【答案】B【分析】觀察電路發(fā)現(xiàn)，閉合A,B或閉合C,D或閉合三個或四個，則小燈泡一定發(fā)光，從而可得答案．【詳解】解：由小燈泡要發(fā)光，則電路一定是一個閉合的回路，只閉合1個開關(guān)，小燈泡不發(fā)光，所以是一個不可能事件，所以A不符合題意；閉合4個開關(guān)，小燈泡發(fā)光是必然事件，所以D不符合題意；只閉合2個開關(guān)，小燈泡有可能發(fā)光，也有可能不發(fā)光，所以B符合題意；只閉合3個開關(guān)，小燈泡一定發(fā)光，是必然事件，所以C不符合題意．故選B．【點睛】本題結(jié)合物理知識考查的是必然事件，不可能事件，隨機事件的概念，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2024·福建福州·?？家荒＃┫铝惺录惺请S機事件的是（

）A．明天太陽從東方升起B(yǎng)．經(jīng)過有交通信號燈的路口時遇到紅燈C．平面內(nèi)不共線的三點確定一個圓D．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是540°【答案】B【分析】根據(jù)隨機事件的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A．明天太陽從東方升起，是必然事件，故本選項不符合題意；B．經(jīng)過有交通信號燈的路口時遇到紅燈，是隨機事件，故本選項符合題意；C．平面內(nèi)不共線的三點確定一個圓，是必然事件，故本選項不符合題意；D．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是540°，是不可能事件，故本選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題主要考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，熟練掌握必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件是解題的關(guān)鍵．題型02判斷事件發(fā)生可能性的大小【例2】（2022·廣東中山·統(tǒng)考一模）某校九年級選出三名同學(xué)參加學(xué)校組織的“法治和安全知識競賽”．比賽規(guī)定，以抽簽方式?jīng)Q定每個人的出場順序，主持人將表示出場順序的數(shù)字1，2，3分別寫在3張同樣的紙條上，并將這些紙條放在一個不透明的盒子中，攪勻后從中任意抽出一張，小星第一個抽，下列說法中正確的是（

）A．小星抽到數(shù)字1的可能性最小 B．小星抽到數(shù)字2的可能性最大C．小星抽到數(shù)字3的可能性最大 D．小星抽到每個數(shù)的可能性相同【答案】D【分析】算出每種情況的概率，即可判斷事件可能性的大?。驹斀狻拷猓好總€數(shù)字抽到的概率都為：13故小星抽到每個數(shù)的可能性相同．故選：D．【點睛】本題主要考查利用概率公式求概率，正確應(yīng)用公式是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2021·河北唐山·統(tǒng)考一模）下列4個袋子中，裝有除顏色外完全相同的10個小球，任意摸出一個球，摸到紅球可能性最大的是（

）A． B． C．D．【答案】D【分析】要求可能性的大小，只需求出各袋中紅球所占的比例大小即可．【詳解】解：第一個袋子摸到紅球的可能性=110第二個袋子摸到紅球的可能性=210第三個袋子摸到紅球的可能性=510第四個袋子摸到紅球的可能性=610故選：D．【點睛】】本題主要考查了可能性大小的計算，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比，難度適中．【變式2-2】（2023·安徽蕪湖·蕪湖市第二十九中學(xué)?？家荒＃┐永镉?個紅球，m個白球，3個黑球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出一個球，若摸到紅球的可能性最大，則m的值不可能是（

）A．1 B．3 C．5 D．10【答案】D【分析】根據(jù)摸到紅球的可能性最大可得袋子里紅球的個數(shù)最多，從而可得0<m<8，由此即可得．【詳解】解：因為從中任意摸出一個球，摸到紅球的可能性最大，所以袋子里紅球的個數(shù)最多，所以0<m<8，所以在四個選項中，m的值不可能是10，故選：D．【點睛】本題考查了事件發(fā)生的可能性的大小，根據(jù)事件發(fā)生的可能性的大小求出m的取值范圍是解題關(guān)鍵．【變式2-3】（2023·貴州貴陽·校考一模）將4張質(zhì)地相同的卡片背面朝上放置，正面分別標(biāo)有1～4四個數(shù)字，隨機抽出一張，出現(xiàn)可能性最大的是（

）A．?dāng)?shù)字大于2的卡片 B．?dāng)?shù)字小于2的卡片 C．?dāng)?shù)字大于3的卡片 D．?dāng)?shù)字小于4的卡片【答案】D【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性進行分析即可．【詳解】將4張質(zhì)地相同的卡片背面朝上放置，正面分別標(biāo)有1～4四個數(shù)字，隨機抽出一張，共有4種情況，且出現(xiàn)數(shù)字為1，2，3，4的可能性相等其中抽出數(shù)字大于2的卡片有2種情況；抽出數(shù)字小于2的卡片有1種情況；抽出數(shù)字大于3的卡片有1種情況；抽出數(shù)字小于4的卡片有3種情況，D選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了判斷事件發(fā)生的可能性的大小．熟練掌握判斷事件發(fā)生的可能性的大小是解題的關(guān)鍵．方法技巧：判斷事件發(fā)生的可能性大小，首先看是什么事件，必然事件的可能性最大為100%，不可能事件的可能性最小為0，隨機事件的可能性有大有小，其發(fā)生可能性介于0－100%．在隨機事件中，要想判斷隨機事件發(fā)生的概率就要列舉出隨機事件中可能出現(xiàn)的各種結(jié)果，其中包含的結(jié)果數(shù)多的事件發(fā)生的可能性大．所以平時要多加練習(xí)如何列舉全隨機事件中包含的各種結(jié)果，如果少列舉一種都會造成錯誤結(jié)果．題型03理解概率的意義【例3】（2022·廣東深圳·?？家荒＃?4人中至少有2人在同一個月過生日”這一事件發(fā)生的概率為P，則（）A．P＝0 B．0＜P＜1 C．P＝1 D．P＞1【答案】C【分析】根據(jù)不可能事件的概率為0，隨機事件的概率大于0而小于1，必然事件的概率為1，即可判斷．【詳解】解：∵一年有12個月，14個人中有12個人在不同的月份過生日，剩下的兩人不論哪個月生日，都和前12人中的一個人同一個月過生日∴“14人中至少有2人在同一個月過生日”是必然事件，即這一事件發(fā)生的概率為P=1．故選：C．【點睛】本題考查了概率的初步認(rèn)識，確定此事件為必然事件是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2022·安徽蕪湖·統(tǒng)考一模）縣氣象站天氣預(yù)報稱，明天千島湖鎮(zhèn)的降水概率為90%A．明天千島湖鎮(zhèn)下雨的可能性較大B．明天千島湖鎮(zhèn)有90%C．明天千島湖鎮(zhèn)全天有90%D．明天千島湖鎮(zhèn)一定會下雨【答案】A【分析】概率是表示事件發(fā)生可能性大小的量，據(jù)此解得此題即可．【詳解】解：千島湖鎮(zhèn)明天下雨概率是90%，表示千島湖鎮(zhèn)明天下雨的可能性很大，但不是將有90%的地方下雨，不是故選：A．【點睛】此題考查概率，熟練掌握概率的意義是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2022·河北石家莊·校聯(lián)考一模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時，正面向上的概率是0.5．則下列判斷正確的是（

）A．連續(xù)擲2次時，正面朝上一定會出現(xiàn)1次B．連續(xù)擲100次時，正面朝上一定會出現(xiàn)50次C．連續(xù)擲2n次時，正面朝上一定會出現(xiàn)n次D．當(dāng)拋擲次數(shù)越大時，正面朝上的頻率越穩(wěn)定于0.5【答案】D【分析】根據(jù)概率的意義即可得出答案．【詳解】解：A.連續(xù)擲2次時，正面朝上有可能出現(xiàn)，還有可能不出現(xiàn)，故選項A判斷不正確；B.連續(xù)擲100次時，正面朝上不一定會出現(xiàn)50次，故選項B判斷不正確；C.連續(xù)擲2n次時，正面朝上不一定會出現(xiàn)n次，故選項C判斷不正確；D.當(dāng)拋擲次數(shù)越大時，正面朝上的頻率越穩(wěn)定于0.5，正確，故選項D符合題意，故選：D【點睛】本題考查的是模擬實驗和概率的意義，熟知概率的定義是解答此題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）在拋擲一枚均勻硬幣的試驗中，如果沒有硬幣，我們可以用替代物，但下列物品不能做替代物的是（）A．一枚均勻的普通六面體骰子 B．兩張撲克牌(一張黑桃，一張紅桃)C．兩個只有顏色不同的小球 D．一枚圖釘【答案】D【分析】在拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣的試驗中，硬幣正反兩面向上的概率為12；若用其它物體代替只要此物體只能出現(xiàn)這兩種情況且概率為1【詳解】A、一枚均勻的普通六面體骰子向上的點數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)的概率都為12B、兩張撲克牌(1張黑桃，1張紅桃)，兩張花色不同的撲克，分別代替硬幣正面和反面，且各自概率為12C、兩個只有顏色不同的小球，符合硬幣只有正反兩面的可能性，能作替代物，故不符合題意；D、圖釘兩面不同，不能替代該實驗，故符合題意；故選：D．【點睛】此題主要考查了模擬實驗，選擇實驗的替代物，應(yīng)從可能性是否相等入手思考．題型04判斷幾個事件概率的大小關(guān)系【例4】（2021·福建福州·福州三牧中學(xué)?？级＃┰谝粋€布袋中裝有紅、白兩種顏色的小球，它們除顏色外沒有任何其他區(qū)別．其中紅球若干，白球5個，袋中的球已攪勻．若從袋中隨機取出1個球，取出紅球的可能性大，則紅球的個數(shù)是（

）A．4個 B．5個 C．不足4個 D．6個或6個以上【答案】D【分析】由取出紅球的可能性大知紅球的個數(shù)比白球個數(shù)多，據(jù)此可得答案．【詳解】解：∵袋子中白球有5個，且從袋中隨機取出1個球，取出紅球的可能性大，∴紅球的個數(shù)比白球個數(shù)多，∴紅球個數(shù)滿足6個或6個以上，故選D．【點睛】本題主要考查可能性大小，只要在總情況數(shù)目相同的情況下，比較其包含的情況總數(shù)即可．【變式4-1】（2023·廣東云浮·統(tǒng)考二模）任意拋擲一枚均勻的骰子，骰子停止轉(zhuǎn)動后，發(fā)生可能性最大的事件是（）A．朝上一面的點數(shù)大于2 B．朝上一面的點數(shù)為3C．朝上一面的點數(shù)是2的倍數(shù) D．朝上一面的點數(shù)是3的倍數(shù)【答案】A【分析】分別利用概率公式計算每個選項的概率后比較即可得出答案【詳解】解：選項A的概率4選項B的概率1選項C的概率3選項D的概率2由2故選：A【點睛】本題考查概率公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能準(zhǔn)確找出所求情況數(shù)與總情況數(shù)【變式4-2】（2020·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·統(tǒng)考一模）桌子上有6杯同樣型號的杯子，其中1杯84消毒液，2杯75%的酒精，3杯雙氧水，從6個杯子中隨機取出1杯，請你將下列事件發(fā)生的可能性從大到小排列：___．（填序號即可）①取到75%的酒精；②取到雙氧水；③沒有取到75%的酒精；④取到84消毒液．【答案】③②①④【分析】要求可能性的大小，只需求出各自所占的比例大小即可．求比例時，應(yīng)注意記清各自的數(shù)目．【詳解】∵有6杯同樣型號的杯子，其中1杯84消毒液，2杯75%的酒精，3杯雙氧水，∴①取到75%的酒精的概率是26②取到雙氧水的概率是36③沒有取到75%的酒精的概率是46④取到84消毒液16∴按事件發(fā)生的可能性從大到小排列：③②①④；故答案為：③②①④．【點睛】本題考查了基本概率的計算及比較可能性大小，用到的知識點為：可能性等于所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．考點二概率的計算方法題型01根據(jù)概率公式計算概率【例1】（2023·廣西·模擬預(yù)測）書架上有2本數(shù)學(xué)書、1本物理書．從中任取1本書是物理書的概率為（

）A．14 B．13 C．12【答案】B【分析】根據(jù)概率公式直接求概率即可；【詳解】解：一共有3本書，從中任取1本書共有3種結(jié)果，選中的書是物理書的結(jié)果有1種，∴從中任取1本書是物理書的概率=13故選：B．【點睛】本題考查了概率的計算，掌握概率=所求事件的結(jié)果數(shù)÷總的結(jié)果數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式1-1】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在一個不透明的袋子里，裝有3個紅球、1個白球，它們除顏色外都相同，從袋中任意摸出一個球為紅球的概率是（

）A．34 B．12 C．13【答案】A【分析】根據(jù)概率公式計算，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：從袋中任意摸出一個球為紅球的概率是33+1故選：A【點睛】本題考查了概率公式：熟練掌握隨機事件A的概率P（A）=事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)除以所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023·廣西·模擬預(yù)測）老師從甲、乙，丙、丁四位同學(xué)中任選一人去學(xué)校勞動基地澆水，選中甲同學(xué)的概率是（

）A．15 B．14 C．13【答案】B【分析】根據(jù)隨機事件概率大小的求法，找到全部情況的總數(shù)以及符合條件的情況，兩者的比值就是其發(fā)生的概率的大?。驹斀狻拷猓焊鶕?jù)題意可得：從甲、乙，丙、丁四位同學(xué)中任選一人去學(xué)校勞動基地澆水，總數(shù)是4個人，符合情況的只有甲一個人，所以概率是P=14故選：B．【點睛】本題考查概率的求法與運用，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P(A)=mn【變式1-3】（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖，一個質(zhì)地均勻的正五邊形轉(zhuǎn)盤，指針的位置固定，當(dāng)轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動停止后，觀察指針指向區(qū)域內(nèi)的數(shù)（若指針正好指向分界線，則重新轉(zhuǎn)一次），這個數(shù)是一個奇數(shù)的概率是________．【答案】3【分析】由題意知，一個質(zhì)地均勻的正五邊形轉(zhuǎn)盤被分成5個形狀大小相同的三角形，標(biāo)有奇數(shù)的三角形有3個，用奇數(shù)的個數(shù)除以數(shù)字的總數(shù)即為這個數(shù)是一個奇數(shù)的概率．【詳解】解：一個質(zhì)地均勻的正五邊形轉(zhuǎn)盤被分成5個形狀大小相同的三角形，上面分別標(biāo)有奇數(shù)的三角形有3個，當(dāng)轉(zhuǎn)盤自由轉(zhuǎn)動停止后，觀察指針指向區(qū)域內(nèi)的數(shù)，這個數(shù)是一個奇數(shù)的概率是：3÷5=3故答案為：35【點睛】本題考查概率的求法與運用．一般方法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率PA題型02根據(jù)概率作判斷【例2】（2020·北京·一模）一個不透明的袋中裝有8個黃球，m個紅球，n個白球，每個球除顏色外都相同．任意摸出一個球，是黃球的概率與不是黃球的概率相同，下列m與n的關(guān)系一定正確的是（

）A．m=n=8 B．n?m=8 C．m+n=8 D．m?n=8【答案】C【分析】先根據(jù)概率公式得出：任意摸出一個球，是黃球的概率與不是黃球的概率（用含m、n的代數(shù)式表示），然后由這兩個概率相同可得m與n的關(guān)系．【詳解】解：∵一個不透明的袋中裝有8個黃球，m個紅球，n個白球，∴任意摸出一個球，是黃球的概率為：88+m+n，不是黃球的概率為：m+n∵是黃球的概率與不是黃球的概率相同，∴88+m+n＝m+n∴m+n＝8．故選：C．【點睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型，解題時注意掌握概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式2-1】（2015·河北石家莊·統(tǒng)考一模）已知電流在一定時間段內(nèi)正常通過電子元件“”的概率是0.5，則在一定時間段內(nèi)，由該元件組成的圖示電路A，B之間，電流能夠正常通過的概率是__________．【答案】3【分析】根據(jù)題意，某一個電子元件不正常工作的概率為0.5，可得兩個元件同時不正常工作的概率為0.25，進而由概率的意義可得一定時間內(nèi)AB之間電流能夠正常流通的概率．【詳解】解：根據(jù)題意，某一個電子元件正常工作的概率為0.5，即某一個電子元件不正常工作的概率為0.5，則兩個元件同時不正常工作的概率為0.25(正常正常，正常不正常，不正常正常，不正常不正常)故一定時間內(nèi)AB之間電流能夠正常流通的概率=1-0.25=0.75故答案為：0.75．【點睛】本題考查了等可能事件的概率，于基礎(chǔ)題，到的知識點為：電流正常通過的概率=1-電流不能正常通過的概率．【變式2-2】（2023·福建廈門·統(tǒng)考一模）一個不透明盒子中裝有1個紅球、2個黃球，這些球除顏色外無其他差別．從該盒子中隨機摸出1個球，請寫出概率為13的事件：________【答案】摸出紅球【分析】根據(jù)概率公式確定答案即可．【詳解】一共有3個球，其中紅球有1個，所以摸出紅球的概率是13故答案為：摸出紅球．【點睛】本題主要考查了概率，掌握概率的計算公式是解題的關(guān)鍵．題型03已知概率求數(shù)量【例3】（2023·廣東·統(tǒng)考二模）一個不透明的口袋中裝有n個白球，為了估計白球的個數(shù)，向口袋中加入兩個紅球，它們除顏色外其它完全相同．通過多次摸球?qū)嶒灪蟀l(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在10%附近，則n的值為（

A．18 B．20 C．22 D．24【答案】A【分析】根據(jù)大量反復(fù)試驗下頻率的穩(wěn)定值即為概率值可知摸到紅球的概率為0.1，由此根據(jù)概率計算公式建立方程求解即可．【詳解】解：由題意得，2n+2解得n=18，經(jīng)檢驗，n=18是原方程的解，故選：A．【點睛】本題主要考查了用頻率估計概率，已知概率求數(shù)量，熟知大量反復(fù)試驗下頻率的穩(wěn)定值即為概率值是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）一個不透明的箱子中有5個紅球和若干個黃球，除顏色外無其它差別.若任意摸出一個球，摸出紅球的概率為14，則這個箱子中黃球的個數(shù)為______【答案】15【分析】設(shè)黃球的個數(shù)為x個，根據(jù)概率計算公式列出方程，解出x即可．【詳解】解：設(shè)黃球的個數(shù)為x個，5解得：x=15，檢驗：將x=15代入x+5=20，值不為零，∴x=15是方程的解，∴黃球的個數(shù)為15個，故答案為：15．【點睛】本題考查概率計算公式，根據(jù)題意列出分式方程并檢驗是解答本題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2018·四川成都·成都外國語學(xué)校校考一模）袋中裝有6個黑球和n個白球，經(jīng)過若干次試驗，發(fā)現(xiàn)“若從袋中任摸出一個球，恰是黑球的概率為34______個．【答案】2【分析】根據(jù)已知概率與概率公式列出方程，解方程即可求解．【詳解】解：∵袋中裝有6個黑球和n個白球，∴袋中一共有球(6+n)個，∵從中任摸一個球，恰好是黑球的概率為34∴66+n解得：n=2（經(jīng)檢驗符合題意）．故答案為：2．【點睛】此題考查了概率公式的應(yīng)用．注意用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．注意方程思想的應(yīng)用．【變式3-3】（2020·遼寧鞍山·統(tǒng)考一模）在一個不透明的袋子中裝有6個紅球和若干個白球，這些球除顏色外都相同，將球攪勻后隨機摸出一個球，記下顏色后放回，不斷重復(fù)這一過程，共摸球100次，發(fā)現(xiàn)有20次摸到紅球，估計袋子中白球的個數(shù)約為_________．【答案】24【分析】在同樣條件下，大量反復(fù)試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從比例關(guān)系入手，設(shè)未知數(shù)列出方程求解．【詳解】解：∵共試驗100次，其中有20次摸到紅球，∴白球所占的比例為：1?20設(shè)袋子中共有白球x個，則x6+x解得：x=24，經(jīng)檢驗：x=24是原方程的解，故答案為：24．【點睛】本題考查利用頻率估計概率．關(guān)鍵是根據(jù)白球的頻率得到相應(yīng)的等量關(guān)系．【變式3-4】（2023·廣西南寧·廣西大學(xué)附屬中學(xué)校聯(lián)考一模）黔東南州某校數(shù)學(xué)興趣小組開展摸球試驗，具體操作如下：在一個不透明的盒子里裝有黑、白兩種顏色的小球共4個，這些球除顏色外無其它差別，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，然后再把它放回盒子里攪勻，再隨機摸出一球記下顏色，不斷重復(fù)摸球?qū)嶒灒卤硎沁@次活動的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m263850127197251摸到白球的頻率m0.2600.2530.2500.2540.2460.251(1)請你根據(jù)上表統(tǒng)計數(shù)據(jù)估計：從不透明的盒子里隨機摸出一個球，摸出的球是白球的概率約為___________（精確到0.01）；(2)試估算盒子里有多少個白球？(3)根據(jù)第（2）題的估算結(jié)果，若從盒子里隨機摸出兩球，請畫樹狀圖或列表求“摸到兩個顏色相同小球”的概率．【答案】(1)0.25(2)1(3)1【分析】（1）大量重復(fù)實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率，據(jù)此可得．（2）設(shè)盒子里有x個白球，根據(jù)概率公式列出算式，再進行計算即可得出答案；（3）先利用列表法展示所有12種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出“摸到兩個顏色相同小球”的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解．【詳解】（1）從不透明的盒子里隨機摸出一個球，摸出的球是白球的概率約為0.25；故答案為：0.25；（2）設(shè)盒子里有x個白球，根據(jù)題意，得：x4解得：x=1，∴盒子里有1個白球．（3）隨機摸出兩球的樹狀圖如下：共有12種等可能結(jié)果，而“摸到的兩個球是顏色相同的小球”6種結(jié)果，“摸到兩個顏色相同小球”的概率是612【點睛】本題主要考查利用頻率估計概率，解題的關(guān)鍵是掌握大量重復(fù)試驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越小，根據(jù)這個頻率穩(wěn)定性定理，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率．題型04列舉法求概率【例4】（2023·湖北武漢·?？寄M預(yù)測）隨著信息化的發(fā)展，二維碼已經(jīng)走進我們的日常生活，其圖案主要由黑、白兩種小正方形組成．現(xiàn)對由三個小正方形組成的“”進行涂色，每個小正方形隨機涂成黑色或白色，恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為（

）A．13 B．38 C．12【答案】B【分析】列出所有可能的情況，找出符合題意的情況，利用概率公式即可求解．【詳解】解：對每個小正方形隨機涂成黑色或白色的情況，如圖所示，共有8種情況，其中恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形情況有3種，∴恰好是兩個黑色小正方形和一個白色小正方形的概率為38故選：B【點睛】本題考查了用列舉法求概率，能一個不漏的列舉出所有可能的情況是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┧未填椀摹肚镌隆酚兴木涔旁娙缦拢孩倏账熙r一色秋；②白云紅葉兩悠悠；③清溪流過碧山頭；④隔斷紅塵三十里這四句古詩的順序被打亂了，敏敏想把這四句古詩調(diào)整為正確位置，則她第一次就調(diào)整正確的可能性是（）A．112 B．118 C．124【答案】C【分析】本題是排序古詩相當(dāng)于簡單隨機事件中的“不放回”事件，求出總的可能為24，第一次調(diào)整可能占其中一種，第一次就調(diào)整正確的可能性大小是124【詳解】解：這首詩四句隨機排列的順序共有24種情況：①②③④，①②④③，①③②④，①④②③，①④③②，②①③④，②①④③，②③①④，②③④①，②④①③，②④③①，①②③④，④②①③，③①②④，③①④②，③②①④，③②④①，③④①②，③④②①，④①②③，④①③②，④②①③，④②③①，④③①②，④③②①因為這24種情況出現(xiàn)的可能性大小相等，正確的順序只有一種④②①③，故第一次就調(diào)整正確的可能性大小是124故答案選：C【點睛】本題是考查等可能概型的概率計算公式計算概率，熟練掌握簡單隨機事件概率的計算方法進行求解是解決本題的關(guān)鍵．當(dāng)出現(xiàn)可能結(jié)果多種時，用樹狀圖輔助列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．【變式4-2】．（2021·山東濰坊·?？级＃┈F(xiàn)有下列長度的五根木棒：3，5，8，10，13，從中任取三根，可以組成三角形的概率為________．【答案】2【分析】求出任取三根木棒的所有情況，再求出能組成三角形的所有情況，利用概率公式直接計算即可.【詳解】五根木棒，任意取三根共有10種情況：3、5、83、5、103、5、133、8、103、8、133、10、135、10、135、8、105、8、138、10、13其中能組成三角形的有：①3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能構(gòu)成三角形；②5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能構(gòu)成三角形；③5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能構(gòu)成三角形；④8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能構(gòu)成三角形；所以有4種方案符合要求，故能構(gòu)成三角形的概率是P=410=2故答案為：25【點睛】此題考查三角形的三邊關(guān)系，列舉法求事件的概率，列舉法求概率的關(guān)鍵是在列舉所有情況時考慮要全面，不能重復(fù)也不能遺漏.題型05畫樹狀圖法/列表法求概率【例5】（2023·山東濟南·統(tǒng)考一模）為了疫情防控，某小區(qū)需要從甲、乙、丙、丁4名志愿者中隨機抽取2名負(fù)責(zé)該小區(qū)入口處的測溫工作，則甲被抽中的概率是（

）A．12 B．14 C．34【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后求得全部情況的總數(shù)與符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【詳解】解：畫樹狀圖得：∴一共有12種情況，抽取到甲的有6種，∴P（抽到甲）=612故選：A．【點睛】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．【變式5-1】（2022·廣東深圳·校考一模）同時擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，則兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是（

）A．112 B．16 C．13【答案】B【分析】利用列表法，可求得兩枚骰子向上的點數(shù)之和所有可能的結(jié)果數(shù)及兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的結(jié)果數(shù)，根據(jù)概率計算公式即可求得所求的概率．【詳解】列表如下：123456123456723456783456789456789105678910116789101112由表知，兩枚骰子向上的點數(shù)之和所有可能的結(jié)果數(shù)為36種，兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的結(jié)果數(shù)為6，故兩枚骰子向上的點數(shù)之和為7的概率是：636故選：B．【點睛】本題考查了用列表法或樹狀圖求等可能事件的概率，用列表法或樹狀圖可以不重不漏地把事件所有可能